二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布？还是超几何分布

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：

（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．

解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率

均为

5

1，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫

⎪⎝⎭，．

3

3

1464(0)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 1

2

131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭； 212

3

1412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； 30

33141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为

（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：

03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15

C C P Y C ===；21

283101

(2)15C C P Y C ===．

因此，Y 的分布列为

Y 0 1 2

P

715 715 1

15

例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本

称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此

得到样本的频率分布直方图，如图4

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克

的产品数量，求Y 的分布列；

（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505

克的概率。

X 0 1 2 3

P

64125 48125 12

125 1125

17.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:

40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:

2

2353

(3)10

373087*********

3087

.10000

设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y

B(5,),

从而P(Y=2)=C (

)()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为

: (共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个

A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N M

n

N

C C P X k C --== （0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.

:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数

p ,事件A 发生的概率为1p -.

2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题

二项分布、超几何分布、正态分布练习题

一、选择题

1．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

6，12，则P (ξ＝3)的值为( )

A.516

B.316

C.58

D.716

2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝5

9，则P (η≥1) ＝( )

A.13

B.59

C.827

D.1927

3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )

A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810·⎝ ⎛⎭⎪⎫582

B ．

C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589·⎝ ⎛⎭⎪⎫382

D ．C 9

11⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭

⎪⎫582

4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )

A ．[0.4,1)

B ．(0,0.6]

C ．(0,0.4]

D ．[0.6,1) 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题

6．某篮运动员在三分线投球的命中率是1

2，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．

7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为______． 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 三、解答题