2019年高考数学真题专题18 坐标系与参数方程

专题18 坐标系与参数方程

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ?-=??+??=?+?

，（t 为参数）．以

坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程

为

2cos sin 110ρθθ++=．

（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．

【答案】（1）2

2

1(1)4

y x x +=≠-；l

的直角坐标方程为2110x +=；（2

．

【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()

2

2

2

22

222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+，所以C 的直角坐标方程为2

2

1(1)4

y x x +=≠-．

l

的直角坐标方程为2110x ++=．

（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?（α为参数，ππα-<<）．

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=

当2π3α=-

时，π4cos 113α?

?-+ ??

?取得最小值7，故C 上的点到l

．

【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．

（1）当0=

3

θπ

时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ??

-

= ???

； （2）4cos ,,42

ρθθπ??=∈????

π．

【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3

ρπ

== 由已知得||||cos

23

OP OA π

==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ??

-

== ??

?

， 经检验，点(2,)3

P π在曲线cos 23ρθπ??

-

= ???

上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ??

-

= ???

． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ??????

．

所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42

ρθθπ??=∈????

π．

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π

，)4

C 3π

，(2,)D π，弧?AB ，?BC ，?CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2

π

，(1,)π，曲线1M 是弧?AB ，曲线2M 是弧?BC ，曲线3M 是弧?CD

． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；

（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =

P 的极坐标．

【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ??

=≤≤

??

?

，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ??=≤≤

???，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ??

=-≤≤ ???

．

（2）π3,6???或π3,3???或2π3,3???或5π3,6???． 【解析】（1）由题设可得，弧???,,AB BC

CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．

所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ?

?=≤≤

??

?，2M 的极坐标方程为π

3π2sin 4

4ρθθ??=≤≤ ???，3

M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ??

=-≤≤

???

． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知

若π04θ≤≤

，则2cos 3θ=，解得π

6

θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=5π6

θ=． 综上，P 的极坐标为π3,

6???或π3,3???或2π3,3???或5π3,6?

??

．

【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,

,2,42A B ππ?

?? ?????

，直线l 的方程为sin 34

ρθπ??

+= ??

?

．

（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．

【答案】（12）2．

【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，

4π），B ，2

π

），

由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34

ρθπ+=，

则直线l 过点)2π，倾斜角为

34

π．

又)2

B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(

)242

ππ

?-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．

（1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．

【答案】（1）2C 的直角坐标方程为22

(1)4x y ++=．；（2）1C 的方程为4

||23

y x =-

+． 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22

(1)4x y ++=．

（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为

2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有

两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当

1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．

经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．

当

2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．

经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4

||23

y x =-

+． 6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=??=?

，

（θ为参数），

直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+??=+?

，

（t 为参数）．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．

【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-．

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=．

当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )

13cos t t ααα

++=-

+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=??=?

，

（θ为参数），

过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；

（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．

【答案】（1）α的取值范围是(,)44π3π．；（2）点P

的轨迹的参数方程是2,2x y αα

?=?

???=??(α为参数，

44

απ3π

<<

)． 【解析】（1）O e 的直角坐标方程为22

1x y +=．

当2

απ

=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠

时，记tan k α=，则l

的方程为y kx =l 与O e

交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,

)24

απ3π

∈． 综上，α的取值范围是(,)44

π3π

．

（2）l

的参数方程为cos ,

(sin x t t y t αα

=???

=??为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2

A B

P t t t +=

，且A t ，B t

满足2sin 10t α-+=．

于是A B t t α+=

，P t α=．又点P 的坐标(,)x y

满足cos ,

sin .P P

x t y t αα=???

=?? 所以点P

的轨迹的参数方程是sin 2,2222

x y αα

?=?

??

?=--??(α为参数，44απ3π<<)． 8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为π

sin()26

ρθ-=，曲线C 的方程为

ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

【答案】直线l 被曲线C

截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，

则直线l 过A （4，0），倾斜角为π

6

，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=π

6

．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=

π

2

，

所以

π

4cos23

6

AB==．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．

9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y

θ

θ

=

?

?

=

?

（θ为参数），直线l的参数方程为

4,

1,

x a t

t

y t

=+

?

?

=-

?

（为参数）．

（1）若1

-

=

a，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l17a．

【答案】（1）(3,0)，

2124

(,)

2525

-；（2）8

a=或16

a=-．

【解析】（1）曲线C的普通方程为

2

21

9

x

y

+=．

当1

a=-时，直线l的普通方程为430

x y

+-=．

由2

2

430,

1

9

x y

x

y

+-=

?

?

?

+=

??

解得

3,

x

y

=

?

?

=

?

或

21

,

25

24

.

25

x

y

?

=-

??

?

?=

??

从而C与l的交点坐标为(3,0)，

2124

(,)

2525

-．

（2）直线l的普通方程为440

x y a

+--=，故C上的点(3cos,sin)

θθ到l的距离为

17

d=．

当4a ≥-时，d

=8a =； 当4a <-时，d

．

=16a =-． 综上，8a =或16a =-．

【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．

10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,)3

π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．

【答案】（1）()()2

2240x y x -+=≠；（2）2+．

【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知cos OP OM =ρρθ

14

=,=

． 由16OM OP ?=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为()()2

2240x y x -+=≠． （2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，

由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积

S =

1sin 4cos |sin()|2|sin(2)|22332

B OA AOB ραααππ??∠=?-=--≤+

当12

απ

=-

时，S

取得最大值2，所以OAB △

面积的最大值为2． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．

11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,

,x t y kt =??=?

（t 为参数），直

线l 2的参数方程为2,

,x m m m

y k =-+??

?=??

（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(

)3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．

【答案】（1）()22

40x y y -=≠；（2

【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21

:2l y x k

=

+．

设(),P x y ，由题设得()()21

2y k x y x k ?=-??=+??

，消去k 得()22

40x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2

2

40x y y -=≠．

（2）C 的极坐标方程为()

()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠．

联立()(

)222

cos sin 4,cos sin 0

ρθθρθθ?-=??+=??得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+．

故1tan 3θ=-，从而2291

cos ,sin 1010θθ==．

代入()

222cos sin 4ρθθ-=得2

5ρ=，所以交点M

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

12．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82

x t t

y =-+??

?=??（t 为参数），

曲线C 的参数方程为2

2

x s

y ?=??=??（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小

值．

【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．

因为点P 在曲线C 上，设2(2,)P s ，

从而点P 到直线l 的的距离d =

=，

当s =

min d =

．

因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l ． 【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．