高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面的一点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．

3．圆的极坐标方程．

(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．

(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．

(3)圆心在过极点且与极轴成π

2

的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，

如图3所示．

4．极坐标与直角坐标的互化．

若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：

?????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ

或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，

其中要结合点所在的象限确定角θ的值．

1．曲线的参数方程的定义．

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即

?

????x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．

2．常见曲线的参数方程．

(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：

?

???

?x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．

根据t 的几何意义，有以下结论：

①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2

－4t A ·t B ；

②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2.

(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：

?

????x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：

?????x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)? ????或?

????x ＝bcos θ，y ＝asin θ.

中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为?

??

??x ＝x 0＋acos α，

y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．

(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：

?

????x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)? ????或?????

x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：

?

????x ＝2p ，y ＝2p (t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.

3．参数方程化为普通方程．

由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值围对x ，y 的限制．

1．已知点A 的极坐标为?

????4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．

2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为? ????22，－π6．

3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2

＋(y －2)2

＝4．

4．以极坐标系中的点? ????1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ?

????θ－π6．

5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：?????x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：?

??

??x ＝3cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．

解析：由直线l ：?????x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：?

????x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y

2

4＝1.所以椭

圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.

一、选择题

1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )

A.? ????1，－π3

B.? ????2，4π3

C.? ????2，－π3

D.?

????2，－4π3 2．若圆的方程为?????x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为?

????x ＝t ＋1，

y ＝t －1(t 为参数)，则

直线与圆的位置关系是(B )

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不能确定

3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标

系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是?

????x ＝t ＋1，

y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方

程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )

A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2

解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2

＋y 2

＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.

4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2

＋(y －1)2

＝1，则直线l 与圆O ：?

????x ＝3cos θ，

y ＝3sin θ(θ

为参数)的位置关系是(A )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．过圆心

解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2

＋(y －1)2

＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：

?

????x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝9且22＋12

<9，故点(2，1)在圆O ，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．

二、填空题

5．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

??

?

??y＝sin θ－2，

x＝cos θ

(θ是参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．

解析：在平面直角坐标系xOy中，

??

?

??y＝sin θ－2，

x＝cos θ

(θ是参数)，∴

??

?

??y＋2＝sin θ，

x＝cos θ.

根据sin2θ＋cos2θ＝1，可得x2＋(y＋2)2＝1，即x2＋y2＋4y＋3＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.

6．在平面直角坐标系中圆C的参数方程为

??

?

??x＝2cos θ，

y＝2＋2sin θ

(θ为参数)，以原点O为极

点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为

?

?

??

?

2，

π

2

．

三、解答题

7．求极点到直线2ρ＝

1

sin

?

?

??

?

θ＋

π

4

(ρ∈R)的距离．

解析：由2ρ＝

1

sin

?

?

??

?

θ＋

π

4

?ρsin θ＋ρcos θ＝1?x＋y＝1，

故d＝

|0＋0－1|

12＋12

＝

2

2

.

8．极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．

9．(2015·模拟)曲线C1的参数方程为

??

?

??x＝cos θ，

y＝sin θ

(θ为参数)，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.

(1)求曲线C2和直线l的普通方程；

(2)P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的距离的最值．