高考数学第二轮复习专题极坐标与参数方程2020.1.15
高考数学第二轮复习专题1：极坐标与参数方程学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________考号：___________ 1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3,⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩xy（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点,A B，若点P的坐标为，求PA PB+2．在极坐标系中，点M坐标是)2,3(π，曲线C的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求||||MBMA⋅的值．3．（本题满分10分）曲线1C的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin22cos2yx（其中α为参数），M是曲线1C上的动点，且M是线段OP的中点，P点的轨迹为曲线2C，直线l的方程为2)4sin(=+πρx，直线l与曲线2C交于A，B两点。
（1）求曲线2C的普通方程；（2）求线段AB的长。
4．（Ⅰ）求直线11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）的倾斜角的大小.（Ⅱ）在极坐标系中，已知点4(2,),(2,)3A Bππ，C是曲线2sinρθ=上任意一点，求ABC∆的面积的最小值．5．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1cossinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标为sin cosρθθ=+，曲线3C的极坐标方程为6πθ=.（1）把曲线1C的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线3C与曲线1C交于点O A、，曲线3C与曲线2C交于点O B、，求AB.6．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值．7．．已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin 1sin -=以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点)2,0(M ，直线l 与曲 线C 交于A ，B 两点．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）线段MA ，MB 长度分别记|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．8．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭曲线C 的参数方程是cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．9．（选修4-4：坐标系与参数方程）平面直角坐标系中,已知曲线221:1C x y +=,将曲线1C 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原,得到曲线2C .（1）试写出曲线2C 参数方程；（2）在曲线2C 上求点P ,使得点P到直线:0l x y +-=的距离最大,并求距离最大值.10．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．高考数学第二轮复习专题2：极坐标与参数方程学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________考号：___________11． 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.12．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为121122x x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.13．已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=．（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OAOB+的值．14．在极坐标系中，点M坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．15．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）.（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的最大值.16．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．17．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．18．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q 为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l 与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．19．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．20．在直角坐标系xoy中，直线I 的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．高考数学第二轮复习专题3：极坐标与参数方程1.已知直线的参数程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当4πα=时，求直线与曲线C 交点的极坐标.2、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．3、在极坐标系下，已知圆O 2：ρ＝cos θ＋sin θ和 直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．4、在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ()θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2的直角坐标方程. (2)求过C 1与C 2交点的直线的极坐标方程 (3)求C 1与C 2交点的极坐标；5. 已知曲线C 的极坐标方程是. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l 的参数方程是:(是参数).(Ⅰ ) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程, 将直线的参数方程化为普通方程;(Ⅱ ) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 且, 试求实数m 值.6.已知曲线 (t 为参数) ，(为参数) ．(I) 化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ ) 过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A ，B 两点，求.7、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．直线的参数方程是315415x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin()4πρθ=+． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C 相交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．8、曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t(t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程． (2)C 1与C 2是否相交？若相交求出弦长，不相交说明理由．9、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 的方程为ρ2＝123cos 2 θ＋4sin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |.10、在极坐标系中，已知圆心C (3,)6π，半径r =1． （1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线31(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）与圆交于B A ,两点，求弦AB 的长.11.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数）。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 20 坐标系与参数方程(考点解读)(解析版)
专题20 坐标系与参数方程1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．知识点一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 知识点二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．知识点三、参数方程 (1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．高频考点一 坐标系与极坐标例1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】(1)由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【变式探究】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 【变式探究】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线310x y -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】由ρ＝2cos θ得x 2＋y 2－2x ＝0. ∴(x －1)2＋y 2＝1，圆的两条垂直于x 轴的切线方程为x ＝0和x ＝2. 故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.【答案】B高频考点二 参数方程例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；(2)7．【解析】(1)因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=． (2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【变式探究】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 的距离取到最小值5. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】(I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=(II)1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.(Ⅰ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a (舍去)，1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．【解析】直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．【答案】(2，π)【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【解析】∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.【答案】A1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩(t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点(1，0)到直线l的距离65d ==，故选D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；(2)7．【解析】(1)因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．(2)π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】(1)由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离． 【答案】(1)5；(2)2．【解析】(1)设极点为O ．在△OAB 中，A (3，4π)，B (2，2π)， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=． (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=， 则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=． 1. (2018年全国I 卷理数)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求的直角坐标方程；(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【答案】 (1)． (2)的方程为．【解析】 (1)由，得的直角坐标方程为 ．(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆． 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．2. (2018年全国Ⅰ卷理数)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).(1)求和的直角坐标方程；(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】(1)当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．(2)【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. (2018年全国Ⅰ卷理数)在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点．(1)求的取值范围；(2)求中点的轨迹的参数方程．【答案】(1)(2)为参数，【解析】(1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．(2)的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．4. (2018年江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为． 1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 2. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为___________.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211AC r -=-=.3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. (1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到la. 【答案】(1)C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430{ 19x y x y +-=+=解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d=16a =-.综上， 8a =或16a =-.【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C上点P 到直线l 的距离取到最小值5. 1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB = 2.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. (I)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(II)直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ． 【答案】(I)圆，222sin 10a ρρθ-+-=(II)1【解析】解：(Ⅰ)消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.(Ⅰ)曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a (舍去)，1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(Ⅰ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】(Ⅰ)212cos 110ρρθ++=；(Ⅰ)3±. 【解析】(I)由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= (II)在(I)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||10AB =得2315cos,tan 8αα==±， 所以l 的斜率为153或153-. 4. 【2016高考新课标3理数】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=(I)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(II)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；(Ⅰ)31(,)22． 【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (Ⅰ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2sin()2|32d ααπαα+-==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，2，此时P 的直角坐标为31(,)22.。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题14 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______． (2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ．).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为2π⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆． 解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)． 习题14一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t 527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 2121292923．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k )4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(12．在椭圆上求一点，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C是以C(4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程．14．已知点M(2，1)和双曲线，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线l的方程．专题14 坐标系与参数方程参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B二、填空题6．；7．；8．(3，－1)；9．(0，1)，(0，－1)；三、解答题11．14922=+yx21032=-+yx1222=-yx)(6πR∈=ρθ)47π,23(⋅=223cosθρ12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223(⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
【精编版】2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程
专题13 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______． (2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ． 即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得 注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离2π⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为 例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程， 得 所以 评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题13一、选择题,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t 527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k )4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,1210．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x 1222=-y x专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离 即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．)(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223(⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。
2020高考数学理科二轮复习导学案+极坐标与参数方程+Word版含解析
坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01ρcos θ，y ＝□02ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝□03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x (x ≠0).1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2α－44 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 条件探究：若直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，l 与C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋ ρ＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－ ，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝ 圆C 的半径为5，△CMN 的面积为 .2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．考向二：参数方程1、［2017•全国Ⅰ，22］在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，（－2125，2425）.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y xx +=≠-；l 的直角坐标方程为2110x+=；（2． 【解析】（1）解法一：，221111t t--<≤+，，，，2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.解法二:因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．3、［2018•全国Ⅲ，22］在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)解析一：⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈（π4，π2）或α∈（π2，3π4）.综上α的取值范围是（π4，3π4）.解析二：设l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，代入⊙O 的直角坐标方程得t 2－22t sin α＋1＝0.直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，所以 ，， α的取值范围是（π4，3π4）.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin αt 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2αα为参数，π4<α<3π4.条件探究：点 (0，－2)，过点M 的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点，若，求直线l 的方程。
（完整）2020年高考数学复习——参数方程选讲（二）
（完整）2020年⾼考数学复习——参数⽅程选讲（⼆）2020年⾼考数学复习——参数⽅程选讲（⼆）1.在平⾯直⾓坐标系xOy 中．已知直线l 的普通⽅程为x ﹣y ﹣2=0，曲线C 的参数⽅程为θ=θ=sin 2cos 32y x （θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求线段AB 的长（2）已知点P 在曲线C 上运动．当△PAB 的⾯积最⼤时，求点P 的坐标及△PAB 的最⼤⾯积．2.在极坐标系中，曲线C 的极坐标⽅程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x轴的正半轴建⽴平⾯直⾓坐标系，已知直线2:12x l y ?==+（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且||||MA MB >. （1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意⼀点，求ρ的最⼤值，并求此时点P 的极坐标；（2）求||||MA MB .3.在直⾓坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数⽅程分别是22cos 2sin x y ?=+??=?（?为参数）和cos 1sin x y ββ=??=+?（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求圆1C 和2C 的极坐标⽅程；（Ⅱ）射线OM ：θα=与圆1C 交于点O 、P ，与圆2C 交于点O 、Q ，求||||OP OQ ?的最⼤值．4.在直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程为?+=-=t y tx 13（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ=22cos （θ﹣4π）．（Ⅰ）求直线l 的普通⽅程和曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最⼤值．5.已知直线l 的参数⽅程为=+-=t y t x 22221（其中t 为参数），曲线C 1：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ﹣3=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（1）求直线l 的普通⽅程及曲线C 1的直⾓坐标⽅程；（2）在曲线C 1上是否存在⼀点P ，使点P 到直线l 的距离最⼤？若存在，求出距离最⼤值及点P ．若不存在，请说明理由．6.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标⽅程为θ=4π，曲线C 的参数⽅程为θ=θ=sin cos 2y x ．（1）写出直线l 与曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）过点M 平⾏于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA |?|M B|=38，求点M 轨迹的直⾓坐标⽅程．7.在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为：α=α=sin 3cos y x (a 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为24)4sin(=π+θρ.(1)求直⾓坐标系下曲线1C 与曲线2C 的⽅程；(2)设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最⼤值，并求此时点P 的坐标.8.以直⾓坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数⽅程为2cos 1sin x t y t αα=+??=+?（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标⽅程为4tan sin ρθθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）设点P 的直⾓坐标为(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且28PA PB ?=，求tan α的值.9.在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为2cos 2sin x y αα=+??=+? （α为参数），直线2C 的⽅程为y =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +．10.在直⾓坐标系xOy 中，直线l 的参数⽅程是=+=t y m t x 2123（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程是2cos =ρθ. （1）求直线l 的普通⽅程和曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）设点(),0P m ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA PB ?=，求实数m 的值.11.在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为??=?+=sin 2cos 22y x （φ为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的普通⽅程和2C 的直⾓坐标⽅程；（2）已知曲线3C 的极坐标⽅程为()0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于原点O，且AB =a 的值.12.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l 过点()1,2P --，且⽅向向量为(；在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标⽅程为π2cos 3ρθ?=-. （1）求直线l 的参数⽅程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值.13.在直⾓坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线1C的参数⽅程为24x y aaì=+?í?=+?(a 为参数)，P 是曲线1C 上的动点，M 为线段OP 的中点，设点M 的轨迹为曲线2C . (1)求2C 的坐标⽅程； (2)若射线6pq =与曲线1C 异于极点的交点为A ，与曲线2C 异于极点的交点为B ，求AB .14.在直⾓坐标系xoy 中，曲线1C的参数⽅程为2x y αα=+=（其中α为参数），曲线2C ：()2211x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系.（1）求曲线1C 的普通⽅程和曲线2C 的极坐标⽅程；（2）若射线3πθ=（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .15.已知直线l的参数⽅程为1422x t y ?=+??=（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程为2cos =ρθ. （Ⅰ）求曲线C 的直⾓坐标⽅程与直线l 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线6=πθ（R ∈ρ）与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值.16.在直⾓坐标系xOy 中，圆C 的参数⽅程1cos sin x y αα=+??=?（α为参数），以O 为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系．(Ⅰ)求圆C 的极坐标⽅程；(Ⅱ)直线l的极坐标⽅程是2sin()3πρθ+=，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．17.在极坐标系下，点P 是曲线2(0)ρθπ=<<上的动点，(2,0)A ，线段AP 的中点为Q ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建⽴平⾯直⾓坐标系．（1）求点Q 的轨迹C 的直⾓坐标⽅程；（2）若轨迹C 上点M处的切线斜率的取值范围是，求点M 横坐标的取值范围．18.已知在直⾓坐标系xOy 中，圆C 参数⽅程为32cos 42sin x y θθ=+??=-+?（θ为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，求圆C 的极坐标⽅程．（2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意⼀点(,)M x y ，求ABM △⾯积的最⼤值．19.已知曲线1C 的极坐标⽅程为2sin 4cos ρθθ=，2C的参数⽅程为3232x y ?=-=+（t 为参数）.（1）将曲线1C 与2C 的⽅程化为直⾓坐标系下的普通⽅程；（2）若1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB .20.已知直线:360l x -=，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ： 4sin 0ρθ-=. （Ⅰ）将直线l 写成参数⽅程2+cos sin x t y t αα=??=?（t 为参数，[)0,απ∈）的形式，并求曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）过曲线C 上任意⼀点P 作倾斜⾓为30°的直线，交l 于点A ，求|AP |的最值．21.在直⾓坐标系中xOy 中，曲线C 的参数⽅程为cos (2sin x a tt y t=??=?为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，已知直线l 的极坐标⽅程为cos 4πρθ?+=-（1）设P 是曲线C 上的⼀个动点，当a =P 到直线l 的距离的最⼤值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下⽅，求a 的取值范围.22.平⾯直⾓坐标系中，已知直线l 的参数⽅程是?==t y tx 3（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线C 的极坐标⽅程为03cos 82=+-θp p .（Ⅰ）求直线l 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于B A ，两点，求OB OA ?.23.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线043:1=-+y x C ，曲线+==θθθ(sin 1cos :2y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系. （Ⅰ）求曲线21,C C 的极坐标⽅程；（Ⅱ）若曲线3C 的极坐标⽅程为)20,0(παραθ<<>=，且曲线3C 分别交21,C C 于B A ,两点，求OAOB的最⼤值.参考答案1.解：（1）根据题意，曲线C 的参数⽅程为，则其普通⽅程为： +=1，将直线x ﹣y ﹣2=0代⼊+=1可得：x 2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x 1﹣x 2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求⼀点P ，使△PAB 的⾯积最⼤，则P 到直线直线l 的距离最⼤；设P 的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P 到直线l 的距离d==，⼜由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d 取得最⼤值，且d max =3，此时P （﹣3，1），△PAB 的最⼤⾯积S=×|AB|×d=9．2.（1）2cos 2sin 22)4πρθθθ=+=+，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最⼤值22，此时，P 的极坐标为(22,)4π.（2）由2cos 2sin ρθθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=，故曲线C 的直⾓坐标⽅程为22(1)(1)2x y -+-=.将2221x y ?==??代⼊22(1)(1)2x y -+-=并整理得：2210t t -=，解得262，∵||||MA MB >，∴由t 的⼏何意义得，62||MA +=，62||MB -=，故||6223||62MA MB +==+-.3.解：（Ⅰ）圆1C 和2C 的普通⽅程分别是22(2)4x y -+=和22(1)1x y +-=，∴圆1C 和2C 的极坐标⽅程为4cos ρθ=，2sin ρθ=．（Ⅱ）依题意得点P 、Q 的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα，∴|||4cos |OP α=，|||2sin |OQ α=，从⽽|||||4sin 2|4OP OQ α?=≤，当且仅当sin 21α=±，即4πα=时，上式取“=”，||||OP OQ ?取最⼤值是4．4.解：（Ⅰ）由直线l 的参数⽅程消去t 参数，得x+y ﹣4=0，∴直线l 的普通⽅程为x+y ﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y 代⼊上式，得：曲线C 的直⾓坐标⽅程为x 2+y 2=2x+2y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C 上的点为，则点P 到直线l 的距离为==当时，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最⼤值为；法2：设与直线l 平⾏的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C 相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的⽅程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最⼤值为．5.解：（1）直线l得：y=x+1，由曲线C1得：…（2）由题意可知（其中?为参数），…∴P到l得距离为…∴，…此时，即，…，∴，故存在这样的点，满⾜条件．6.解：（1）直线l的极坐标⽅程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数⽅程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x 2+2y 2=6表⽰⼀椭圆…（8分）取y=x+m 代⼊得：3x 2+4mx+2m 2﹣2=0由△≥0得故点M 的轨迹是椭圆x 2+2y 2=6夹在平⾏直线之间的两段弧…（10分）7.(1)由曲线1cos :3x C y a a ì=?í??，可得cos sin 3x aa ì=?í=，两式两边平⽅相加得：2213y x +=.即曲线1C 在直⾓坐标系下的⽅程为2213y x +=.由曲线()22:sin sin cos 424C p r q q q 骣琪++=琪桫sin cos 80r q r q +-=，所以80x y +-=，即曲线2C 在直⾓坐标系下的⽅程为80x y +-=.(2)由(1)知椭圆1C 与直线2C ⽆公共点，椭圆上的点()cos 3sin P a a 到直线80x y +-=的距离为2sin 8cos 3sin 862sin 4622d pa a a p a 骣琪+-琪+-骣桫琪=+-琪桫，∴当sin 16p a 骣琪+=-琪桫即43pa =时，d 的最⼤值为2此时点P 的坐标为13,22骣琪--琪桫.8.（Ⅰ）当0ρ>时，2sin 4cos ρθθ=可化为22sin 4cos ρθρθ=，由sin cos x y ρθρθ=??=?，得24y x =.经检验，极点的直⾓坐标（0,0）也满⾜此式.所以曲线C 的直⾓坐标⽅程为24y x =. （Ⅱ）将2cos 1sin x t y t αα=+??=+?代⼊24y x =，得22sin 92sin 4cos )70t t ααα+--=，所以122728sin t t α==，所以23sin 4α=，6πα=或56πα=，即tan α=或tan α=.9.（Ⅰ）曲线1C 的普通⽅程为()()22221x y -+-=，则1C 的极坐标⽅程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，由于直线2C 过原点，且倾斜⾓为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈．（Ⅱ）法⼀：由24cos 4sin 703ρρθρθπθ?--+=??=得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||||||||||OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g 法⼆：直线2C的参数⽅程为122x t y ?=??=（t 为参数）将上述参数⽅程代⼊圆()()221:221C x y -+-=中并化简，得(2270t t -++=设,A B 两点处的参数分别为12,t t，则121227t t t t ?+=+??=??∴121211||||||||||||t t OA OB OA OB OA OB t t +++===g10.（1）直线l的参数⽅程是12x m y ?=+=??（t 为参数），消去参数t 可得直线l 的普通⽅程为0x m -=曲线C 的极坐标⽅程是2cos =ρθ，化为22cos =ρρθ，所以曲线C 的直⾓坐标⽅程为()2211x y -+=.（2x m y ?=+=??（t 为参数）代⼊⽅程()2211x y -+=，得211122m t +-+= ?，即2220t t m m ++-=.由0?>，解得13m -<<，所以2122t t m m =-∵121PA PB t t ?==，∴221m m -=±，解得1m =1+1，都满⾜0?>，所以1m =1m =或1m =11.（I ）由22cos ,2sin x y ??=+??=?消去参数?可得1C 普通⽅程为22(2)4x y -+=，. Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=??=?，得曲线2C 的直⾓坐标⽅程为22(2)4x y +-= （II ）由（I ）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标⽅程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=12.（1）设直线l 的倾斜⾓为α，因为直线l的⽅向向量为(，所以tan α=因为[)0,πα∈，所以直线l 的倾斜⾓为π3. 所以直线l 的参数⽅程为π1cos ,3π2sin3x t y t ?=-+=-+??（t 为参数），即11,222x t y ?=-+=-+??（t 为参数）. （2）因为π2cos 3ρθ?=-= ??cos θθ，所以2cos sin ρρθθ=+，所以圆的普通⽅程为22将直线l的参数⽅程代⼊，整理得(2360t t -+++=.设⽅程的两根为1t ，2t，则123t t +=+，126t t =+1t ，2t 均为正数. 所以11PM PN PM PN PM PN ++==121214t t t t +==.13.(1)设(),M x y ，则由条件知()2,2P x y ，由于P 点在曲线1C 上，所以2224x y a a ì=+?í?=+?，即12x y a a ì=?í?=?，从⽽2C的参数⽅程为12x y a a ì=?í?=?(a 为参数)，化为普通⽅程()()22125x y -+-=即22240x y x y +--=，将cos x r q =，sin y r q =所以曲线2C 后得到极坐标⽅程为22cos 4sin 0r r q r q --=.(2)曲线1C 的极坐标⽅程为24cos 8sin 0r r q r q --=，当6p q =时，代⼊曲线1C 的极坐标⽅程，得24cos 8sin 066p p即240r r --=，解得0r =或4r =，所以射线6pq =与1C 的交点A的极径为14r =，曲线2C 的极坐标⽅程为22cos 4sin 0r r q r q --=. 同理可得射线6 pq =与2C 的交点B的极径为12r =.所以212AB r r =-=.14.（1）由2x y αα==，有曲线1C 的普通⽅程为()2227x y -+=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代⼊()2211x y -+=得()()22cos 1cos 1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C 的极坐标⽅程2cos ρθ=. （2）依题意可设1,3A πρ?，2,3B πρ??. 因为曲线1C 的极坐标⽅程为24cos 30ρρθ--=，将3πθ=（0ρ>）代⼊曲线1C 的极坐标⽅程得2230ρρ--=，解得13ρ=.同理将3πθ=（0ρ>）曲线2C 的极坐标⽅程得21ρ=，所以122AB ρρ=-=.15.（Ⅰ）2cos =ρθQ ，22cos ∴=ρρθ，∴曲线C 的直⾓坐标⽅程为2220x y x +-=.Q 直线l的参数⽅程为142x t y ?=+??=（t为参数），y -=∴直线lcos sin -=θρθ.（Ⅱ）将6=πθ代⼊曲线C 的极坐标⽅程2cos =ρθ得=ρA ∴点的极坐标为6π.将6θ代⼊直线l的极坐标⽅程得3122-=ρρ=ρB ∴点的极坐标为6?π，AB ∴=.16.（I ）由cos 2α +sin 2α=1，把圆C 的参数⽅程1cos sin x y αα=+??=?化为（x ﹣1）2+y 2=1，………………2分∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．……………………………………………4分（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．……………………………………6分设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得．…………………8分∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．…………………………………………………………………10分17.解：（Ⅰ）由2(0)ρθπ=<<，得224(0)x y ρ+=> 设11(,)P x y ，(,)Q x y ，则122x x +=，12yy =，即122x x =-，12y y = 代⼊221114(y 0)x y +=>，得22(22)(2)4x y -+=，∴22(1)1(0)x y y -+=>；（不写0y >累计扣1分）（Ⅱ）设(1+cos ,sin )(0)M π<<，设点M 处切线l 的倾斜⾓为α，由l 斜率范围33,?-??，可得2536ππα=-，∴63ππ≤≤，∴3231cos 2?+≤+≤所以，点M 横坐标的取值范围是323[2+．18.（1）圆C 的参数⽅程为32cos 42sin x y θθ=+??=-+?（θ为参数），所以普通⽅程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标⽅程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2 d =ABM △的⾯积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ??=??=-+=-+，所以ABM △的⾯积的最⼤值为922+19.（1）曲线1C 的普通⽅程为24y x =，曲线2C 的普通⽅程为60x y +-=（2）将2C 的参数⽅程代⼊1C 的⽅程24y x =，得234322t +=- ? ? ? ?，得：260t +-=20.（Ⅰ）:360l x --=的倾斜⾓为3π，∴l 的参数⽅程为2cos 3sin 3x t y t ππ=+?=??，…2分由4sin 0ρθ-=，得曲线C 的直⾓坐标⽅程为()2 224x y +-=. ……………5分（Ⅱ）C: ()2cos 22sin x y θθθ=??=+?为参数，设()2cos ,22sin P θθ+, P 到l的距离为2sin 13d πθ??==-- ?3d ?∈?∴⼜||2||||AP d AP AP =Q 最⼩值最⼤值，，∴.……………10分21.(1)由cos 4πρθ?+=- ?ρθρθ-=-程，得()2x y -=-l 的⽅程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l的距离6d t π??===+ ，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==P 到直线l 的距离的最⼤值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下⽅，t ∴?∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成()4t ?+-（其中2tan a=）恒成⽴，4<，⼜0a >，解得0a <取值范围为(.22.（Ⅰ）由x t y ==??，得y =，l ∴的极坐标⽅程为sin cos ρθθ=即θ=()3R πθρ=∈.（Ⅱ）由238cos 30πθρρθ?=?-+=?，得2430ρρ-+=，设()11,A ρθ，()22,B ρθ，则123ρρ=，123OA OB ρρ∴?==.23.（1）θρθρsin ,cos ==y x Θ，所以1C 的极坐标⽅程为04sin cos 3=-+θρθρ曲线?? +==θθθ(sin 1cos :2y x C 为参数)的直⾓坐标⽅程为：1)1(22=-+y x ，所以2C 的极坐标⽅程为θρsin 2=（2）设),(),,(21αραρB A ，且αρααρsin 2,sin cos 3421=+=，41)62sin(21)22cos 12sin 23(21)sin cos 3(sin 2112+-=-+=+==∴πααααααρρOA OB ∴当262ππθ=-即3πα=时，OA OB 的最⼤值为43。
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题八第1讲参数方程与极坐标课件文
中,直线
C1:x+y-1=0,曲线����cos������, 1 + ������sin������(φ
为参数,a>0),以坐标
原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)说明 C2 是哪一种曲线,并将 C2 的方程化为极坐标方程;
(2)曲线 C3 的极坐标方程为 θ=α0(ρ>0),其中 tan α0=2,α0∈ 0,π2 ,
所以点 P 的轨迹的参数方程是
������ =
2 2
sin2������,
������
=
-
2
2-
2 cos2������
2
α 为参数,π4<α<34π .
考点1 考点2 考点3
考点1 考点2 考点3
考点1 考点2 考点3
对应训练 2 (2019 湖南师范大学附属中学高三下学期模拟(三))在平面直角 坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin θ+2acos θ(a>0);直线 l 的参数方程为
42
.
所以,P 点轨迹的极坐标方程为 ρ=4cos θ,θ∈
π ,π
42
.
3.
(2019 全国Ⅲ, 文 22)如图,在极坐标系 Ox
中,A(2,0),B
2,
π 4
,C
2,
3π 4
,D(2,π),弧������������ , ������������ , ������������所在圆的圆心分
别是(1,0),
经检验,点 P 2,π3 在曲线 ρcos θ-π3 =2 上.
所以,l 的极坐标方程为 ρcos θ-π3 =2.
2020高考数学二轮总复习第1部分层级2专题7选修系列第1讲极坐标与参数方程课件理
明考情 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是 简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，本部分内容在 备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题．
考点一 曲线的极坐标方程 |析典例|
【例】 (2019·贵州贵阳适应性考试)过极点 O 作圆 C：ρ＝8cos θ 的弦 ON. (1)求弦 ON 的中点 M 的轨迹 E 的极坐标方程； (2)若 P，Q 分别是曲线 C 和 E 上两点，且 OP⊥OQ，证明：|O6P4|2＋|O1Q6|2是定值．
3．(2017·全国卷Ⅱ )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨 迹 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为 ???2，π3???，点 B 在曲线 C2 上，求△ OAB 面积的最大值．
2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝ 0.
(1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．
经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝－43时，l1 与 C2 只有一个公共点， l2 与 C2 有两个公共点． 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以 |kk＋2＋2|1＝2，故 k＝0 或 k＝43. 经检验，当 k＝0 时，l1，与 C2 没有公共点； 当 k＝43时，l1，l2 与 C2 均没有公共点． 综上，所求 C1 的方程为 y＝－43|x|＋2.
2020版高考数学二轮复习专题限时集训15坐标系与参数方程文
专题限时集训(十五) 坐标系与参数方程(建议用时：40分钟)1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． [解] (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点． 在Rt△OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt△OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ， 则ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 2．(2019·肇庆三模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝2，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6.(1)求直线l 1和曲线C 的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知射线l 2：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2与l 1，C 的公共点分别为A ，B ，且|OA |·|OB |＝83，求△MOB 的面积．[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1：x ＝2的极坐标方程是ρcos θ＝2，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0，所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)将θ＝α分别代入ρcos θ＝2，ρ＝4sin θ得：|OA |＝ρA ＝2cos α，|OB |＝ρB ＝4sin α.∴|OA |·|OB |＝8tan α＝83，∴tan α＝3， ∵0<α<π2，∴α＝π3.∴|OB |＝23，|OM |＝3，∠MOB ＝π6，所以S △MOB ＝12|OM ||OB |sin∠MOB ＝12×3×23×12＝332，即△MOB 的面积为332.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,2)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝2＋t ，(t 为参数，a ∈R )，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ－ρ＋8sin θ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且PA →＋2PB →＝0，求实数a 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝2＋t ，消去参数t ，可得x －y ＋2－a ＝0，由ρsin 2θ－ρ＋8sin θ＝0，得ρ2sin 2θ－ρ2＋8ρsin θ＝0， ∴x 2＝8y .(2)将曲线C 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝2＋22t ，代入曲线C 2的方程，可得t 2＋(22a －82)t ＋2a 2－32＝0.由Δ＝(22a －82)2－4(2a 2－32)>0，解得a <4. 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝82－22a ，t 1t 2＝2a 2－32， 又t 1＝－2t 2，联立可得a ＝4(舍)或a ＝289.4．在直角坐标系xOy 中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k cos φ，y ＝m sin φ(φ为参数)上，对应参数为φ＝π3.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. (1)直接写出点P 的直角坐标和曲线C 的极坐标方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值． [解] (1)点P 的直角坐标为(3，1)， 曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋3cos 2θ. (2)由(1)知曲线C ：ρ2＝41＋3cos 2θ. 由A ，B 是曲线C 上的两个动点，且OA ⊥OB ，不妨设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，且|OA |2＝ρ21＝41＋3cos 2θ， |OB |2＝ρ22＝41＋3cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝41＋3sin 2θ. ∴|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ＝ 20＋3sin 2θ＋3cos 2θ＝204＋94sin 22θ≥204＋94＝165.当sin 22θ＝1时，|OA |2＋|OB |2的最小值为165.∴|OA |2＋|OB |2的最小值为165.【押题1】 (2019·湛江二模)在直角坐标系xOy 中，点M (0,1)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝1＋t (t为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为7ρ2＋ρ2cos 2θ＝24.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA |＋1|MB |的值．[解] (1)∵7ρ2＋ρ2cos 2θ＝24，∴7ρ2＋ρ2(2cos 2θ－1)＝24， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 24＋x 23＝1.(2)将直线l 的参数方程化为标准形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25t y ＝1＋15t (t 为参数)，代入曲线C 方程，得19t 2＋65t －45＝0. Δ>0恒成立，∴t 1＋t 2＝－6519，t 1t 2＝－4519. ∴1|MA |＋1|MB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2|＝43.【押题2】 (2019·宝鸡三模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋3cos θ)＝ 3.(1)求C 的极坐标方程；(2)射线θ＝θ1⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，ρ>0与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求|OP |·|OQ |的取值范围．[解] (1)圆C 的普通方程是(x －2)2＋y 2＝4，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)设P (ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1，设Q (ρ2，θ1)，且直线l 的方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝3， 则有ρ2＝3sin θ1＋3cos θ1，2≤|OP||OQ|≤3，故|OP||OQ|的范围为[2,3]．。
最新2020高考数学极坐标与参数方程二
极坐标与参数方程专题二.极坐标方程与参数方程综合应用1.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为co s ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合.（1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.2.在平面直角坐标系xOy 中，1C :()22221111t x t t y t ⎧-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C:ρθ=，射线l :6ρπ=（0ρ>）.（1）求1C 的横，纵坐标的取值范围，并将1C 化为极坐标方程；（2）若1C 与y 轴的交点为P （异于原点），射线l 与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求PAB △的面积.3.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的倾斜角和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(,)P x y 在圆C上，求x +的取值范围.4.已知平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1(82x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223695sin ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点E 作与直线l 的夹角为75 的直线，交l 于点F ，求EF 的最小值.5.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4, 3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点()21P ，，求+P BP AP A P B 的值．6.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，若点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点，求l 的斜率.。
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题七选考部分第1讲坐标系与参数方程学案理新人教A版(最新整理)
第1讲坐标系与参数方程[做真题］1．（2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A（2，0）,B错误!，C错误!,D（2，π），弧错误!,错误!,错误!所在圆的圆心分别是（1，0),错误!，(1,π），曲线M1是弧错误!,曲线M2是弧错误!，曲线M3是弧错误!。
(1）分别写出M1,M2，M3的极坐标方程;（2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上,且|OP｜＝3，求P的极坐标．解:（1)由题设可得，弧错误!，错误!,错误!所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ。
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ错误!，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ错误!,M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ错误!。
（2)设P（ρ，θ），由题设及(1)知：若0≤θ≤错误!，则2cos θ＝错误!，解得θ＝错误!;若错误!≤θ≤错误!,则2sin θ＝错误!,解得θ＝错误!或θ＝错误!；若错误!≤θ≤π,则－2cos θ＝错误!，解得θ＝错误!.综上,P的极坐标为错误!或错误!或错误!或错误!。
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（t为参数)．以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋错误!ρsin θ＋11＝0。
（1)求C和l的直角坐标方程;（2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1）因为－1＜错误!≤1,且x2＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!＝1,所以C的直角坐标方程为x2＋错误!＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋错误!y＋11＝0。
（2)由(1)可设C的参数方程为错误!（α为参数,－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为错误!＝错误!.当α＝－错误!时，4cos错误!＋11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为错误!.[明考情］1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用［典型例题］（2019·高考全国卷Ⅱ）在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ＝4sin θ上，直线l过点A（4,0）且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0＝错误!时,求ρ0及l的极坐标方程；(2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解】(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝错误!时，ρ0＝4sin 错误!＝2错误!。