最新浅谈初中数学教学中的变式教学复习进程
浅谈初中数学教学中的变式教学
内容摘要：变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被广泛应用。
新课程背景下充分运用变式教学，可拓展学生的思维．促使学生自觉将数学学
习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利于学生积极探究的过程，提高学
生的学习效能。本文首先提出变式教学的本质含义、设计变式的原则，然后论
述变式在各种数学题型中的应用，最后强调变式教学的价值。
关键词：初中数学；变式教学；变式原则；有效教学
《数学新课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学过程不仅是课本知识的传授，更重要的是对学生能力的训练和情操的培养，尤其要重视学习能力和学习方法的培养。抓住典型习题，寻求多种解题途径，促使学生的思维向多层次、多方向发散。注重这种变式模式的教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。
因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种变式途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。
一、数学变式教学的本质含义
数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。
初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。
二、变式教学中遵循的几个原则
2.1一题多解，触类旁通
通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。
【案例1】如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？
（只剩一个底角和一条底边）
学生给出的三种“补出”方法：
①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A；
②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A；
③“对折”。
看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。
这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。
学生总结出该题的三种常规的办法：
①作∠A 的平分线，利用“角角边”
②过A 作BC 边的垂线，利用“角角边”
③作BC 边上的中线，“边边角”不能证明
两种创造性的证法：
④假定AB>AC,由“大边对大角”得出矛盾
⑤△ABC ≌△ACB ，应用“角边角”
2.2 一题多变，横向联想
通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。
【案例2】 如左图，有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm 。
要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点
分别在AB 、AC 上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？
N E B M P A
A P
B E N
变式1 将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少
时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？
变式2 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.52m ，工
人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计
加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你
认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计
算结果可保留分数）
图（1） 图（2）
变式3 已知△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝80，BC ＝60，如图所
示，把边长分别为1x , 2x , 3x ,…n x 的n 个正方形依次放入△ABC
中，
则第1个正方形的边长1x = ；第n 个正方形的边长n x =
(用含n 的式子表示，n ≥1)。
变式4 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3.
（1）如图（1），四边形DEFG 为Rt △ABC 的内接正方形，求正方形的边长。
（2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于
Rt △ABC ，求正方形的边长。
（3）如图（3），三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接
于Rt △ABC ，求正方形的边长。
图（1） 图（2） 图（3）
2.3 一题多导，创设情境
对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分
几个小问题引导，
启发学生，创设良好的问题情境，
使学生最大限度地参与解决问题的全过程。
【案例3】在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。
（1）如图①，若半径为1
r的⊙
1
O是Rt△ABC的内切圆，求1
r。
（2）如图②，若半径为2
r的两个等圆⊙
1
O、⊙
2
O外切，且⊙
1
O与AC、
AB相切，⊙
2
O与BC、AB相切，求2r。
（3）如图③，当n大于2的正整数时，若半径n r的n个等圆⊙1O、⊙2O、…、
⊙O
n
依次外切，且⊙
1
O与AC、BC相切，⊙O
n
与BC、AB相切，⊙
1
O、⊙
2
O、
⊙
3
O、…、⊙
1
O
n
均与AB边相切，求n r.
图①图②图③
通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的
联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。
变式有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和
100cm。若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的
面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆
铁皮的半径是多少？
O2
O1
B
O3
C
B
O1
O2
2.4多题一解，异中求同
由问题的条件或结论的外形结构，联想到与其形式类似的有关题型，从而获
得转化桥梁，打开解题思路。
【案例4】如图1，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长
的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。求这个矩形零
件的长与宽。
图1 图2
变式1如图2，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一
边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。（1）求这个矩形的周
长；（2）求这个矩形的面积；（3）求△APQ的面积。
变式2如图3，一块铁皮呈三角形，∠BAC= 90°，要把它加工成矩形零件，使矩形一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。试问：PS、
BS、CR之间有何关系？为什么？
图3 图4
变式3如图4，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、
AC上。求这个矩形面积的最大值。
三、变式教学要把握好三个“度”
3.1 变式的数量要“适度”
变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认
知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。因此，数学变式要正确把握变式的度，适度进行，适可而止。
3.2 变式的内容与难度要有“梯度”
变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。
【案例5】 如左图，由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形的腰
长为1cm ，求第4个直角三角形的斜边长度。
变式1 如右图，已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究
第n 个等腰直角三角形的斜边长为多少？
变式2 已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n 个
等腰直角三角形的直角边长为多少？ 变式3 已知条件不变，求第6个等腰直角三角形的面积，并探究第n 个等腰
直角三角形的面积为多少？
3.3 变式教学要提高学生的“参与度”
设计问题变式要注重一个“变”，不能简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，让每一个学生都能够参与到数学思考中来。
【案例6】 如图1，在直线3604
y x =-+与x 轴、y 轴所围成的△AOB 中，依次 放入腰长分别为1x , 2x , 3x ,…n x 的n 个等腰直角三角形，则
1x = ，n x = 。
（或：求1A ,2A ,3A ,…n A 的横坐标。）