古典概率与几何概率
高二数学班讲义 1 古典概型与几何概型 【知识要点】 1.古典概率模型试验的两个共同特点： （1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. （2）等可能性：每个事件出现的可能性相等. 2.古典概率的计算方法： 如果一次试验中的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，每个基本事件的概率
是1n，如果事件A包含的基本事件有m个，那么事件A的概率为()mPAn，即：
()APA包含的基本事件的个数基本事件的总数
3.几何概率的特点： （1）试验的结果是无限不可数的； （2）每个结果的出现时等可能性的. 5.几何概率模型中，事件A的概率的计算公式是：
()APA构成事件的区域的长度(面积或体积)试验的全部结果构成的长度(面积或体积)
6.均匀随机数及其产生 均匀随机数：就是在一定能范围内随机产生的书，并且在这个范围内得到的每一个数的机会相等.由于计算机具有高速度和大容量的特点.我们往往用计算机模拟那些庞大而复杂的试验，称为随机模拟或数字模拟. 均匀随机数的产生方法：
（1）用函数型计算器产生均匀随机数的方法：按一次和键，产生一个0～1上的均匀随机数；若需要多个，则要重复按键； （2）用计算机产生均匀随机数的方法：每调用一次()rand函数，就产生一个[0,1]上的均
匀随机数；若要产生a～b上的均匀随机数，就是用变换()()randbaa即可. 7.复杂事件的古典概率模型 对于求解较复杂的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的办法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，活着先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 8.常见的几种几何概型的概率求法： （1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l上的概率为
lPL的长度的长度
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，点落在区域g上的概 高二数学班讲义 2 率为gPG的面积的面积 （3）设空间区域v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，点落在区域v上的概率为vPV的体积的体积
【典型例题】 例1在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求： （1）恰有一件次品的概率； （2）至少有一件次品的概率.
例2某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别是0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （1）求这名同学得300分的概率； （2）求这名同学至少得300分的概率.
例3设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中任意一间去住()nN.求下列事件的概率： （1）指定的n个房间内各有一个人住；（2）恰好有n个房间，其中各住一个人；
（3）某指定的一个房间中恰有m个人()mn. 高二数学班讲义
3 例4甲、乙二人约定在点到点之间在某地见面，先到者等一个小时后若未等到后来者即可离去，设二人在这段时间内的各时刻到达时等可能的，且二人之间互不影响.求二人能会面的概率.
例5广告法对插播广告时间有规定.某人对某台的电视节目作了时间的统计后得出结论：他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率为910，求该台每小时约有几分钟广告？
例6已知关于x的一元二次函数2()41fxaxbx. （1）设集合1,2,3P，1,1,2,3,4Q，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数()yfx在区间[1,)上是增函数的概率；
（2）设点(,)ab是区域8000xyxy内的随机点，求函数()yfx在区间[1,)上是增函数的概率. 高二数学班讲义
4 【课堂练习】 1.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）.
A. 3040 B. 1240 C. 1230 D.以上都不对 2.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰好为合格的铁钉的概率是（ ）.
A. 15 B. 14 C. 45 D. 110 3.如图所示，abcd、、、是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率是（ ）.
A. 1 B. 12 C. 14 D. 0 4.从三棱锥的六条棱中任意选取两条，则这两条棱所在直线是一对异面直线的概率是（ ）.
A. 120 B. 115 C. 15 D. 16 5.设ab、分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程20xaxb有两个不等实根的概率是（ ）.
A. 23 B. 13 C. 12 D. 512 6.在区间[1,1]上随机抽取一个数x，cos2x的值介于0到12之间的概率为（ ）. A. 13 B. 2 C. 12 D. 23 7. ABCD为长方形，2AB，1BC，O为AB的中点，在长方形ABCD中随机抽取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）.
A. 4 B. 14 C. 8 D. 18 8.从长度分别为的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段作为边可组成的钝角三角形的个数为m，则mn为（ ）.
A. 110 B. 15 C. 310 D. 25 9.在面积为S的ABC内部任取一点P，则PBC的面积大于2S的概率是（ ）. A. 14 B. 12 C. 34 D. 23 10.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率是（ ）.
A. 16 B. 15 C. 13 D. 25
11.若连续掷两次骰子得到的点数mn、分别作为点的P坐标，则点P落在圆2225xy 高二数学班讲义 5 外的概率是（ ）. A. 536 B. 712 C. 512 D. 13 12.将一根长为6米的绳子剪成两段，则两断绳子的长度都大于2米的概率是（ ）.
A. 13 B. 23 C. 12 D. 22 13.先后抛投两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456、、、、、），骰子朝上的面的点数分别为XY、，则2log1XY的概率为（ ）.
A. 16 B. 536 C. 112 D. 12 14.已知kZ，(,1)ABk，(2,4)AC，若10AB，则ABC是直角三角形的概率为（ ）. A. 17 B. 27 C. 37 D. 47
15.在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投入一点，则落入E中的概率为 . 16.将两枚骰子各抛掷一次，则事件“两数之和大于4”的概率为 . 17.将两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的概率是多少？
18.同时抛掷4枚均匀硬币，求： （1）恰有2枚“正面向上”的概率； （2）至少有2枚“正面向上”的概率. 高二数学班讲义
6 19.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次投出的点数记为b，给定方程组322axbyxy.（1）试求方程组只有一解的概率；
（2）求方程组只有正数解(0,0)xy的概率.
20.已知函数2()2fxaxbxa，（,abR）. （1）若a从集合1,2,3,4中任取一个元素，b从集合0,1,2,3中任取一个元素，求方程()0fx恰有两个不同的实根的概率；
（2）若b从区间(0,2)中任取一个数，a从区间(0,3)任取一个数，求方程()0fx没有实 根的概率. 高二数学班讲义
7 21.假设你家里订了一份报纸，送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，问你父亲在离开家前得到报纸的概率是多少？
【课后作业】 1.抛两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率为（ ）.
A. 111 B. 19 C. 536 D. 16
2.从1,2,9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率为（ ）. A. 59 B. 49 C. 1121 D. 1021 3.如图所示，在一个边长为ab、(0)ab的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为3a与2a，高为b.向矩形内随机投一点，则该点落在梯形内的概率是（ ）.
A. 710 B. 57 C. 512 D. 58 4.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）.
A. 2140 B. 1740 C. 310 D. 7120
5.在区间(0,1)中随机抽取两个数，求下列事件的概率： （1）两个数中较小的小于12；（2）两数之和小于32.
1.3古典概型与几何概型
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
D N D 种, k n k D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
19
2005
. (1) 设事件 A1 为“恰有一 练习1 将一枚硬币抛掷三次 次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
S {HH, HT, TT}
他计算得
P( A) 1 3
3
这不是 等可能概型！
2005
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
袋中有 a 只白球， b只红球. 从袋中任取 n 只球， 求取到 k ( min(n, a) ) 只白球的概率. 从 a b 只球中任取 n 只，样本点总数为
nk k C C 取到 k 只白球的有利场合数为 a b
概率非常小的事件，称为小概率事件
小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的.
下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作
出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。
例：某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知
所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的? 〖解〗若接待时间没有规定,且来 抽象:模型化 人=“球”
1.3古典概型与几何概型
n! = n(n − 1)L(n − m + 1) (n − m)!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组合： 个不同元素中任取m个组成一组 组合：从n个不同元素中任取 个组成一组 其不同的 个不同元素中任取 个组成一组,
m Pn n(n −1)L(n − m + 1) n! 组合 数为 C = = = m! m! m!(n-m)! m n
概率统计（ZYH）
袋内有a个白球与 个黑球, 每次从袋中任取一 个白球与b个黑球 例3 袋内有 个白球与 个黑球 每次从袋中任取一 个 取出的球不再放回去, 个球, 求第k次 球, 取出的球不再放回去 接连取 k (k≤a+b) 个球 求第 次 取得的是白球的概率. 取得的是白球的概率
Pak+ b , 第 k 个球 这时取球是有顺序的, 解 这时取球是有顺序的 样本点总数为
L 解 P ( A) = n( n − 1)n 2 ⋅ 1 = n!n N C n ⋅ n! P( B) = N n N N
1 2 3Ln
抓人分房 N n
C m ( N − 1) n− m P (C ) = n Nn
概率统计（ZYH）
1
2
···
N
二、几何概型
回忆1.1节的试验， 共同特性是 回忆 节的试验，E7, E8 的共同特性是： 节的试验 按测度的有限性）试验的样本空间Ω中是可测的 中是可测的, ① （ 按测度的有限性 ） 试验的样本空间 中是可测的 且测度m(Ω)有限： 0 < m(Ω ) < +∞ 有限： 且测度 有限 按测度等可能性） ② （ 按测度等可能性 ） 同测度的事件发生的可能性相 同, 即 若 m ( A ) = m ( B ), 则 P ( A ) = P ( B ) 具有以上两个特性的试验大量存在. 具有以上两个特性的试验大量存在 我们把满足上述两个 特性的试验称为按测度等可能试验 这种试验在概率论发展 特性的试验称为按测度等可能试验. 按测度等可能试验 史上也是主要的研究对象, 由于它与试验的几何特征有关， 史上也是主要的研究对象 由于它与试验的几何特征有关， 故被称为几何概型 几何概型. 故被称为几何概型
1.3_古典概型与几何概型
种取法.
摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从 袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球}, 基本事件总数为 6×5 A 所包含基本事件的个数为 4 × 3 4×3 2 故 P( A) = = . 6×5 5
5 8 1 4 6 9 3 10 7
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中事件概率的计算
摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=?
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 某城市每周发生7次车祸， 某城市每周发生 次车祸，假设每天发生 次车ห้องสมุดไป่ตู้ 车祸的概率相同. 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 的概率 车祸 天
几何概型 (等可能概型的推广)
如果一个随机试验的样本空间 Ω 是一个大小 可以度量的几何区域。向区域内任意投一点， 落在区域内任意点处都是“等可能的”，则 称这类随机试验为几何概型。
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个人， 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 个人 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 率为 求这 个人的生日互不相 同的概率. 同的概率 人 任一天
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个旅客， 个车站 有n个旅客，乘火车途经 个车站，设每 个旅客 乘火车途经N个车 个人在每站下车的概率为1/ 个人在每站下车的概率为 N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率 定的 个站各有一人下车的概率. 个站各有一人下车的概率 旅客 车站
几何概型与古典概型的区别
1 1 C．1－ π
2 D. π
求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事 件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两
个变量，把变量看成点的坐标，找到实验全部结果构
成的平面图形，以便求解．
3．如图所示，边长为 2 的正方形中有一封 闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随 机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概 2 率为 ，则阴影区域的面积为 ( ) 3 4 8 2 A. B. C. D．无法计算 3 3 3
古典概率 与几何概率的区别
[归纳· 知识整合]
1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何 __________________ 概率模型，简称几何概型． [探究] 1.几何概型有什么特点？ 提示：几何概型的特点： ①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限个．
y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域 U 内 随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________．
(2)(2012· 湖北高考)如图所示，在圆心角 为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为 直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一 点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )
求解与长度有关的几何概型的两点注意
(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度 之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题 中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应
特别注意准确表示所确定的线段的长度．
与面积(体积)有关的几何概型
[例 2] (1)已知平面区域 U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
古典概型与几何概型3
概率(古典概型与几何概型)【教学目标】1.了解随机事件的含义，了解频率与概率的区别．2.理解古典概型，掌握其概率计算公式，会求一些随机事件发生的概率．3.了解几何概型的意义及其概率的计算方法，会计算简单几何概型的概率． 【教学重点】对概率含义的正确理解及其在实际中的应用；古典概型与几何概型 【教学难点】无限过渡到有限，实际背景转化为长度、面积、体积等的问题 【知识点梳理】〔1〕必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。
〔2〕不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件． 〔3〕随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.〔1〕随机事件A 的概率：1)(0≤≤A P . 〔2〕必然事件的概率为1. 〔3〕不可能事件的概率为0.〔4〕如果事件A 与事件B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=⋃.〔5〕如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么1)()()(=+=⋃B P A P B A P ，即)(1)(B P A P -=.〔1〕特点：有限性，等可能性. 〔2〕概率公式：基本事件总数中所含的事件基本数A A P =)(.〔1〕特点：无限性，等可能性. 〔2〕概率公式：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(.古典概型题型一 随机事件及概率例1 某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两个同时在地铁第1号车站(首车站)乘车。
假设每人自第2号车站开场，在每个车站下车是等可能的。
约定用有序数对),(y x 表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车〞。
〔1〕用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来； 〔2〕求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率； 〔3〕求甲、乙两人同在第4号车站下车的概率．变式1 同时掷两颗骰子一次〔1〕“点数之和是13〞是什么事件？其概率是多少？〔2〕“点数之和在2～13范围之内〞是什么事件？其概率是多少？ 〔3〕“点数之和是7〞是什么事件？其概率是多少？题型二 互斥事件与对立事件例题1：每一万张有奖明信片中，有一等奖5张，二等奖10张，三等奖100张。
古典概型和几何概型
… 区 域应满足｛ 满足 ｙ ＋ ｚ ＞ ｘ ， 则 Ｐ ㈣ （ Ｄ ） ： ＝
１ ０ 一 ３ ×— １
—
： ＝
》例 ２ （ １ ） 在［ ０ ， １ Ｏ ］ 中任 取
一
个 整数 。 求 它与２ 的和小于５ 的概率 ； （ ２ ） 在［ ０ ， １ ０ ］ 中任 取 一 个 数 ， 求
的基本事件的个数ｍ； ③计算 事件
的概 率Ｐ（ Ａ） ＝ ．
凡
（ ２ ） 对 古 典 概 型 的概 率 问题 ． 要 会用枚举法 ， 借 助 表格 、 树 形 图等 写 出所 有 的基 本 事 件 和所 求事 件 包含 的基 本 事 件． 求 古 典 概 型 的 一 般 方 法 和 步 骤
Ｃ ” 为 事件
射 线Ｃ Ｍ在 ＡＣ Ｂ内等 可能 分 布 ，
（ ４ ） 在［ ０ ， １ ０ ］ 中随机取三个数 ， 求 使 得 任 意 两 数 之 和 大 于第 三 个 数
的概 率．
ｘ ＋ ￣ －１ ２
但 当射 线扫 过 相 同的 角度 时 ，在 线 段Ａ Ｂ上 所 截 取 的 线 段 长 是 不 相 等 的， 破 坏 了等 可 能性 ， 而在 圆弧ＡＢ上 截 取 的 圆弧 是 相 等 的 ． 因此 此 时 区
等可能的， 所 以 区域 Ｄ为线 段ＡＢ． 测 度 为 线段ＡＢ的 长 ； 在 线 段Ａ Ｂ上 截 取
ＡＣ Ｃ． 当点 落在 线段ＡＣ 内时 ．
的 长．
事件Ａ发 生 ， 区域ｄ 的 测 度 为 线段 Ｃ
２ ８
Ｃ
ｄ 的测 度
ＤＣ Ｊ 测度
Ｓ △ Ａ ｃ ｃ ，、 ／
● 呶 丽
，砒 恩 以 凇
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
1.3古典概型、几何概型
P(
A)
=
m( A) m( S )
几何概率显然满足：
（1）对任何事件 A，P( A) ³ 0；
（2）P( S) = 1;
（3）若事件 A1, A2,L , An,L 两两互不相容，则
+?
?
( ) P( U n=1
An )
=
?P
n=1
An
古典概型、几何概型
例 5（约会问题）甲乙二人相约在 0 到T 这段时间内，在预定地 点会面.到达时刻是等可能的，先到的人等候另一人，经过时间
（1）有放回抽样；（2）无放回抽样两种情形下，
第k (k = 1, 2,L , m + n) 次取到红球的概率.
解 设事件 A表示第k次取到红球，
（1）有放回抽样： P( A) = m . m+n
（2）无放回抽样：
P( A)
=
m×Amm++nn--11 Am+n
m+n
=
m(m+ n - 1)! (m+ n)!
概率论与数理统计
Probability and Statistics
— 概率论与数理统计教学组—
第1章 随机事件及其概率
1.3 古典概型、几何概型
学习 要点
古典概型 古典概型的概率计算方法 几何概型 几何概型的概率计算方法
古典概型、几何概型
一、古典概型的引入
掷一颗骰子，问“出现偶数点”“点数大于 4”的概率分别是
针与最近的一条平行线相交的充分必要条件是 x £ l sinq .
l
2a
x •
M
古典概型、几何概型
例 6（比丰投针问题）在平面上画有等距离的平行线，平行线间
古典概型与几何概型
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
中任取两个元素a,b,且a·b≠0,则方程
双曲线的概率为
.
������2 ������2
+
������������22=1表示焦点在x轴上的
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D
4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概
率是
.
关闭
将四封不同的信随机放入 4 个不同的信封中,每个信封至少有一封
信的放法有A44=24 种,其中信 a 放入 A 中的结果有A33=6 种,故“信 a
;a⊥b的
概率为
.
关闭
由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31 ·C31=9 个.
设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3),故 a∥b
的概率为 P(A)=1;
9
设“a⊥b”为事件 B,则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),故 a
⊥1 b
.
关闭
设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角
边长为√2R,则所求事件的概率为
1
P=������������阴 圆