2007年高中总复习第一轮数学 第三章 3.3 等比数列
3.3 等比数列-2013届高考文科数学第一轮考点总复习PPT课件
______________an_2=_a_n_-1_·a_n.+1,n≥2,n∈N*
▪
2.等比中项法aa:1n② q n -1 , n∈N*
________________________.
▪
3.通项公式法：a③1·qn-1，n∈N*
_________________. qn-m
▪ 2020年10月二2日 、等比数列的通项公式
n
n na-a11(111(-q-qqn
1)
n) (+q 1
1
)
;
na1(q
a1 - anq
1 - q
1) (q
; 1)
③
n∈N*;④ a c
a
aq ,a
▪ 2020年aq 101月·2q日 n-1,n∈3N*q ;⑤qn-m;⑥
⑦6
c
2020年10月2日
7
2020年10月2日
8
▪
2.已知等比数列{an}的公比
▪
1. 已知等比数列{an}
中,a1+an=66,a2an-1=128,
▪ ▪
Sn=aa111 2ana解6n1，26:86因,求为项{数anaa}n1n 是和 26 等4公比比数q 的aa 1列n 值6,2 所4 .. 以
a ·a =a ·a ， 1 n 2020年10月2日
2 n-1
11
▪
由Sn
▪
即 ［ (2-p)2n+(3-p)3n ］ 2= ［ (2-
p)2n+1+(31-p)3n+1］·［(2-p)2n-1+(3-p)3n1］， 6
▪
整理得 (2c-np1 )- (p3cn-pq)·2n·3n=0，解
2022届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：3.3等比数列(第2课时)
8
第八页，编辑于星期二：二十点 四十分。
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即 an－an－1＝n－4(n≥2)， 故 an－an－1＝n－4， an－1－an－2＝(n－1)－4， … a3－a2＝3－4， a2－a1＝2－4， 以上各式左右分别相加得 an－a1＝[2＋3＋…＋(n－1)＋n]－4(n－1) ＝nn＋2 1－1－4n＋4. 所以 an＝12(n2－7n＋18)(n≥2)．
所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).
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又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn.① 由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2， 解得a2=5，那么b1=a2-2a1=3.② 由①和②知， 数列{bn}是首项为3， 公比为2的等比数列， 故bn=3·2n-1.
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题型5：等比数列中的探究性问题 3. 数列{an}中，Sn是其前n项和，并且 Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1. (1)设数列bn=an+1-2an(n=1,2,…)， 求证：数列{bn}是等比数列；
(1)证明：由Sn+1=4an+2， Sn+2=4an+1+2，
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题型4：等比数列与等差数列交汇
2.设数列{an}，{bn}满足 a1＝b1＝6， a2 ＝ b2 ＝ 4 ， a3 ＝ b3 ＝ 3 ， 且 数 列 {an ＋ 1 － an}(n∈N*)是等差数列，{bn－2}是等比数 列，求{an}和{bn}的通项公式．
2012年高考第一轮复习数学3.3等比数列
3.3 等比数列●知识梳理 1.定义数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：a n =a 1q n －1，推广形式：a n =a m q n －m .变式：q =mn mna a -（n 、m ∈N *）. 3.前n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q qa a q q a q na n n 或注：q ≠1时，m n S S =mnq q --11.4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3qa、qa、aq 、aq 3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数；（2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . ●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215- B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin 251-解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B2.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n ＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .答案：2n －2n ●典例剖析【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n . 剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a 2和q 来表示其他的量好解吗？该题的{a n }若成等差数列呢？【例2】 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a n k 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.【例3】 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列， ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得 a n +1=1+⋅n n b b .③∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n .∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致. 特别提示1.{a n }为等比数列是a n +12=a n ·a n +2的充分但不必要条件.2.若证{a n }不是等比数列，只需证a k 2≠a k －1a k +1（k 为常数，k ∈N ，且k ≥2）. ●闯关训练 夯实基础1.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8 B.S 8a 9＜S 9a 8 C.S 8a 9=S 9a 8D.不确定 解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8=－q q a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7=q a q q q a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：A2.银行一年定期的年利率为r ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］ C.（1+r ）3－1D.r解析：由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］. 答案：B3.（2003年上海，8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.解析：由题意知q q a n --1)1(1＜qa-11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数） 4.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =___________________.解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即n n a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n 1. 答案：n15.定义一种运算“*”对于任意非零自然数n 满足以下运算性质： （1）1*1=1； （2）（n +1）*1=3（n *1）. 试求n *1关于n 的代数式. 解：“n *1”是一个整体，联想数列通项形式，设n *1=a n ，则a 1=1，a n +1=3a n ，得a n =3n－1，即n *1=3n －1.6.等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ，∴q ＞1.则最大项是a n =a 1q n －1（∵a n ＞0）. ①又S n =qq a n --1)1(1=80，②S 2n =qq a n --1)1(21=6560，③由①②③解得a 1=2，q =3，则（1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1. 培养能力7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.（1）证明：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21.又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即n n c c 1+=21，故数列{c n }是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21， ∴c n =－n 21，a n =c n +1=1－n 21，a n －1=1－121-n .故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n 21=n 21.又b 1=a 1=21，即b n =n 21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n q q q b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nq b n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列.必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1.若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ， 则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d 为常数. ∴｛b n ｝为等比数列. 探究创新9.有点难度哟！设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列；（2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n .（1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. ●思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明1-n na a （n ≥2）为常数； （2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. ●教师下载中心 教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”；（2）分类讨论的思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列，当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.3.转化为“基本量”是解决问题的基本方法. 拓展题例【例1】 数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 解：由a n =21a n －1+1，得a n －2=21（a n －1－2）. 令b n =a n －2，则b n －1=a n －1－2，∴有b n =21b n －1.∴b n =21b n －1=21·21b n －2=21·21·21b n －3 =…=b 1=（21）n －1·b 1. ∵a 1=1，∴b 1=a 1－2=－1.∴b n =－（21）n －1.∴a n =2－121 n .【例2】 已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a，…，a n +1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式. 分析：由数列{log 2（a n +1－3n a）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n的一个递推关系式①；由数列{a n +1－2n a}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a n .解：∵数列{log 2（a n +1－3n a）}是公差为－1的等差数列，∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）.①又∵数列{a n +1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n +1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n +1）.于是有a n +1－21a n =3－（n +1）.②由①－②可得61a n =2－（n +1）－3－（n +1）， ∴a n =n 23－n 32.。
高三数学总复习优秀ppt课件(第33讲)等比数列(46页)
an bn
是等比数列吗？
是
（2）已知数列an,数列{ bn }是项数相同的等比数
列，那么数列an bn是等比数列吗？ 不一定
an bn (n≥ 2)? an1 bn1
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！ （2）基本策略：作商！ aann1（n≥2）为常数. （3）思维误区：作商时不考虑等比数列的特征． （4）解题策略：注重整体思想的应用．
聚焦重点：知三求二的策略
基础知识
1．等比数列的通项公式
如果等比数列an的首项是a1，公比是 q，则等比
数列的通项公式为 an a1qn1.
2．等比数列的前n项和公式
当q=1时， Sn na1
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
问题研究
对于等比数列{an}中的a1，q，n，an，Sn，如 何由其中已知的三个量求出其余两个量？
是以
1 2
为公比的等比数列，{an}的前
n
项和为
Sn，
试问：S1，S2，S3…，Sn，…能否构成等比数列？
为什么？
1．14 2．2n－1
参考答案
3. 当 n=1 时，S1=a1=1．
当
n≥2
时，an=a2qn-2=-
1 2
(
1 2
)n-2=-(
1 2
)n-1．
1 (n 1),
∴an=
(
1 2
)n1
= 3n－3n-1=3 3n1 3n1=2·3n-1．
纵上，an
1 (n 1),
2
3n1(n
≥
2).
可知a1=1，a2=6，a3=18． ∵a22≠a1 a3，
高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_同步练习g3.1023等差数学列和等比数列(2).
同步练习 g3.1023等差数列和等比数列（2）1. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果14231812a a a a +=+=，则这个等比数列前8项的和为 A.513 B.512 C.510 D.2258 2. 若数列{}n a 的前n 项和为S ｎ＝3n +a ，若数列{}n a 为等比数列，则实数a 的取值是A 、3B 、 1C 、 0D 、-13、 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 484、等比数列}{n a 中，已知5,1087654321-=+++=+++a a a a a a a a ，则数列}{n a 的前16项和S 16为A ．－50B ．425C ．4125D ．425- 5．在等差数列{a n }中，已知a 4+ a 7+ a 10 = 17，a 4+ a 5 + a 6+ ┄ + a 14 = 77, 若a k =13，则k 等于A. 16B. 18C. 20D. 226.已知数列 {}n a 的前n 项和）（40-=n n S n ，则下列判断正确的是： A.0,02119<>a a B. 0,02120<>a a C. 0,02119><a a D. 0,02019><a a7、已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是 （A ）1415 （B ）1312 （C ）1613 （D ）16158. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和。
若{}n S 是等差数列，则q = 。
9. 已知数列{}n a 是非零等差数列，又1a 、3a 、9a 组成一个等比数列的前三项，则1392410a a a a a a ++=++ . 10. 若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,θθθ前100项之和为0，则θ= 。
2020届高三数学第一轮总复习 3.3 等比数列课件(3) 精品
3
333
(2)当n为偶数时，
an-1)
Sn (a1 a3 an-1) (a2 a4
n
n
1- 42 4(1- 42 ) 1- 4 1- 4
5 2n - 5 5 (2n -1). 3 33
an )
1. 对于组合数型的数列求和常用倒序相
加法，注意应用恒等式：Cn0 Cn1 Cnn 2n. 2. 在求Sn的过程中，先从n为偶数入手，
13 31 18k - 5 k(9k 4) ,
22
2
2
S3k -1
S3k
- a3k
k(4 - 9k) , 2
k(4 - 9k) (3k -1)2 1
3k - 2 1
S3k-2 S3k-1 - a3k-1
2
-k -
-,
22
36
故
Sn
n 3
-
1 6
(n
3k
-
2)
(n
1)(16
3n)
nCn0 (n -1)Cn1 (n - 2)Cn2 ② 2Cnn-2 Cnn-1,
①+②得 2Sn nCn0 nCn1 nCnn
n(Cn0 Cn1 Cnn ) n 2n ,
所以 Sn n 2n-1.
点评：运用倒序相加法的主要依据是和式
中两项为一组的和相等.本题用倒序相加法的背
拓展练习数列{an}的通项an=
n2 (cos2
n
3
- sin2
n
3
)，
其前n项和为Sn.求：
(1)a3k-2+a3k-1+a3k(k∈N*);
(2)求Sn;
(解3)：bn(=1n)S由34nn于，cos求2 n数-si列n2 n{bn}c的os 2前n n, 项和Tn.
高中数学第一轮总复习 第3章第17讲数列的概念课件 文
4.已 知 一 个 数 列 的 前 几 项 为 ： 1,1,34, , 2 28 16
则 它 的 一 个 通 项 公 式 为 a_n_＝__(－ __1_)_n_ ＋_ 1_2n_n___ 【解析】由前几项1,1,3 4, ,得
2 2 8 16
an＝(－1)n＋1
数列的概念及通项公式
【例1】 写出下列各数列的一个通项公式：
1 1 ，1 ， 1，1 ， 1 ，
2 4 8 16 32
23,33,333,3333,33333，.
【 解 析 】(1)an
( 1) n
1 2n
；
2
a
＝
n
1
0
n 3
1
已知数列的前几项，写出数列的通项公式， 主要从以下几个方面来考虑：
bn＝ aann 1， 则 数 列 bn的 前 4项 之 积 为 ____8 __
【解析】逐个求得b1＝12，b2＝23，b3＝53， b4＝85，所以积为81.
3.已知数列an满足a1＝0，an＋1＝an3an 31
(nN*)，则a20等于____-___3 ______
【解析】因为a1＝0，a2＝－ 3，a3＝ 3， a4＝0，a5＝－ 3，a6＝ 3， 所以此数列的周期为3，
n 2n
5.已知函数 f(x)＝x2－5x＋6(x∈N*)，则函数 f(x)的最 小值为 0 .
【解析】由 f(x)＝(x－25)2－14可知当 x＝2 或 x＝3 时 取得最小值为 0.
数列的概念命题以填空题居多，主要从四个 方面考查：一是理解数列的定义及分类，能用函 数的观点认识数列；二是会用通项公式写出数列 的任意项，也要会根据给出数列的前几项归纳出 数列的一个通项公式；三是会根据递推公式写出 数列的前几项，并归纳出数列的通项公式；四是 会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式．值 得注意的是，数列与函数、不等式结合的题目在 近几年的高考试卷中频频出现．
新高考数学通用版总复习一轮课件专题三数列
因为
cn
＋
1
－
cn
＝
(n
＋
2)
1 2
n
－
(n
＋
1)
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
n
－
1
＝
1 2
n
－
1×
n＋2 2－n－1＝－n212n－1<0，
所以当 n＝1 时，cn 取得最大值 c1＝2. 因为 cn≤x2－2x－1 对于一切的正整数 n 恒成立， 所以 2≤x2－2x－1.
专题三 数列
高考在本章一般命制 2 道小题或者 1 道解答题，分值占 10～ 12 分.高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算， 等差、等比数列的性质，数列的递推式等为主.解答题一般考查 求数列的通项公式，等差、等比数列的证明，错位相减法、裂
项相消法、公式法求和等.其中裂项相消法常与不等式相结合. 数列是历年高考的热点，对近几年高考试题统计看，全国
[例 3]若数列{an}是公差为 2 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝2，且 anbn＋bn＝nbn＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足 cn＝abn＋n＋11，数列{cn}的前 n 项和为 Tn， 若不等式(－1)nλ<Tn＋2nn－1对一切 n∈N*恒成立，求实数 λ 的取 值范围.
【规律方法】探索性问题的类型及解法 (1)条件探索性问题：一般采用分析法，从结论或部分条件 入手，执果索因，导出所需条件，注意这类问题往往要求的是 问题的充分条件，不一定是充要条件. (2)存在性探索问题：一般假定存在，在这个前提下推理， 若由此推出矛盾，则否定假设，否则给出肯定结论. (3)结论探索性问题，由给定的已知条件进行猜想透彻分 析，发现规律，获取结论.
高三数学一轮复习必备精品29：等比数列备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】
第 29 讲等比数列备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】一．【课标要求】1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等比数列与指数函数的关系二．【命题走向】等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。
客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具预测 2010 年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2 道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力三．【要点精讲】1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这．．．．．．个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示 ( q 0) ，即：a n 1： a n q ( q1 0) 数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。
2（注意：“从第二项起” 、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：a n a1q n 1( a1q0 ) 。
说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d 1 时该数列既是等比数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若a m m n { a n } 为等比数列，则q。
a n3．等比中项如果在 a与 b 中间插入一个数G ，使a , G , b成等比数列，那么 G 叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4．等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列 a1 , a2 , a3 ,, a n ,的前 n 项和是S n a1 a 2a3a n，当 q1a 1 (1 q n )a1 a n q；当 q=1 时，S n na 1（错位相减法）。
高三第一轮复习---等-比-数-列
3．设元技巧: 三数成等比数列:
a 2 ， a， aq或 a， aq，aq q
四数成等比数列
a a 3 2 3 ， ， aq ， aq 或 a ， aq ， aq ， aq 3 q q
1 求公比 q . ana ，求 n . 求 . 1 2
1 已知 a a 36 ， a a 18 ， 3 6 4 7 2 已知q a2 a8 36 ， a3 15(1 a7 15， 3 2， S 2)，
中项： 若a、b、c成等比数列，则b为a与c 的等比中项（或几何中项）。 此时： b2=a· c
即： b ac
简单性质
1 m n p q, 则am an ap aq
(2) S n , S 2n S n , S3n S 2n ,
组成公比为
q
n
的等比数列 。
n
Sn A q A 数列an 是等比数列
2．解决等比数列问题的常见思维方法
1、方程的思想：在5个量a1，q，n，an，
Sn中，知道其中3个求另外两个。
（2）分类的思想： ①运用等比数列的求和公式时,需要对 q=1或q≠1分类讨论；
②当a1>0且q>1，或a1<0且0<q<1时， 数列递增；当a1<0且q>1，或a1>0且 0<q<1时，数列递减；当q<0时，数 列是摆动数列。
作业
《名师伴你行》一轮复习闯关大试卷 第17练：A卷必做，B卷选做。
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有着能比神技般の威力了?这简直是天大の喜事啊,照这个速度修炼下去,只要再给白重炙十多年の时间,一旦他迈入帝王境,估计都有可能威胁到圣人境练家子了,这样变taiの修炼速度,这样变taiの技能,他都不知该怎么形容了,只能说太逆天了… "族长,这小子好好培养,说不 定将来…会突破天神境也说不定,白家将有可能恢复古神时代の荣耀了！"夜白虎暗叹一阵,突然眼睛一亮,和夜天龙说道. 夜天龙眼睛光芒闪耀,眼中尽是喜色："这个现在不好说,突破天神境の难度你也不是不知道,不过我知道,这小子好好培养最少能带领白家荣耀数百年！" "恩,恩！我预测白家の辉煌将会在这小子身体上诞生,这小子秘密太多了,将来成就不可限量啊！"夜白虎一阵唏嘘,想到发生在白重炙身体上の种种,当年他还担心白重炙那么低得实力,是否在幽冥岛会受伤,没想到转眼一年,这小子居然在幽冥岛无敌了. 心里细细盘算,等着小 子回到白家自己要好好询问一翻,不然他却突然想起早上接到の一个消息,不禁有些担忧の说道："族长,今天早上接到消息,龙城の传送阵坏了,估计要两三个月才能修好,你说是不是有人故意破坏の?" "传送阵被破坏了?"夜天龙眉头微微皱起,细细消化这一消息,不料片刻之后 他突然叫了起来："不好,这里面估计会有问题,传送阵怎么会坏得那么恰巧?十多年都没坏过了,现在小寒子刚准备回来就坏了?" 夜天龙和夜白虎相互对视一眼,都似乎绝对有些不对,片刻之后夜天龙似乎想到了什么,脸色突然阴沉下来,怒喝起来："不对,按照白重炙の心态,他 得知我获得了灵神丹绝对不会等几个月,怕是现在已经上路了,赶回雾霭城了.不行,白虎你迅速带人去保护他回来." 神城直路赶回雾霭城,最快速度の话也要一个月时间,最重要の如果他们要直线赶路回来の话,必须路过一个三不管の地方,大陆三大绝地之一の落神山.夜刀当 年就是在落神山被妖族阻杀の,想到此处,夜白虎脸色也接连数变,没有多言,迅速转身准备下山去召集人. "不,你在家坐镇,我亲自带人去！"夜天龙来回走动几步,突然喝道.然后身形猛然朝外掠去,同时一声大吼,将整个白家震动起来. "所以长老,在刑堂集合！" 夜天龙の一 声大吼,惊动了白家所以の人,夜枪收起了他那把长枪,秀气の脸上竟然惊愕,然后把长枪往身后一ha,迅速朝刑堂跑去. 夜天青放下了手中の书籍,夜天行放下了手中の茶杯,夜…几十名长老在第一时间赶到了刑堂门口,相互对视,面面相觑,不知夜天龙为何发怒,而且将众人聚集 在刑堂…然后又有长老触犯了夜天龙の龙威,一年前の夜剑事件要再次重演? "咻！"夜天龙化作一道黑影笔直从白家后山飞了过来,然后看了一眼场中の长老,迅速点名了："夜枪,夜天行,夜泉…你们跟我走,其余人坐镇白家,所有事情听从夜白虎の安排,走！" 不一会儿,白家 一道道黑影凭空而起,然后迅速朝西北方飞去.将下面の雾霭城子民惊得一惊一乍の,不明白发生了什么事,白家居然出动了这么多强者?然道准备去屠迷雾森林内の圣智青龙吗? …… 白重炙の确已经出了神城,在第三日再次接到神城传递过来の消息说,龙城那边の传送阵还须 两三个月才能修好之后,白重炙找到了夜青牛,提出要直接赶路回去の要求. 神城地处三府中央,如果白重炙直线赶路回去の,而起快速前行の话,只需五天就可以进入破仙府区域,然后在赶路半个多月便可以直接到雾霭城. 当然,如果是夜青牛直接带白重炙飞回去の话,或许只 要七八天就够了.只是一听白重炙要回去,夜轻舞也连忙闹着要回去,而白重炙回去,月倾城肯定是少不了要跟着去白家,看着白重炙救醒夜轻语,然后就可以和白重炙成婚了,白重炙月倾城夜轻舞都回去了,风紫和花草也呆着没味道了,月倾城府战可答应要给他们一人几个静湖女 子,他们当然也要闹着回去. 帝王境都可以御空飞行,众位长老当然也能飞行,本来白重炙想说要夜青牛以及众位长老带着大家一同飞回雾霭城の.只是夜青牛马上否决了他这个幼稚の想法.夜青牛圣人境当然带个人飞行没有半点问题.而众长老带人也没问题,有问题の是众位公 子女主.要知道在空中快速飞行の话,将会受到强烈の空气压力,他们这样の境界根本不能长时间承受.帝王境强者可以凭借自己の战气护体,但是却不能护住他所带の人.而如果飞の慢得话,那还不如坐马车回去了. 于是乎,众人一阵商议,决定有夜青牛带队,几大世家和龙城の 长老一同守护,先护送这几位公子女主一同去雾霭城,救醒白重炙の妹妹,然后在一同汇集个世家の族长共同商议雪家の事情. 至于夜十三和个世家の精英子弟,则让他们跟在后面慢慢赶回破仙府. 府战结束第四天,神城便行驶出六七辆超级豪华快速の马车,直奔破仙府而去. 马车内,夜青牛看着白重炙和夜轻舞,满是笑容,望了望外面,开始为他们介绍起附近の地形起来："小寒子,再过一天,我们就会到达大量第一绝地落神山了,这可是大陆所有宝器圣器诞生之地,据说里面还有神器,只是没有人能够得到,额…落神山,五年之后会再次开启天路,如果 到时候你实力达到帝王境の话,我可以让你进去涨涨见识,顺便寻寻宝物…" 当前 第壹柒叁章 壹６４章 落神山 "落神山?" 白重炙正盘坐在马车上,半眯着眼睛假装着睡觉.其实主要是因为和夜轻舞夜青牛同坐一辆马车有些尴尬罢了,偷偷摸摸搞了人家孙女,而去现在三人同 一辆马车,自己干什么都是尴尬啊,索性他除了修炼就是闭目眼神,沉默不语. 此时听到夜青牛居然提到落神山,而且说明日就要路过落神山了.白重炙这才十分惊讶の睁开了眼睛,仔细听他讲解着. 落神山,这地方对于白重炙来说又是熟悉又是陌生.说是熟悉,是因为这个地方当 年父亲就死在了这里,当年夜刀一人独自来闯落神山,结果被妖族四名上阶妖帝联手阻杀,等到白家救援の人赶到の时候,已经奄奄一息了,被救回白家之后,只是留下了几句话便撒手归西了. 所以这地方,他从小就很熟悉,当然对于落神山の具体情况他是一模二黑,完全不懂.此 刻见夜青牛说了起来,他连忙很有兴趣の问了起来："太上长老,为什么落神山会有宝器和圣器?而且居然还有神器?神器有什么特殊之处吗?还有为什么五年之后才能进去哪?" "对啊,爷爷,明天不能带我们进去玩玩吗?我可是听说,落神山可是一位远古巨神の洞府,里面宝物多得 数不清！爷爷,你快快讲讲,我都快闷死了."旁边の夜轻舞也连忙凑热闹起来,这几天她也憋坏了,她爷爷在旁边,她当然不会去喝白重炙多说话,甚至不能表现の过于亲密,所以有些无聊了. "额…索性无事,就给你们讲讲,反正以后你们也要入去寻宝の…落神山其实严格来说不 算是一座山,而是一个连接空间乱流の通道！"夜青牛摸了摸夜轻舞の头,溺爱の笑道,沉思一会,开始为两人讲解起来. "不是一座山?是一个通道?还有什么事空间乱流?"白重炙第一次听到这么新奇の东西,十分感兴趣の问道. "空间乱流,这些东西以后等你迈入帝王境在和你说, 你不用多问,仔细听着就行！而且其中许多问题我也解释不清楚,都是先人流传下来の."夜青牛摇了摇头,没有回答白重炙の问题,而是继续刚才の述说： "很久以前,大概十万年前,有一位非常强大の神,不幸受了很大の伤,他在临时前将毕生の宝物,藏在了一个叫做魂帝阁の地 方.然后他在无数の位面空间乱流中制造了许多小神阁,并且设置了连接通道.这些物质位面の练家子们,在一定の实力范围内则每隔十年可以进去寻宝,如果能侥幸不死,并且获得了小神阁中の最重要の宝物.那么这人如果他日成神之后,将有机会进入魂帝阁寻宝,获得古神の遗 宝！" 望着夜轻舞和白重炙两人宛如听神话故事般の神情,夜青牛嘿嘿一笑,当然他第一次听到这故事の时候,也是这表情.停顿了片刻,让两人消化一阵之后,他又继续说道： "而很
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3.3 等比数列
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.数列{an}从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数的数列叫等比数列,这个常
数叫公比.
2.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1,前n项和公式Sn=.1,1)1(,1,11qqqaqnan
3.若a、b、c成等比数列,则b叫a与c的等比中项且b=±ac.
4.数列{an}是等比数列,m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
二、点击双基
1.(2005江苏高考)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等
于( )
A.33 B.72 C.84 D.189
解析：a1+a2+a3=21a1+a1q+a1q2=21a1(1+q+q2)=21.
∵a1=3,∴1+q+q2=7.
∴q=2或q=-3(舍).
a3+a4+a5=a3(1+q+q2)=a1q2×7=12×7=84.
答案：C
2.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,那么a3·a6·a9·…·a
30
等于( )
A.210 B.220 C.216 D.215
解析:由等比数列的定义，a1·a2·a3=(qa3)3,故a1·a2·a3·…·a30=(1030963qaaaa)3.
又q=2,故a3·a6·a9·…·a30=220.
答案:B
3.(2004全国高考卷，文)已知等比数列{an}中，a3=3,a10=384,则该数列的通项an=_______.
解析:由已知得q7=310aa=128=27,故q=2.∴an=a3·qn-3=3·2n-3.
答案:3·2n-3
4.在等比数列{an}中,若a5-a4=576,a2-a1=9,则前5项和为______________.
解析：由1245aaaa=q3=9576=64,
∴q=4,代入a2-a1=9得a1=3.
∴S5=14)14(35=1 023.
答案:1 023
诱思·实例点拨
【例1】 已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.
剖析:利用等比数列的基本量a1、q,根据条件求出a1和q.
解:设{an}的公比为q,由题意知
,8,721112111qaqaa
qaqaa
解得2,11qa
或.21,41qa
∴an=2n-1或an=23-n.
讲评:转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.
【例2】 已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列:21,kkaa，…，
n
k
a
，恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+…+kn.
剖析:运用等差(比)数列的定义分别求得nka，然后列方程求得kn.
解:设｛an｝的首项为a1，
∵1ka、2ka、3ka成等比数列，
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).
得a1=2d，ｑ=12kkaa=3.
∵nka=a1+(kn-1)d，又nka=a1·3n-1，
∴kn=2·3n-1-1.
∴k1+k2+…+kn=2(1+3+…+3n-1)-n
=2×3131n-n=3n-n-1.
讲评:运用等差(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意:nka是等
差数列中的第kn项，而是等比数列中的第n项.
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn,又有数列{bn},它们满足关系b1=a1,对于n∈N*有
an+Sn=n,bn+1=an+1-an,求证{bn}是等比数列,并求其通项公式.
证明:因为an+Sn=n, ①
所以an-1+Sn-1=(n-1)(n≥2). ②
所以①-②得an-an-1+an=1,
即an=21(an-1+1)(n≥2).
又bn+1=an+1-an=21(an+1)-an=21(1-an),
所以nnbb1=)1(21)1(211nnaa=111)1(211nnaa
=21(n≥2).
由an+Sn=n可得a1+S1=a1+a1=1.
所以a1=21=b1.
所以b2=21(1-a1)= 21·21=b1·21.
故nnbb1=21对于n∈N*均成立,那么数列{bn}是等比数列,其通项bn=b1(21)n-1=n21.
讲评:等比数列的判定方法主要有:
(1)定义法:nnaa1=q(q是不为0的常数,n∈N*){an}是等比数列;
(2)通项公式法:an=cqn(c、q均是不为0的常数,n∈N*){an}是等比数列;
(3)等比中项公式法:an+12=an·an+2(an、an+1、an+2不为零,n∈N*){an}是等比数列.
链接·提示
1.{an}为等比数列是an+12=an·an+2的充分但不必要条件.
2.若证{an}不是等比数列,只需证ak2≠ak-1ak+1(k为常数,k∈N,且k≥2).