椭圆中三角形[1]
椭圆焦点三角形(解析版)
微专题：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， （1）. c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. （2）. 焦点三角形的周长为.22c a L +=①已知F 1，F 2是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，△ABF 2的周长是________．②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，△F AB的周长的最大值是a 4如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF |＝2a －|AF 1|，△ABF 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(2a －|AF 1|＋|AH |)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|＞|AH |，当且仅当|AF 1|＝|AH |，即F 1与H 重合时，△AFB 的周长最大，即最大周长为2(|AF |＋|AF 1|)＝4a ，（3）.21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. （4）. 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）. 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=.（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ++=，由于)0(,1220220>>=+b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF -++=，整理化简即可得01||ex a PF +=. 同理可证得02||ex a PF -=.①[]22222,a b x e a ∈-=②焦半径的取值范围：ca PF c a +≤≤-1.③ 特别地：过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为a b 22，ab PF 2=(7)设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[220a x ∈,故我们有2022221x e c b PF PF +-=⋅→→[]222,b c b -∈（8）若约定椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限；γβαβα=∠>=∠=∠212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22++=+===a c a c e（9）.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点。
椭圆中相关三角形的面积问题
椭圆的焦点弦三角形的面积问题丁益祥特级工作室 张留杰众所周知，椭圆22221x y ab+=的焦点三角形12F P F 的面积为122tan2F P F S b θ∆=（其中12F PF θ∠=），当且仅当点P 与短轴端点重合时该三角形的面积最大，最大值为122S c b c b=⨯⨯=．而在椭圆中和两焦点相关的三角形还有“焦点弦2F P Q ∆”，其中PQ 是椭圆的过焦点1F 的弦（如图）．此三角形的面积的求法不止一种，如212||F PQS c y y ∆=-（1y 、2y 分别为P 、Q 两点的纵坐标）等．那么该三角形的面积是否有最大值呢？最大值是多少？笔者在备课讨论过程中对此进行了探究．将弦PQ 绕焦点1F 旋转，不难发现2F P Q ∆的面积存在最大值．设直线PQ 的参数方程为cos ,sin .x c t y t θθ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，0θπ<<）代入椭圆方程得2222222(cos )sin b c t a t a b θθ-++=，整理得 2222224(cos sin )2cos 0b a t cb t b θθθ+-⋅-=，∴ 21222222cos cos sin cb t t b a θθθ+=+，4122222cos sin bt t b a θθ-=+．根据参数t 的几何意义，可得12||||cos sin PQ t t b a θθ=-==+22222222222(1sin )sin sin b abb a bc θθθ==-++．∴ 2212222112||||sin 2sin 22sin F PQ abS PQ F F c b c θθθ∆=⨯⋅=⨯⨯⋅+22222222sin 2sin sin sin acb acb bb c c θθθθ==++．∵ sin (0, 1]θ∈， ∴ 当22sin sin bc θθ=时，sin b cθ=．∴ 当1b c≥即b c ≥时，由函数22b yc t t=+的单调性，可得当sin 1θ=时，2FP QS ∆的最大值为222222acbeb b c=+；当b c <时，222F P QacbS ab ∆≤=，当且仅当sin b cθ=时，等号成立．综上可得：结论 椭圆的焦点为1F 、2F ，弦PQ 过焦点1F ，则（1）当椭圆的离心率e满足02e <≤时，2F P Q ∆面积的最大值为22eb ，此时弦PQ 垂直与长轴；（2）当椭圆的离心率e满足12e <<时，2F P Q ∆面积的最大值为a b ，此时弦PQ 与长轴的夹角为arcsin b c．。
椭圆焦点三角形的结论
椭圆焦点三角形的重要结论 已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，P 为椭圆上一点，θ=∠21PF F . 结论1：21PF F ∆的周长为c a 22+
结论2：P PF F y c b PF PF S ===∆2tan sin 2122121θθ
结论3：当点P 位于短轴端点时，（1）顶角21PF F ∠最大；（2）21PF F S ∆也取得最大值bc
结论4：θ
cos 122
21+=⋅b PF PF 结论5：21PF PF ⋅的取值范围：
（1）因为22
21212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⋅（当且仅当a PF PF ==21，即点P 位于短轴端点时等号成立.）所以21PF PF ⋅的最大值为2a . （2）因为22
21cos 12b b PF PF ≥+=⋅θ
（当且仅当 0=θ，1cos =θ，即点P 位于长轴端点时等号成立）.所以21PF PF ⋅的最小值为2b .
（3）],[2221a b PF PF ∈⋅（焦点三角形中],(2221a b PF PF ∈⋅） 结论6：椭圆的离心率β
αβαsin sin )sin(222121++=+===PF PF F F a c a c e 结论6：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PF F ，则离心率2cos 122θ
-≥e ，即)1,2[sin θ
∈e
另外：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PA A ，则离心率2cot 122θ
-≥e ，即
)1,2cot 1[2
θ-∈e。
椭圆焦点三角形内心坐标轨迹求法探讨
2
2
2
tan ~一
2
tan - +tan 工二-
αu
F.F2=F.Z+F~=r •
2
2
y
tan- tan-' -
α
2
2
1α
:.(α-c).
α
- tan 一一 tan~一
。
2
2
。
2
C
2c 。
ID
z
tan - tan~一
2
km.k 0 以下解 法 同解法二 。 m=主二1 …..e+l
解析几何的魅力在 于它 的综合性在平常的 学习 过程中多关 注知识点 的联系，加强 自
:AX+XF.+AY+YF2=2α ，:.2A X=2α-(F.Z+ZF2 )=2α-2c ， :AX=α-c 。
于是 r=AX 斗=(时 )ωt ( 于 ) =(α-c) ωt子，
l-tan旦tan互
: .r=(a-c)'
tan - +tan 工二
αuαu
-::
2
2
， F.Z= ' 一 ， F~=一--tan 一-
二=一一一 .2α，=2c.二at=c .b t=一一 .c "
a~
, 9;
2
e+ 1
故焦点 6AF.凡的内心I轨迹方程为 :47三-=l(y笋0) ,
cl-e ---'ce+l
1
由于 三主-=-主!_ 'C 2∞e 2b 2=一 (e 2-1 )C 2由 2b2=_e2c2+c2=e2( _c 2+a2) =甜，
设 F， 、几分别是 椭 圆至~ + ~2 =1 (α>b>O ) 的 左、右焦点 ，A 为椭圆上任意一 点(不在 直 线 2
椭圆最值问题三角形面积
我们要找出一个给定椭圆内三角形面积的最大和最小值。
首先，我们需要理解椭圆和三角形的基本性质，然后使用数学模型帮助我们解决这个问题。
假设椭圆的长轴为 a，短轴为 b。
三角形的三个顶点分别为 A(x1, y1), B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。
根据题目，我们知道三角形的三个顶点都在椭圆上，所以：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 1三角形的面积 S 可以用以下公式表示：S = 0.5 × |AB| × |AC| × sin(∠BAC)其中 |AB| 和 |AC| 是AB和AC的长度，∠BAC是角BAC的度数。
我们的目标是找到 S 的最大和最小值。
为了找到三角形面积的最大和最小值，我们需要解决以下优化问题：最大面积：maximize S约束条件：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 14) x1, y1, x2, y2, x3, y3 >= 05) |x1 - x2| >= |y1 - y2|6) |x1 - x3| >= |y1 - y3|7) |x2 - x3| >= |y2 - y3|最小面积：minimize S约束条件：1) x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 12) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 13) x3^2/a^2 + y3^2/b^2 = 14) x1, y1, x2, y2, x3, y3 >= 05) |x1 - x2| <= |y1 - y2|6) |x1 - x3| <= |y1 - y3|7) |x2 - x3| <= |y2 - y3|。
椭圆焦点三角形_五心_轨迹探究
左 、 右 焦 点 ， 点 Ｐ 在 楠 圆 Ｃ 上 （ 异 于 左 右 顶 点 ） ， 通 常
把
称 为 楠 圆 的 焦 点 三 角 形 ．
旁 三 角 形
的“
五心”（ 内
心
外 、
心 、
重心
垂心
、
、
心 ）
具 有 相 似 的 来 源 背 景 ， 丰 富 的 几 何 性 质 ， 统 的 一 向 量
表 示 ． 当 它 们 和 圆 锥 曲 线 的 焦 点 三 角 形 结 合 时 ， 则
１
—
攀
—
－
—
■ ■
—
—
—
＊
ｍｎ ｍｎ３
Ａｌ 设 则 ｘ Ｊ （
ｙ ， ：
），
ｉ ｒ ｉ
故 内 心 １ 的
轨 迹 方 程 为 ＋ ｙ 古 士 ２ ：ｃ
３
＝ ｌ （ ｘ
１ ） ．
解法五 设
Ｆ Ｆ ，
２
｜
｜
＿
Ｚ Ｆ ＰＦ ｓｉ ｎ
１
２
ＰＦ
＼
２
＼
ｓ ｎ ｉ ａ
则 ＝ ？ ， ／
ｓ
＋ ａ
ｃ
，
故旁心
Ａｆ
的 轨 迹 方 程 为 ｘ
ｙ ＾ ＝ ａ （
０
） ．
收 稿 期 （
日
０ ２
：
—
１ ９ — ０ ９
２ ３ ）
点 则 的 一 ，
的 内 心 Ｇ 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 其方
程 为
＊ Ｃ
＇
＋ ａ
ｃ
Ｆ
Ｃ ＝ Ｆ Ａ Ｆ
＋ Ａ Ｆ Ｐ
椭圆的两种焦点三角形面积的最大值
皎 椭 圆Ｅ 于Ｍ 、Ｎ 两点 （ 左右顶点除外 ） ，则
当ｏ ＜ Ｐ ＜ 时 ，Ａ Ｍ Ｎ Ｉ ； ￣ 面积 的最 大值为
轴 ）； 一 ２
上式可化简为－ 厂 （ ｍ ）
， 结合 （ ） 式
当 ≥ 时 ，Ａ Ｍ Ｎ ｔ ； ￣ 面积的最大值为ａ ｂ 。
证 明：由于直线ｌ 可以垂直ｘ 轴 ，可设其方程为 ｘ ｍ ｙ—ｃ， 其中 ｍ ｅ Ｒ， 且ｍ 不表示直线ｌ 的斜率 （ 一般情况下是其斜率的倒数 ） 。再设
Ｍ（ ｘ ， Ｙ ） ，Ｎ（ ｘ ， Ｊ 一 ） ，联立方程组可得
可 得 ≤ 等・ ａ ２ ＝ ∞ ， 即 ＝ ａ ６ 为 最 大 值 。
－ ｅ
取等条件为 ｆ ：１ Ｐ
一
，
则
１ ｂ 。 ｚ ＝ ａ ２ ｂ ｚ ， 消 去 ｘ 可 得 ６ （ 一 ｃ ） 十 日 ｙ ＝ 扩
、
、 ／ ： 、 ／ ｉ ｒ， 芝 ， 由 此 可 司 得 ６ 。 ： 。 ： （ １ 一 ， ，
Ｆ 胙 一条直线１ 交椭 圆Ｅ 于Ｍ、 Ｎ 两点 （ 左右顶点除外 ），求 △ 的最大值ｏ
面积
代人 （ ）可得
＝
解： 依 题 意 ， 可 得 ＝ ５ ， ｂ ＝ ４ ， ｃ ＝ பைடு நூலகம் ， 离 心 率Ｐ ＝ ｛
ｌ
√ △
由几何关系 ，可知
＝
点Ｐ 为椭 圆上任意一点 （ 左右焦点除外 ），求 Ａ ， 面积的最大 值。
注意到椭圆的离心率
： ： 、
扣
Ｉ ＝
㈩
解 ：依题意 ，可得 ａ＝２，ｂ ＝ √ ３，ｃ ：１ 由结论 （ １ ）， 可知 面积的最大值为 哦 ｂ ｃ 。， ／ ３ 例２ 已知椭圆 ￡ ＋ ： １ 的左 右焦点分别为Ｆ 、 Ｆ ， ，过其左焦点
椭圆焦点三角形面积公式
求解之答禄夫天创作运用公式设P为椭圆上的任意一点,角F1F2P=α , F2F1P=β, F1PF2=θ,则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ), 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2).证明方法一设F1P=m , F2P=n , 2a=m+n,由射影定理得2c=mcosβ+ncosα,e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n),由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）.证明方法二对焦点△F1PF2, 设PF1=m,PF2=n则m+n=2a在△F1PF2中,由余弦定理:(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2所以mn=2b^2/(1+cosθ)例题F1, F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点, PQ是过F1的一条弦, 求三角形PQF2面积的最年夜值【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| *2c=c*|y2-y1|△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c, 之后是联立直线方程与椭圆方程, 利用韦达定理暗示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题, 会对你有所启发的.设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点, 弦AB过椭圆的右焦点, 求三角形F1AB的面积的最年夜值.【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2假设A在x上方, B在下方直线过(1,0)设直线是x-1=m(y-0)x=my+1代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)。
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆。
性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 20e -≥即22121e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 。
高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质及应用教案 新人教A版选修1-1
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质及应用教案 新人教A 版选修1-1,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0Θ 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等)例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。
设四边形ABCD 的面积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =|0A|×y 0+|0C|∙x 0=2y 0+x 0. 法一:120420=+y x 可设x 0=2cos θ,y 0=sin θ,∴S=2y 0+x 0=2sin θ+2cos θ=22sin(θ+450)≤22,当且仅当θ=450时取等号。
故四边形ABCD 面积的最大值是22。
法二: S=2y 0+x 0=200)2(y x +=00202044y x y x ++≤442020++y x =22，当且仅当2y 0=x 0=2时取等号。
故四边形ABCD 面积的最大值是22。
点评: 将四边形ABCD 的面积表示成关于点B 的坐标（x 0,y 0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD 的面积表示成关于k 的函数，则运算量要大许多。
三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: 122=+y x ，若经过椭圆右焦点F 2作直线l 交椭圆于A,B 两点，求1ABF ∆面积的最大值。
分析: 直线l 过x 轴上的一点，故可设直线l 方程为1+=my x 可简化讨论和运算，不会出错，认真领会。
解 :设直线AB 的方程为1+=my x ()R m ∈把1+=my x 代入122=+y x 得()0964322=-++my y m ①显然0>∆设A ()11,y x ，B ()22,y x 则=-⨯⨯=21212y y S 21y y -又因为=+21y y 4362+-m m，=⋅21y y 4392+-m ，=-221)(y y 4)(221-+y y 21y y ⋅=48222)43(33++m m 令233m t +=则,3≥t =-221)(y y t 148+由于函数tt y 1+=在[)+∞,3上单调递增，所以3101≥+t t 故9)(221≤-y y 即3≤S 故1ABF ∆面积的最大值等于3.点评:解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法，换元法等。
四 构造关于k 的函数求最值 例4 过点P(3,0)的直线l 与椭圆1322=+y x 相交于不同的两点E,F ，求∆OEF （O 为坐标原点）面积的最大值.分析:将∆OEF 的面积分割成两个三角形的面积之差，并表示成关于k 的函数，然后利用换元法、配方法求最大值。
解析:显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为:y=k(x-3)(k ≠0)代入1322=+y x 消去y 整理得(k 2+3)x 2-6k 2x+9k 2-3=0,=∆36k 4-4(k 2+3) (9k 2-3)>0,得0<k 2<83.而S △OEF =|S △OPE -S △OPF |=23|y 1-y 2|= 23×|k|×|x 1-x 2|=23|k|()212214x x x x -+=3962492442++-k k k k 令k 2=t,则()83,0∈t ，S △OEF =39624922++-t t t t再令t+3=m, S △OEF =3241532432-+-mm ,m ∈(3,383),配方易求得t=173时，∆OEF 面积的最大值为23。
点评:利用面积分割，简化运算，注意∆>0是直线与椭圆相交于不同两点的充要条件，任何时候不能忘，求k 取值范围不能忽视。
五 构造关于b 的函数求最值 例5 已知椭圆14222=+y x ，过椭圆上的点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB 分别交椭圆于A ，B 两点。
（1）求证直线AB 的斜率为定值2（2）求PAB ∆面积的最大值。
分析:利用(1)结论以b 为变量构造函数，用弦长和点到直线距离求面积。
解析:（1）略（2）由(1)可设直线AB 的方程为:y=2x+b 代入14222=+y x 得4x 2+22bx+b 2-4=0,()0416822>--=∆b b ,b 2<8. 设A ()11,y x ，B ()22,y x , AB|=()221+()212214x x x x -+=2243b -,点P到直线AB的距离d=3b ,⋅=⋅=∴∆b d AB S PAB 2121224b -=()16422221+--b ≤2,当且仅当b=±2时取等号,所以PAB ∆面积的最大值是2。
点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线距离公式，三角形面积求法等知识。
变式练习：六 利用垂直关系求四边形面积最值 例 6 P,Q,M,N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知=1λ，MF =2λFN ，且MF PF ⋅=0，求四边形PMQN 的面积的最大值和最小值。
分析:利用垂直关系建立面积关于k 的函数，然后运用单调性求最值解析:由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)，且P Q ⊥MN,直线PQ,MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F(0，1)，故PQ 方程为y=kx+1.代入椭圆122=+y x 中得(2+k 2)x 2+2kx-1=0, 设P ()11,y x ，Q ()22,y x 则|PQ|=21k +()212214x x x x -+=()222122k k ++①当k ≠0时，MN的斜率为-k 1，用-k 1代换k 可推得|MN|=()()()21212122k-+-+，故四边形面积S=21|PQ||MN|=212224252k kk k ⎛⎫ ⎪⎝⎭++++，令u=k 2+21k,得S=()()u uu 251252412+++-=，因为u=k 2+21k ≥2，当k=±1时，u=2,S=916且S 是以u 为自变量的增函数，所以916≤S<2，②当k=0时，MN 为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2，S=21|PQ||MN|=2， 综合①②知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为916。
点评:本题综合考查了向量共线、垂直，弦长求法，直线与椭圆的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。
分类讨论思想及综合运用知识解题能力。
例7、已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M 。
(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值。
解析:(1)由已知，得F （0，1），显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0),A ()11,y x ，B ()22,y x ,由⎩⎨⎧+==142kx y y x ，消去y ，得x 2-4kx-4=0,显然∆=16k 2+16>0.∴x 1+x 2=4k, x 1x 2=-4,由x 2=4y ，得y=41x 2, ∴y '=21x, ∴直线AM 的斜率为k AM =21x 1. 直线AM 的方程为y-y 1=21x 1(x-x 1),又x 12=4y 1, ∴直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①同理，直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②由②-①并据x 1≠x 2，得，点M 的横坐标x=21( x 1+x 2). 即A,M,B 三点的横坐标成等差数列。
（2）由①②易得y=-1, ∴点M 的坐标为(2k,-1) (k ≠0). ∴k MF =k k 122-=-,则直线MF 的方程为y=k 1-x+1,又|AB|=21k +()212214x x x x -+=4(k 2+1).用1-代换k 得|CD|=()211k-+()212214x x x x -+=4(21k +1), k MF k AB =-1, ∴A B ⊥CD.∴S ABCD =21|AB||CD|=8(21k +1) (k 2+1)=8(k 2+21k+2)≥32, 当且仅当k=±1时取等号,所以四边形ABCD 面积的最小值我32.。