《圆锥曲线中的三角形面积问题》教学设计
《圆锥曲线中的三角形面积问题》课件
第三步，代数运算。
此时点
P
到直线
l
|2·－2－－2－2|
的距离为
＝
22＋－12
4 5＝
45 5 .∴|AB| ＝
1＋k2 · x1＋x22－4x1x2 ＝
1＋22· －42－4－4＝4 10，故△ABP 面积的最大值
4 为
10×4 2
2
2.利用共同的底边，拆分三角形为面积和（或差），
常化为
S
1 2
|
公共底边长
||
x1
x2
|
或S
1 2
|
公共底边长
||
y1
y2
|
“联立方程+韦达定理+ ”是前提，最值问题常化为
函数、不等式最值等。
问题 2
如图，已知直线 l：
y＝2x－2 与抛物线 C： x2＝－2y 交于 A、B 两
点，O 为坐标原点．若
k
y kx 2
位置关系代数化：由
x2 2
y2
，消去
1
y
得关于
x
的
方程：(1 2k2)x2 8kx 6 0 。由直线 l 与椭圆相交于 A、
B 两点， 0 64k 2 24(1 2k 2 ) 0 解得 k2 3 。
2
问题目标代数化：
方法
1：
S SAAOOBB
1 2
| OD | |
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率
为
6 3
，右焦点为
(2
2,0)。斜率为 1 的直线l与
《三角形面积的计算》教学设计优秀10篇
《三角形面积的计算》教学设计优秀10篇《三角形的面积》优秀教学设计篇一一、教学目标（一）知识与技能让学生经历探索三角形面积计算公式的过程，掌握三角形的面积计算方法，能解决相应的实际问题。
（二）过程与方法通过操作、观察和比较，发展学生的空间观念，渗透转化思想，培养学生分析、综合、抽象概括和动手解决实际问题的能力。
（三）情感态度和价值观让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式。
教学难点：理解三角形面积计算公式的推导过程，体会转化的思想。
三、教学准备多媒体课件，学具袋（每小组各有两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形），一条红领巾。
四、教学过程（一）复习铺垫，激趣引新1．复习旧知。
（1）计算下面各图形的面积。
（PPT课件演示）（2）创设情境。
同学们，请大家看看自己胸前的红领巾，它是什么形状？如果要裁剪一条红领巾，你知道要用多大的红布吗？求所需红布的大小就是求这个三角形的什么？2．回顾引新。
（1）回顾：还记得平行四边形的面积计算公式吗？它是怎样推导出来的？（2）引新：如果知道了三角形的面积计算公式，就能直接求出裁剪红领巾所需红布的大小了。
今天这节课，我们就来研究三角形的面积。
（板书课题：三角形的面积）（二）主动探索，推导公式1．操作转化。
（1）提出问题：既然平行四边形能转化成长方形推导出面积计算公式，那三角形能不能也像这样，通过转化推导出计算面积的公式呢？（2）请同学们拿出准备的三角形，仿照我们推导平行四边形面积的方法，试着拼一拼，看能不能推导出三角形的面积公式。
动手前，注意老师提出的这几个问题：你选择两个怎样的三角形拼图？能拼出什么图形？拼出的图形的面积你会算吗？拼出的图形与原来的三角形有什么联系？（屏幕出示）学生分组操作，教师巡视指导。
（3）学生展示汇报。
预设拼法一：用两个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形。
《三角形的面积》优质教学设计(精品)
《三角形的面积》优质教学设计(精品)
三角形的面积优质教学设计(精品)
设计目标
本教学设计的目标是引导学生掌握计算三角形面积的基本方法，并培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学步骤及内容
步骤一：导入
通过引入一个生动有趣的问题或情境，激发学生对三角形面积
的兴趣和思考，并引出本课的主题。
步骤二：概念讲解
简要介绍三角形的定义和特点，说明计算三角形面积的原理和
公式。
通过图示与示例的方式，帮助学生理解相关概念，并进行实
际运算练。
步骤三：实例分析
选择几个具体的三角形实例，引导学生通过边长、高、底边等已知条件，计算出其面积。
教师可示范解答并和学生一起讨论思路和方法。
步骤四：小组合作
将学生分成小组，让每个小组选择一个三角形问题进行解答。
通过小组合作的形式，培养学生团队合作意识，并提高对三角形面积计算的理解和运用能力。
步骤五：展示与总结
每个小组向全班呈现他们的解题思路和结果，并进行讨论和点评。
教师进行总结和归纳，强调重要的计算方法和注意事项。
教学评价
通过观察学生在实际操作中的表现，以及他们展示的解题思路和结果，评估学生对三角形面积概念和计算方法的掌握程度。
可以利用一些简单的练题和测验来检验学生的理解和运用能力。
教学资源
- 幻灯片或白板
- 三角形模型或图示
- 练题和作业单
教学设计将以简洁明了的方式传达基本理念和计算方法，引导学生进行思考和实际运用，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
同时，通过小组合作和展示，点评与总结，促进学生之间的交流与合作，提高他们的学习效果和兴趣。
《三角形的面积》教学设计（15篇）
《三角形的面积》教学设计《三角形的面积》教学设计(15篇)《三角形的面积》教学设计1教材分析三角形的面积计算直接要求学生将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。
学情分析是在学生掌握图形的特征和长方形、正方形、平行四边形面积的计算的基础上学习的。
教学目标1、在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
2、通过操作、观察和比较，使学生认识转化的思想方法在研究三角形面积时的运用，发展学生的空间观念。
3、培养学生的分析、综合、抽象、概括能力和运用转化的方法解决实际问题的能力。
教学重点在理解的.基础上掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点培养学生分析、综合、抽象、概括和运用转化的方法解决实际问题的能力。
教学准备教师：红领巾，直角三角形、锐角三角形和钝角三角形硬纸片各一对。
学生：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形硬纸片各一对，尺子，练习本。
教学过程一、复习准备：1、教师：同学们，前面我们已经学了哪些平面图形的面积计算公式？谁能说说长方形和平行四边形的面积计算公式是怎样的？随着学生的回答板书：长方形的面积=长×宽。
平行四边形的面积=底×高。
2、出示红领巾。
（1）教师：这条红领巾是什么图形，它的面积是多少？你能猜一猜吗？（2）教师：同学们猜了那么多答案，哪个是正确的呢？我们需要计算后才能作出正确的判断。
今天这节课，我们就一起来研究三角形面积的计算。
板书课题：三角形面积的计算。
二、合作探究：1、出示直角三角形、锐角三角形和钝角三角形纸片，提问：这3个三角形分别是什么三角形？2、探究三角形面积计算公式。
教师：我们学习过哪些求面积的方法？（数方格和转化的方法）教师：同学们，那就用你喜欢的方法推导三角形面积公式。
引导学生运用所学的方法探究三角形面积计算公式，并组织学生分组合作。
①如果是用数方格的方法，那就在方格纸上进行计算。
（教师巡视，对个别学生进行指导）②如果是用拼摆转化的方法，那请同学们拿出老师为你们准备的三角形进行计算。
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。
首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。
圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。
要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。
三角形的面积可以用其底边和高来计算。
在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。
首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。
假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。
这个垂直距离也可以被称为焦距。
焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。
最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。
需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。
综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。
这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。
《三角形面积的计算》数学教案设计
《三角形面积的计算》數學教案設計标题：《三角形面积的计算》數學教案設計一、教学目标：1. 知识与技能：掌握三角形面积的计算公式，能够运用公式解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析和实践操作，让学生理解和掌握三角形面积的计算方法。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们严谨的科学态度和良好的学习习惯。
二、教学重点难点：1. 重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。
2. 难点：能根据实际情况灵活运用三角形面积的计算公式。
三、教学过程：（一）导入新课1. 教师展示各种形状的图形，引导学生复习已学过的平面图形，并提问：“我们已经学习过哪些图形的面积计算？”2. 引入课题：今天我们将学习一个新的图形——三角形的面积如何计算。
（二）新课讲解1. 教师首先出示一个直角三角形，引导学生回忆勾股定理，然后引入三角形面积的计算公式：面积=1/2×底×高。
2. 用教具或者多媒体演示不同类型的三角形，如锐角三角形、钝角三角形等，强调无论什么类型的三角形，都可以使用这个公式来计算其面积。
（三）课堂练习设计一系列的练习题，让学生独立完成，以此检查他们是否掌握了三角形面积的计算方法。
题目可以包括直接应用公式的题目，也可以包括需要先找出底和高的题目。
（四）小结与作业1. 小结：教师总结本节课的主要内容，强调三角形面积的计算公式及其实用性。
2. 作业：布置一些巩固和深化课堂知识的作业，比如设计一些实际生活中的问题，让学生利用所学的知识去解决。
四、教学反思在教学过程中，教师应密切关注学生的反应，及时调整教学策略，以确保所有学生都能理解和掌握三角形面积的计算方法。
同时，也要鼓励学生主动思考，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法①焦点三角形面积椭圆x 2a2+y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2，双曲线x 2a2−y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)(1)S∆=12×底×高，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，如图，S∆PAB=12∙AB∙PC(其中底为弦长AB，高为点P到直线AB的距离)(2)S∆=12absinC，适合边角已知的题型；(3) 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S∆PAB=S∆PAC+S∆PBC=12∙PC∙|y A|+12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|当A,B是在x轴同侧时，S∆PAB=S∆PAC−S∆PBC=12∙PC∙|y A|−12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙|y A −y B |依然成立.若点P 在y 轴类似可得S ∆PAB =12∙PC ∙|x A −x B |. 情况2 如图，点P 在x 轴上，直线AB 的倾斜角为θ， 当AB 是在x 轴异侧时，S ∆PAB =S ∆PAC +S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin (π−θ)+12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.当AB 是在x 轴同侧时，S ∆PAB =S ∆PAC −S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin θ−12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙AB ∙sin θ依然成立.(点在y 轴类似)【典题1】设双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则离心率e = . 【解析】方法一 由题意可知a =1， 设|PF 2|=m ,|PF 1|=n ，可得|m －n|=2 ∵△PF 1F 2的面积为4 ∴12mn =4⇒mn =8(遇到焦点三角形△PF 1F 2，想到定义和解三角形的内容) ∵F 1P ⊥F 2P ∴m 2+n 2=4c 2∴(m −n )2+2mn =4c 2⇒4c 2=4+16=20⇒c =√5∴e =ca =√5.方法二 由双曲线焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2，(椭圆焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2)由题意可知b 2tan45°=4，∴b =2又∵a =1，∴c =√5， ∴e =c a=√5.【典题2】已知直线l 与双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的两条渐近线分别交于A (x 1 ,y 1)、 B(x 2 ,y 2)两点，且x 1x 2>0，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，且△AOB 的面积为2√3，则E 的离心率为 . 【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，S △AOB =2√3， ∴{OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−412OA ⋅OB ⋅sin∠AOB =2√3，∴tan∠AOB =−√3 , ∴∠AOB =120°， 故∠AOx =60° , 又直线OA 方程为y =ba x , ∴ba =tan60°=√3，即b =√3a ， ∴e =c a =2.【点拨】本题对“OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4”的处理是用数量积的定义得到OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−4， 而△AOB 的面积用到S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin∠AOB 比较合理.【典题3】已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于√3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点． (1) 求双曲线的方程；(2) 若△F 1AB 的面积等于6√2，求直线l 的方程． 【解析】(1)过程略，x 2−y 23=1.(2) 方法一 设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)，当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程x =2， 此时易得S △F 1AB =12≠6√2， 故可设直线l 的方程为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2−y 23=1，得(k 2−3)x 2−4k 2x +4k 2+3=0，∵有两个交点，∴k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3,x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|AB |=√1+k 2∙√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2∙6√k 2+1k 2−3=6(k 2+1)k 2−3, ∵F 1(−2 ,0)到直线l 的距离d =√1+k 2，∴△F 1AB 的面积S =12∙d ∙|AB |=12∙√1+k 2∙6(k 2+1)k 2−3=12|k |∙√k 2+1k 2−3=6√2，(利用三角形面积公式S ∆=12×底×高) ∴k 4+8k 2−9=0，解得k =±1， ∴所以直线l 的方程为y =±(x −2)． 方法二 设A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)，同方法一可得：k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|y 1－y 2|=|k(x 1－x 2)|=|k |∙√(4k 2)2−4(k 2−3)(4k 2+3)|k 2−3|=6|k|∙√k 2+1|k 2−3|，∴△F 1AB 的面积S =12|F 1F 2||y 1－y 2|=12∙|k|∙√k 2+1|k 2−3|=6√2，(由于点F 1在x 轴，利用S =12|F 1F 2||y 1－y 2|)化简得k 4+8k 2－9=0，解之得k 2=1，∴k =±1， 得直线l 的方程为y =±(x －2). 【点拨】① 注意分类讨论直线l 的斜率是否存在；② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式∆是否大于0，但要注意k 2－3≠0⇒k ≠±√3；③ 第二问方法一是利用三角形面积公式S ∆=12×底×高，得S =12∙|AB |∙d ，其中以弦长AB 为底，点F 1到直线AB 的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得S =12|F 1F 2||y 1－y 2|，此时要理解“不管AB 是在x 轴同侧还是异侧，公式依然成立”.【典题4】过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为π3的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且|AF|=|FC| ,|BC|=2． (1)求抛物线C 的方程；(2)直线l 交抛物线C 于D 、E 两点，且这两点位于x 轴两侧，与x 轴交于点M , 若OD →•OE →=4，求S △DFO +S △DOE的最小值．【解析】(1)过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A 1，过点B 作准线的垂线，垂足为 B 1， 设准线与x 轴交于点G ，如图所示，∵∠AFx =∠CBB 1=π3,BC =2，∴BB 1=1，∴BF =1，又点F 为AC 的中点， ∴AF =CF =BC +BF =3，∴|GF|=12|AA 1|=12|AF|=32，∴p =32，所以抛物线C 的方程为y 2=3x ．(注意抛物线定义和平几知识的运用) (2)设 D(x 1 ,y 1) ,E(x 2 ,y 2) , 设y 1>0 ,y 2<0， l DE ：x =my +t ，(这样设方程计算简便些)联立得方程组 {x =my +ty 2=3x ，得 y 2－3my －3t =0，∴{y 1+y 2=3m y 1y 2=−3t ， ∴OD →⋅OE →=x 1x 2+y 1y 2=y 123⋅y 223+y 1y 2=4，(曲线代换：利用抛物线方程消“x 1x 2”) ∴y 1y 2=3(舍去)或 y 1y 2=－12， ∴－3t =－12，∴t =4，即M(4 ,0)，∴S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅y 1+12|OM|⋅(y 1−y 2)=38y 1+2(y 1−y 2)=198y 1+(−2y 2)⩾2√198×2|y 1y 2|=2√194×12=2√57，(当且仅当198y 1=−2y 2，即y 1=8√5719,y 2=−√572时，取到等号) ∴S △DFO +S △DOE 的最小值为2√57．【点拨】在抛物线上设直线方程为l DE ：x =my +t 较为常见，同时也配合上三角形面积S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅|y 1|+12|OM|⋅|y 1−y 2|.【典题5】 已知A 、B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N ，交直线x =4于点P ，且直线PA 、PF 、PB 的斜率成等差数列，R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ 的中垂线交x 轴于T 点 (1)求椭圆C 的方程；(2)求△MNT 的面积的最大值.【解析】(1)由题意知a =2，A(−2 ,0)，设P (4 ,y 0) ,F(c ,0)，∴k PA =y 06 ,k PB =y 02 ,k PF =y 04−c, 依题意可知2y 04−c=y 06+y 02，解得c =1 ,∴b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)设R (x 1 ,y 1) ,Q(x 2 ,y 2)，∵R 和Q 的横坐标之和为2 ， ∴x 1+x 2=2， ∵R 、Q 均在椭圆上， ∴x 124+y 123=1 ① x 224+y 223=1 ② (点差法)①−②得 y 1−y 2x 1−x 2=−32(y1+y 2)，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR =TQ ，即√(t −x 1)2+y 12=√(t −x 2)2+y 22，化简得2t =2+y 12−y 22x 1−x 2=2+(y 1+y 2)y 1−y 2x 1−x 2=2−32=12，∴t =14， 即T(14,0). 设M (x 3 ,y 3) ,N(x 4 ,y 4)，直线MN:x =my +1与椭圆联立可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y 3+y 4=6m 3m 2+4 ,y 3y 4=−93m 2+4，(因为直线MN 过椭圆内一点F ，故m 可取全体实数R ，不需要考虑判别式∆>0) ∴|y 3−y 4|2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=144m 2+1(3m 2+4)2，令n =m 2+1≥1，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围) 则|y 3−y 4|2=144∙n(3n+1)2=144∙19n+1n+6∵y =9n +1n 在[1 ,+∞)是递增的，∴y min =10，(由对勾函数图像易得，由于n ∈[1 ,+∞)不能用基本不等式) ∴|y 3−y 4|max 2=144∙110+6=9，即|y 3−y 4|max =3，故S max =12∙FT ∙|y 3−y 4|max =12×34×3=98. 【点拨】① “R 和Q 的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ 方程导致计算量增大； ② 本题最重要的想法是求△MNT 的面积，用到了公式S =12∙FT ∙|y 3−y 4|，同时设直线方程为MN:x =my +1，联立方程时消x 得到y 的一元二次方程较易得到|y 3−y 4|的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④ 求函数形如y =a 1x 2+b 1x+c1a 2x 2+b 2x+c 2最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型. 巩固练习1(★★) 设F 1 ,F 2是椭圆x 29+y 26=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△F 1PF 2的面积等于 . 【答案】 2√3【解析】由|PF 1|+|PF 2|=6，且|PF 1|：|PF 2|=2：1， ∴|PF 1|=4,|PF 2|=2，又|F 1F 2|=2√9−6=2√3 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=42+22−(2√3)22×4×2=12，∴sin∠F 1PF 2=√32∴S F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=2√32(★★) 过双曲线x 23−y 2=1的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l , 交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 . 【答案】3√32【解析】不妨设点A 在第一象限，点B 在第四象限，因为∠OFB =60°, 双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程：y =±√33x ， 所以∠AOF =30°，所以∠FOB =30°，所以∠OBA =∠OBF =90°，所以|OB|=|OF|cos30°=√3．又∠AOB =60°，则∠OAB =30°，所以|OA|=2|OB|=2√3，所以|AB|=3， 从而△OAB 的面积为：12⋅|OA||OB|sin60°=3√32． 故选：C ．3 (★★) 抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ,N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，且NM →⋅NF →=0，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为 . 【答案】 6√2【解析】由抛物线C ：y 2=8x 可得焦点F(2,0)，准线方程为x =－2 由题意设N(－2,m)，M(0,n),设n >0，MF 的中点E(1，n2)，因为E 在抛物线C 上，所以n 24=8×1，所以n =4√2，① 因为：NM →=(2,n －m)，NF →=(4,－m)，又NM →⋅NF →=0，所以2×4－m(n －m)=0，即m(n －m)=8②， ① 代入②可得m =2√2，所以S △NMF =S △MFO +S 梯形NN ′OM －S △NN ′F=12×2×4√2+12(4√2+2√2)×2−12×4×2√2=6√24 (★★) 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的离心率为√5，虚轴长为4． (1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0 ,1)，倾斜角为45°的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求∆OAB 的面积． 【答案】 (1) x 2−y 24=1 (2) 43【解析】(Ⅰ)依题意可得{ca=√5 2b=4c2=a2+b2，解得a=1,b=2,c=√5，∴双曲线的标准方程为x2−y24=1．(Ⅰ)直线l的方程为y=x+1设A(x1,y1),B(x2,y2)由{y=x+1x2−y24=1可得3x2−2x−5=0，由韦达定理可得x1+x2=23,x1x2=−53即|AB|=√1+k2∙√(x1+x2)2−4x1x2=√2∙√49+203=8√23原点到直线l的距离为d=√22于是S∆OAB=12∙|AB|∙d=12∙8√23∙√22=43∴∆OAB的面积为43.5(★★) 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1 ,32)，离心率为12，左、右焦点分别为F1 ,F2，过F1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2CD的面积为12√27时，求直线的方程．【答案】(1)x24+y23=1(2)x－y+1=0或x+y+1=0【解析】(1)∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1,32)，∴1a2+94b2=1①，又∵离心率为12，∴ca=12, ∴b2a2=34②，联立①②得a2=4,b2=3．∴椭圆的方程为：x24+y23=1(2)①当直线的倾斜角为π2时，取C(−1,32),D(−1,−32)．S△ABF2=12|CD|•|F1F2|=12×3×2≠12√27，不适合题意．②当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程l：y=k(x+1)，代入x 24+y23=1得：(4k2+3)x2+8k2x+4k2－12=0设C(x1,y1),D(x2,y2)，则x1+x2=−8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，∴|CD|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[64k4(4k2+3)2−4(4k2−12)4k2+3]=12(1+k2)4k2+3．点F2到直线l的距离d=√1+k2∴S△ABF2=12|AB|•d=12|k|√1+k24k2+3=12√27，化为17k4+k2－18=0，解得k2=1，∴k=±1，∴直线方程为：x－y+1=0或x+y+1=0．6(★★★)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 ,F2，线段OF1 ,OF2的中点分别为B1 ,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．【答案】(1)e=25,x220+y24=1(2)169√10【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F2(c,0)∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即b=c2∵c2=a2－b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴e=ca =25√5在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=12|B1B2||OA|=c2⋅b=b2∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为x220+y24=1；(Ⅰ)由(Ⅰ)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my－2代入椭圆方程，消元可得(m2+5)y2－4my－16=0①设P(x1,y1)，Q(x2,y2)∴y1+y2=4mm2+5，y1y2=−16m2+5∵B 2P →=(x 1−2,y 1)，B 2Q →=(x 2−2,y 2) ∴B 2P →⋅B 2Q →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5∵PB 2⊥QB 2，∴B 2P →⋅B 2Q →=0 ∴−16m 2−64m 2+5=0，∴m =±2当m =±2时，①可化为9y 2±8y －16=0， ∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=89√10 ∴△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2||y 1－y 2|=12×4×89√10=169√10．7 (★★★) 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 是椭圆的焦点， 点A(0 ,－2)，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A 的直线与C 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】(1)x 24+y 2=1 (2) y =±√72x －2【解析】(1)设F(c,0)，由题意k AF =2c =2√33， ∴c =√3，又∵离心率ca =√32，∴a =2，∴b =√a 2−c 2=1，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，方程为y =kx －2， 联立直线与椭圆方程：{x 24+y 2=1y =kx −2，化简得：(1+4k 2)x 2－16kx +12=0，由△=16(4k 2－3)>0,∴k 2>34，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∴|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2，坐标原点O到直线的距离为d=√k2+1S△OPQ=12√1+k2∙4√4k2−31+4k2∙√k2+1=4√4k2−31+4k2，令t=√4k2−3(t>0)，则S△OPQ=4tt2+4=4t+4t，∵t+4t ≥4，当且仅当t=4t，即t=2时等号成立，∴S△OPQ≤1，故当t=2，即√4k2−3=2，k2=74>34，∴k=±√72时，△OPQ的面积最大，此时直线的方程为：y=±√72x－2．8(★★★★) 已知双曲线C的一个焦点为(−√5 ,0)，且过点Q(2√5 ,2)．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P(x0 ,y0)(y0≥1)在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(−√5<m<√5)、N，设过点F1 ,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准方程；(2) 求△F2DE的面积最大值．【答案】(1)x24−y2=1(2) 4√30【解析】(Ⅰ)知双曲线的左、右焦点分别为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，又∵双曲线过点Q(2√5,2)，∴2a=||QF1|−|QF2||=√(2√5+√5)2+(2−0)2−√(2√5−√5)2+(2−0)2=4，解得a=2,b=√5−4=1,则双曲线C的标准方程为x 24−y2=1；(Ⅰ)由F1、F2为C 的左右焦点，F1(−√5,0),F2(√5,0)，直线PF1方程为y=0x+√5+√5)，直线PF2方程为y=0x−√5−√5)，即直线PF1方程为y0x－(x0+√5)y+√5y0=0，直线PF2方程为y0x－(x0−√5)y−√5y0=0,由点M(m,0)在∠F1PF2的平分线上，则点M到直线PF1与到直线PF2的距离相等，故0√5y0√y02+(x0+√5)2=0√5y0√y02+(x0−√5)2由−√5<m <√5，y 0≥1，以及y 02=14x 02－1，解得x 0≥2√2，∴y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2，∴√5+m √52x 0=√5−m √52x 0m =4x 0，即M(4x 0,0)，直线PM 的方程为：y −y 0−0x 0−4x 0(x −4x 0)，令x =0，得y =−4y 0x 02−4=−1y 0，故点N(0,−1y 0)，∴k NF 1=0+1y 0−√5=√5y 0由{y =√5y +√5)x 2−4y 2=4，消去x 得(5y 02－4)y 2+10y 0y +1=0,设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),则y 1+y 2=−10y 05y2−4,y 1y 2=15y2−4,∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√5y 02+1|5y 02−4|，∴△F 2DE 的面积S =S △F 1EF 2−S △F 1DF 2=12|F 1F 2|×|y 1－y 2|=12×2√5×4√5y 02+1|5y 02−4|=4√5√t +5t，设5y 02－4=t,∵y 0≥1 ∴t ≥1，则△F 2DE 的面积S =4√5•√t+5t=4√5×√5t 2+1t =4√5×√5(1t +110)2−120，∴t =1时，即P 为(2√2,1)时，△F 2DE 的面积最大值为4√30．。
圆锥曲线中的面积问题-专题教学设计
圆锥曲线中的面积问题一、教学目标：圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题,有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题,求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量,如动直线的斜率或截距表示面积,再利用函数或不等式知识求解.培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养。
二、教学重点：解决圆锥曲线中常见的面积问题。
三、方法归纳(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积方法指导：若动直线与圆锥曲线交于点A ,B ,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△P AB 的面积,一般是先利用弦长公式求出AB ,再利用点到直线距离公式求出点P 到直线AB 的距离,则12ABC S AB d ∆=. 【例1】（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点,得到的四边形的面积为82连接椭圆C 的某两个顶点,2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(4,0)A -的直线l 与椭圆C 交于E ,F 两点,点B 在线段EF 上,若||||||||AE BE AF BF =,求OAB （O 为坐标原点）面积的取值范围.【分析】（1）根据题设构造关于a ,b 的方程组,利用待定系数法求解椭圆的方程； （2）设出直线方程,联立直线l 与椭圆C 的方程,利用韦达定理得到||EF 的表达式,设||||||||AE BE AF BF λ==,找出||AB 与||EF 的关系；再算出点O 到直线l 的距离,得到OAB 面积的表达式,利用根与系数的关系进行求解.【解析】（1）依题意得22282,b a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得2,22,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程是22184x y +=. （2）设直线l 的方程为4(0)x ty t =-≠,代入椭圆C 的方程得()222880t y ty +-+=,由0∆>得22,||2t t >>设()()1122,,,E x y F x y ,所以1221228,28,2t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,222121212||()()1EF x x y y t y =-+-=+-, 设||||||||AE BE AF BF λ==,则,AE AF EB BF λλ== 22111AB AE EB EF EF EF λλλλλλ=+=+=-+-. 原点O 到直线l 的距离21d t =+故OAB 的面积2121222212412111S t y y y y t λλλλ=+-=⋅---+. 因为1122y y y y λλ=⇒=,故112212212122444(0,22)||1y y y y S y y y y t y y =⋅-==∈+-, 故OAB 面积的取值范围为(0,2).(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值,可把三角形分为两个小三角形分别计算面积方法指导：若过定点Q 的直线圆锥曲线交于点A ,B ,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△P AB 的面积,可先求出点A ,B 到直线PQ 的距离之和d ,则12PAB S PQ d ∆=,特别的,若PQ 与y 轴垂足,12PAB A B S PQ y y ∆=-,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量. 【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4,且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1.（1）求椭圆C 的方程;（2）直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,记MNA △的面积为S ,当3S =时求k 的值. 【分析】（1）根据题意得到24a =,1a c -=,再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ,()22,N x y ,再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. 【解析】（1）由题意24a =,2a =,因为右顶点A 到右焦点2F 的距离为1,即1a c -=,所以1c =, 则223b a c =-所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-, 联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得223(4)12y k +=,解得221243k y k =+ 因为AMN 的面积为3,可得212212||2343k y y k -==+,解得32k =±. (三)对角线互相垂直的四边形面积的计算方法指导：对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例3】（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12,且椭圆E 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭,过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当四边形ACBD 的面积取得最小值时,求弦AB 所在直线的方程．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组,求出这三个量的值,即可得出椭圆E 的标准方程；（2）分两种情况讨论：①当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,求出四边形ACBD 的面积；②当AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠,将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出AB 、CD ,利用四边形的面积12S AB CD =⨯结合基本不等式可求得四边形ACBD 面积的最小值,综合即可得解. 【解析】（1）已知可得22222121914c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩,解得231a bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,不妨设AB x ⊥轴, 因为焦点F 的坐标为()1,0,所以直线AB 的方程为1x =, 将1x =代入椭圆方程可得32y =±,则3AB =,4CD =,四边形ACBD 的面积14362S =⨯⨯=；当AB 的斜率存在且不为0时,设其斜率为()0k k ≠,由（1）知()1,0F ,所以直线AB 的方程为()1y k x =-,与椭圆E 的方程22143x y +=联立并消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=．设()11,A x y 、()22,B x y ,()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>,则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -=+, ()()42222212121222264164811413434k k AB k x k x x x x k k k -+-=++-+-++()()()22422212116416483434k k k k k k ++=--++． 同理可得可得()222211211214343k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++, 所以四边形ACBD 面积()()()()()()222222222121721112243344334k k S AB CD k k k k ++=⨯=⨯=++++ ()22222272122887274943342k k k +⎛⎫≥=⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭, 当且仅当224334k k +=+时,即当1k =±时,等号成立, 因为288649>,故当四边形ACBD 的面积取得最小值时,直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+． (四)利用函数性质求面积最值或范围方法指导：如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示,此时可把面积看作关于该变量的函数,若函数的单调性容易确定,可利用函数单调性求面积最值或范围，在求范围的过程中要注意一些变量本身的取值范围，以及特殊情形。
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人教A版高中数学高三一轮复习
立足基础，提升时效——圆锥曲线中的三角形面积问题
执教者：授课时间：2017-10-18 早上第三节
授课学生：高三1班(高三文科班) 授课地点：新校区录播室
一、教学内容分析
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长、定值、面积等。
分析这类问题，往往利用数形结合、函数与方程、化归与转化等思想和“设而不求”的方法及韦达定理等。
本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．
二、预测高考
会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合题。
三、教学目标
1.会选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。
2.能利用函数与方程、数形结合、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。
四、教学重难点
1.教学重点：掌握圆锥曲线中三角形面积的计算方法。
2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力。
五、教学策略选择
自主学习、小组讨论法、师生互动
AOB 的面积。
请同学们根据刚才讲的四个步骤，在导学案上完成解答。
同学上台展示作业，并介绍解题过程。
师小结：看来用上这四个步骤可以很好的帮我们解决问题。
（Ⅰ）第一步，分析几何对象几何特征，理解题意，并画出图像。
本问题中，由椭圆的几何特征，先求出椭圆方程。
直线问题目标代数化：AOB
S
=第三步，代数运算。
269x =||1AB ∴=102
9。
原25
5
=。
AOB
S
=AOB 面积取得最大值时，求直线
∴>⇒
064
S=问题目标代数化：
AOB 第三步，代数运算。
由韦达定理得
2
S=
AOB
064∴>⇒
问题目标代数化：
方法1：
AOB
S=
|| x x
-
16
1
k
=
+
AOB POB POA
S S S
=-
1
2
=
直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线上动点P 从A 到B 运动。
第二步，进行代数化。
元
素
代
数
化
：
设
11222,(,),(,)
y kx A x y B x y =+， P (t ，－12t 2
)(－2－22<t <－2＋22)
位置关系代数化：由⎩⎨⎧
y ＝2x －2
x 2
＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0
问题目标代数化：1
||2
S AB d =
第三步，代数运算。
∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410.∵|AB |为定值。
∴当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大．而d ＝|2t ＋1
2t 2－2|
22＋(－1)2＝|1
2(t ＋2)2－4|
5，又－2－22<t <
－2＋22，∴当t ＝－2时，d max ＝45
5.∴当P 点坐标为(－2，－
2)时，△ABP 面积的最大值为410×45
5
2＝8 2.
师：这道题我们还可以这样解。
具体过程请看屏幕。
方法二
第一步，几何特征分析，理解题意。
直线与抛物线相交于A 、B 两点，抛物线上动点P 从A 到B 运动。
第二步，进行代数化。
元
素
代
数
化
：
设
11222,(,),(,)
y kx A x y B x y =+，P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线在点P 处的
切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．∵y ′＝－x ，∴x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，P (－2，－2)．
位置代数化：由⎩⎨⎧
y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0。
问题目标代数化：1
||2
S AB d =
第三步，代数运算。
此时点P 到直线l 的距离为
|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝4
5
＝
45
5
.∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410，故△ABP 面积的最大值为410×45
5
2
＝8 2.
环节三：
五．回顾梳理
1.选择合理的方法求圆锥曲线中三角形面积。
2.能利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等思想解决圆锥曲线中的三角形面积问题。
师：今天我们一起探究了圆锥曲线中三角形面积的问题。
总结了两种方法，我们要合理选择才能简化计算，更好地帮助我们解决这类型问题。
教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。
引导学生对所学的知识进行小结，利于学生加强理解记忆，提高解题技能。
环节四：
六．课后作业
AOB 面积解析：设直线l 的方程为33my -=23y m =-
2243334OAB
m S
m +=+3，AOB 面积的最大值为0)>的离心率为与椭圆G 交于A PAB 的面积。
22,
c a ==的方程为212x y +。