宝山区第一学期九年级质量调研考试数学试卷及答案
【精选3份合集】2020-2021年上海市宝山区九年级上学期期末学业质量检查模拟数学试题
C．(4)(3)(2)(1)D．(2)(4)(3)(1)
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．某篮球队14名队员的年龄如表：
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
5
4
3
2
则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．18，19B．19，19C．18，4D．5，4
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】∵这组数据中最多的数是18，
∴这14名队员年龄的众数是18岁，
∵这组数据中间的两个数是19、19，
∴中位数是 ＝19（岁），
故选：A．
【点睛】
本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键．
本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
4．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．
【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
【详解】解：点A（-2，1）关于原点对称的点A'的坐标是（2，-1）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
九年级数学第一学期九月质量调研试卷
班级： 姓名： 考试号（学号）： …………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 要 ………… 答 ………… 题…………………… 九年级（上）数学第一次质量调研 满分：130分 时间：120分钟 一．选择题（3分×10=30分） 1.下列计算，正确的是( ) A.235+= B.2＋323= C.822-=0 D.5－1=2 2．下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A 122=++y x x B 0112=-+x x C 1222-=+x x x D 322132+=-x x 3.16的平方根是（ ）． A ．4 B ．-4 C ．±4 D ．±2 4．要使式子21+a 有意义，a 的取值范围是（ ） A ．2-≠a B ．a ＞－2 C ．a ＞2 D ．a ≥－2 5．关于x 的方程0)1()2(2=+-+-m x m x m 是一元二次方程的条件是 ( ) A ．m ≠l B ．m ≠一1且m ≠2 C ．m ≠2 D ．m ≠1且m ≠2 6．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．1 B ．5 C ．－5或1 D ．5或－1 7．某化肥厂1月份生产化肥500吨，从2月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，若2月份、3月份平均每月的增长率为x ，则可得方程（ ） A ．500()175012=+x B ．()175015005002=++x C ．()()1750150015002=+++x x D ．()()1750150015005002=++++x x 8．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 9．若24420m m m -++-=成立，则m 的取值范围是 ( ) A ．m>2 B ．m ≥2 C ．m<2 D ．m ≤2 10已知三角形三边为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足0836122=-++-b a a ，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是( ) A ．8>c B ．148<<c C ．142<<c D ．86<<c 二、填空题（3分×10=30分） 11．方程（3x+1）2-6x=2化成一般形式为_________；二次项系数为_______，一次项系数为___________，常数项为_________． 12．写出以－1，2为根的一元二次方程_________13．计算1848-=14.化简112--a a =15．如果最简二次根式38a -与172a -是同类二次根式，则a=16．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一个定根，它是_______17．已知2+3是关于x 的方程x 2－4x+c=0的一个根，则c 的值是_______． 18．若关于x 的方程x 2－（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=_____19．如果代数式4y 2－2y+5的值为7，那么代数式2y 2－y+1的值等于_____．20．若关于y 的一元二次方程0112)21(2=-++-y m y m 有实数根，则m 的取值范围是三．解答题21．计算（4分×2=8分） ①()-10212006--3-12⎪⎭⎫ ⎝⎛++ ②1223285247⎛⎫÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22．解方程（5分×2+6分=16分）①2(3)4(3)0x x x -+-= ②2213x x +=③061)1(222=-+++y y y y23．已知23a =-，化简求值：222122111a a a a a a a a-+-+---- （6分）24．如图所示a ，b 的在数轴的位置，化简22a -22()()a b a b -++．（6分）25．设21,x x 是方程2x 2+4x-3=0的两个根，求 （6分）①)1)(1(21++x x ②2221x x +26．用配方法证明，多项式1422--x x 的值总大于422--x x 的值． （6分）27.．已知关于x 的方程（k －1）x 2+（2k －3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（4分）（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；•如果不存在，请说明理由．（3分）28．金星超市服装部销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定适当降价，经市场调查，这批衬衫每降价l 元，商场每天可多售出2件，若商场平均计划每天盈利1 200元，每件衬衫降价多少元? （7分）29．如图，已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上．(E 与A 、C 均不重合)(1)若点F 在AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=x ，用含x 的代数式表示AEF S ∆（3分）(2)若点F 在折线ABC 上移动，试问是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长与面积同时平分，若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在，请说明理由（5分）参考答案一、选择题CDDBC ADDBC二、填空题11题 ：0192=-x 9 0 -1 12 题：0)2)(1(022=-+=--x x x x 或 13题：2 14题：12-+a a 15题：5 16题： x=117题：1 18题：1± 19题：2 20题：2121≠≤≤-m m 且 三、解答题21题①：=21332+-+ ----3分 =133+ ----4分 ②： =7162814935⨯⨯- ------2分 =75- -----4分 22题① 解：()()0433=+--x x x ------3分 53,321==x x ------5分②解：01322=+-x x ----1分 21,121==x x ------5分③ 解：设a y y =+1，则原方程可化为0622=-+a a -----1分()()0322=-+a a 23,221=-=a a -------3分 所以,21-=+y y 231=+y y ， 解得2,3121=-=y y -------5分 经检验，2,3121=-=y y 是原方程的解 ----6分23题：=1-a -------4分 原式=31- --------6分24题：=)(2b a b a a +--+- -----4分 =b a 22-- ----6分 25题：① 25- -----3分 ② 7 -------3分26题：证明：1422--x x —（422--x x ） ------1分 =322+-x x ------3分=2)1(2+-x ＞0 --------5分 所以代数式1422--x x 的值总大于422--x x -------6分 27题：（1）01≠-k 1≠∴k ---------1分1312+-=∆k ＞0 1213<k --------3分 ∴1213<k 且1≠k ------------4分（2） 021=+x x ∴ 0132=---k k ∴23=k ---------6分 1213<k 且1≠k ∴k 不存在 -------7分28题：解：设每件衬衫降价x 元根据题意得： 1200)220)(40=+-x x （ -----3分解得 101=x ，202=x ---------5分因要减少库存，所以取20=x 元 ------6分答：每件衬衫降价20元。
2022年宝山初三一模
2022学年第一学期期末考试九年级数学试卷〔宝山〕一. 选择题1. 如图，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，1tan 2A =，以下判断正确的选项是〔 〕 A.30A ∠=︒； B.12AC =； C.2AB =； D.2AC =； 2. 抛物线245y x =-+的开口方向〔 〕A.向上；B.向下；C.向左；D.向右；3. 如图，D 、E 在△ABC 的边上，如果ED ∥BC ，:1:2AE BE =，6BC =，那么DE 的模为〔 〕 A.-2； B.-3； C.2； D.3；4. ○O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为(3,4)-，那么点M 与○O 的位置关系 为〔 〕A.M 在○O 上；B. M 在○O 内；C. M 在○O 外；D. M 在○O 右上方；5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，26A ∠=︒，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于 点D 、点E ，那么弧BD 的度数为〔 〕A. 26°；B. 64°；C. 52°；D. 128°；6. 二次函数2y ax bx c =++〔0a ≠〕的图像如下列图，那么以下结论中正确的选项是〔 〕 A.0ac >； B.当1x >-时，0y <； C.2b a =； D. 930a b c ++=； 二. 填空题 7.32a b =，那么a b b -=； 8. 两个相似比为1:4的相似三角形的一组对应边上的中线比为；9. 如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，当时〔填一个条件〕，△DEA 与△ABC 相似；10. 如图△ABC 中，90C ∠=︒，假设CD AB ⊥于D ，且4BD =，9AD =，那么CD =； 11. 计算：2(34)5a b a +-=；12. 如图，菱形ABCD 的边长为10，3sin 5BAC ∠=，那么对角线AC 的长为； 13. 抛物线22(3)4y x =--+的顶点坐标是；14. 假设(1,2)A ，(3,2)B ，(0,5)C ，(,5)D m 是抛物线2y ax bx c =++图像上的四点，那么m =；15. 1(4,)A y 、2(4,)B y -是抛物线2(3)2y x =+-的图像上两点，那么1y 2y ；16. ○O 中一条长为24的弦的弦心距为5，那么此圆的半径长为；17. 如图，在等边△ABC 内有一点D ，5AD =，6BD =，4CD =，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，那么CDE ∠的正弦值为；18. 如图，抛物线223y x x =--交x 轴于(1,0)A -、(3,0)B ，交y 轴于(0,3)C -，M 是抛物线的顶点， 现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，那么曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为 〔面积单位〕；三. 解答题〔8+8+8+8+10+10+12+14〕19. 计算：2tan 45cos 303tan 302sin 45cot 30︒︒-︒-︒︒；20. 某二次函数的对称轴平行于y 轴，图像顶点为(1,0)A ，且与y 轴交于点(0,1)B ； 〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕设C 为该二次函数图像上横坐标为2的点，记OA a =，OB b =，试用a 、b 表示OC ；21. 如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，自动扶梯AC 的坡度为1:2，AC 的长度为AB 为底楼地面，CD 为二楼侧面，EF 为二楼楼顶，当然有EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，过C 的直线EG AB ⊥于G ，在自动扶梯的底端A 测得E 的仰角为42°，求该商场 二楼的楼高CE ；〔参考数据：2sin 423︒=，cos 423︒=，tan 425︒=〕22. 如图，以AB 为直径的○O 与弦CD 相交于点E ，假设AC =3AE =，3CE =，求弧BD 的长度；〔保存π〕23. 如图，D 为△ABC 边AB 上一点，且CD 分△ABC 为两个相似比为〔不妨 如图假设左小右大〕，求：〔1〕△BCD 与△ACD 的面积比；〔2〕△ABC 的各内角度数；24. 如图，△ABC 中，6AB AC ==，F 为BC 的中点，D 为CA 延长线上一点，DFE B ∠=∠； 〔1〕求证：CD BFDF EF=； 〔2〕假设EF ∥CD ，求DE 的长度；25.〔1〕二次函数(1)(3)y x x =--的图像如图，请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样的 左右平移，新图像通过坐标原点〔2〕在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线2y ax bx c =-+〔0a ≠〕和抛物线2y ax bx c =++〔0a ≠〕关于y 轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a 、c 不变，b 相反〞供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a 、c 相反，b 不变〞，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物线(1)(3)y x x =--的对称图形的解 析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；〔3〕抛物线(1)(3)y x x =--与x 轴从左到右交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，M 是其对称轴上一点，点N 在x 轴上，当点N 满足怎样的条件，以点N 、B 、C 为顶点的三角形与△MAB 有可能相似，请写 出所有满足条件的点N 的坐标；〔4〕E 、F 为抛物线(1)(3)y x x =--上两点，且E 、F 关于3(,0)2D 对称，请直接写出E 、F 两点的 坐标；26.如图点C 在以AB 为直径的半圆的圆周上，假设=4=30AB ABC ∠︒，，D 为边AB 上一动点，点E 和D 关于AC 对称，当D 与A 重合时，F 为EC 的延长线上满足CF EC =的点，当D 与A 不重合时，F 为EC 的延长线与过D 且垂直于DE 的直线的交点，〔1〕当D 与A 不重合时，CF EC =的结论是否成立试证明你的判断． 〔2〕设=,,AD x EF y =求y 关于x 的函数及其定义域；〔3〕如存在E 或F 恰好落在弧AC 或弧BC 上时，求出此时AD 的值；如不存在，那么请说明理由． 〔4〕请直接写出当D 从A 运动到B 时，线段EF 扫过的面积．2022学年第一学期期末考试九年级数学评分参考一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕 1． D ； 2． B ； 3． C ； 4．A ； 5． C ； 6． D.二、填空题〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕 7．21； 8．1:4； 9．B AED ∠=∠等； 10．6； 11．b a 8+； 12．16； 13．)4,3(； 14．4； 15．＞； 16．13； 17．873； 18． 9. 三、简答题〔本大题共8题，第19--22题每题8分；第23、24题每题10分．第25题12分；第26题每题14分；总分值78分〕19．解：原式=3)23(22233312--⋅……………………5分 =4323-+=2343+. …………………8〔2+1〕分 20．解：对称轴平行于y 轴，图像顶点为A(1，0) 的2)1(-=x a y ………2分 将B(0，1)代入易知1=a ，因此所求二次函数为2)1(-=x y ……4分∵1)2(=f ，∴C 〔2,1〕． ……………………………6分 ∴OC =b a +2……………………………8分21.解：∵EH ⊥AB ,EF ∥AB ∥CD ，E 为自动扶梯AC 的最高端C 的正上方，∴EC ⊥CD,……………………………2分∵在直角△ACH 中，AC 的坡度为1:2，AC=55， ∴CH=5，AH=10，……………………………5分 ∵在直角△AEH 中∠EAH=42°∴EH=AH 5442tan tan 0=⋅=∠⋅AH EAH ，……………………7分 ∴EC=554-……………………………8分22.解：∵△ACE 中，AC =2，AE =3，CE =，∴AC 2=12=AE 2+CE 2…………………………2分∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD 〔E 为垂足〕 在直角△AEC 中，21sin ==AC CE A ，∴∠A =30°……4分 联接OC ，∵O A =OC ∴∠COE =2∠A =60° ∴=sin ∠COE ，解得OC =2 …………………6分∵AE ⊥CD ，∴==ππ32180260=⋅．…………………8分 其他方法，请参照评分.23.〔1〕一对相似比为1：3的△BCD 与△ACD 的面积比为1：3……………4分 〔2〕如图， ∵∠ADC ＞∠B 〔∠ADC ＞∠BCD 〕，∴∠ADC=∠CDB =90°∴斜边BC 和AC 为这对相似三角形的对应边 ………………………6分 假设∠B=∠A ，那么BC=AC ，这样和BC ：AC=1：3〔相似比〕矛盾． ∴∠BCD=∠A ，∠C =90°…………………8分 ∵在直角△A B C 中，A tan =33=AC BC ∴∠A=30°∠B=60°……………………10分△ABC 的各内角∠A=30°∠B=60°∠C =90° 其他方法，请参照评分.24. (1)∵AB=AC ∴∠B=∠C ……………………1分∵∠DFB =∠C+∠CDF,∠DFE=∠B=∠C ………2分 ∴∠CDF=∠EFB ……………………3分 ∴△BEF ∽△CFD ……………………4分AEE OAC D∴EFBFDF CD =……………………5分 (2) ∵EF ∥CD ， ∴∠EFB=∠C∵∠CDF=∠EFB,∴∠CDF=∠C ……………………6分 ∵F 为BC 的中点，∴E 为AB 中点，FB=FC=FD …………7分 联接DB ，∠FDB =∠FBD ； ……………………8分∴∠CDB==2180090°， DE= 21AB=3 ……………………10分 其他方法，请参照评分.25．解：〔1〕二次函数)3)(1(--=x x y 的图像向左平移1个或3个单位，新图像通过坐标原点………………………………………………………………2分 〔2〕小胡所写的抛物线为342---=x x y ，……………………………4分其图像与原抛物线〔342+-=x x y 〕的图像关于坐标原点对称。
上海市宝山区度第一学期期末考试九年级数学试卷
2016学年宝山区第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、已知30,A ∠=︒下列判断正确的是（ ）1.sin 2A A =1.cos 2B A =1.tan 2C A =1.cot 2D A =2、如果C 是线段AB 的黄金分割点C ，并且,1,AC CB AB >=那么AC 的长度为（ ）2.3A1.2B.C.D 3、二次函数223y x x =++的定义域为（ ）.A 0x >.B x 为一切实数.C 2y >.D y 为一切实数4、已知非零向量a b 、r r 之间满足3a b =-r r，下列判断正确的是（ ）.A a r的模为3.B a r 与b r的模之比为3:1- .C a r 与b r平行且方向相同.D a r 与b r平行且方向相反5、如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ）.A 南偏西30°方向.B 南偏西60°方向 .C 南偏东30°方向 .D 南偏东60°方向6、二次函数2()y a x m n =++的图像如图，则一次函数y mx n =+的图像经过（ ）.A 第一、二、三象限.B 第一、二、四象限 .C 第二、三、四象限 .D 第一、三、四象限二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知23a b =，那么_______.ab= 8、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为__________.9、如图，D 为ABC D 的边AB 上一点，如果ACDABC ??时，那么图中_________是AD 和AB 的比第6题例中项.10、如图，ABC D 中90,C ??若CD AB ^于D ，且4,9,BD AD ==则tan _______.A =11、计算：2(3)5__________.a b b +-=r r r12、如图，G 为ABC D 的重心，如果13,10,AB AC BC ===那么AG 的长为___________. 13、二次函数25(4)3y x =-+向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是______________________.14、如果点(1,2)A 和点(3,2)B 都在抛物线2y ax bx c =++的图像上，那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线________________.15、已知1(2,)A y 、2(3,)B y是抛物线21)y x =--+的图像上两点，则12____.y y （填不等号）16、如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度_______.i = 17、数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如2y ax bx c =++的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a b c 、、称为该抛物线的特征数，记作：特征数a b c ｛、、｝， （请你求）在研究活动中被记作特征数为43｛1、、｝-的抛物线的顶点坐标为________________. 18、如图，D 为直角ABC D 的斜边AB 上一点，DE AB ^交AC 于E ，如果AED D 沿着DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果18,tan ,2AC A ==那么:___________.CF DF =三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）第9题B第10题AB第12题B 第18题A19、计算：0cot 45cos30(2017)tan 602sin 45p °-?-??20、如图，在ABC D 中，点D E 、分别在边AB AC 、上，如果DE BC ∥，且23DE BC =. （1）如果6,AC =求CE 的长；（2）设,,AB a AC b ==u u u r r u u u r r 求向量DE uuu r（用向量a b 、r r 表示） .21、如图，AB CD 、分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD 大楼的P 处窗口观察AB 大楼的底部B 点的俯角为45°，观察AB 大楼的顶部A 点的仰角为30°，求大楼AB 的高.22、直线3:64l y x =-+交y 轴于点A ，与x 轴交于点B ，过A B 、两点的抛物线m 与x 轴的另一个交点为C ，（C 在B 的左边），如果5,BC =求抛物线m 的解析式，并根据函数图像指出当m 的函数值大于第20题B第21题PBl 的函数值时x 的取值范围.23、如图，点E 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点（不与A C 、重合），作EF AC ^交边BC 于点F ，联结AF BE 、交于点G . （1）求证：CAF CBE ∽D D ；（2）若:2:1,AE EC =求tan BEF Ð的值.第23题BA24、如图，二次函数232(0)2y ax x a =-+?的图像与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点,C 已知 点(4,0)A -.（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标.第24题25、如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、同时从点B 出发，点P 以1/cm s 的速度沿着折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。
宝山区九年级一模数学卷含答案
2014学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1. 本试卷含四个大题，共 26题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤..选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答 题纸的相应位置上.】4. 已知非零向量a 、b 、c ,下列命题中是假命题的是 1.如图，在直角厶 ABC 中， C 90 ° , BC=1 , AC= 2 , F 列判断正确的是A ./A=30 °;B ./A=45 °;C .cotA ，D .tan A 」22.如图，△ ABC 中，D 、E 分别为边 AB 、AC 下歹u 判断错误的是 ..................... (AD AEAD DEADA .; B .; C.-DB EC DB BC AB上的点,DE // BC3.如果在两个圆 中有两条相等的弦，那么 A •这两条弦所对的圆心角相等; C •这两条弦都被与它垂直的半径平分;AE AC ;AD DE D . ■AB BCB •这两条弦所对的弧相等; D •这两条弦所对的弦心距相等.A .如果a 2b ，那么a // b ; b ,那么 a // b ;C .如果a5.已知O O 半径为3, M 为直线B .如果a D .如果aAB 上一点，若 MO=3 ,□ ―►-2b ，那么a //2b , b 2c 那么 a //则直线AB 与O O 的位置关系D .相切或相交1D 为AB 的三等分点（AD= BD ）,2三角形边上的动点 E 从点A 出发，沿A T C -B 的方向运动，到达点B 时停止.设点E 运动的路程为x , DE 2=y ，则y 关于x 的函数图象 大致为 （ ................... ）A .相切;B .相交;C .相切或相离; 6.如图边长为3的等边△ ABC 中,第1题.填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.线段b 是线段a 和c 的比例中项，若a =i , b =2，则c =_ ▲. & 两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为 一 ▲.9. 已知两圆半径分别为 3和7,圆心距为d ,若两圆外离，贝U d 的取值范围是▲.10. 已知 ABC 的三边之比为2:3:4，若△ DEF 与 ABC 相似，且△ DEF 的最大边长为20, 则厶DEF 的周长为 _ ▲_.11. 在 ABC 中，cotA —,cosB —，那么 C ▲.3 212. B 在A 北偏东30o 方向(距A ) 2千米处，C 在B 的正东方向(距 B ) 2千米处， 则C 和A 之间的距离为_ ▲_千米.13. 抛物线y (x 3)2 4的对称轴是 _▲ _____ .14. 不经过第二象限的抛物线 _______________ y ax 2 bx c 的开口方向向 亠 ▲.15. 已知点A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)为函数y = — 2(x — 1)2 + 3的图象上的两点，若 X 1>x 2>1，则y 1__A __y 2。
上海宝山区2022届九年级初三数学一模试卷+答案
2022年上海市宝山区中考数学一模试卷2022.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果23a b =，且b 是a 和c 的比例中项，那么b c 等于（）A.34 B.43 C.32 D.232.在比例尺为1:5000的地图上，如果A B 、两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（）A.50000米B.5000米C.500米D.50米3.已知c 为非零向量，2,3a c b c ==-，那么下列结论中，不正确的是（）A.23a b = B.32a b =- C.320a b += D.a b ∥4.如图，已知Rt ,ABC CD 是斜边AB 边上的高，那么下列结论正确的是（）A.tan CD AB B =⋅B.cot CD AD A=⋅C.sin CD AC B=⋅ D.cos CD BC A =⋅5.把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A.()215y x =-+ B.()211y x =-+C.()213y x =++ D.()233y x =-+6.下列格点三角形中，与右侧已知格点ABC 相似的是（）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知点B 在线段AC 上，2AB BC =，那么:AC AB 的比值是_________．8.如果x y y -的值是黄金分割数，那么x y的值为_________．9.计算：22sin 30cos 45 ＋＝_________．10.在Rt ABC 中，90C ∠= ，如果34AC BC =，那么sin A 的值是_________．11.已知二次函数2113y x x =+-，当3x =-时，函数y 的值是_________．12.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y 万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为(0)x x >，那么y 关于x 的函数解析式为_________．13.如果抛物线221y x x m =++-的顶点在x 轴上，那么m 的值是_________．14.已知ABC 的两条中线AD BE 、相交于点F 如果10AF ＝，那么AD 的长为_________．15.如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD 为3米，路基高为1米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，那么路基的下底宽BC 是_________米．16.如图，已知一张三角形纸片,5,2,4ABC AB BC AC ===，点M 在AC 边上．如果过点M 剪下一个与ABC 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM x =，那么x 的取值范围是_________．17.如图，在矩形ABCD 中，3,5AB BC ==，点P 在CD 边上，联结AP ．如果将ADP 沿直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么ADP ABCP S S 四边形的值为_________．18.如果一条抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知()2>0y x bx b =+的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为_________．。
2023上海宝山区中考数学一模试卷及答案
2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为厘米．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+=．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为︒．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为．（不要求写出定义域）15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为2cm ．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan 452cos 60|1cot 30|sin 601︒︒--︒+︒-．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+【分析】根据比例的性质进行判断即可．解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．解：:1:3AD BD = ，∴14AD AB =，∴当14AE AC =时，AD AEAB AC=，//DE BC ∴，故A 选项能够判断//DE BC ；而C ，B ，D 选项不能判断//DE BC ．故选：A ．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a 与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 【分析】由//,//a c b c，可得//a b ，则a 与b 的方向相同或相反；由||2||a b = 可知，a 与b 的方向相同或相反；由0a b += ，可得a b =- ，则a 与b 的方向相反，由3ac = ，2b c =，可得1132c a b == ，则a与b 的方向相同，即可得出答案．解：对于A 选项，由//,//a c b c，可得//a b ，∴a与b 的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于B 选项，a与b 的方向相同或相反，故B 选项不符合题意；对于C 选项，由0a b += ，可得a b =-，∴a与b 的方向相反，故C 选项不符合题意；对于D 选项，由3a c = ，2b c =，可得1132c a b == ，∴a与b 的方向相同，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 【分析】过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，根据垂直定义可得90ABO ∠=︒，根据已知可得2OB =，1AB =，然后在Rt ABO ∆中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．解：如图：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，90ABO ∴∠=︒， 点(2,1)A ，2OB ∴=，1AB =，在Rt ABO ∆中，1tan 2AB OB β==，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．解：将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为2(3)3y x =-+，故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD ，由AC BC >，可得以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若C 与斜边AB 有两个公共点，即可得出R 的取值范围．解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB ∠=︒ ，3AC =，4BC =，5AB ∴==，ABC ∆ 的面积1122AB CD AC BC =⋅=⋅，125AC BC CD AB ⋅∴==，即圆心C 到AB 的距离125d =，AC BC < ，∴以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，∴若C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是1235R < ．故选：C ．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =4．【分析】根据线段比例中项的概念::a c c b =，可得216c ab ==，即可求出c 的值．解： 线段c 是a 、b 的比例中项，22816c ab ∴===，解得：4c =±，又 线段是正数，4c ∴=．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为18厘米．【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24x =，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+= 5a b -- ．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．解：2()3()a b a b --+ 2233a b a b=--- 5a b =-- ．故答案为：5a b -- ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是0a <．【分析】由抛物线的开口方向与a 的关系求解．解： 抛物线2y ax =的开口方向向下，0a ∴<，故答案为：0a <．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与a 的符号的关系．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是直线1x =．【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为60︒．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．解： 正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660︒÷=︒，故答案为：60．【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是01d < ．【分析】根据点在圆内，0d r <，可得结论．解： 点A 在圆内，01d ∴< ，故答案为：01d <．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>②点P 在圆上d r ⇔=．③点P 在圆内d r ⇔<．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为(122)y x x =-．（不要求写出定义域）【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(122)x -米，再利用矩形的面积公式，即可得出y 关于x 的函数解析式．解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x 米，∴花圃平行于墙的一边长为(122)x -米．根据题意得：(122)y x x =-．故答案为：(122)y x x =-．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数解析式是解题的关键．15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为272cm ．【分析】连接CG 并延长交AB 于H ，由G 为ABC ∆的重心，可得23CG CH =，而//EF AB ，有CEF CAB ∆∆∽，23CE CG CA CH ==，故224()39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，有1549x x -=，即可解得答案．解：连接CG 并延长交AB 于H ，如图：G 为ABC ∆的重心，2CG GH ∴=，∴23CG CH =，//EF AB ，CEF CAB ∴∆∆∽，23CE CG CA CH ==，∴23EF CE CG AB AC CH ===，∴224(39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，则2(15)CEF S x cm ∆=-，∴1549x x -=，解得27x =，故答案为：27．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于7．【分析】设另一个圆的半径长为r，根据两圆内切得出25-=，再求出r即可．rr-=或25解：设另一个圆的半径长为r，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，r-=，∴-=或25r25解得：7r=-（半径不能为负，舍去），r=或3所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a，()b a b>，两圆的圆心距为d，那么当a b d-=时，两圆的位置关系是内切．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为11或21．【分析】设半径长分别为13和20的A、B相交于点E、点F，24EF=，连接AE、BE，则13BE=，再分两种情况讨论，一是点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交AE=，20EF于点C，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得90CE CF==，BCE∠=︒，12可由勾股定理求得16=-=；二是点A、点B在直线EF的AB BC ACBC=，5AC=，则11异侧，BA 交EF 于点D ，则16BD =，5AD =，21AB BD AD =+=．解：半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，如图1，点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，AB 垂直平分EF ，90BCE ∴∠=︒，11241222CE CF EF ===⨯=，16BC ∴===，5AC ===，16511AB BC AC ∴=-=-=；如图2，点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，90BDE ADE ∠=∠=︒ ，11241222DE DF EF ===⨯=，16BD ∴==，5AD ===，16521AB BD AD ∴=+=+=，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点评】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为1．【分析】由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，可得36ABF CBF ∠=∠=︒，进而可得AF BC =，设BC AF x ==，则2CF x =-，结合已知条件证明BCF ACB ∆∆∽，则BC CF AC BC =，即22x x x-=，求出x 的值，即可得出答案．解：由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，ABF CBF ∴∠=∠，AB AC = ，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒，36ABF CBF ∴∠=∠=︒，AF BF ∴=，18072BFC C CBF ∠=︒-∠-∠=︒，BC BF ∴=，AF BC ∴=，设BC AF x==，则2CF x=-，A CBF∠=∠，BCF ACB∠=∠，BCF ACB∴∆∆∽，∴BC CFAC BC=，即22x xx-=，解得1x=或1（舍去），1AF∴=-．1-．【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan452cos60|1cot30|sin601︒︒--︒+︒-．【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．解：原式12|1|2=⨯-11)=-+112)=-+-24=---2=--．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得E 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E 的坐标．解：（1）由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．（2）由（1）得，223y x x =--．∴该抛物线的对称轴是直线1x =．点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D 的横坐标为2-，E ∴的横坐标是4．∴当4x =时，16835y =--=．(4,5)E ∴．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．【分析】（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，先根据垂径定理得到3AE BE ==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中利用勾股定理得到2223(2)r r +-=，然后解方程即可；（2）连接OB ，如图，先利用3DE EC =得到OE CE =，即12OE OA =，再利用正弦的定义得到30A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOB ∠即可．解：（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，CD 平分AB ，3AE BE ∴==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中，2223(2)r r +-=，解得134r =，即O 的半径为134；（2）连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=，OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==，在Rt OAE ∆中，1sin 2OE A OA == ，30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180120AOB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，即弦AB 所对的圆心角的度数为120︒．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）【分析】过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG =米，3CG BF ==米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x︒===，解得AB =，则(3)AF =+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，可得AF DF =，即3x =+，求出x 的值，进而可得答案．解：过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，60ACB ∠=，CG BF =，BC FG =，斜坡CD 的坡度i =∴CG DG =，即DG =，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得222)6CG +=，解得3CG =，DG ∴=米，3BF =米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x ︒===，解得AB ，(3)AF ∴=+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，AF DF ∴=，即3x +=+解得3x =，(3AF ∴=+米．∴灯的顶端A 与地面DE 的距离为(3+米．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到//AB CD ，AB CD =，则2AB CM =，CM DM =，再证明ABF CMF ∆∆∽，利用相似比得到2BF AB FM CM ==，同理方法证明CMF DMG ∆∆∽，则1FM CM MG DM==，所以22BF FM MG ==，然后利用224BF FM =，24FM BG FM ⋅=可得到结论；（2）先利用AB CD =得到CD =，22CM =，则22CG CM CD CG ==，加上MCG GCD ∠=∠，则可判断CMG CGD ∆∆∽，所以MGC DEC ∠=∠，然后利用平行线的性质得到EDC ACD BAC ∠=∠=∠，从而得到结论．【解答】证明：（1） 四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，M 是边CD 的中点，2AB CM ∴=，CM DM =，//AB CM ，ABF CMF ∴∆∆∽，∴2BF AB FM CM==， 四边形ACED 为平行四边形，//AC DE ∴，CMF DMG ∴∆∆∽，∴1FM CM MG DM==，22BF FM MG ∴==，224BF FM = ，244FM BG FM FM FM ⋅=⋅=，2BF FM BG ∴=⋅；（2）AB = ，AB CD =，CD ∴=，CM =，∴CG CD =，CM CG =，∴CG CM CD CG=，MCG GCD ∠=∠ ，CMG CGD ∴∆∆∽，MGC DEC ∴∠=∠，//AC CD ，EDC ACD ∴∠=∠，//AB CD ，BAC ACD ∴∠=∠，BAC BGC ∴∠=∠．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，求出BH =（3）因为45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，即可求解；②当ECF CAO ∠=∠时，同理可解．解：（1）由题意得：2(1)(2)2y x x x x =-+-=-++，则翻折后的函数表达式为：22y x x =--，即()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++-=⎨---<<⎩或 ；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，则1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，即32BH ⨯=，解得：BH =则sin BH ACB BC ∠==，则tan 3ACB ∠=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：2y x =-，设点(,0)P m ，在点(,2)E m m -，点2(,2)F m m m --或2(,2)m m m -++，则CE =，22FE m m =-+或24m -，如下图45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，即tan tan 3ECF ACB ∠=∠=，在CEF ∆中，过点F 作FH CE ⊥于点H，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：12m =或3414+（不合题意的值已舍去）；②当ECF CAO ∠=∠时，则tan tan 2ECF CAO ∠=∠=，同理可得：3t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：23m =或23+（不合题意的值已舍去）；综上，点P 的坐标为：1(2，0)或3(4+，0)或2(3，0)或2(3+，0)．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．【分析】（1）作CG AB ⊥于G ，解直角三角形BCG ，求得BG 和CG ，进而解直角三角形ACG ，求得AC ，从而得出AC AB =，进一步得出DCF CBD ∠=∠，从而CDF BDC ∆∆∽，进一步得出结论；（2）作DG CE ⊥于G ，解直角三角形BEG ，求得112EF BE ==，3CF CE EF =-=，解Rt DCG ∆，得出3tan 4DG AE DCF CG CE ∠===，进而设3DG a =，4CG a =，5CD a =，从而32a FG =，进而由CG FG CF +=得，3432a a +=，进一步得出结果；（3）由两种情形：当CF DF =时，可推出CD BC ==作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，进而证明DCK CBG ∆≅∆，从而2CK BG ==，4DK CG ==，进而求得BD ，根据（1）：2CD DF BD =⋅，求得DF ，进而求得BF ，进一步得出结果；当CD CF =时，可推出BD BC ==，作BH AC ⊥于H ，可得出4CD =，同样根据（1）2CD DF BD =⋅求得5DF =，进一步得出结果．【解答】（1）证明：如图1，作CG AB ⊥于G ，1cot 2BG ABC CG ∴∠==，cos ABC ∴∠=，2BG ∴=，24CG BG ==，3AG AB BG ∴=-=，5AC ∴=，AC AB ∴=，ACB ABC ∴∠=∠，ABD BCE ∠=∠ ，DCF CBD ∴∠=∠，CDF CDF ∠=∠ ，CDF BDC ∴∆∆∽，∴DF CD CD BD=，2CD DF DB ∴=⋅；（2）解：如图2，作DG CE ⊥于G ，CE AB ⊥ ，//DG AB ∴，FDG ABD BCE ∴∠=∠=∠，1tan tan tan 2EF BE FDG ABD BCE BE CE ∴∠=∠==∠==，112EF BE ∴==，3CF CE EF ∴=-=，在Rt DCG ∆中，3tan 4DG AE DCF CG CE ∠=== ，∴设3DG a =，4CG a =，5CD a =，32a FG ∴=，由CG FG CF +=得，3432a a +=，611a ∴=，30511CD a ∴==；（3）解：如图3，当CF DF =时，CDF ACF ∠=∠，ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，90DKC CGB ∴∠=∠=︒，DCB ABC ∠=∠ ，()DCK CBG AAS ∴∆≅∆，2CK BG ∴==，4DK CG ==，2BK BC CK ∴=-=，BD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，2DF ∴==BF BD DF ∴=-=:5DF BF ∴=+如图4，当CD CF =时，CDF CFD BCD ∠=∠=∠，BD BC ∴==，作BH AC ⊥于H ，22CD DH CH ∴==，4BH CG ==，2DH BG ==，4CD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，24DF ∴=，DF ∴=852555BF BD DF ∴=-==，:4:1DF FB ∴=，综上所述：DF ；5FB =+或4:1．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．。
九年级数学上学期期末质量调研试题沪科版
B ACD 第2题 y x O A 第6题2018年上海市宝山区九年级第一学期期末考试数学试题考试时刻100分钟，总分值150分一、选择题（本大题共6题，每题4分，总分值24分）1．符号tan A 表示（）．(A)∠A 的正弦； (B)∠A 的余弦； (C)∠A 的正切； (D)∠A 的余切． 2．如图△ABC 中∠C ＝90°，若是CD ⊥AB 于D ，那么（）．(A)CD ＝12AB ； (B) BD ＝12AD ； (C) CD 2＝AD ·BD ； (D) AD 2＝BD ·AB ．3．已知a 、b 为非零向量，以下判定错误的选项是（）． (A) 若是a ＝2b ，那么a ∥b ；(B)若是a ＝b ，那么a ＝b 或a ＝－b ；(C) 0的方向不确定，大小为0； (D) 若是e 为单位向量且a ＝2e ，那么a ＝2．4．二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图像的开口方向为（）．(A) 向上； (B) 向下； (C) 向左； (D) 向右．5．若是从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（）．(A)俯角30°方向； (B)俯角60°方向；(C)仰角30°方向； (D)仰角60°方向．6．如图，若是把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 向上方平移22个单位后，其极点在直线y ＝x 上的A 处，那么平移后的抛物线解析式是（）．(A) y ＝(x ＋22)2＋22； (B) y ＝(x ＋2)2＋2；(C) y ＝(x －22)2＋22； (D)y ＝(x －2)2＋2．二、填空题（每题4分，共48分）7．已知2a ＝3b ，那么a ∶b ＝_________．8．若是两个相似三角形的周长之比1∶4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_________．9．如图，D 、E 为△ABC 的边AC 、AB 上的点，当_________时，△ADE ∽△ABC 其中D 、E 别离对应B 、C ．（填一个条件）10．计算：()134522a b b -+=_________． 11．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝10，BC 上的高AD ＝6，正方形EFGH 的极点E 、F 在BC 边上，G 、H 别离在AC 、AB 边上，那么此正方形的边长为_________．12．若是一个滚筒沿斜坡向正下直线转动13米后，其水平高度下降了5米，那么该斜坡的坡度i ＝_________．13．如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形，那么tan ∠CAF ＝_________．14．抛物线y ＝5 (x －4)2＋3的极点坐标是_________．15．二次函数y ＝－2(x －1)2＋3的图像与y 轴的交点坐标是_________． 16．若是点A (0，2)和点B (4，2)都在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像上，那么此抛物线在直线_________的部份是上升的．（填具体某直线的某侧）17．如图，点D 、E 、F 别离为△ABC 三边的中点，若是△ABC 的面积为S ，那么以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积是__________．18．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 的中点，联结AM ，将BM 沿某一过M 的直线翻折，使B 落在AM 上的E 处，将线段AE 绕A 顺时针旋转必然角度，使E 落在F 处，如果E 在旋转进程中曾经交AB 于G ，当EF ＝BG 时，旋转角∠EAF 的度数是______________．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；总分值78分）19．（此题总分值10分）计算：01sin60tan60cos45sin30π︒︒︒︒－＋(＋)－20．（此题总分值10分，每题各5分）如图，AB∥CD∥EF，而且线段AB、CD、EF的长度别离为五、3、2．（1）求AC：CE的值；（2）若是AE记作a，BF记作b，求CD（用a、b表示）．21．（此题总分值10分）已知在口岸A的南偏东75°方向有一礁石B，轮船从口岸动身，沿正东北方向（北偏东45°方向）前行10里抵达C后测得礁石B在其南偏西15°处，求轮船行驶进程中离礁石B的最近距离．22．（此题总分值10分，每题各5分）如图，在直角坐标系中，已知直线y＝12x＋4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为(－2，0)．（1）求通过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）若是M 为抛物线的极点，联结AM 、BM ，求四边形AOBM 的面积．23．（此题总分值12分，每题各6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G ．（1）求证：G AE AC EG C ＝； （2）假设AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．24．（此题共12分，每题各4分）设a，b是任意两个不等实数，咱们规定：知足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全部叫做闭区间，表示为[a，b]．关于一个函数，若是它的自变量x与函数值y知足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，咱们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，因此说函数y＝－x＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y＝x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数2018yx是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判定并说明理由；（2）若是已知二次函数y＝x2－4x＋k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；（3）若是（2）所述的二次函数的图像交y轴于C点，A为此二次函数图像的极点，B为直线x＝1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．25．（此题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：BE＝1：2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．（1）求sin∠ABC；（2）求∠BAC的度数；（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其概念域．。
2023学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷
2023学年第一学期九年级期终学业质量调研数学 试卷（时间： 100分钟，满分： 150分） 2024.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列图形中，一定相似的是（ ）（A ）两个等腰三角形； （B ）两个菱形； （C ）两个正方形； （D ）两个等腰梯形． 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =5，BC =12，那么cot A 等于（ ）（A ） ； （B ） ； （C ） ； （D ） ．3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠ADE =∠C ，则下列判断错误．．的是（ ） （A ）∠AED =∠B ； （B ）DE AC BC AE ⋅=⋅； （C ）AD AB AE AC ⋅=⋅； （D ）． 4．下列说法中，正确的是（ ）（A ）()0a a +-=； （B ）如果e 是单位向量，那么1e =；（C ）如果||||a b =，那么a b =； （D ）如果a 是非零向量，且2b a =-，那么a ∥b ． 5．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，点F 、G 在 边BC 上，且EF ∥AB ，EG ∥AC ，则下列结论一定正确的是（ ） （A ）EF ACAB EG =； （B ）BF DG FD GC =； （C ）DF DC DE DA =； （D ）BD AC FD EG =． 6．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①1c =；②0ab <；③=0a b c -+；④当1x >-时，0y >．其中正确结论的个数是（ （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．E C AE D BA（第5题图）（第3题图） 2AED ABC DE BC S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭5121255131213（第16题图）（第17题图）（第15题图）（第13题图）二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7． 如果 ，那么 ▲ ． 8． 已知线段AB =2，点P 是AB 的黄金分割点，且AP < BP ，那么BP = ▲ ．9． 已知向量a 与单位向量e 方向相同，且3a =，那么a = ▲ ．（用向量e 的式子表示） 10．如果两个相似三角形的周长比为1∶3，那么它们的面积比为 ▲ ． 11．如果抛物线22y x bx =++的对称轴是直线x =2，那么b 的值等于 ▲ ． 12．如果点A （2，1y ）和点B （3，2y ）是抛物线2y xm =+（m 是常数）上的两点，那么1y ▲2y ．（填“>”、“=”、“<”）13．如图，某人沿着斜坡AB 方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB 的坡比i = ▲ ．14．如果抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的顶点在x 轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是 ▲ ．（只需写一个）15．如图，点G 为等腰直角三角形ABC 的重心，∠ACB =90°，联结CG ， 如果AC=CG = ▲ ．16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，那么sin ∠BOD 的值为 ▲ ．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4．点E 在边AD 上，将△CDE沿直线CE 翻折，点D 的对应点为点G ，延长DG 交边AB 于点F ， 如果BF =1，那么DE 的长为 ▲ ．18．规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①，当∠P 1MN >90°时，线段P 1M 的长度是点P 1到线段MN 的距离；当∠P 2GN =90°时，线段P 2G 的长度是点P 2到线段MN 的距离； 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，AC=tan B =2，点D 为边AC 上一点，AD =2DC ，如果点Q 为边AB 上一点，且点Q 到线段DC 的距离不超过，设AQ 的长为d ，那么d 的取值范围为 ▲ ．OD CBABAP 2G P 1NM 43=ab DCBA -=a bb5（第18题图①）（第18题图②）三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）()02sin 45cos30︒︒+20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC =2AD ，OD =1． （1）求BD 的长；（2）如果AB a =，BC b =，试用a 、b 表示向量OB ．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在△ABC 中，AB =AC=5，tan C= ，∠BAC 的平分线AD 交边BC 于点D ，点E 在边AC 上，且EC =2AE ，BE 与AD 相交于点F ． （1）求BC 的长； （2）求EF ∶BF 的值．22．（本题满分10分）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37°，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，BD ∥EF ，DE ⊥EF ，AF ⊥EF ），求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）FE DCBAFE DCBAODCBA（第21题图）（第20题图）34（第22题图）浦仓路桥23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，AD 与CE 相交于点F ，CD=CF ，2AC AE AB =⋅． （1）求证：△ABD ∽△ACF ；（2）如果∠CFD =2∠ACF ，求证：AB EF AD AE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过点A （1，2）和点B （2，1）， 与y 轴交于点C ．（1）求a 、b 的值和点C 的坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），当∠PCB =∠ACB求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA 上，设平移后的抛物线的顶点为点D ，当△CDP 与△CAP 相似时，求 平移后的抛物线的表达式．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =6，BC =8．点D 、E 分别在边AB 、BC 上，联结ED ， 将线段ED 绕点E 按顺时针方向旋转90°得到线段EF ．（1）如图，当点E 与点C 重合，ED ⊥AB 时，AF 与ED 相交于点O ，求AO ∶OF 的值； （2）如果AB =5BD （如图），当点A 、E 、F 在一条直线上时，求BE 的长； （3）如图，当DA =DB ，CE =2时，联结AF ，求∠AFE 的正切值．FE A FDC B AE（E ）FD C BAO（第25题（1）图）（第24题图）（第23题图）（第25题（2）图）（第25题（3）图）。
2021-2022学年上海市宝山区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市宝山区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在比例尺为1：1000000的地图上，量得一正方形的实验基地边长是1.2cm，实际上这个基地的边长是()A. 12米B. 120米C. 12千米D. 12千米2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=4，cosB=35，那么BC等于()A. 3B. 4C. 5D. 63.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分別与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是()A. 连接BD，可知BD是△ABC的中线B. 连接AE，可知AE是△ABC的高线C. 连接DE，可知DEAB =CEBCD. 连接DE，可知S△CDE：S△ABC=DE：AB4.下列命题中，正确的是()A. 如果e⃗为单位向量，那么a⃗=|a⃗|e⃗B. 如果a⃗、b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果a⃗=−b⃗ ，那么a⃗//b⃗D. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗5.将抛物线y=−3x2−1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为()A. y=−3(x+2)2+1B. y=−3(x−2)2−3C. y=−3(x+2)2−3D. y=−3(x−2)2+16.抛物线y=ax2+bx+c中，a>0，b>0，c<0，则抛物线的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若ab =37，则aa+b=______．8.已知点P是线段AB上的点，AB=4cm，且AP是AB和PB的比例中项，那么AP=______cm．9.已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，那么AP长为______ ．10.向量a⃗与单位向量e⃗的方向相反，且长度为5，那么用向量e⃗表示向量a⃗为______ ．11.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，cos∠ABC=13，点P在边AC上运动(可与点A，C重合)，将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为______．12.某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．设涨价x元，利润为y元，则y与x的函数关系为______．13.如图，将函数y=12(x−2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1,m)，B(4,n)平移后的对应点分别为点A′，B′，若新图象的函数表达式是y=12(x−2)2+4，则曲线段AB扫过的面积为______ (图中的阴影部分)．14.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−x2+2mx−m2+1的图象的对称轴是直线x=1，二次函数的解析式为______；该二次函数的最大值是______．15.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，sinC=35，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于M，分别以B、M为圆心，以大于12BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于D，则AD的长为______．16.将10cm长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值为____________．17.小明从山脚A出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B点，那么他所在的位置比原来的位置升高了______米．18.如图，△ABC中，AB=10，AC=6，BC=14，D为AC边上一动点(D不与A、C重合)，将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，连接CE，则△CDE面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：(12)−1−(2017−π)0−2sin45°+|√2−1|20.如图，线段AC与线段AB相交于A点，与射线CE相交于点C．(1)请按以下要求，完成作图：过点B作射线CE的垂线段BD，垂足为D，与线段AC交于点O；(2)在(1)条件下，若∠A与∠COD互余，请证明：AB//CE．21.已知函数y=13x2，y=13(x+3)2和y=13(x−3)2(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)讨论各个函数的性质．22.如图，∠ADE=∠C，AD=CE=2，AE=1，求DE的值．BC23.某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°.已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．24.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B(6,0)，C(−2,0)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)如图，连接PA、PB.设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m.请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(2)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE//x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.我们定义：如果两个三角形的两组对应边相等，且它们的夹角互补，我们就把其中一个三角形叫做另一个三角形的“夹补三角形”，同时把第三边的中线叫做“夹补中线．例如：图1中，△ABC与△ADE的对应边AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180°，AF是DE边的中线，则△ADE 就是△ABC的“夹补三角形”，AF叫做△ABC的“夹补中线”．特例感知：(1)如图2、图3中，△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，AF是△ABC的“夹补中线”；①当△ABC是一个等边三角形时，AF与BC的数量关系是：______；②如图3当△ABC是直角三角形时，∠BAC=90°，BC=a时，则AF的长是______；猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AF与BC的关系，并给予证明．拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠DCB=90°，∠ADC=150°，BC=2AD=6，CD=√3，若△PAD是等边三角形，求证：△PCD是△PBA的“夹补三角形”，并求出它们的“夹补中线”的长．参考答案及解析1.答案：C解析：解：实际上这个基地的边长是1.211000000=1200000cm=12千米，故选：C．根据实际距离=图上距离÷比例尺解答即可．此题考查比例线段，关键是根据实际距离=图上距离÷比例尺解答．2.答案：A解析：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴cosB=BCAB =35，∴可设BC=3x，则AB=5x，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，∴42+(3x)2=(5x)2，∴x=1，∴BC=3．故选：A．由cosB=35，可设BC=3x，则AB=5x，利用勾股定理求得x，进而得到BC的长度．本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．3.答案：B解析：解：A、连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD是△ABC的高，故本选项不符合题意．B、连接AE.∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE是△ABC的高，故本选项符合题意．C、连接DE.可证△CDE∽△CBA，可得DEAB =ECAC，故本选项不符合题意．D、∵△CDE∽△CBA，可得S△CDE：S△ABC=DE2：AB2，故本选项不符合题意，故选：B．根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质一一判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.答案：C解析：解：A、如果e⃗为单位向量，且e⃗与a⃗方向相同时，那么a⃗=|a⃗|e⃗，故本选项不符合题意．B、如果a⃗、b⃗ 都是单位向量且方向相同，那么a⃗=b⃗ ，故本选项不符合题意．C、如果a⃗=−b⃗ ，则向量a⃗与−b⃗ 的大小相等、方向相反，那么a⃗//b⃗ ，故本选项符合题意．D、若|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗与b⃗ 的模相等，但是方向不一定相等，即a⃗=b⃗ 不一定成立，故本选项不符合题意．故选：C．根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．本题主要考查了平面向量的知识，注意平面向量既有大小，又有方向，属于易错题．5.答案：C解析：解：抛物线y=−3x2−1的顶点坐标为(0,−1)，把点(0,−1)向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为(−2,−3)，所以平移后的抛物线解析式为y=−3(x+2)2−3．故选：C．先确定抛物线y=−3x2−1的顶点坐标为(0,−1)，再利用点平移的坐标变换规律得到点(0,−1)平移后所得对应点的坐标为(−2,−3)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.答案：C解析：解：∵a>0，b>0，∵a，b同号，∴对称轴在y轴的左侧，∵c<0，∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴顶点在第三象限．故选：C．由a，b同号可以推出对称轴在y轴的左侧，又c<0，可以得到抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以可以确定顶点位置．本题考查二次函数的图象与系数的关系．解答此题要熟知二次函数的图象的性质．7.答案：310解析：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各未知数是解题关键．直接利用已知表示出a，b的值，进而代入求出答案案．解：∵ab =37，∴设a=3x，则b=7x，则aa+b =3x3x+7x=310．故答案为：310．8.答案：−2+2√5解析：本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．设AP=x，则PB=4−x，根据AP2=AB·PB，列方程解答．解：设AP=xcm，则PB=AB−AP=(4−x)cm，根据题意知：AP2=AB·PB，即x2=4(4−x)，整理，得：x2+4x−16=0，解得：x=−2±2√5，∵x>0，∴x=−2+2√5，即AP=(−2+2√5)cm，故答案为：−2+2√5．9.答案：√5−1解析：解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，故答案为：√5−1．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP的长．本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12倍．10.答案：−5e⃗解析：解：∵a⃗的长度为5，向量e⃗是单位向量，∴a=5e，∵a⃗与单位向量e⃗的方向相反，∴a⃗=−5e⃗．故答案为：−5e⃗．根据向量的表示方法可直接进行解答．本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．11.答案：9√3解析：解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD=30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH=DH，∵cos30°=BHBP =√32，∴BH=√32BP，∴BD=√3BP，∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP=BA最大，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=12BC=3，∵cos∠ABC=13，∴BGAB =13，∴AB=9，∴BD最大值为：√3BP=9√3．故答案为：9√3．由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD=√3BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP=BA最大，求出AB的长即可解决问题．本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=√3BP是解题的关键．12.答案：y=−x2+30x+400(0≤x≤40)解析：解：根据题意得，涨价x元，则销量减少x个，于是，y=(40+x−30)(40−x)=−x2+30x+400(0≤x≤40)，故答案为：y=−x2+30x+400(0≤x≤40)，根据题意得，总销量=40−x，每个商品的销售利润=40+x−30=10+x，再根据总利润=销售量×每个商品的利润，列出函数解析式便可．本题考查二次函数的应用、构建二次函数是解决问题的关键，搞清楚利润、销售量、成本、售价之间的关系，属于中考常考题型．13.答案：9解析：解：∵A(1,m)，B(4,n)，∴曲线段AB扫过的面积=(x B−x A)×AA′=3AA′=3×3=9，故答案是：9．曲线段AB扫过的面积=(x B−x A)×AA′=3AA′=12，则AA′=4，即可求解．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据已知得出AA′是解题关键．14.答案：y=−x2+2x1解析：解：∵二次函数y=−x2+2mx−m2+1的图象的对称轴是直线x=1，=1，解得m=1，∴−2m2×(−1)∴二次函数的解析式为y=−x2+2x；∵y=−x2+2x=−(x−1)2+1，∴二次函数的最大值是1，故答案为y=−x2+2x；1．根据对称轴公式求得m的值，从而求得二次函数的解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得函数的最值．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15.答案：24√27解析：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6−x，CF=8−x，依据∠B=∠FDC，∠BDE=∠C可得△BDE∽△DCF，依据相似三角形对应边成比例即可得到AE的长，进而得出AD的长．此题主要考查了基本作图以及相似三角形的性质，正确运用相似三角形的性质列出比例式是解题关键．解：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由题可得AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是正方形，∴DE=DF，∠BAD=45°=∠ADE，∴AE=DE=AF=DF，∵∠BAC=90°，AB=6，sinC=3，5∴BC=10，AC=8，设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6−x，CF=8−x，易知∠B=∠FDC，∠BDE=∠C，∴△BDE∽△DCF，∴BEDF =EDFC，即6−xx=x8−x，解得x=247，∴AE=247，∴Rt△ADE中，AD=√2AE=247√2，故答案为：247√2．16.答案：20平方厘米解析：解：设等腰直角三角形的斜边为xcm，则正方形的边长为(10−x)cm.若等腰直角三角形的面积为S1，正方形面积为S2，则S1=12⋅x⋅12x=14x2，S2=(10−x)2，面积之和S=14x2+(10−x)2=54x2−20x+100．∵54>0，∴函数有最小值．即S最小值=4×54×100−2024×54=20(cm2).故答案为20平方厘米．17.答案：50解析：解：设小明所在的位置比原来的位置升高了x米，∵坡度为1：2.4，∴小明前进的水平宽度为2.4米，由勾股定理得，x2+(2.4x)2=1302，解得，x=50，即小明所在的位置比原来的位置升高了50米，故答案为：50．小明所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度的概念用x表示出小明前进的水平宽度，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．18.答案：1518解析：解：如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，∴∠EFD=∠BHD=90°，∵BH2=BC2−CH2，BH2=AB2−AH2，∴196−(6+AH)2=100−AH2，∴AH=5∵将线段BD绕D点顺时针旋转90°得到线段ED，∴BD=DE，∠BDE=90°，∴∠BDF+∠EDF=90°，且∠EAF+∠AEF=90°，∴∠AEF=∠BDF，且∠EFD=∠BHD=90°，BD=DE，∴△BDH≌△DEF(AAS)∴EF=DH，∵△CDE面积=12CD×EF=12(6−AD)×(5+AD)=−12(AD−12)2+1518∴△CDE面积的最大值为1518，故答案为1518；如图，过点E作EF⊥AC于F，作BH⊥AC于点H，由勾股定理可求可求AH=5，由旋转的性质可求BD=DE，∠BDE=90°，由AAS可证△BDH≌△DEF，可得EF=DH，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．19.答案：解：原式=2−1−2×√22+√2−1，=2−1−√2+√2−1，=0．)−1=21=2，解析：分别计算：①(12②(2017−π)0=1，③sin45°=√2，2④∵√2>1，∴|√2−1|=√2−1．最后代入按有理数的混合运算法则进行计算即可．本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算，是常考题型．20.答案：(1)解：如图，BD为所作；(2)证明：∵∠A与∠COD互余，∴∠A+∠COD=90°，∵∠COD=∠AOB，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，∵BD⊥EC，∴∠ODC=∠ABO=90°∴AB//CE．解析：(1)利用基本作图，过B点作BD⊥CE于D；(2)先根据∠A与∠COD互余，∠COD=∠AOB得到∠A+∠AOB=90°，利用三角形内角和得到∠ABO= 90°，所以OB⊥AB，然后根据平行线的判定方法得到结论．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了平行线的判定．21.答案：解：(1)三个函数的图象如图所示：(2)由图象可知函数y=13x2开口向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,0)；函数y=13(x+3)2开口向上，对称轴为x=−3，顶点坐标为(−3,0)；函数y=13(x−3)2开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,0)．(3)y=13x2当x<0时y随着x的增大而减小，当x>0时y随着x的增大而增大；y=13(x+3)2当x<−3时y随着x的增大而减小，当x>−3时y随着x的增大而增大；y=13(x−3)2当x<3时y随着x的增大而减小，当x>3时y随着x的增大而增大．解析：(1)利用描点法可画出这三个函数的图象；(2)分别由图象可得出开口方向、对称轴及顶点坐标．(3)根据二次函数的对称轴和开口方向确定其增减性即可．本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能够正确的作出二次函数的图象，掌握函数的性质．22.答案：解：∵AE=1，CE=2，∴AC=AE+CE=2+1=3，∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC，∵AD=2，AC=3，∴DEBC =23．解析：求出AC长，根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据已知推出△ADE∽△ACB是解此题的关键．23.答案：解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i=tan∠BAF=1√3=√33，∴∠BAF=30°，∴BF=12AB=5，AF=5√3．∴BG=AF+AE=5√3+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG=30°，∴CG：BG=√33，∴CG=5+5√3．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE−DE=5+5√3+5−15=(5√3−5)m．答：宣传牌CD高约(5√3−5)米．解析：此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G.分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=30°，求出CG的长；根据CD=CG+GE−DE即可求出宣传牌的高度．24.答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点B(6,0)，C(−2,0)，∴可设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−6)，∴−12a=6，解得a=−12，∴抛物线的表达式为：y=−12x2+2x+6，∴A(0,6)∴直线AB的表达式为：y=−x+6，点P的横坐标为m，则P(m,−12m2+2m+6)，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D(m,−m+6)，∴S=12×OB×PD=12×6×(−12m2+2m+6+m−6)=−32m2+9m=−32(m−3)2+272，∴当m=3时，S的值取最大，此时P(3,152)；(2)存在，理由如下：由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE=PD，由(1)可得，PD=−12m2+2m+6+m−6=−12m2+3m，∵PE//x轴，∴E(4−m,−12m2+2m+6)，∴PE=|2m−4|，∴|2m−4|=−12m2+3m，解得m1=−2(舍)，m2=4，m3=5+√17(舍)，m4=5−√17，∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为(4,6)，(5−√17,3√17−5)．解析：(1)可设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−6)，则有−12a=6，可求出抛物线解析式，过点P作PD⊥x轴，交线段AB于点D，则S=12OB⋅PD=−32m2+9m，当m=3时，S有最大值；(2)由题意可知PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE=PD，分别表达PD及PE，可求出m的值，进而求出点P的坐标．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．25.答案：解：(1)①AF=12BC；②12a；(2)解：猜想：AF=12BC，理由：如图1，延长DA到G，使AG=AD，连EG∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，∴AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180°，∴AG=AB，∠EAG=∠BAC，AE=AC，∴△AEG≌△ACB，∴EG=BC，∵AF是“夹补中线”，∴DF=EF，∴AF=12EG，∴AF=12BC；(3)证明：如图4，∵△PAD是等边三角形，∴DP =AD =3，∠ADP =∠APD =60°，∵∠ADC =150°，∴∠PDC =90°，作PH ⊥BC 于H ，∵∠BCD =90°∴四边形PHCD 是矩形，∴CH =PD =3，∴BH =6−3=3=CH ，∴PC =PB ，在Rt △PCD 中，tan∠DPC =CD DP =√33， ∴∠DPC =30°∴∠CPH =∠BPH =60°，∠APB =360°−∠APD −∠DPC −∠BPC =150°，∴∠APB +∠CPD =180°，∵DP =AP ，PC =PB ，∴△PCD 是△PBA 的“夹补三角形”，由(2)知，△PCD 的“夹补中线”=12CD =√32， ∴△PAB 的“夹补中线”=√32+(√32)2=√392． 解析：此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，新定义的理解和掌握，理解新定义是解本题的关键．(1)①先判断出AD =AE =AB =AC ，∠DAE =120°，进而判断出∠ADE =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论； ②先判断出△ABC≌△ADE ，利用直角三角形的性质即可得出结论；(2)先判断出△AEG≌△ACB ，得出EG =BC ，再判断出DF =EF ，即可得出结论；(3)先判断出四边形PHCD 是矩形，进而判断出∠DPC =30°，再判断出PB =PC ，进而求出∠APB =150°，即可利用“夹补三角形”即可得出结论．解：∵△ABC 与△ADE 是一对“夹补三角形”，∴AB =AD ，AC =AE ，∠BAC +∠DAE =180°，①∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =60°∴AD=AE=AB=AC，∠DAE=120°，∴∠ADE=30°，∵AF是“夹补中线”，∴DF=EF，∴AF⊥DE，在Rt△ADE中，AF=12AD=12AB=12BC，故答案为：AF=12BC；②当△ABC是直角三角形时，∠BAC=90°，∵∠DAE=90°=∠BAC，易证，△ABC≌△ADE，∴DE=BC，∵AF是“夹补中线”，∴DF=EF，∴AF=12DE=12BC=12a，故答案为12a；(2)见答案；(3)见答案．。