八年级数学下册 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法(4)教案 (新版)浙教版
浙教版八年级下册数学一元二次方程的应用学习课件
西C
A
东
B 南
巩固练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件 赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适 当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 多少元？
变式练习：
某商场销售一批名牌衬衫，每件进价60元,当售价为100 元时，平均每天可售出20件。为了扩大销售，增加利润， 商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬 衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与 每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(_x_+__3_)_ 株,平均单株盈利为__(3__-_0_._5_x__)元. 由题意,得
2
892
答:从2000年12月31日至2002年12月31日,我国上 网计算机总台数的年平均增长率为52.8﹪
（2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日 的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的 年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
想一想:
(1)已知哪段时间 3200 的年平均增长率? 2400
则降价多少元？
（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售 获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多
少元？(小组合作探究)
2、我校图书馆至去年年底藏书3.2万册,计划到明年年底 藏书达到5万册,若设每年平均增长率为x,则可列出方程 是( C )
浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案
浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案一. 教材分析《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》是浙教版数学八年级下册的一部分，本节课的主要内容是让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。
本节课的内容是学生学习了二次方程的解法之后进行的进一步研究，对于学生理解二次方程的性质，提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法，对于二次方程的基本概念有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生发现规律、总结规律的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生理解并掌握根与系数之间的关系。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具准备：笔记本、尺子、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次方程的解法，引导学生思考：二次方程的解与系数之间有什么关系？从而引出一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.呈现（10分钟）用多媒体课件呈现几个一元二次方程的例子，让学生观察并思考：这些方程的根与系数之间有什么关系？引导学生发现并总结出一元二次方程的根与系数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个例子，运用刚才总结出的规律，求出方程的根与系数。
浙教版数学八年级下册《一元二次方程》课件
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
浙教版八下数学知识点(完整版)
浙教版八年级数学下册知识点汇总八年级（下册）第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图像和性质第一章 二次根式1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。
1.2. 二次根式的性质()()0a 2≥=a a ()()⎩⎨⎧<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥⨯=b a b()0,0a >≥=b a ba b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
1.3. 二次根式的运算()0,0ab a ≥≥=⨯b a b()0,0a >≥=b a b ba第二章一元二次方程2.1一元二次方程像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。
ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。
2.2一元二次方程的解法1、因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，常见ax 2+bx=0（无常数项）、及类似3x(x -1)=x -1等也可以使用因式分解法。
2025年浙教版八年级下册数学期末复习专题三 一元二次方程的解法
A. ( − 3)2 =
C. ( −
4
3
3 2 13
) =
2
4
B. ( − 3)2 =
D. ( −
)
31
12
3 2 31
) =
2
12
变式2-2 [2024·杭州上城区期中] 用配方法解方程：
2 + 6 = −8.
【解】 2 + 6 = −8,
2
−
1
2
1
2
=
2 − +
1
，
8
1
16
1
8
= +
1
，
16
−
1
−
4
= 0.
1
3
，
4
16
1
3
则 − = ± ，
4
4
1+ 3
1− 3
∴ 1 =
，2 =
.
4
4
即( − )2 =
方法点拨：配方时，应先将二次项系数化为1，再在等式两
边同时加上变形后的一次项系数一半的平方.
变式2-1 [2024·东阳期中] 用配方法解一元二次方程
1+ 17
______.
2
【点拨】设 =
2
− + 1 = (
1 2 3
− ) + ，∵
2
4
3
4
∴≥ .
原方程变形得2 − − 4 = 0，
解得1 =
1+ 17
，2
2
=
1− 17
（舍去）.
一元二次方程课件(浙教版)
知识的升华
2.把下列方程化为一元二次方程的情势，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项：
方程
一般情势
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3
(x+2)(x -
1)=6 1x2 ＋1x－8＝0
1
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
2.1一元二次方程
交流合作
活动一
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x，可列出方程 X2+3x=4
x
x
x着竹竿
进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高
×2xx 3 2x2 1这个是吗
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化
为 ax2 bx c 0 的情势 我们把 ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般情势。
想一想
为什么要限制a≠0？ b,c可以为零吗?
a x 2 + b x + cc = 0 (a ≠ 0)
２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉
一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这
一问题列出方程．
2尺
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽
度为(x－4)尺,长 为 (x－2) 尺,依题
x
意得方程：
x－4
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
数学化 x－2
4尺
X2 + 3x =4 (x－4)2＋(x－2)2=x2
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第二章 一元二次方程2.1 一元二次方程
一般形式
（,,为已知数，）.
项及项的系数
二次项为；二次项系数为.
一次项为;一次项系数为.
常数项为.
特点
方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0.
注意（1）一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成一般形式；（2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列.
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的相关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程.2.认识一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.理解一元二次方程解（或根）的概念，会判断一个数是不是一元二次方程的解（或根），会应用解（或根）的概念解决问题.4.会根据实际问题中的数量关系列一元二次方程.
典例2下列哪些数是一元二次方程的解？,，,.
解：当时，左边，把未知数的值代入方程时，∵左边≠右边，不是方程的解;当时,左边,∵左边≠右边,不是方程的解;当时,左边,∵左边=右边,是方程的解;当时,左边,∵左边=右边,是方程的解.综上可知，1和3是一元二次方程的解.
知识点3 一元二次方程的一般形式 重点
（3）；
（3）方程左边多项式相乘，得，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为；
（4）．
（4）方程左右两边多项式相乘，得，移项、整理，得，二次项系数ห้องสมุดไป่ตู้1，一次项系数为，常数项为5．
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：一元二次方程解的概念的应用，主要考查将解代入方程求代数式的值.
选择题、填空题
（或）
[解析]根据题意和题图，得纸盒底面的长是，宽为，根据长方形的面积＝长×宽，列出方程为，整理得．
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
4.设计不同难度层次的习题，使学生在巩固基础知养其创新思维。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性；
2.培养学生勇于面对困难，敢于挑战自我的精神，使其在解决问题中增强自信心；
4.家长签字确认，加强对学生学习情况的了解和关注。
4.加强团队合作指导，提高学生的沟通协作能力；
5.关注学生个体差异，实施差异化教学，激发学生的学习兴趣和潜能。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：因式分解法解一元二次方程的步骤和方法，以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解一元二次方程的根的判别式及其与因式分解的关系；
（2）灵活运用因式分解法解决各种类型的一元二次方程；
4.能够根据一元二次方程的特点，选择合适的解法，提高解题效率；
5.通过练习，提高学生的运算速度和准确性。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师将采用以下过程与方法：
1.引导学生通过观察、分析、归纳一元二次方程的特点，发现因式分解法解一元二次方程的规律；
2.通过讲解、示范、练习等多种方式，帮助学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
（4）注重课堂反馈，及时调整教学进度和策略，提高教学效果。
3.教学评价：
（1）采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果；
（2）关注学生在小组合作中的表现，评价其团队协作能力和沟通能力；
（3）设置开放性问题，评价学生的创新思维和解决问题的能力；
（4）鼓励学生自我评价和相互评价，提高学生的自我认知和反思能力。
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法(3)教学设计(表格式)
选2个有代表性的学生解题过程予以呈现，一起分析、交流和纠正
2.书上P35作业题1用配方法解方程 时，配方结果正确的是（）
3.小老师：请检验以下解方程的步骤是否正确，若正确，则打√，若错误，则打×，并修改.
易错点：1.方程两边同加上一个常数时等号右边漏加。2.开方时，漏解。3.移项时，把符号弄错。
评价任务设计及评分细则
1.会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
2.会运用配方法给代数式配方，进行具体问题的解决，根据掌握程度的不同对学生进行评价。
教学重点难点
重点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
难点：例7中含有字母的代数式配成一个完全平方式，学生的思路很难形成，是学生的一个难点。
教学过程
教师巡逻，个别指导，选2个有代表性的学生解题过程予以呈现，一起分析、交流和纠正，并强调规范解题格式和步骤。
教师引导学生说出每步的依据及错误的原因，和总结归纳易错点。
教师巡逻，个别指导，最后一起分析、交流和纠正，并强调二次项系数先转化为1，并规范解题格式和步骤。
三、
学以致用
1.请完成以下填空：
思考：对于二次项系数不是1的二次三项式我们要配方需注意什么？
（4）这个方程的解法与上面第3小题的解法上相差几步？这一步怎么操作？
归纳用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤：1.除；2.移；3.配；4.开；5.解；6.写。（补充说明第1步和第2步可以相互转化）
2.思考：
（1）这个方程还能用前面其它的方法来解吗？
（2）能不能用因式分解法来解呢？
巩固训练：
B：能用三种方法中的一种解出方程，但不能与前面解过发方程思考比较的；
C：方程解错的。
公式法解二元一次方程+课件(数学八年级下学期浙教版
新知讲解
例8 用公式法解下列一元二次方程：
思考：用公式法解一
(1) 2x2-5x+3=0；
元二次方程的步骤是
解：对方程2x2 -5x+3= 0,
什么？
a=2,b =-5,c =3,b2 - 4ac =(-5)2 - 4×2×3=1
∴ x = -（-5）± 1 = 5 1
22
4
∴
x1
=
5+1 4
=
化简，得 1 x2 -3x+4 = 0 则a= 1 ,b=-3,c = 4
2
2
b2 - 4ac =(-3)2 - 4 1 4 =1 2
∴
x
=
3 2
1 1
=
3
1，即x1
=
4，x2
=
2
2
新知讲解
观察以上你所解的方程，方程根的情况与b2-4ac的值的关系如何？
从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看 出，方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定. 因此b2-4ac叫做 一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
新知讲解
你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
方程的两边同除以__a__，得 x2 +b x+ c = 0
移项，得x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2.2一元二次方程的解法（4）
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应
用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7
提问1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一
般形式的二次方程。）
2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）
（学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x
（老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程
（1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，
请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=242bbaca，x2=242bbaca(这个方程一
定有解吗?什么情况下有解？)
2
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步
骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+bax=-ca
配方，得：x2+bax+（2ba）2=-ca+（2ba）
2
即（x+2ba）2=2244baca
∵4a2>0，4a2＞0, 当b2-4ac≥0时2244baca≥0
∴（x+2ba）2=(242baca)2
直接开平方，得：x+2ba=±242baca 即x=242bbaca
∴x1=242bbaca，x2=242bbaca
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=242bbaca就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、
乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-2x+ 12=0 （4）4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补:（5）（x-2）（3x-5）=0
三、巩固练习
课内练习1、2.
四、应用拓展
3
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）22mx+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①211(1)(2)0mmm或②21020mm或③1020mm
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)
找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，
代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
见作业本．