数学二元一次方程中的数学思想
初中二元一次方程知识归纳
初中二元一次方程知识归纳二元一次方程是初中解方程的重要知识点，求解二元一次方程首先要明白其基础内容。
以下是店铺分享给大家的初中二元一次方程知识，希望可以帮到你!初中二元一次方程知识一.二元一次方程(组)的相关概念1.二元一次方程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组：二元一次方程组两个二元—次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解集：(1)二元一次方程的解适合一个二元一次方程的每一对未知数的值.叫做这个二元一次方程的一个解。
(2)二元一次方程的解集对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意二个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。
4.二元一次方程组的解：二元一次方程组可化为使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解。
二.利用消元法解二元一次方程组解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。
1.解法：(1) 代入消元法是将方程组中的其中一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，消去另一个未知数，得到一个解。
代入消元法简称代入法。
(2)加减消元法利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法消元的一般步骤为：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去一个未知数;②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数，得到一元一次方程;③解这个一元一次方程;④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值;⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
人教版初中数学《二元一次方程组》单元教材教学分析
重点、难点与关键
教学重点:
1.二元一次方程组的有关概念；
2.二元一次方程组的解法---代入法和加减法；
3.列二元一次方程组解决实际问题。
教学难点:
1.理解“消元”思想, 能够解简单的二元一次方程组；
单元目标
知识与技能:
1.以含有多个未知数的实际问题为背景, 经历“分析数量关系, 设未知数, 列方程组, 解方程组和检验结果”的过程, 体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2.了解二元一次方程组及相关概念, 能设两个未知数, 并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系。
3.了解二元一次方程组的基本目标: 使方程组逐步转化为x=a,y=b的形式, 体会“消元”的数学思想, 掌握解二元一次方程组的代入法和加减法, 能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
2.培养学生能够从日常生活中发现和提出与方程相关的问题, 并尝试从不同角度寻求解决问题的方法, 并在现实情境中加以运用, 切实提高学生的应用意识和能力。
情感态度与价值观:
1.初步体会二元一次方程（组）的应用价值, 感受数学文化；
2.渗透方程思想, 培养学生的方程意识；
3.在用方程解决实际问题的过程中, 体验数学的实用性, 提高学习数学的兴趣, 在探索解决问题的过程中, 敢于发表自己的见解, 理解他人的看法并与他人交流。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
在本单元的学习过程中因注意是学生感悟数学内容中蕴含的转化、模型等数学思想, 以及消元等数学方法。让学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程, 体验解决问题方法的多样性, 掌握解决问题和分析问题的一些基本方法, 允许不同学生从不同的角度认识问题, 采用不同的方式表达自己的想法, 用不同的思路与方法分析和解决问题, 有意识地培养学生的求异数学和不断创新的欲望, 一满足学生多样化的学习需要。同时, 还要鼓励学生以独立思考、自主探究、合作交流的方式发现和提出问题, 分析和解决问题。
初一数学下册：二元一次方程8大题型解题方法整理
初一数学下册：二元一次方程8大题型解题方法整理#初一数学二元一次方程——实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想：列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
3.要点诠释：（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
1和差倍数问题知识梳理:和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题：思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展：思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
2产品配套问题典型例题：思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展：思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
3工作量问题知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第八章8-2二元一次方程(组)的解法Ⅰ-代入法(能力提升)
第八章二元一次方程（组）8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升）【要点梳理】知识点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组例1．用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得732yx-=③将③代入②733382yy-⨯-=，解得13y=．将13y=代入③，得x＝3所以原方程组的解为313 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组2320, 2352y9.7x yx y--=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【答案】解：232235297x yx yy-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②将①代入②：2529 7y++=，得 y=4，将y=4代入①：2x－12=2得 x=7，∴原方程组的解是74 xy=⎧⎨=⎩.（2）45:4:3x yx y-=⎧⎨=⎩①②解：由②，设x=4k，y=3k 代入①：4k－4·3k=5 4k－12k=5－8k=558k=-∴542x k==-，1538y k==-，∴原方程组的解为52158 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.类型二、方程组解的应用例3.如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．例4.已知2564x yax by+=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b+的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组256 3516①x yx y+=-⎧⎨-=⎩③①+③得5x＝10，解得x＝2．把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以22 xy=⎧⎨=-⎩，又联立方程组48ax bybx ay-=-⎧⎨+=-⎩，则有224228a ba b+=-⎧⎨-+=-⎩，解得13 ab=⎧⎨=-⎩．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【巩固练习】一、选择题1．解方程组347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（ ）.A ．由①得743n m +=再代入②B ．由②得25109n m +=再代入① C ．由①得347m n =+再代入② D ．由②得91025m n =-再代入①2. 若二元一次方程式组的解为x=a ，y=b ，则a+b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x ，y 的方程y kx b =+，k 比b 大1，且当12x =时，12y =-，则k ，b 的值分别是（ ）.A ．13，23- B ．2，1 C ．-2，1 D ．-1，0 4．已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ＝ax+b 的解，则（ ）.A ．125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C ．121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩D ．121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5．如果二元一次方程组4x y a x y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a 的值是（ ）.A ．3B ．2C ．7D ．66．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩二、填空题7．已知51,62x t y t =+=-，用含y 的式子表示x ，其结果是_______．8．若方程组的解为，则点P （a ，b ）在第 象限．9．方程组的解是 ． 10．若532y x a b +与2244x y a b --是同类项，则x ＝ ________，y ＝ ________．11．已知方程组3524x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解也是方程 47135x y x by -=⎧⎨-=⎩的解，则a ＝ _____，b ＝ ____ ． 12.关于,x y 的二元一次方程组1353x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩中，m 与方程组的解中的x y 或相等，则m 的值为 .三、解答题13．用代入法解方程组：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩ （2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩14．研究下列方程组的解的个数：（1）21243x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）2123x y x y -=⎧⎨-=⎩； （3）21242x y x y -=⎧⎨-=⎩.你发现了什么规律？15．若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）．16.甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c，解得，求原方程组中a、b、c的值．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；2.【答案】A．【解析】把x=a，y=b代入方程组得：，将b=15a 代入5a-b=5,解得：，∴a+b=. 3. 【答案】A ；【解析】将12x =时，12y =-代入y kx b =+得1122k b -=+ ①，再由k 比b 大1得1k b -= ②，①②联立解得13k =，23b =-. 4. 【答案】B ；【解析】将24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩分别代入方程y ＝ax+b 得二元一次方程组：2441a b a b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,32a b =-=. 5. 【答案】B ；【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得. 6. 【答案】D.二、填空题7. 【答案】151x y =-+；8.【答案】四.【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3， 则P （2，﹣3）在第四象限．9.【答案】；【解析】解：解方程组， 由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2（2﹣2y ）+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．10．【答案】2， -1；【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案.11.【答案】3， 1；【解析】由题意得：35471x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，代入 2435ax y x by -=⎧⎨-=⎩，得关于a 、b 的方程组22465a b -=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩12. 【答案】12-2或； 【解析】解：解关于x，y 的方程组得21x y m =⎧⎨=--⎩，当x m =时，2m =；当y m =时，12m =-. 三、解答题13.【解析】解：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩①②将②代入①得，0.50.30.6 1.2y y +-=，得94y =， 将94y =代入①得，38x =-， 所以原方程组的解是3894x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ .（2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩①② 把3x+2y 看作整体，直接将①代入②得，2(52)117x x +=+，解得3x =-， 将3x =-代入①得，2y =-所以原方程组的解是32x y =-⎧⎨=-⎩． 14.【解析】解：（1）无解；（2）唯一一组解；（3）无数组解.规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）；当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）；当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）.15.【答案】解：将代入得，解得：．∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），∴当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2×=6．16.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=﹣5，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1．把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组，解得．故a=，b=，c=﹣5．。
曹冲称象与转化思想(二元一次方程组)
学习好资料 欢迎下载曹冲称象与转化思想河北省抚宁县留守营镇张各庄中学 刘兴宝 066301我们知道在许多历史故事当中，蕴涵着深邃的数学思想。
如果我们能够以这些历史故事来启迪我们的思维，那么我们就可以获得数学的灵感，从而提高我们的数学素养和文化素养。
请同学们读读下面的小故事，相信你一定能够从中得到启发！一头大象的体重，要用秤来称是很难想象的。
聪明的曹冲运用了这样一种方法：要知道大象的体重不能直接去称，那么，可把大象的体重转变为一块块石头的重量，而每一块石头是可以称出其重量的，最后由石头的重量还原为大象的体重。
这里曹冲运用了一个极为重要的思想：转化的思想，即把有待解决的问题，通过适当的方法转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。
在我们初中数学教材当中，运用转化方法的例子是很多的。
比如，多边形内角和定理是转化为三角形内角和定理得到解决的；分式方程是转化为整式方程得到解决的；方程组（不等式组）是转化为方程（不等式）得到解决的；等等。
下面的例子你能够运用转化的思想方法加以解决吗？例、解方程组：34194x y x y +=⎧⎨-=⎩分析：解方程（组）的实质就是“多元化一元”，“高次化一次”，采取的方法是（加、减代入）消元法和（因式分解、换元）降次法。
通过运用因式分解，将一个二元二次方程转化成两个二元一次方程，是为了达到降次的目的，同时采用代入消元法是为了达到消元的目的，使二元二次方程组最终转化为一元一次方程的求解问题。
解：由②得：y x +=4 ③把③代入①，得：194)4(3=++y y ，解得：y = 1把y = 1代入③，得，x = 5.∴原方程组的解为51x y =⎧⎨=⎩. 点评：数学家波利亚常说：解数学题，转化是关键，就是把那些陌生的较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种方式转化为某些熟悉的已经解决的或容易解决的数学问题。
它是数学思想方法体系主梁之一, 是解决数学问题的一种重要思想方法,它可以实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法•二元一次方程的解：•使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
•二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
一、消元法•“消元”是解二元一次方程的基本思路。
所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。
这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
•如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8•消元方法：•代入消元法(常用）•加减消元法（常用）•顺序消元法（这种方法不常用）•例：•x-y=3 ①•｛•3x-8y=4②•由①得x=y+3③•③代入②得•3（y+3)-8y=4•y=1•所以x=4•则：这个二元一次方程组的解•x=4•｛•y=1(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 ①｛14x+13y=40②②-①得x-y=-1x=y-1 ③把③代入①得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入③得x=1所以:x=1,y=2最后 x=1 ，y=2，解出来特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。
(二)代入法是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中如：x+y=590y+20=90%x带入后就是：x+90%x-20=590(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。
（三）另类换元例：x:y=1:4①5x+6y=29②令x=t,y=4t方程2可写为：5t+24t=2929t=29t=1所以x=1,y=4二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
(初中)九年级数学《二元一次方程》中考专题阶段复习讲解教学课件
【解析】设入住A类旅游饭店的会议x次，入住B类旅游饭店的
会议y次.
根据题意，得
x y 18, 2x y 28,
解得
x y
10, 8.
答：此旅行社入住A类旅游饭店的会议10次，入住B类旅游饭店
的会议8次.
（初中）数学中考专题阶段复习讲解教学课件
谢谢
9 5
.
,
mx ny 7, nx my 1,
则 m 3n 13 3 9 8，所以3 m 3n 3 8 2.
55
答案：2
3.（中考）已知关于x,y的方程组
mx ny 7, 2mx 3ny
4的解为xy
1, 2,
求m，n的值.
【解析】把
x y
1, 2
代入
mx ny 7, 2mx 3ny
人数多22人”所得的方程是x-y=22；调查的吸烟的人数是
x 不，吸烟的人数是
2.5%
根y据共，调查了10 000人，列方
0.5%
程得 x y 10 000,
2.5% 0.5%
x y 22,
所以可列方程组
x 2.5%
y 0.5%
10
000.
2.（中考）学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱
①-②，得2y=2,y=1,所以原方程组的解为xy
2, 1.
答案：xy
2, 1
2.(中考）解方程组：
2x y 3,① x y 0.②
【解析】①+②,得3x=3,x=1.
把x=1代入②，得y=1.原方程组的解为xy
1, 1.
3.(中考）解方程组
x 3y 12,① 2x 3y 6.②
与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类
七年级数学思维探究(10)二元一次方程组(含答案)
10．二元一次方程组二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代人法和加减法是常见的消元方法．解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的．方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．问题解决例1 已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解是1213x y =⎧⎨=-⎩，则222a b c ++的值为________． 试一试 把相应的解恰当地代入原方程组，先求出a 、b 、c 的值．例2 关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩有无数组解，则a 、b 的值为（ ） A ．0a =，0b = B ．2a =-，1b = C ．2a =，1b =- D ．2a =，1b =试一试 通过消元，将方程组解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．例3 解下列方程组：（1）231763172357x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩ （3）1223341997199819981999121998199911999x x x x x x x x x x x x x x +=+=+==+=+=⎧⎨++++=⎩L L 试一试 依据方程组的特点，灵活选用不同的解题方法，对于（2），设11a x =-，121b y =-，通过换元简化方程组；对于（3），从寻找1x ，2x ，3x ，…，1998x ，1999x 的联系入手．例4 已知m 是整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有整数解，求m 的值． 试一试 先求出y ，运用整除的性质求出m 的值，需注意所求的整数m 要使得x 也为整数． 例5 星期天，小明和七名同学共八人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完，则（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时，有几种购买方式？试一试 由题意可得到一个二元一次方程，问题（1）转化为求这个二元一次方程的非负整数解的个数．叠加、叠乘叠加、叠乘是指解系数有特点的方程组时，不拘泥于一般意义上的代入或加减，而是从整体上把方程组中的几个方程相加（或相减）或相乘，从而达到简化方程组的目的．例6 将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少？分析与解 设已知的数依次是1a ，2a ，3a ，4a ，…，50a ，…，这若干个自然数排列的规律是什么？怎样解多元方程组？由题意得 212a a -=，323a a -=434a a -=，……494849a a -=504950a a -=，以上49个式子左、右两边分别相加，得()501492502345012742a a +-=++++==L ， 50127411275a =+=∴，即其中的第50个数是1275．数学冲浪知识技能广场1．已知24328a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a b +=_______． 2．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则23a b -的值为________． 3．如果()2230x x y -+-+=，那么()2x y +的值为________．4．已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是______． 5．解方程组274ax y cx dy +=⎧⎨-=⎩时，一学生把a 看错后得到51x y =⎧⎨=⎩，而正确的解是31x y =⎧⎨=-⎩，则a 、c 、d 的值为（ ）A ．不能确定B ．3a =，1c =，1d =C ．c 、d 不能确定，3a =D ．3a =，2c =，2d =-6．已知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程23x ay -=的一个解，那么a 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．1-7．若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．9 D ．308．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（ ） A ．34- B ．34 C ．43 D ．43- 9．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，求2a b +的值． 10．给出下列程序x a b →→⨯→+→输入立方输出，且已知当输入的x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为1-时，输出值为3-．求当输入的值为12时的输出值． 思维方法天地11．m 为正整数，已知二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m =______． 12．若对任意有理数a 、b ，关于x ，y 的二元一次方程()()a b x a b y a b --+=+有一组公共解，则公共解为________．13．若1235x y z ++=，3217x y z ++=，则111x y z++=________．15．若4360x y z --=，()2700x y z xyz +-=≠，则222222522310x y z x y z +---的值等于（ ） A ．12- B ．192- C ．15- D ．13- 16．已知三个数a 、b 、c 满足13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，则abc ab bc ca++的值为（ ） A ．16 B ．112 C ．215 D ．12017．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）A ．3个球B ．4个球C ．5个球D ．6个球18．方程组126x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．419．若15~x x 满足下列方程组123451234512345123451234526212224248296x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪++++=⎪⎪++++=⎩，求4532x x +的值．20．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的A 、B 两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A 型盒子，多少个B 型盒子？应用探究乐园21．某市中学生举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．（1）在这次足球赛中，若小虎足球队踢平场数与踢负场数相同，共积16分，试求该队胜了几场？ （2）在这次足球赛中，若小虎足球队总积分仍为16分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种．1()2()3()①B 型盒A 型盒②22．已知正数a 、b 、c 、d 、e 、f 满足4bcdef a =，9acdef b =，16abdef c =，14abcef d =，19abcdf e =，116abcde f =，求()()a c e b d f ++-++的值．10．二元一次方程组问题解决例1 3a =，4b =，3c =-，22234a b c ++=例2 B例3 （1）将两方程相加，得3x y +=，进而得21x y =⎧⎨=⎩． （2）原方程组化为213102a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得3438a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即131413218x y ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，得73116x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． （3）由条件得并设1351999x x x x A =====L ，2461998x x x x B =====L ，则110009991999A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得 1000A =，999B =-，即135********x x x x =====L ，2461998999x x x x =====-L ．例4 解得3429y m =+，若y 有整数解，则291m +=±或2±或17±或34±，经检验当291m +=±或17±时，m 为整数且x 也为整数，得4m =，4-，5-，13-．例5 （1）设买可乐、奶茶分别为x ，y 杯，则2320x y +=（且x ，y 均为自然数）20302y x -=∴≥，解得203y ≤．从而得100x y =⎧⎨=⎩，72x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩，16x y =⎧⎨=⎩． 这表明有四种购买方式．（2）略数学冲浪1．3 2．6 3．49 4．()(), 6.3,2.2x y =5．B 6．A 7．A 8．B 9．310．由题意13a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，当12x =时，334ax b +=-． 11．4 ()1015,,33x y m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，若x ，y 为正整数，则310,315m m ++，得2m =． 12．由已知得()()110x y a x y b ---++=，得1010x y x y --=⎧⎨++=⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩． 13．3 把两等式相加．14．58 设小敏购买4种数学用品单价分别为a 、b 、c 、d ，则3457857998a b c d a b c d +++=⎧⎨+++=⎩①② ①2⨯②得2789858a b c d +++=⨯-=．15．D 由43627x y z x y z-=⎧⎨+=⎩，得32x z y z =⎧⎨=⎩，代入得原式13=-． 16．A113a b +=，114b c +=，115c a +=，相加得111212a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1116a b c ++=． 17．C 设每个球、方块、三角块的质量分别为x 、y 、z ，则5233322x y x z x y y z +=+⎧⎨+=+⎩，解得y x =，2z x =，第三个天平左端的质量是25x y z x ++=．18．A19．181 将各个方程相加得1234531x x x x x ++++= 20．60个、40个21．（1）设小虎足球队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，由 217316x y x y +=⎧⎨+=⎩，得37x y =⎧⎨=⎩． （2）设小虎足球队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，由题意得()17316x y z x y y kz k ⎧++=⎪+=⎨⎪=⎩为正整数，得3523z k =+ 当1k =时，7z =；当2k =时，5z =；当16k =时，1z =．即小虎足球队所负场数有3种情况．22．因()41abcdef =，1abcdef =，从而214a =，12a =∴，同理13b =，14c =，2d =，3e =，4f =，原式7212=-．。
二元一次方程组的概念和解法要点精析
二元一次方程组的概念和解法要点精析二元一次方程组是初中代数的重要内容之一，它的应用很广泛.一方面在进一步学习高中数学如平面解析几何时要用它们；另一方面在国防、科技、工、农、商业和生活的实际问题中也要用到它们.同学们必须把它学好，在学习时要注意以下几个问题：一、正确理解四个概念1. 二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.如x + y =6.必须注意：同时具备下列三个条件的方程才能叫做二元一次方程.（1）二元一次方程必须是整式方程.即等号两边的代数式必须是整式（单项式，多项式）.如x+ 1y =1, 14x+ 2y = 6都不是二元一次方程，而是分式方程（分母中含有未知数）. （2）二元一次方程中必须含有两个未知数.如2x+3=0含有一个未知数，x+4y+z=5含有三个未知数，因而，它们都不是二元一次方程.（3）二元一次方程中的“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数.即未知项的次数必须是“一次”.如xy+3=0就不是二元一次方程，尽管x 、y 的次数都是一次，但单项式xy 的次数为二，所以，它不是二元一次方程，而是二元二次方程. 例1.下列方程中，二元一次方程是（ ）.(A)xy=1 (B)y=3x － 1 (C)x+1y=2 (D)x 2＋y －3=0 （上海市中考题）解析：本题可利用二元一次方程的概念进行检验.显然，方程xy=1,x 2＋y －3=0都不满足“未知项的次数是1的条件”，而方程 x ＋1y =2的左边 x +1y 不是整式.故只有方程y=3x －1符合二元一次方程的概念.选(B).例2.若220a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（ ）.(A)1,0 (B)0,－1 (C) (D)2,－3（陕西省中考题）解析：根据二元一次方程的意义，即含未知数的项的次数是1，得12 1.a b a b -=⎧⎨+-=⎩， 即 13.a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得21.a b =⎧⎨=⎩，故选(C). 2. 二元一次方程的解 能使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.如11.x y =⎧⎨=⎩， 能使方程x+y=2的左右两边的值相等，所以11.x y =⎧⎨=⎩，就叫做方程x+y=2的一个解.但是，能使该方程的左右两边的值相等的未知数的值有无数对，如20.xy=⎧⎨=⎩，31.xy=⎧⎨=-⎩，……所以，任何一个二元一次方程都有无数个解.例3.二元一次方程x －2y=1有______个解.（上海市中考题）解：无数.例4.已知12.xy=⎧⎨=⎩，是方程ax－3y=5的一个解，则a=___.（苏州市中考题）解析：根据二元一次方程的解的意义，将12.xy=⎧⎨=⎩，代入方程，解关于a的一元一次方程.得a=11.3. 二元一次方程组两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组必须具备以下三个条件：（1）有两个或两个以上的整式方程组成，常用“{”把这些方程联合在一起.（2）方程组中含有两个不同未知数，且方程组中，同一未知数代表同一数量.（3）方程组中每个方程经过整理后，都是一次方程.但要注意：二元一次方程组里一共含有两个未知数，而不是一定要每个方程都含有两个未知数.例如，211.x yy+=⎧⎨=⎩，也是二元一次方程组.同样，方程组21062.x yx yy x+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，，，虽然是由三个二元一次方程组成，但整个方程组中只有两个未知数，所以它仍然是二元一次方程组,而方程组3050.x zx y+=⎧⎨+=⎩，中，虽然，每个方程中都只含有两个未知数，但整个方程组中却有三个未知数，因此它不是二元一次方程组，而是三元一次方程组.4. 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程的左、右两边的值都相等的两个未知数的值，即方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.如12.xy=-⎧⎨=⎩，是方程组31.y xx y-=⎧⎨+=⎩，的一个解（其实是一对数），但不能叫两个解.要注意：解方程组时，原方程组中每个方程都至少要用到一次.方程组的解满足方程组中的每个方程，反之，方程组中任何一个方程的解不一定是方程组的解.例5.已知12xy=⎧⎨=⎩是方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，的解，则a+b=( ).(A)2 (B)-2 (C)4 (D) - 4（浙江省绍兴市中考题）解析：根据二元一次方程组的解的概念.12xy=⎧⎨=⎩满足方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，于是代入得21,220.ab+=-⎧⎨-=⎩解得3,1ab=-⎧⎨=⎩所以a+b=-3+1=－2.故选(B).二、注意领会一个思想有一位著名数学家曾经指出：“解题就是把习题归结为已经解过的问题”.由此可知，解数学题时，要自觉地把题目变型转化，归结为“已经解过的问题”来处理，这种关于解题的思想称为“化归”，它体现了“在一定条件下，不同的事物可以互相转化”的唯物辨证观点，是解数学题的一盏指路名灯.在本章内容中，蕴涵的一个重要化归思想就是“消元”.即把“三元”通过消去一个未知数转化为“二元”，“二元”再通过消去一个未知数转化为“一元”.转化为一元一次方程就会解了，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，充满了辨证思维，希望同学们好好领会.三、熟练掌握两种方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的常规解法.1.代入消元法的主要步骤；（1）求表达式从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y,用含另一个未知数(x)的代数式表示出来，写成y=ax+b的形式；（2）代入消元将表达式y=ax+b代入另一个方程中，消去y,得到一个关于x一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程，求出x的值；（4）回代得解把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到方程组的解.2.加减消元法的主要步骤：（1）变换系数方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）加减消元把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程；（4）回代得解将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.在解方程组时，应根据题中的系数构成情况灵活选用两种方法，一般说来：①当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1；②当方程组中有一个方程的常数项是0，此时用代入法较简捷.又，①当方程组中两个方程的某一个未知数的系数绝对值相等；②当方程组中两个方程的某一个未知数的系数成整数倍，此时用加减法较简捷.。
[初中数学]二元一次方程组8种典例应用
[初中数学]二元一次方程组8种典例应用二元一次方程大战应用题——实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想：列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
3.要点诠释：（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
典型例题详解1.和差倍数问题知识梳理:和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题：思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展：思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
2.产品配套问题典型例题：思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展：思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
3.工作量问题知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。
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二元一次方程中的数学思想
数学思想是数学学科的灵魂，它在数学中有着广泛的应用，掌握了数学思想方法，就能比较
从容地驾驭数学知识，解决有关的数学问题。下面通过实例来说说数学思想在二元一次方程
组中的具体应用。
一．
转化思想
所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知
问题转化等等。在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法，把
新问题“二元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复
杂”为“简单”，从而实现问题的解决，它也是解二元一次方程最基本的思想。
例1：解方程组)2(123)1(1156yxyx
分析：方程（1）中x的系数是方程（2）中x的系数的2倍，因此对方程2进行适当的变形
运用加减即可消元。
解：（2）╳ 2得)3(246yx
（1）-（3）得：1y
将1y代入（2）得1x
所以方程组的解为：11yx
二．
整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构，从整体去观察、认识问题、从而解决问
题的一种基本数学思想。运用整体思想，往往可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
例2．解方程组
分析：把(2x＋3y)、(2x－3y)看成一个整体，先求2x＋3y、2x－3y的值，再求x、y的值较
好.
解：将原方程组化为
（1）－（2）得(2x＋3y)＋(2x－3y)=36，即4x=36，x=9，把x=9代入（2）得y=14.
∴
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三．
数形结合的思想
数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下数和
形之间可以相互转化，相互渗透。数形结合的思想就是在研究问题的过程中，把数和形结合
起来考查，使抽象问题具体化，化难为易，从而获得简便易行的方案。
例3：如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相
对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值。
分析：解决本题的关键是根据正方体展开图的特点，找出正方体相对两个面上的代数式的值，
并利用相等的关系列出方程，组成方程组，通过解方程组即可求出x、y的值，从而使抽象
的问题具体化。
解：根据题意得：1552yxyx
解方程组得：13yx
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