2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用练习理北师大版

第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 一、选择题 1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( ) A.x＝kπ2－π6(k∈Z) B.x＝kπ2＋π6(k∈Z)

C.x＝kπ2－π12(k∈Z) D.x＝kπ2＋π12(k∈Z) 解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故选B. 答案 B A.ω＝2，φ＝π3 B.ω＝2，φ＝－2π3

C.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝12，φ＝－2π3 解析 由图可知，T＝2π6－－π3＝π，所以ω＝2πT＝2，又sin2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝π3－kπ(k∈Z)，而|φ|答案 A 3.(2017·西安模拟)将函数f(x)＝3sin x－cos x的图像沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图像关于y轴对称，则a的最小值是( )

A.π6 B.π3

C.π2 D.2π3 解析 依题意得f(x)＝2sinx－π6，因为函数f(x－a)＝2sinx－a－π6的图像关于y轴对称，所以sin－a－π6＝±1，a＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，即a＝kπ＋π3，k∈Z， 因此正数a的最小值是π3，选B. 答案 B 4.(2016·长沙模拟)函数f(x)＝3sinπ2x－log12x的零点的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 函数y＝3sinπ2x的周期T＝2ππ2＝4，由log12x＝3，可得x＝18.由log12x＝－3，可

得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinπ2x和y＝log12x的图像(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点. 答案 D 5.(2017·宜春调研)如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图像，则g(x)的图像可能是由f(x)的图像( )

A.向右平移2π3个单位得到的

B.向右平移π3个单位得到的 C.向右平移7π12个单位得到的 D.向右平移π6个单位得到的 解析 由函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图像，可得g(x)的图像位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有17π24－m＝π4－π8，解得m＝7π12，故把函数f(x)＝sin 2x

的图像向右平移7π12－π4＝π3个单位，即可得到函数g(x)的图像，故选B. 答案 B 二、填空题 6.(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a

＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28； 当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，

所以y＝f(x)＝23＋5cosπ6（x－6）， 所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cosπ6×4 ＝23－5×12＝20.5. 答案 20.5 7.(2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sin x－3cos x的图像可由函数y＝sin x＋3cos x的图像至少向右平移________个单位长度得到.

解析 y＝sin x－3cos x＝2sinx－π3，y＝sin x＋3cos x＝2sinx＋π3，因此至

少向右平移2π3个单位长度得到. 答案 2π3 8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数f(x)的解析式为________. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得T22＋（1＋1）2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT＝π2，

即f(x)＝sinπx2＋φ.又函数图像过点2，－12， 故f(2)＝sinπ2×2＋φ＝－sin φ＝－12， 又－π2≤φ≤π2， 解得φ＝π6，故f(x)＝sinπx2＋π6. 答案 f(x)＝sinπx2＋π6 三、解答题 9.已知函数f(x)＝sin ωx＋cosωx＋π6，其中x∈R，ω＞0.

(1)当ω＝1时，求fπ3的值； (2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在0，π4上取得最大值时x的值. 解 (1)当ω＝1时，fπ3＝sin π3＋cos π2 ＝32＋0＝32. (2)f(x)＝sin ωx＋cosωx＋π6 ＝sin ωx＋32cos ωx－12sin ωx ＝12sin ωx＋32cos ωx＝sinωx＋π3. ∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin2x＋π3. 由x∈0，π4，得2x＋π3∈π3，5π6， ∴当2x＋π3＝π2，即x＝π12时，f(x)max＝1. 10.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ＜π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻最高点的距离为π. (1)求fπ4的值；

(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移π12个单位后，得到y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间. 解 (1)因为f(x)的图像上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而

ω＝2πT＝2.

又f(x)的图像关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，因为－π2≤φ＜π2，所以k＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f(x)＝3sin2x－π6，

则fπ4＝3sin2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f(x)的图像向右平移π12个单位后，得到 f

x－

π

12的图像， 所以g(x)＝fx－π12＝3sin2x－π12－π6 ＝3sin2x－π3. 当2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)， 即kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z). 11.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin2x＋π6，则下列结论正确的是( ) A.f(x)的图像关于直线x＝π3对称 B.f(x)的图像关于点π6，0对称 C.f(x)的最小正周期为π，且在0，π12上为增函数 D.把f(x)的图像向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图像 解析 对于函数f(x)＝sin2x＋π6，当x＝π3时， fπ3＝sin 5π6＝12，故A错；当x＝π6时，

fπ6＝sin π2＝1，故π6，0不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝

2π

2

＝π，当x∈0，π12时， 2x＋π6∈π6，π3，此时函数为增函数，故C正确； 把f(x)的图像向右平移π12个单位，得到g(x)＝sin2x－π12＋π6＝sin 2x，函数是奇函数，故D错. 答案 C

12.(2017·南昌一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间－π3，π4上的最小值为 －2，则ω的取值范围是( ) A.－∞，－92∪[6，＋∞) B.－∞，－92∪32，＋∞ C.(－∞，－2]∪[6，＋∞) D.(－∞，－2]∪32，＋∞ 解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.

综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪32，＋∞. 答案 D 13.已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交

点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为________.

解析 f(x)＝3sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋π6. 由2sinωx＋π6＝1得sinωx＋π6＝12， ∴ωx＋π6＝2kπ＋π6或ωx＋π6＝2kπ＋56π(k∈Z). 令k＝0，得ωx1＋π6＝π6，ωx2＋π6＝56π， ∴x1＝0，x2＝2π3ω. 由|x1－x2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π. 答案 π ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

x π3 5π6

Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0

(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)的图像向左平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图像.若关于x的方程g(x)

－(2m＋1)＝0在区间0，π2上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 解 (1)根据表中已知数据，