最新七下实数辅导讲义(一)

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。

即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。

（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。

（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。

即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。

数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。

（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根的区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。

一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。

注意：题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴)2=a （a ≥0=（a 取任何数）。

5、区分2=a （a ≥0），与2a =a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

7.一般来说，被开方数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 8、.识记常用平方表：（自行完成）000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a9.易混淆的三个数（自行分析它们）： （1）2a （2）2)(a （3）33a 10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________ 7≈___________【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为a -3和32+a ，求这个数？变式1、已知12-a 和2+-a 是m 的平方根，求m 的值？变式2、已知某个数的平方根分别为3+a 和152-a ，求a 和这个数？（练习1）若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．（练习2）已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根.（练习3）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2 （2） 下列说法对不对？为什么？① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根③ 任何数都有平方根 ④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数 例3、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)变式3、.下列语句中，正确的是（ ）A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）A ．-2是（-2）2的算术平方根B ．3是-9的算术平方根C ．16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 （练习）判断下列各题，并说明理由9±． ( )( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( )5=，则5a =-. ( )3=±.( ) ⑹6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺2(6)-的平方根是6-．( ) ⑻若236x =，则6x =±.( ) ⑼若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．( ) ⑽如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾算术平方根一定是正数． ( ) ⑿2a -没有算术平方根．( )14169⒀64的立方根是4±．( ) ⒁12-是16-的立方根．( )x =．( ) ⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数．( ) ⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根．( )题型三、化简求值例1、已知30<<x ，化简：5)12(2--+x x 变式1、若21,011）（化简：x x x +=+++例2已知,,a b c a b c a -+-变式2、实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2)2(1-+-a a =变式3如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2B. 2－5C. 5－3D.3－5例3、当a<0时，化简 ( )A 0B -1C 1D ½例4、化简下列各式：(1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |-|【变式1】化简：223)2()323(|32|6427---+---a 20≥0a ≥（练习）24-+-+123224)3(64)3(--------322)21(4)2(|91|16--⨯--+--(|π-+2001)1(-题型四、利用非负数的性质求代数式三种常见的非负数：注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 例1、已知实数x ，y 满足2=0，则x-y 等于【变式1】 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为【变式2】已知那么a+b-c 的值为___________【变式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。

（练习1）已知13-y + (x -2)2=0,则xy =（ ） A 、0 B 、6 C 、32 D 、32-0(0)a ≥≥练习183b -互为相反数，则ab1的立方根为（ ） A 、-2 B 、4 C 、2 D 、-4练习1xy等于（ ） A 、-2 B 、32 C 、2 D 、23求被开方数中的未知数的值例2若y=5-x +x -5+2017，则x+y=变式12()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3变式2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值变式3、已知2322234+-+-=a a b ,求ba 11+的值？变式4、已知a 为实数，且满足200a a -+，求2200a -的值.（练习1）已知：2b =，求11a b+的平方根.（练习2）已知x y ，为实数，y 56x y +.（练习3）已知实数a 满足1992a a -=，求21992a -的值。

（练习4）已知实数a 与非零实数x 满足等式：222130x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（练习5xyz 的值是多少？（练习6）若m 199x --m 的值.题型五、解方程(1) 04)2(2=-+x (2) 027)3(3=++x(3) 0125273=+x (4) 25)12(2=-x(5)5321122=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x (6)181)12(313=-+x题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求1x y --（的平方根。

变式1设m 是137+的小数部分，n 为137-的小数部分，求2017)(n m +的值？（练习1）若a 是17的整数部分，b 是17的小数部分，则a b -= ； .102.22的值，求，小数部分是的整数部分是、已知变式b a b a +（练习2）若3,b a b ++a ，则的值为 ；题型六 关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(- 解（1）因为8192=，所以±81=±9.例2（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（练习1）已知3(2)27a b +=-5，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).（练习2）已知nm m n A -+-=3是n －m ＋3的算术平方根，322n m B n m +=+-是m ＋2n 的立方根，求B －A 的平方根．题型八、探索找规律1 （盐城市）现规定一种新的运算“※”：a ※b =a b ，如3※2=32=9，则12※3＝（ ）2 (资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为( ) A ．5049B ．99!C ．9900D ．2！3．如果有理数a ,b 满足∣ab －2∣+∣1－b ∣=0，试求)2)(2(1)1)(1(11++++++b a b a ab +…+)2016)(2016(1++b a 的值．4.观察思考下列计算过程：∵ 112=121，∴ 121=11；同样：∵ 1112=12321，∴12321=111；…由此猜想：76543211234567898=5.已知4495.26=，7460.760=。