课时作业16：滚动训练(一)
课时作业15：滚动训练三(§2.1～§2.2)
滚动训练三(§2.1～§2.2)一、选择题1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则随机变量可以是( ) A ．第一次出现的点的种数 B ．第二次出现的点的种数 C ．两次出现的点数之和 D ．两次出现相同点的种数考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 答案 C2．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为( ) A.112 B.13 C.8384D.184考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 B解析 记事件A 为“第一支抽取为好的”，事件B 为“第二支是坏的”，则 P (A )＝710，P (AB )＝710×39＝730，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.3．若ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，12，则P (ξ≥2)等于( ) A.111 024 B.501512 C.1 0131 024D.507512 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－C 010⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1210－C 110⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫129 ＝1－11 024－101 024＝1 0131 024.4．离散型随机变量X 的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x ，y (x ，y ∈N )代替，分布列如下：则P ⎝⎛⎭⎫32<X <113等于( ) A ．0.25 B ．0.35 C ．0.45D ．0.55 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 B解析 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x ＋0.05＋0.1＋0.0y ＝0.4， 即10x ＋y ＝25，由x ，y 是0～9间的自然数可解得x ＝2，y ＝5. 故P ⎝⎛⎭⎫32<X <113＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35. 5．某人进行射击训练，射击1次中靶的概率为34.若射击直到中靶为止，则射击3次的概率为( ) A.⎝⎛⎭⎫343 B.⎝⎛⎭⎫342×14 C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫143考点 同时发生的概率计算题点 求多个相互独立事件同时发生的概率 答案 C解析 由题意得，射击3次说明前2次未中，第3次击中，所以射击3次的概率为⎝⎛⎭⎫142×34. 6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( ) A ．0.998B ．0.046C ．0.002D ．0.954考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 D解析 三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P ＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046， 由对立事件的概率公式知至少有两枚导弹命中目标的概率为P ＝1－0.046＝0.954.7．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为( ) A.8125 B.12125 C.36125D.54125考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 C解析 由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P ＝1025＝25，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C 23⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫351＝36125. 8．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是23(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k 名学生同时达标的概率是80243，则k 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．3或4考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 D解析 设X 表示这5名学生中达标的人数，则P (X ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫23k ×⎝⎛⎭⎫135－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 由已知，得P (X ＝k )＝80243，即C k 5×⎝⎛⎭⎫23k ×⎝⎛⎭⎫135－k ＝80243，解得k ＝3或k ＝4. 二、填空题9．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P (ξ＝6)＝________，P (ξ＝9)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案715 715解析 ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的， 所以P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715，ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，所以P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.10．某仪表内装有m 个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p ，则这个仪表不能工作的概率为________． 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 答案 1－(1－p )m解析 由题意知，设电子元件损坏的个数为X ， 则X ～B (m ，p )，则这个仪表不能工作的概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 0m (1－p )m ＝1－(1－p )m.11．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为________． 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 38解析 设A 为下雨，B 为刮风，由题意得P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.12．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(当第n 次出现正面时)，－1(当第n 次出现反面时)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N ＋)，则S 4＝2的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用答案 14解析 S 4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P ＝C 34×⎝⎛⎭⎫123×12＝14. 三、解答题13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．记X 为第二天开始时该商品的件数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 故X 的分布列为四、探究与拓展14．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率． 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与分布列解 (1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.记事件A ＝“甲打完3局才能取胜”， 记事件B ＝“甲打完4局才能取胜”， 记事件C ＝“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P (A )＝C 33×⎝⎛⎭⎫123＝18.②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．所以甲打完4局才能取胜的概率P (B )＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．所以甲打完5局才能取胜的概率P (C )＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122×12＝316. (2)设事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ∪B ∪C .因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12，故按比赛规则甲获胜的概率为12.15．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用解 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25⎝⎛⎭⎫352＝54125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫35＝36125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125. 所以X 的分布列为。
课时作业12：阶段滚动训练四(范围：§4.1～§4.2)
阶段滚动训练四(范围：§4.1～§4.2)一、选择题1．如图所示的结构图中“古典概型”的上位是()A．频率B．随机事件C．频率、概率的意义与性质D．概率的应用答案 C2．如图所示是解决数学问题的思维过程的流程图，在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A．①—综合法，②—分析法B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法答案 A3．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数()A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x－1的图象上答案 D解析由程序框图知，输出的(x，y)所对应的点依次是(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，这些点都在函数y＝2x－1的图象上．4．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，如果超过2公里额外收取燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填()A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)答案 D解析当x>2时，2公里内的收费为7元，2公里外的收费为(x－2)×2.6，另外燃油附加费为1元，∴y＝7＋2.6(x－2)＋1＝8＋2.6(x－2)．5．如图是某工厂从工程设计B到试生产H的工序流程图，方框上方的数字为这项工序所用的天数，则从工程设计到结束试生产需要的最短时间为()A．22天B．23天C．28天D．以上都不对答案 C解析由已知中的工序流程图可得由A到H需要8＋7＋5＋2＝22(天)，由B经C到H需要10＋4＋7＋5＋2＝28(天)，由B经D到H需要10＋6＋5＋2＝23(天)，由G到H需要4＋5＋2＝11(天)，而从工程设计到结束试生产需要的最短时间为这几个时间中的最大值，故从工程设计到结束试生产需要的最短时间为28天．6．在工商管理学中，MRP指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示．从图中能看出影响基本MRP的主要因素的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析组织结构图是从上往下画的，从图中可以看出，“基本MRP”隶属“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”的共同下级，受它们的共同影响，所以影响基本MRP的主要因素是“生产计划”、“产品结构”和“库存状态”，共3个主要因素．二、填空题7．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下图象描述：则在①中应填入________；在②中应填入________．答案菱形直角梯形解析由题意知，①对应的四边形是一个有一组邻边相等的平行四边形，∴①处是一个菱形；②处的图形是一个有一条腰和底边垂直的梯形，∴②处是一个直角梯形．8．如图是求实数x的绝对值的程序框图，则判断框①中可填________．答案x≥09．已知某一项工程的工序流程图如图所示，其中时间单位为“天”，根据这张图就能算出工程的工期，这个工程的工期为________天．答案10解析由题意可知，工序①→工序④工时数为2，工序④→工序⑥工时数为2，工序⑥→工序⑦工时数为5，工序⑦→工序⑧工时数为1，所以所用工程总时数为2＋2＋5＋1＝10(天)．10．如图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．答案数乘解析“向量共线的充要条件”是“数乘向量的应用”，故在知识结构图中，“向量共线的充要条件”应该放在“数乘”的关系后面，即它的下位．三、解答题11．小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．请用结构图把“小流域综合治理”的措施与功能表示出来．解结构图如下：12．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，2－x ，x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．答案 x <2 y ＝log 2x解析 ∵满足判断框中的条件执行y ＝2－x ， ∴①处应填“x <2”． 不满足x <2即x ≥2时，y ＝log 2x ，故②处应填“y ＝log 2x ”．13．试描述判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法，画出程序框图． 解 直线与圆的位置关系有三种，相离、相切、相交，如果圆心到直线的距离d ＞r ，则直线与圆相离；d ＝r ，则直线与圆相切；d <r ，则直线与圆相交．因此我们可以先求出圆心到直线的距离d ，然后再和r 相比较．因此需用条件分支结构来描述． 算法如下：第一步，输入圆心的坐标(a ，b )，直线方程的系数A ，B ，C 和圆的半径r . 第二步，计算z 1＝Aa ＋Bb ＋C . 第三步，计算z 2＝A 2＋B 2. 第四步，计算d ＝|z 1|z 2. 第五步，如果d >r 则相离； 如果d ＝r 则相切； 如果d <r 则相交． 程序框图如图所示：。
滚动训练(二)
物理
八年级 上册
新课标（RJ）
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1
第二章 声现象
滚动训练(二)
2
滚动训练(二)
一、选择题(每题4分，共40分)
1．下列关于声音的说法中，正确的是( A ) A．一切正在发声的物体都在振动 B．只要物体振动，我们就能听到声音 C．没有听到发出声音的物体一定没振动 D．物体的振动停止后还会发出很弱的声音
17
滚动训练(二)
16．小丽用两把伞做了一个“聚音伞”的实验，如图G－2－8所
示，在右边伞柄的A点挂一块机械手表，当她的耳朵位于B点时听
不到表声；把另一把伞放在左边图示位置后，在B点听到了手表
的嘀嗒声。这个实验表明声音也像光一样可以发生反射现象。
“聚音伞”增大了人听到声音
的___响_度____，手表发出的声音
子制成的“活塞”上下拉动时，是在改变声音的( A )
A．音调
B．响度
C．音色
D．振幅
图G－2－2
6
滚动训练(二)
5．将敲响的鼓面用手一按，响声立刻消失了，下列原因正确的 是( B ) A．声波传到鼓内去了 B．鼓面停止了振动 C．鼓的振动变快了 D．以上说法都不对
7
滚动训练(二)
6．鼓浪屿因其西南面有海蚀洞受浪潮冲击，声如擂鼓所得名。 “擂鼓”一词生动描述了声音的两种特性，分别是( A ) A．响度与音色 B．响度与音调 C．乐音与噪声 D．超声与次声
度的大小是为了探究( B )
A．声音产生的原因
B．响度和振幅的关系
C．音调和频率的关系 D．声音的传播是否需要时间
图G－2－4
11
滚动训练(二)
高中数学选修1-1课时作业14：滚动训练二(2.1.1～2.1.2)
滚动训练二(2.1.1～2.1.2)一、选择题1．平面内一动点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹考点 椭圆的定义题点 由椭圆定义确定轨迹[[答案]] D[[解析]] 当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段，当2a <|F 1F 2|时，无轨迹．2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B.3C.72D ．4 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用[[答案]] C[[解析]] 由题意可求得|PF 1|＝12， 由定义得|PF 2|＝2a －12＝4－12＝72. 3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程[[答案]] A[[解析]] 因为2a ＝18，所以a ＝9.由题意得2a ＝3×2c ，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝72.所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1. 4．已知△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长依次成等差数列，且|AB |>|AC |，B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 23＝1(x >0) C.x 24＋y 23＝1(x <0，y ≠0) D.x 24＋y 23＝1(x >0，y ≠0) 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程[[答案]] D[[解析]] 由题意，得|BC |＝2，|AB |＋|AC |＝2|BC |＝4>|BC |，所以顶点A 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1.又|AB |>|AC |，所以轨迹只取右半部分，即轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x >0，y ≠0)． 5．当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫0，π4 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2考点 椭圆的标准方程 题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)[[答案]] B[[解析]] 因为焦点在x 轴上，所以sin α>cos α，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2. 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33C.23 D.13 考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆离心率的值[[答案]] A[[解析]] 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， ∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， ∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63. 7．若椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1 考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题[[答案]] D[[解析]] ∵椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，则a 2－b 2＝4，∴可设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1， 联立⎩⎨⎧ y ＝3x ＋7，y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1，消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝14(b 2＋4)10b 2＋4＝2，解得b 2＝8， ∴a 2＝12，则椭圆的方程为x 28＋y 212＝1.8．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的焦点F (1,0)，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )A. 3B ．2 C. 2D ．3考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题[[答案]] C[[解析]] 如图所示，设l 与x 轴交于点A 1，过B 点作x 轴的垂线BB 1，交x 轴于点B 1，设|AF →|＝t ，则|FB →|＝t 3， 得|AA 1→|＝t 2－1，|BB 1→|＝t 2－13， |FB 1→|＝13，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，t 2－13， 代入椭圆方程得⎝⎛⎭⎫4322＋t 2－19＝1，得t ＝2，即|AF →|＝ 2.二、填空题9．若直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[[答案]] (－2,2)[[解析]] 由x 23＋y 24＝1，得－2≤y ≤2，∴－2<a <2. 10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．考点 椭圆几何性质的应用题点 求离心率的取值范围[[答案]] ⎝⎛⎭⎫0，22[[解析]] 因为MF 1→·MF 2→＝0，所以点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2.由题意知，椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P (x ，y )，则|OP |min ＝b ，所以c <b ，即c 2<a 2－c 2.解得e 2<12. 因为0<e <1，所以0<e <22. 11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105，则椭圆C 的方程为________． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长问题[[答案]] x 24＋y 2＝1 [[解析]] 由题意知a 2－b 2a ＝32， 可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2. 因此b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 三、解答题12．已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线x －3y ＋2＝0的交点，点M 是AB 的中点，且点M 的横坐标为－12.若椭圆C 的焦距为8，求椭圆C 的方程． 考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程解 由已知得M ⎝⎛⎭⎫－12，12，由题意得点A ，B 的坐标满足⎩⎨⎧ x 2A a 2＋y 2A b 2＝1，x 2Ba 2＋y 2Bb 2＝1，∴2x M a 2＋2y M b 2·k AB＝0， ∴－1a 2＋1b 2×13＝0，∴a 2＝3b 2， 又∵c ＝4，∴a 2＝24，b 2＝8，经检验，a 2＝24，b 2＝8符合题意，∴椭圆C 的方程为x 224＋y 28＝1. 13．已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ， (1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题解 (1)由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋m ，x 24＋y 29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)．∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，解得－32≤m ≤3 2.故所求实数m 的取值范围是[－32，32]．(2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189， 故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫322·⎝⎛⎭⎫－6m 92－4×2m 2－189＝133·－m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.四、探究与拓展14．已知椭圆x 24＋y 23＝1，若此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－21313，2213 B.⎝⎛⎭⎫－21313，21313 C.⎝⎛⎭⎫－213，21313 D.⎝⎛⎭⎫－2313，2313 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题[[答案]] B[[解析]] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，3x 21＋4y 21＝12，①3x 22＋4y 22＝12，②②－①，得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x ＋m 联立得x ＝－m ，y ＝－3m ，而M (x ，y )在椭圆的内部，则m 24＋9m 23<1， 即－21313<m <21313. 15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，椭圆上两点坐标分别为A (a,0)，B (0，b )，若△ABF 2的面积为32，∠BF 2A ＝120°. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O (O 为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于M ，N 两点，证明：点O 到直线MN 的距离为定值．考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程(1)解 由题意，知a ＝2c ，b ＝3c ，2ABF S V ＝12×(2c －c )×3c ＝32c 2＝32，∴c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，当直线MN 的斜率不存在时，MN ⊥x 轴，此时△MNO 为等腰直角三角形，∴|y 1|＝|x 1|，又x 214＋y 213＝1， 解得|x 1|＝127＝2217， 即点O 到直线MN 的距离d ＝2217. 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，∴点O 到直线MN 的距离d ＝|m |1＋k 2＝127＝2217. 综上，点O 到直线MN 的距离为定值2217.。
课时作业17：阶段滚动训练四(范围：§2.1～§2.2)
阶段滚动训练四(范围：§2.1～§2.2)一、选择题1.若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是( ) A.①④ B.③ C.①②③ D.②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |>0.2.平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形答案 B解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →， 所以AB ∥CD ，且AB ＝CD ， 故四边形ABCD 是平行四边形.3.化简13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )的结果是( ) A.2a －b B.2b －a C.b －a D.a －b 答案 B解析 原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .4.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.15 B.13 C.25 D.23 答案 C解析 如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x ). 又因为A (－3,0)，B (0,2).所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ).所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ，解得λ＝25.5.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A.－1或3B. 3C.－1或4D.3或4 答案 A解析 因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线， 所以m a －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－3＝λ(2－m ).解得m ＝－1或m ＝3.6.如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC→(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.12C.65 D.2 答案 C解析 如图，延长AG 交BC 于点F ，∵BO 为边AC 上的中线， BG →＝2GO →，∴AF 为边BC 上的中线， ∴AF →＝12AB →＋12AC →.又∵CD →＝AD →－AC →＝15AB →＋(λ－1)AC →，且CD →∥AF →.∴(λ－1)∶15＝12∶12，∴15＝λ－1，∴λ＝65.7.在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C.1 D.3 答案 B 解析 如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13，故选B. 二、填空题8.已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 π6或－π2解析 因为12AB →＝12(－1,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，12＝(sin α，cos β)， 所以sin α＝－12且cos β＝12，∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3， 所以α＋β＝π6或－π2.9.若向量a 与b 的夹角为45°，则2a 与－3b 的夹角是________. 答案 135°解析 如图所示，可知2a 与－3b 的夹角是135°.10.在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝______，|AB →＋AC →|＝________. 答案 13解析 易知|AB →＋BC →|＝|AC →|＝1， 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则|AB →＋AC →|＝|AD →|＝2|AB →|×sin 60°＝2×1×32＝ 3.11.D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a .其中正确的结论的序号为________. 答案 ①②③ 解析 如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确.三、解答题12.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值.解 因为A ，B ，D 三点共线， 故存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →，又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.13.如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且AF ＝12AB ，BD ＝13BC ，CE ＝14CA .若记AB →＝m ，CA →＝n ，试用m ，n 表示DE →，EF →，FD →.解 ∵AB →＝m ，CA →＝n ， ∴BC →＝－m －n ， ∴DE →＝DC →＋CE → ＝23BC →＋14CA → ＝－23m －23n ＋14n＝－23m －512n .EF →＝EA →＋AF → ＝34CA →＋12AB → ＝34n ＋12m . FD →＝FB →＋BD → ＝12AB →＋13BC → ＝12m ＋13(－m －n ) ＝16m －13n .14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a ∶b ∶c ＝________. 答案 20∶15∶12解析 ∵3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0， ∴3a (BA →＋AC →)＋4bCA →＋5cAB →＝0， ∴(3a －5c )BA →＋(3a －4b )AC →＝0.在△ABC 中， ∵BA →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝5c ，3a ＝4b ，解得⎩⎨⎧c ＝35a ，b ＝34a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶34a ∶35a ＝20∶15∶12.15.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若OC →＝mOA →＋nOB →，求m ＋n 的取值范围.解 由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)， 则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)， 则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0).。
课时作业13：滚动训练三(§2.2～§2.3)
滚动训练三(§2.2～§2.3)一、选择题1．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，±24 B.⎝⎛⎭⎫18，±24 C.⎝⎛⎭⎫14，24 D.⎝⎛⎭⎫18，24 考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝⎛⎭⎫14，0，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24，故选B. 2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12B.32 C ．1D. 3 考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 所以所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32，故选B. 3．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)的( ) A ．焦距相同B ．离心率相等C ．准线相同D ．焦点相等考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 A解析 由x 210－m ＋y 26－m＝1(m <6)知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 由x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，排除C ，D ；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1，排除B ，故选A.4．一条直线过点⎝⎛⎭⎫14，0，且与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点．若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74B ．2 C.94D ．4考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 C解析 ∵抛物线方程为y 2＝x ，∴其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14， ∴直线AB 过抛物线焦点，∴由抛物线的定义知，弦AB 的中点到直线x ＝－14的距离为2， ∴弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于2＋14＝94. 5．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．x 2＝4yD ．y 2＝8x 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 A解析 依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 2－y 1x 2－x 1＝1， ∵P (2,2)为AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝2p (x 2－x 1)，∴2p ＝(y 2＋y 1)y 2－y 1x 2－x 1＝4， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .6．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.7．椭圆y 225＋x 29＝1与双曲线y 215－x 2＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )A ．4B ．5 5C ．5D ．3 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,4)和F 2(0，－4)，不妨设|PF 1|>|PF 2|， 由椭圆与双曲线的定义可得 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|－|PF 2|＝215，所以|PF 1|＝5＋15，|PF 2|＝5－15.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(5＋15)2＋(5－15)2－822×(5＋15)×(5－15)＝45， 于是sin ∠F 1PF 2＝35. 因此△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×(5＋15)×(5－15)×35＝3.8．一动圆与直线x ＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C ，那么曲线C 上的一点到直线x ＝－1的距离与到直线x ＋y ＋4＝0的距离和的最小值为( ) A. 2 B.522 C.423D.722考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 B解析 由题意知动圆的圆心轨迹为以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x ，设抛物线上的一点P ，点P 到直线x ＝－1的距离为d 1，到直线x ＋y ＋4＝0的距离为d 2， 由抛物线的定义知，d 1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，|PF |＋d 2的最小值为点F 到直线x ＋y ＋4＝0的距离|1＋4|2＝522.故选B. 二、填空题9．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 316 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，则双曲线的焦距为2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，1m ＝4， 解得⎩⎨⎧ m ＝14，n ＝34，∴mn ＝316. 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 2解析 双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2， 解得b a ＝3，联立⎩⎨⎧ y ＝－b a x ，x ＝－p 2，得y ＝bp 2a， 所以S △OAB ＝p 2×bp 2a ＝3， 将b a＝3代入解得p ＝2. 11．已知抛物线y 2＝8x ，过动点M (a,0)，且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若|AB |≤8，则实数a 的取值范围是________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 (－2，－1]解析 将l 的方程y ＝x －a 代入y 2＝8x ，得x 2－2(a ＋4)x ＋a 2＝0，则Δ＝4(a ＋4)2－4a 2＞0，∴a ＞－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋4)，x 1x 2＝a 2，∴|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝64(a ＋2)≤8，即a ＋2≤1.又a ＞－2，∴－2＜a ≤－1.三、解答题12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，且经过点(－3,26)． (1)求双曲线C 的方程和其渐近线方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求所有满足条件的k 的取值． 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题解 (1)由题意可知双曲线的焦点为(－2,0)和(2,0)，根据定义有2a ＝|(－3＋2)2＋(26－0)2－(－3－2)2＋(26－0)2|＝2，所以a ＝1，由以上可知a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3.所以所求双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 23＝1，消去y ，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0. ①当3－k 2＝0即k ＝±3时，此时直线l 与双曲线相交于一个公共点，符合题意； ②当3－k 2≠0即k ≠±3时，由Δ＝0，得k ＝±7，此时直线l 与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述，符合题意的k 的所有取值为3，－3，7，－7.13．斜率为k 的直线l 经过抛物线y ＝14x 2的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，若线段|AB |的长为8.(1)求抛物线的焦点F 的坐标和准线方程；(2)求直线的斜率k .考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题解 (1)化y ＝14x 2为标准方程x 2＝4y ， 由此，可知抛物线的焦点F 的坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，于是|AB |＝y 1＋y 2＋2，又|AB |＝8，所以y 1＋y 2＝6，由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1，所以kx 1＋1＋kx 2＋1＝6，k (x 1＋x 2)＝4，由直线l 的方程与抛物线方程得kx ＋1＝x 24， 即x 2－4kx －4＝0，Δ＝16k 2＋16>0，所以x 1＋x 2＝4k ，代入k (x 1＋x 2)＝4，得k 2＝1，k ＝±1.四、探究与拓展14．若抛物线y 2＝x 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， ∴y 1－y 2y 21－y 22＝－1，则y 1＋y 2＝－1， ∵y 1y 2＝－1，∴x 1＋x 2＝y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝3， ∴两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，代入y ＝x ＋b ，可得b ＝－2.15.如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，(1)证明：直线AB 必过一定点；(2)求△AOB 面积的最小值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝2k 2，y ＝2k ，即A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2，2k .同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得B 点的坐标为(2k 2，－2k )． 所以AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k ＋2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)， 化简并整理，得⎝⎛⎭⎫1k －k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数，当x ＝2时，恒有y ＝0.故直线过定点P (2,0)．(2)解 由于AB 所在直线过定点P (2,0)，所以可设AB 所在直线的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x 并整理， 得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16>0. 所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. 于是|y 1－y 2|＝(y 1－y 2)2 ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2m )2＋16 ＝2m 2＋4.S △AOB ＝12×|OP |×(|y 1|＋|y 2|) ＝12|OP |·|y 1－y 2| ＝12×2×2m 2＋4＝2m 2＋4. 所以当m ＝0时，△AOB 的面积取得最小值为4.。
课时作业23：阶段滚动训练三(范围：1.2.1～1.2.3)
阶段滚动训练三(范围：1.2.1～1.2.3)一、选择题1．下列命题正确的是()A．两两相交的三条直线可确定一个平面B．垂直于同一个平面的两条直线不一定平行C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线答案 C解析对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B，由直线与平面垂直的判定定理的推论2知B错误；对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故选C.2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是()①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．A．①②B．①③C．③④D．②③答案 D解析对于①X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱；对于②X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理(推论2)可知正确；③Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；④X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．故选D. 3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是() A．若m⊂α，α⊥β，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β答案 D解析由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面知，在A中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错；在C中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；在D中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故D正确．4．如图所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，P A⊥平面ABC，则四面体P－ABC的四个面中，直角三角形的个数为()A．4 B．3C．2 D．1答案 A解析∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．又∵P A⊥平面ABC，∴△P AC，△P AB是直角三角形．又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．从而△P AB，△P AC，△ABC，△PBC都是直角三角形，故选A. 5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB 的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析由侧棱AA1⊥平面A1B1C1，可得AA1⊥C1M.由A1C1＝B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1，∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，∴①正确；由C 1M ⊥平面A 1ABB 1可得C 1M ⊥A 1B ， 又已知AC 1⊥A 1B ，C 1M ∩AC 1＝C 1， ∴A 1B ⊥平面AMC 1，从而可得A 1B ⊥AM ， 又易证得AM ∥NB 1， ∴A 1B ⊥NB 1，∴②正确； 易证得AM ∥NB 1，MC 1∥CN ， ∴AM ∥平面CNB 1，MC 1∥平面CNB 1， 又∵AM ∩MC 1＝M ，从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC 1∥平面CNB 1，∴③正确，故选D.6．三棱锥P －ABC 的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB ＝BC ＝CA ＝23，平面P AB ⊥平面ABC ，则三棱锥P －ABC 的体积的最大值为( ) A ．4 B ．3 C ．4 3 D ．3 2答案 B解析 ∵A ，B ，C 三点在半径为2的球面上， 且AB ＝BC ＝CA ＝23，∴△ABC 是截面为大圆上的三角形，设圆心为O ，AB 的中点为N ，ON ＝22－3＝1， ∵平面P AB ⊥平面ABC ， ∴三棱锥P －ABC 的体积最大时， PN ⊥AB ，PN ⊥平面ABC ， PN ＝22－1＝3，∴三棱锥P －ABC 的体积的最大值为 13×34×(23)2×3＝3， 故选B.7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，E 是CD 上一点，若AE ⊥平面PBD ，则CEED的值为( )A.32B.52 C ．3 D ．4 答案 C解析∵PD⊥底面ABCD，AE⊂底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则ABAD＝ADDE，∵AB＝2BC，∴DE＝14AB＝14DC，∴CEED＝3.故选C.8.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是()A．4 B．2＋ 2C．3＋ 5 D．2＋ 5答案 D解析如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A1，∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，∴矩形ADGM的周长等于2＋ 5.故选D.二、填空题9．下列四个命题中，真命题的个数为________．①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．答案 1解析只有③正确．10.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面，其中正确结论的序号是________．答案①②③解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，且M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误．故答案为①②③.11.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)答案BD⊥AC(答案不唯一)解析要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1C⊥B1D1，可从结论A1C⊥B1D1入手．∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，∴A1C⊥BD.又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1⊂平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.此题答案不唯一．三、解答题12.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA 的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC∥BD且NC＝BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.13．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)已知点F在BE上，若DE∥平面ACF，DC＝CE＝12BC＝3，求三棱锥A－BCF的体积．(1)证明∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面BCE. ∵CE⊂平面BCE，∴CE⊥AB.∵CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，∴CE⊥平面ABE.∵CE⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE.(2)解连接BD交AC于点O，连接OF.∵DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，∴DE∥OF.又∵矩形ABCD中，O为BD中点，∴F为BE中点，即BF＝FE.在Rt△BEC中，∵BC＝6，EC＝3，∴BE＝62－32＝3 3.∴S△BFC＝12×12×33×3＝934.又AB＝DC＝3，∴V A－BCF＝13×934×3＝934.14．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有() A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④答案 B解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理GF⊥SEG；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A、C，同理排除D，故选B.15．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得DC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥DC.又DE⊥A1D，A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，DE，DP⊂平面DEP，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C⊥平面DEQ.。
课时作业11：滚动训练二(1.3.1～1.3.3)
滚动训练二(1.3.1～1.3.3)一、选择题1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 C解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点．2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数单调性求参数(或其范围)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 C解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，由于a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时的x 值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得sin x ＝12， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f ′(x )>0； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f ′(x )<0，故当x ＝π6时取得最大值． 5．已知函数f (x )＝x 2(ax ＋b )(a ，b ∈R )在x ＝2处有极值，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数函数的单调区间答案 B解析 ∵f (x )＝ax 3＋bx 2，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ×22＋2b ×2＝0，3a ＋2b ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， 令f ′(x )＝3x 2－6x <0，则0<x <2.6．已知f (x )＝x ＋b x 在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞)C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2]考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 A解析 若b ≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b >0，则函数的导数f ′(x )＝1－b x 2＝x 2－b x2， 由f ′(x )>0得x >b 或x <－b ，此时函数单调递增，由f ′(x )<0得－b <x <b ，此时函数单调递减，若函数f (x )在(1，e)上为单调递增函数，则b ≤1，即0<b ≤1，若函数f (x )在(1，e)上为单调递减函数，则b ≥e ，即b ≥e 2，综上b ≤1或b ≥e 2，故选A.7．已知函数f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据导函数的图象确定原函数图象答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．8．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3， ∴a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3， φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2.二、填空题9．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，1e 解析 ∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1.10.已知函数f (x )的导函数f ′(x )是二次函数，如图是f ′(x )的大致图象，若f (x )的极大值与极小值的和等于23，则f (0)的值为________．考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 13解析 ∵其导函数的函数值在(－∞，－2)上为正数，在(－2,2)上为负数，在(2，＋∞)上为正数，由导函数图象可知，函数在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，∴函数在x ＝－2时取得极大值，在x ＝2时取得极小值，且这两个极值点关于点(0，f (0))对称，由f (x )的极大值与极小值之和为23，得f (－2)＋f (2)＝2f (0)＝23， ∴f (0)的值为13. 11．若函数f (x )＝x 3＋32x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________. 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 2解析 f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1.又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12， f (1)＝m ＋52，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2， ∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋52，∴m ＋52＝92，∴m ＝2. 三、解答题12．某造船公司年造船量为20艘，已知造船x 艘的产值函数R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5 000(单位：万元)，在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．(1)求利润函数P (x )及其边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么． 解 (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000(x ∈N ＋，且1≤x ≤20)．MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275(x ∈N ＋，且1≤x ≤19)．(2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240＝－30(x －12)(x ＋9)．因为x ＞0，所以P ′(x )＝0时，x ＝12.所以当0＜x ＜12时，P ′(x )＞0，当x ＞12时，P ′(x )＜0，所以当x ＝12时，P (x )有最大值，即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275＝－30(x －1)2＋3 305，所以当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调递减区间为[1,19]，且x ∈N ＋，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．13．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0， 因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x ＜－2或x ＞2时，g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数；当－2＜x ＜2时，g ′(x )＞0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只可能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝2ln x ＋a x 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x .令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12或0(舍去)，当0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0，∴当x ＝e 12时，g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e.15．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2(n ∈N ＋)． 考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用(1)解 当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋x x ＋1， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋(x ＋1)－x (x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2， 所以f ′(0)＝2，又f (0)＝0，所以函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)解 f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2(x >－1)．令x ＋1＋a ＝0，得x ＝－a －1.若－a －1≤－1，即a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )无极值．若－a －1>－1，即a <0，当－1<x <－a －1时，f ′(x )<0，当x >－a －1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝－a －1处取得极小值，极小值为ln(－a )＋a ＋1.(3)证明 当a ＝－1时，由(2)知，f (x )min ＝f (0)＝0，所以ln(x ＋1)－x x ＋1≥0，即ln(x ＋1)≥x x ＋1. 令x ＝1n(n ∈N ＋)， 则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1≥1n1n ＋1＝11＋n ， 所以ln n ＋1n ≥11＋n. 又因为11＋n －n －1n 2＝1n 2(n ＋1)>0， 所以11＋n >n －1n 2， 所以ln n ＋1n >n －1n 2， 所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2， 即ln(n ＋1)>1－112＋2－122＋3－132＋…＋n －1n 2.。
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滚动训练(一) 一、选择题 1．根据变量x，y的观测数据得到的散点图如图所示，则( )
A．变量x与y正相关 B．变量x与y负相关 C．变量x与y可能正相关，也可能负相关 D．变量x与y没有相关性 考点 线性回归分析 题点 回归直线的概念 答案 A 解析 图中的数据y随x的增大而增大，因此变量x与y正相关，故选A. 2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和面积 C．正n边形的边数和内角度数和 D．人的年龄和身高 考点 回归分析 题点 回归分析的概念和意义 答案 D 解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D. 3．在建立u与v的回归模型时，选择了4种不同模型，其中拟合最好的为( ) A．相关指数R2为0.75的模型 B．相关指数R2为0.90的模型 C．相关指数R2为0.25的模型 D．相关指数R2为0.55的模型 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 B 解析 相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B. 4．两个变量x与y的散点图如图，可用如下函数进行拟合，比较合理的是( )
A．y＝a·xb B．y＝a＋bln x C．y＝a·ebx D．y＝a·ebx 答案 B 解析 由散点图知，此曲线类似对数型函数曲线，可用函数y＝a＋bln x进行拟合．故选B. 5．已知以下结论： ①事件A与B的关系越密切，K2的值就越大； ②K2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一依据； ③若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生． 其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用 答案 B 解析 ①正确；对于②，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助图形或概率运算，故②错误；对于③，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生了B一定发生，故③错误．正确的只有1个，故选B. 6．在新媒体时代，酒香也怕巷子深，宣传是让大众最快了解自己产品的最有效的手段，已知某种产品的宣传费用x与销售总额y的统计数据如下表所示： 宣传费用x万元 4 2 3 5
销售总额y万元 49 26 39 54
根据上表求得的线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报宣传费用为6万元时销售额为( ) A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72万元 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 答案 B 解析 由数据统计表可得x＝3.5，y＝42，根据回归直线的性质得点(3.5,42)在回归直线上，
代入方程y^＝9.4x＋a^可得a^＝9.1，故线性回归方程为y^＝9.4x＋9.1，因此当x＝6时，估计销售额y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B. 7．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据： 种子处理 种子未处理 总计 生病 32 101 133
不生病 61 213 274
总计 93 314 407
根据以上数据，则( ) A．种子是否经过处理跟是否生病有关 B．种子是否经过处理跟是否生病无关 C．种子是否经过处理决定是否生病 D．以上都是错误的 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 B
解析 因为K2的观测值k＝407×32×213－101×612133×274×93×314≈0.164 1<2.706，所以有90%的把握可判断种子是否经过处理与是否生病无关，故选B. 8．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( ) 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 A 解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 二、填空题 9．若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中，相关指数R2＝0.95，又知残差平方和
为120.53，那么i＝110 (yi－y)2＝________. 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 2 410.6
解析 依题意，由0.95＝1－120.53i＝110 yi－y2，所以i＝110 (yi－y)2＝2 410.6.
10．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k＝4.073，那么有________的把握认为两变量有关系，已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用 答案 95% 解析 因为K2的观测值k＝4.073>3.841， P(K2≥3.841)≈0.05， 所以有95%的把握认为两变量有关系． 11．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程
为y^＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长度的估计值为________cm. 答案 56.19
解析 根据线性回归方程y^＝1.197x－3.660，将x＝50代入，得y^＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm. 三、解答题 12．抽测了10名13岁男生的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)，得到如下数据： x 157 153 151 158 156 159 160 158 160 162 y 45.5 44 42 46 44.5 45 46.5 47 45 49
(1)画出散点图； (2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗？ (3)如果近似成线性关系，试画出一条直线来近似地表示这种关系． 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 解 (1)散点图如图所示：
(2)从散点图可知，当身高增加时，体重也增加，而且这些点在一条直线附近摆动，因此身高与体重线性相关． (3)作出直线如图所示：
13．某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日 昼夜温差(℃) 10 11 13 12 8
发芽数(颗) 23 25 30 26 16
(1)从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率； (2)请根据3月12日至3月14日的三组数据，令昼夜温差为x，发芽数为y，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
(参考公式：b^＝i＝1n xi－x·yi－yi＝1n xi－x2或b^＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－bx) 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 解 (1)m，n的所有取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共有10个． 设m，n“均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26)，所以P(A)
＝310，故事件A的概率为310.
(2)由数据得x＝12，y＝27,3x y＝972，i＝13xiyi＝977，
i＝1
3x2i＝434,3x2＝432，
由公式，得b^＝977－972434－432＝52，a^＝27－52×12＝－3， 所以y关于x的线性回归方程为y^＝52x－3. (3)当x＝10时，y^＝22，|22－23|<2，当x＝8时，y^＝17，|17－16|<2， 所以得到的线性回归方程是可靠的． 四、探究与拓展 14．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上 B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上 考点 回归分析 题点 回归分析的概念和意义 答案 B 解析 通常把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．故选B. 15．某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表： 数学成绩x 145 130 120 105 100
物理成绩y 110 90 102 78 70
数据表明y与x之间有较强的线性关系． (1)求y关于x的线性回归方程； (2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩； (3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，填写下面2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？ 物理优秀 物理不优秀 总计 数学优秀 数学不优秀 总计 60
参考数据：回归直线的系数b^＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2，a^＝y－b^x. K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d， P(K2≥6.635)＝0.01， P(K2≥10.828)＝0.001. 考点 独立性检验思想的应用 题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)由题意可知x＝120，y＝90，
故b^＝i＝15 xi－xyi－yi＝15 xi－x2