第22讲趣谈不定方程

【例1】求下列方程的整数解（x＞0,y＞0）.

(1)5x+10y=14

(2)11x+3y=80

答案：（1）没有整数解

（2）x=1

y=26

x=4

y=15

x=7

y=4

【例2】有一根长5.8米的木料，现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格，试写出把木料分割成两种规格，恰好没有剩余的所有分割法（损耗不计）.

答案：可分割成0.9米长的2段，0.4米长的10段，或0.9米长的6段，0.4米长的1段. 【例3】一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6支，二等奖每人3支，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9支，二等奖每人4支，三等奖每人1支，问：获一、二、三等奖的学生各几人？

答案：获一等奖1人，获二等奖2人，获三等奖5人.

【例4】某单位职工到郊外植树，其中1

的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？答案：3人

【例5】已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且a2+b=c,求所有满足条件的（a,b,c）

答案：（88，33，7777）,(33,22,1111),(66,88,4444).

【例6】有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23.问这三张牌的数字是多少？

答案：3，5，9

随堂练习1

（1）已知x,y,z均不小于0，则方程组

x+y=10

xy?z2=25，共有几组解？

（2）邮局买了助力车和自行车若干辆，共付出11700元，已知每辆助力车2500元，每辆自行车350元，问邮局买这两种车各多少辆？

（3）要把1米长的优质铜管，锯成38毫米长和90毫米长两种规格的铜管，两种规格的铜管都要有，每锯一次都要损耗1毫米的铜管.那么，只有当锯得的38毫米长的铜管为多少段、90毫米长的铜管为多少段时，所损耗的铜管才能最少？

随堂练习2

（1）小明上周去百货商店用30元买了2支钢笔和4支铅笔.这周去百货商店时，他发现钢笔降价10%，铅笔加价20%，于是小明花30元买了3支钢笔和1支铅笔.现在买1支钢笔和1支铅笔一共需要多少元？

（2）有一堆围棋子，白子颗数是黑子的3倍，每次拿出7颗白子、4颗黑子，过若干次（不到十次）后，剩下的白子是黑子的11倍，原来白子有多少颗？

（3）甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树5棵，其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数大于100而不超过200，那么甲、乙两小队共有多少人？

随堂练习3

（1）某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度，超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交了3元3角电费，这个月甲、乙各

用了多少度电？

（2） abc 是一个三位数，由a,b,c 三个数码组成的另外五个三位数之和等于2743，那么，

三位数abc

是多少？（3）已知△和☆分别表示两个自然数，并且△5+☆11=3755，△+☆的和是几？

练习题

（1）已知自然数x,y,z 适合下列两式：

5x+7y+3z=25和3x-y-6z=2,那么x,y,z 分别等于几？

（2）有104名男学员到工厂劳动.工厂的集体宿舍有两种房间，一种房间可住12人，另

一种房间可住5人，试求如何安排才能使全体学员都有住处，且使所住的房间都住满？

（3）多位数62ab427是99的倍数，求a 和b 的值.

（4）一个两位数，各位数字和的5倍比原数大6，这个两位数是多少？

（5）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再

放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二.若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里的红球与黑球数量之比为多少？

（6）工程队要铺设87米长的地下管道，仓库中有3米和5米的管子，问可以有几种不同

的取法？

（7）某班同学分成若干小组去植树，若每组植树n 棵，且n 为质数，则剩下树苗20棵；

若每组植树9棵，则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了多少组？

（8）玩具箱中放入若干个小鸟和小猪，若一次取出6个小鸟4个小猪，几次后小猪拿完

了，小鸟还剩8个，若一次取出8个小鸟，4个小猪，小鸟拿完了，小猪还剩36个，试问箱子中原来有几个小猪？

（9）求不定方程2x+3y+7z=23的自然数解.（不包括0）

（10）用一元钱买回15张纪念邮票，其中既有4分的，也有8分的，还有1角的，求有几

种不同的买法.

（11）有甲、乙、丙三种货物，若购甲10件、乙4件、丙1件共需420元，若购甲7件、

乙3件、丙1件共需315元，现购甲、乙、丙各一件共需多少元？

（12）有一个三位数，个位数字与十位数字的和的5倍加上十位数字与百位数字的和的3

倍等于25与十位数字的和；同时又知，个位数字的3倍比十位数字与百位数字的6倍的和大2.求这个三位数.

（13）某次书法比赛准备了35支毛笔作为奖品，原计划一等奖每人发7支，二等奖每人发

4支，三等奖每人发2支.后来改为一、二、三等奖每人各发9支、5支、1支.问获

一、二、三等奖的学生分别有几人？

（14）一个三位数除以19所得的商等于三位数各位数字的和，这种三位数有多少个？

（15）商店的白糖有4千克，3千克和1千克三种不同包装，一位顾客要买15千克白糖.

问：给这位顾客的白糖可以用多少种不同的方式？

（16）一个五位数ABCDE

中，每个数字各不相同且都不为零，ABC 、BCD 和CDE 三个数都是19的倍数，则ABCDE 是多少？

（17）小赵是铁人三项运动的爱好者，如果他用2小时骑自行车，用3小时长跑，用4小

时游泳则行进总路程为71公里；如果他用4小时骑自行车，用2小时长跑，用3小时游泳则行进总路程为94公里.又知道他进行三个项目的速度都是整数公里每小时，则他三个项目速度之和为多少公里／小时？

（18）用40元钱购买单价分别为2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买一本，而

且钱恰好花完，则不同的购买方法有多少种？

（19）某班植树节植树，分为3个组，第一组每人植树5棵，第二组每人植树4棵，第三组每人植树3棵.已知第二组人数是第一、三两组人数和的三分之一，且比第一、三两组少植树72棵，则该班级至少有多少人？

小（20）甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程；分别需要140小时、87.5小时、777

9时.现在，甲和乙都最多只能工作60小时，丙最多只能工作35小时，三队工作时间之和为100小时完成工程，则甲最多工作多少小时？

小学六年级数学拔高之巧解简单的不定方程

第28讲巧解简单的不定方程巧点睛——方法和技巧所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。巧指导——例题精讲 A级冲刺名校·基础点睛【例1】马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。解设马小富在甲公司打工χ个月，在乙公司兼职y个月。这里χ＞，且χ和y都是不大于12的自然数。根据题意列方程： 470χ＋350y=7 620 化简得47χ＋35 y=762 由于35y的末位数字一定是5或0，因此47χ的末拉数字是7或

2，χ只能是1，11或6。当χ=1或6时，y不是自然数，不符合题意；当χ=11时，y=7。所以，马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。做一做1 有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？【例2】要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？解设38毫米、90毫米的铜管分别锯χ段、y段，共锯（χ＋y －1）次，损耗铜管（χ＋y－1）毫米。根据题意列方程：38χ＋90χ＋（χ＋y－1）=1 000 化简得39χ＋91y=1 001 方程两边除以13，得3χ＋7y= 77 Y= 7x3 77 。即y=11－ 7 3χ。这里有一个隐蔽条件，就要使损耗最少，尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说χ尽可能小。由于χ、y都必须是自然数，可得χ=7，y=8。即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗量最小。

第六讲函数与方程

函数与方程一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。特别提醒：函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[] ,a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。二、二分法：定义：对于区间[] ,a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[] ,a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[] ,a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。（20-40分钟）类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：

(通用版)202x版高考数学大一轮复习第11讲函数与方程学案理新人教A版

第11讲函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f (x)(x∈D)的零点. (2)等价关系方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与有交点?函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0) 的图像与x轴的交无交点点零点个数常用结论 1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.

题组一常识题 1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是. 2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= . 3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是. 4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是. 题组二常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零). 5.函数f(x)=x+1 的零点个数是. x 6.函数f(x)=x2-3x的零点是. 7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是. 8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是. 探究点一函数零点所在区间的判断例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 () A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= . (2)已知函数f(x)=lg x+5 4 [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断. 变式题[2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的区间为() x2

六年级奥数第28讲：不定方程

简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？

做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有3 1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的5 1必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？

2018年国考数量-巧解不定方程问题

巧解不定方程问题哈尔滨华图房曼不定方程，顾名思义，一个方程中有多个未知数，无法通过正常的解方程来得出答案，也是省考国考考察的热点、重点。2017年的国家公务员考试副省级的64题，2017年山东省考的51题，都考察了不定方程的应用。对于不定方程，我们有很多种方法来解决，包括用数字特性法、代入排除法等方法，其中代入排除法可以解决绝大多数不定方程问题，但是四个选项挨个代入比较耗费时间，相当于战争中的核武器，可以解决问题，但是代价比较大；对于一些不定方程题目，我们也可以首先考虑用数字特性来排除几个不靠谱的选项，再用代入法来做，可以大大缩短做题时间，相当于战争中的冲锋枪，可以轻快的解决问题，使用方便。下面列举两道真题来应用一下。 2017年的国家公务员考试副省级64题：例1、某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？ A．3B．8C．10D．15 解析：设200毫升的最少有a箱，400毫升的有b箱，可以得到一个等式：20*14a=12*25b，为不定方程，求得是a，可以将四个选项从最小的选项挨个代入，求出b，根据题意，b为正整数，符合这个条件的选项即为答案，这是用代入排除法直接做，比较耗费时间。如果先把等式化简一下的话可以得到：14a=15b。可知a需要为15的倍数，直接选出D选项。 2017年山东省考51题：例2、小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24.所得的两个乘积加起来刚好等于900，问孩子出生在哪一个季度？ A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度解析：设出生的月份为a，出生的日期为b，得到等式：29a+24b=900，为不定方程。观察等式，900为3的倍数，24b同样为3的倍数，所以要求29a为3的倍数，即要求a为3的倍数，可以为3,6,9,12，分别代入，可以解出b，b需要为小于32的正整数，只有当a为12时，解出b=23，符合条件，12月属于第四季度，故选D选项。对于不定方程，是公务员考试中的一座小高地近来来考察越来越多我们攻克它有数字特性法和代入排除法等武器在平时的练习和考试中要熟练运用各种方法，才能迅速的解得答案。

六年级奥数考点：不定方程问题

考点：不定方程问题一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5

Y=5 y=2 练习1 1、（课后）求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。【例题2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1.

第8讲函数与方程

第八讲《函数与方程》【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。【基础知识回顾】： 1、 2.用二分法求方程近似解的一般步骤：

【基础知识自测】 1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ?<0，则方程0)(=x f 在区间??b a ,上（）（A ）至少有一实根（ B ）至多有一实根（C ）没有实根（ D ）必有唯一的实根 2、函数x x f x 2ln )(- =的零点所在的大致区间是（）（A ）（1，2）（ B ）（2，3）（ C ）（e,3）（ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（）（A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点（B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点 5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是 ① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根 ③当0

2014届高考数学一轮复习方案第11讲函数与方程课时作业新人教B版

课时作业(十一) [第11讲函数与方程] (时间：45分钟分值：100分) 基础热身 1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( ) 图K11－1 A ．[－2.1，－1] B ．[1.9，2.3] C ．[4.1，5] D ．[5，6.1] 2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) 3．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1， 1.25) C ．(1.25，1.75) D ．(1.75，2) 4．已知函数f (x )＝? ????2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．能力提升 5．函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2，2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定 6．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2 与y ＝? ?? ? ?12x －2 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2)

C ．(2，3) D ．(3，4) 7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2 －3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根 9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝? ?? ??12x －sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．若方程2ax 2 －x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________． 13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2 －1| x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________． 14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.

不定方程的求解方法汇总

不定方程的求解方法汇总行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。一、不定方程的概念在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。二、求解不定方程的方法 1、奇偶性奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。

重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷

重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x00.50.531250.56250.6250.751 f（x）﹣1.307﹣0.084﹣0.0090.0660.2150.512 1.099 由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（） A . 0.625 B . ﹣0.009 C . 0.5625 D . 0.066 2. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）． A . B . C . D . 3. （2分）函数的零点所在的区间是（） A . B . C .

D . 4. （2分） (2018高二下·辽源月考) 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是（） A . [－2,2] B . [0,2] C . [－2,0] D . (－∞，－2)∪(2，＋∞) 5. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（） A . 14 B . 7 C . 18 D . 13 6. （2分）设,用二分法求方程在内近似解的过程中得则方程的根落在区间（） A . (1,1.25) B . (1.25,1.5) C . (1.5,2) D . 不能确定 7. （2分）关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是（） A . 越大，零点的精确度越高 B . 越大，零点的精确度越低

二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成：（t为任意整数）

第二讲函数与方程(答案)

第二讲函数与方程 A: 题型一判断给定函数有无零点以及零点个数的确定 1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）f (x )=x 2-3x -18,x ∈［1，8］；（2）f (x )=x 3-x -1,x ∈［-1，2］；（3）f (x )=log 2(x +2)-x ,x ∈［1，3］. 解（1）方法一因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x 2-3x-18，x ∈［1，8］存在零点. 方法二令x 2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x 2-3x-18,x ∈［1，8］存在零点. （2）∵f （-1）=-1＜0,f(2)=5＞0, ∴f （x ）=x 3-x-1，x ∈［-1，2］存在零点. （3）∵f （1）=log 2（1+2）-1＞log 22-1=0. f(3)=log 2(3+2)-3＜log 28-3=0.∴f （1）·f （3）＜0 故f(x)=log 2(x+2)-x 在x ∈［1，3］上存在零点. 2.求下列函数的零点： (1)y =x 3-7x +6;(2)y =x +x 2-3. 解（1）∵x 3-7x+6=(x 3-x)-(6x-6) =x(x 2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x 2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3) 解x 3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0 可得x 1=-3,x 2=1,x 3=2. ∴函数y=x 3-7x+6的零点为-3,1,2. (2)∵x+.) 2)(1(23322 x x x x x x x --=+-=- 解x+,032=-x 即x x x )2)(1(--=0,可得x=1或x=2. ∴函数y=x+x 2-3的零点为1，2. （3）32)(2+--=x x x f ；（4）1)(4-=x x f （5）322--=x x y （6）x x y 1 - =（7）72)(+=x x f （8）2223+--=x x x y （9）6423++-=x x x y 2.（1）求函数x x x x f 23)(23+-=的零点的个数；答案1 （2）求函数x x x f 64)(3-=的零点的个数；（3）求函数x x x f 4 )(- =的零点的个数；（4）求方程02424=--x x 在区间[-1，3]内至少有几个实数解；（5）求函数123+--=x x x y 在[0，2]上的零点的个数；

不定方程常用解题方法

整除法【例题1】：某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000 美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120 美元所得税，则Y为多少？ A.6 B.3 C.5 D.4 【参考答案】：A. 【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得 6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考虑用整除法结合选项选择答案。奇偶法【例题2】：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ A.3,7 B.4,6 C.5,4 D.6,3 【参考答案】：A. 【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选项破解题目。尾数法【例题3】：有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：

A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆【参考答案】：B. 【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。

2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题

2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。核心点拨 1、题型简介未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。 2、核心知识形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究： a.不定方程是否有解？ b.不定方程有多少个解？ c.求不定方程的整数解或正整数解。（1）二元一次不定方程对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：定理1：二元一次不定方程， A.若其中，则原方程无整数解； B.若，则原方程有整数解； C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。定理2：若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

方程的所有解（即通解）为（k为整数）。（2）多元一次不定方程（组）多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。例： ②－①消去x得y+2z=11 ③ ③的通解为，k为整数。所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。（3）其他不定方程 3、核心知识使用详解解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。夯实基础

第12讲函数与方程

函数与方程 1、掌握函数的零点和二分法的定义． 2、会用二分法求函数零点的近似值。一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。特别提醒：函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1 练习1：求函数y ＝x 3 －x 2 －4x ＋4的零点．答案：－2,1,2. 练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．7 2 C ．－72 D ．－7 答案：C 类型二零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2 －7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( )

第11讲函数与方程学生(新高一培优十六讲系列)

第11讲函数的零点 [玩前必备] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [玩转典例] 题型一求函数的零点例1求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1. (3)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________

[玩转跟踪] 1.已知函数f (x )＝????? 2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( ) A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0 2.求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 题型二函数零点个数或所在区间的判断例2 (1)设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) (2)函数f (x )＝????? ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1， x ≤0的零点个数是________． [玩转跟踪] 1.(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) (2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个题型三参数范围问题例3 (1)函数f (x )＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝． (2) 函数y ＝????12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．例4 已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.

二元一次不定方程及其解

２０１３年第·１期太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college 期总第１３８期Ｊａｎ２０１３［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探讨了二元一次不定方程及其解。[关键词]通解；特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法［中图分类号］O15［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２浅析二元一次不定方程及其解韩孝明（吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁０３２２００）不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名，影响甚远。在公元３世纪初，古希腊数学家丢番图曾系统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番图方程。一、不定方程定义所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很活跃的数学领域。中小学的数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。二、二元一次不定方程及其解形如ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一次不定方程。求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。由于方程的解ｘ、ｙ可以是正整数，也可以是负整数，或者零，所以我们可以只讨论ａ、ｂ都是正整数的情况。例如，３ｘ－２ｙ＝１与３ｘ＋２ｙ＝１的解相比较，ｙ的值只差一个负号。当ｃ＝０时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ的最大公约数为ｄ），那么在方程的两边同时除以ｄ，使ｘ、ｙ的系数互质。因此不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得ｘ＝－，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当ｙ能被ａ整除时，方程ａｘ＋ｂｙ＝０才有整数解。所以可令ｙ＝ａｔ（ｔ为任意整数），这时ｘ＝－ｂｔ，即方程ａｘ＋ｂｙ＝０的一切整数解为（其中ｔ为任意整数）当ｃ≠０时，实际上也只需要讨论ｃ＞０的情况。因为当ｃ＜０时，我们可以在方程两边同时乘以－１，这样方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的右边就成为正整数了。因此对于二元一次不定方程，可以只讨论ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０的情况。现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解：２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８是这方程的整数解，因此这个方程有整数解。对于方程４ｘ＋２ｙ＝２０，方程两边同时除以２，得２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。对于方程４ｘ＋２ｙ＝２５，由于４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而２５是奇数，因此这个方程没有整数解。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０来说，ｘ、ｙ的系数互质，上面已经指出这个方程是有解的；对方程４ｘ＋２ｙ＝２０来说，虽然ｘ、ｙ的系数不互质，但它们的最大公约数２能整除２０，这是方程也有解；对方程４ｘ＋２ｙ＝２５来说，ｘ、ｙ的系数不互质，且它们的最大公约数２不能整除常数项２０，这时方程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面定理：定理１：二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整数解的充要条件是ｄ│ｃ（其中ｄ＝（ａ，ｂ）。证明：一是必要性。如果方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０，则ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为ｄ│ａ，ｄ│ｂ，所以ｄ│（ａｘ０＋ｂｙ０），即ｄ│ｃ。二是充分性。因为ｄ│ｃ，所以ｃ＝ｄｑ，由裴蜀恒等式可以知道，存在两个整数x ０，y ０，使ａx ０＋ｂy ０＝ｄ。在上式两边同时乘以ｑ，得ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｄｑ即ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｃ。因此方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝x ０ｑ，ｙ＝y ０ｑ。由上述定理可知，如果ｃ不能被ａ、ｂ的最大公约数整除，那么方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ无解，且可在ａｘ＋ｂｙ＝ｃ两端都约去ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是在ａ、ｂ互质的情况下讨论的。判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整数解呢？我们有下面的结论：定理２：如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ［（ａ，ｂ）＝１］有整数解ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为（ｔ是整数）证明：先证明是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解。因为ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解，所以ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，又因为ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。 161··

第六节不定方程

第六节不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。基础知识 1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成 ??? ????-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211，(N c a a a n ∈,,,,21Λ)有解的充要条件是c a a a n |),,,(21Λ. 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减

第22讲 趣谈不定方程