多元函数的极值与应用

多元函数的极值与应用

摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性

Extreme value of function and application

Abstract ：This article is about the function extreme solution by a function extreme

problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular

Keywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论

定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12

(,,)n z f x x x =在点00012(,,

,)n x x x 的某个

邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,

,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有

00012

12(,,)(,,

,)n n f x x x f x x x <(或00012

12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在

点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极

值，使函数取得极值的点称为极值点.

定义 2.2.1

[3]

函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ=

(1,2,

,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.

3. 多元函数普通极值存在的条件

定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,

,)

n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,

,)0i x n f x x x = (1,2,

,)i n =

备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.

定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附

近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,

,)n z f x x x =的驻点.那么当二次

型

00012,1

()(,,,)i j

n

x x n i j i j g f

x x x ζζζ==∑

正定时，00012(,,

,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,

,)n f x x x 为极大值；

当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.

记00012(,,

,)i j ij x x n a f x x x =，并记

11121321222312

k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：

定理 3.3[3]若det 0k A > (1,2,

,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时

00012(,,

,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,

,)k n =，则二次型()g ζ是负

定的，此时00012(,,

,)n f x x x 为极大值.

特殊地，当2n =时，有如下推论：

推论 3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==

令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===

则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值

取极小值.

②当20AC B -<时，没有极值.

③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.

4．介绍多元函数条件极值的若干解法

4.1代入消元法

通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.

例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解 由0x y z -+= 解得，2z x y =-+

将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)

解方程组 2

2

'2y 20

220x y g xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'

=+-=⎪⎩ 得驻点 12

22

P P =33

（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''=

在点1P 处，0,2,0A B C ===

22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点

从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；

在点2P 处，44

,2,33A B C ===

224424

()03333

AC B ∆=-=⨯⨯-=>，

又4

03

A =>，所以2P 为极小值点

因而，函数(,,)f x y z 在相应点222

(,,)333

-处有极小值

极小值为2228

(,,)33327

f -=-.