应用数理统计参考题

应用数理统计（2000年）

一、填空 1

、

设

x 1,x 2,…x 10

来

自

总

体

N(0,1)

的

样

本

，

若

y=k 1(x 1+2x 2+3x 3)2+k 2(x 4+x 5+…+x 10)2~x 2(2)，则k 1= k 2= 2、设x 1,x 2,…x 2m 来自总体N(4,9)的样本，若y=2

21(4)m

i i x =-∑，且Z=

从t 分布，则c= ,z~t( )

3、设x 1,x 2,…x 2m 来自总体N(μ,σ2)的样本，已知y=(x 2-x 1)2+(x 4-x 3）2

+…+(x 2m -x 2m-1)2，

且Z=cy 为σ2的无偏估计，则c= 4、上题中，Dz=

5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为12和11的样本，已计算的游程总个数U=12，试在水平α=0.05下检验假设H 0：F(x)= G(x)，其结论为 (U 0.05(12，11)=8)

二、设x 1,x 2,…x 61来自总体N(0,1)的样本，令y=61

2

1

i

i x =∑，试求P{211

15x y ≤} (t 0.975(60)=2)

三、设总体x 的密度函数为 (1+α)x α，0

0, 其它

而（x 1,x 2,…x n ）为来自x 的样本，试求α的极大似然估计量。 四、设x~N(μ1,σ2)，y~ N(μ2,σ2)

今抽取x 的样本x 1,x 2,…x 8；

y 的样本y 1,y 2,…y 8；

计算得x =54.03，y =57.11，2x s =3.25，2y s =2.75

1．试在水平α=0.01下检验假设H 0：μ1=μ2，H 1：μ1>μ2 2．试求α=0.02时，μ2-μ1的估计区间（t 0.99(14)=2.6245）

五、欲考察因子A,B,C,D 及交互作用A×C ，且知B 也可能与其它因子存在交互作用，试在L 8(27)上完成下列表头设计。并说明理由。

B A D

C B 1 2 3 4 5 6 7

附L 8(27)的交互作用表

1

2

3 4 5 6 7 (1) 3 2

5 4 7

6 (2) 1 6

7 4 5 (3) 7 6

5 4 (4) 1 2

3 (5) 3 2

(6) 1

(7)

六、已知(x 1, y 1), (x 2, y 2),…, (x 9, y 9)为一组实验值，且计算得x =8.67, y =16.2,

9

2

1

i i x =∑=996,

9

21

i i y =∑=3081.96,

91

i i

i x y =∑=1743.6，试求线性回归方程???y a bx =+ 七、x 1,x 2,…x 100来自总体x~π(λ)（泊松分布）的一个样本，试求参数λ的近似(1-α)置信区间，(Ex=λ,Dx=λ)

八、在一元线性回归中，l yy =Q+U ，F= //U s

Q s

~F(s,t),试给出用F 值来判定回归显著性的办法。

应用数理统计（2001年）

一、填空（每空3分，共30分）

1．设x1,x2,……，x10为来自总体N(0，1)的样本，若y ＝k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+……＋x10)2,且y~x2(2).则k1=__,k2=__.

2．设x1,x2,……，x12为来自总体N(0，A)的样本，若y=(x12+x22+x32)÷(x12+x22+……

＋x122)且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F( )

3．若x1,x2,……，x20为来自总体N(μ，σ2)的样本,若

y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+……＋(x20-x19)2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__

4．若x1,x2,……，x100为来自总体N(10，σ2)的样本，若y=

100

2

1

1

1

(10)

99i

y x

=

=-

∑，

则Ey=__,Dy__

5．若x1,x2,……，x16为来自总体N(μ，0.012)的样本,其样本平均值x---=2.215,则μ的0.20置信区间为(＿，＿)（取三位小数），(已知Ф(1.645)＝0.95，Ф(1.282)＝0.90)

二（10分）设总体X 的概率密度函数为

f(x)=(1+α)x2, 0

0 其它

而x1,x2,……，x n为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。

三（10分）设x1,x2,……，x61为来自总体N（0，1）的样本。令y=

60

2

1

i

i

x

=

∑,且P （x61/y≤k）

＝0.95，试求k。

四（10分）设X~N(μ1，σ2),Y~N(μ2，σ2)令抽取X的样本x1,x2,…，x8，Y的样本y1,y2,…，y8试推导假设H0：μ1＝μ2；H1：μ2＞μ1的拒绝域，设若x---＝54.03，y__=57.11，S12=3.25，S22=2.75，是否接受H0？

五（10分）设y～N(Ae-Bx，σ2),试由样本(x1,y1)(x2,y2),……(x n,y n)估计参数A及B(可利用已有的结论或公式些出相应的结果)。

六（10分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）

试用级差分析对结果进行分析判断，若A 、B 、C 的水平数皆为实际条件数据由小到大排列，试选出最优工艺条件并指出进一步试验的方向。 七、（10分）设t~t(n)，F~F(n, 1)且p{t ≤t α(n)}=α，p{F ≤F α(n, 1)}=α 试证明：112

1

()(,1)

t n F n αα+-=

八、（10分）设X 的概率密度函数为

,0()0,x f x otherwise ββ?<

1

试求β的极大似然估计量，并由此求一个β的无偏估计量

应用数理统计（2003年）

1. 设X 1, X 2, … , X 100为来自正态总体N(0,σ2

)的样本，若Y=100

21i

i x =∑，求EY ，

EY 2。

2. 设总体X~N(μ,σ2)，X 1，X 2，…，Xn 为来自X 的样本，记

X =1

1n

i i x n =∑，

S 2=21

1()1n i i x x n =--∑，求ES 4。 3. 已知随机变量X 的分布律为：P{X=k}=qp k-1，k=1，2，…，（q=1- p ） 试求X 的特征函数?(t)，并由此求EX ，DX 。

4. 设总体X 的概率密度为f(x;θ)= 1,0,c x x c x c θθθ-?>?≤?,其中c>0为常数，试用来自X

的样本（X 1, X 2,…, Xn ）构造的θ矩估计量。

5. 设总体X~N(μ,52)，其样本为（X 1，X 2，…，Xn ），这时μ的置信区间为1-α，的置信区间为

① 当n 固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿ ② 当置信度固定时，增大n ，置信区间长度会＿

6. 设（X 1，X 2，…，Xn ）为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若T=1

n

i

i c x

=∑是σ

的无偏估计量，求c 。

7. 设总体X 的均值为μ，方差为σ2>0，今有来自X 的两组样本（X 1，X 2，…，Xn 1），（Y 1，Y 2，…，Yn 2），其样本均值依次为X 和Y ，若T=a X +b Y 为μ的无偏估计量，且方差D(T)达到了最小，试求a 与b 。

8. 若回归直线???y

a bx =+中，已知2

21??~(,())xx

x a y bx N a n l σ=-+,且Q/(n-2)为σ2

的无偏估计，而

2

Q

σ

~ χ (n-2)，又知?a

与Q 相互独立，试求a 的置信区间。

9.今有正交试验结果列于下表（试验结果大者为好），试用极差分析法对结果进

行分析，并选出最优工艺条件，又知A，B，C的水平数皆为实际数据由小到大排列，试指出进一步实验的方向。

10.设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单样本，且X~R[0，θ]，试求θ

的最大似然估计量，并验证是否具有无偏性，若否，请构造一个无偏估计量。

应用数理统计考试提纲（2004年）

1、正态N(μ,σ2),简单随机样本X1、X2……X n,其中μ已知。

（1）求σ2的一至最小方差无偏估计。

（2）运用信息不等式得到σ2方差的下界。

（3）判断得到的σ2的一致最小方差是否达到信息不等式的下界。

（4）说明有效估计和一致最小方差关系。

2、对于一元线性回归证明b～N(b,σ2/l xx)（答案书上有）

3、假设检验。（比较简单，但要记住公式或自己能推导）

4、对L8(27)正交表进行极差分析和方差分析，判断最优的工艺条件。

5、已知某个协差矩阵的特征根，求应该选几个主成分和第一主成分的特征向量。

（第一问很简单，第二问都是小数，4×4矩阵，运算量大，要带计算器，但还不知谁做完的。）

应用数理统计参考试卷一

一、判断正误

1、给定显著性水平α及自由度，若计算得到的|t|值超过临界的t值，我们将

接受零假设。（）

2、线性对数模型R2值可以与线性摸型的相比较，但不能与双对数模型或对

数线性模型的相比较。（）

3、尽管存在着完全多重共线性，普通最小二乘估计量仍然是最优线性无偏估

计量。（）

4、如果存在异方差，通常用的t检验和F检验是无效的。（）

二、随即的总体回归函数与随机的样本回归函数有何区别？既然我们不能观测到

总体回归函数，为什么还要研究它？

三、根据美国1962-1977年的数据，得到对汽车的需求函数如下：

Y?=5807+3.24X i r2=0.22

i

se= (1.63)

式中，Y表示零售私人汽车数量（千辆），X表示真实的可支配收入（以1972年为标准，单位为亿美元）。注：未给出b1的标准差se。

（1）对b2建立一个95%的置信区间。

（2）检验假设:该置信区间包括b2=0。如果不包括，你将接受零假设吗？（3）在H0:b2=0下，计算t值，在5%的显著水平α下，使统计显著吗？四、下表给出了三变量模型的回归结果：

（1）样本容量是多少？ （2）求RSS ？ （3）求R 2?

（4）检验假设：X 2和X 3对Y 无影响，置信水平α=0.05，你用什么假设检验？

为什么？

（5）根据以上信息，你能否确定X 2和X 3各自对Y 的贡献吗？ 五、解释下列模型中参数B 2的含义： (1) lnY t =B 1+B 2lnX t +u t (2) lnY t =B 1+B 2X t +u t

(3) Y t =B 1+B 2lnX t +u t

六、考虑下面的模型：Y t =B 0+B 1X t +B 2D 2t + B 3D 3t +u t

其中，Y ——MBA 毕业生收入，X ——工龄，所有毕业生均来自清华大学，大连理工大学，沈阳工业大学

（1）你预期各系数的符号如何？ （2）如何解释系数B 2，B 3？ （3）若B 2 〉B 3，你得出什么结论？

七、不完全多重共线性的实际后果是什么？

八、若在模型：Y t =B 1+B 2+u t 中存在下列形式的异方差：Var(u t )=δ2X t ,你如何估计

参数B 1,B 2

D 2= 1 清华大学MBA

0 其他

D 3=

1沈阳工业大学MBA

0 其他

应用数理统计参考试卷二

一、判断正误

1、随即误差项和残差相是一回事。（）

2、在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果。（）

3、R2=TSS/ESS。（）

4、整个多元回归模型在统计上是显著的意味着模型中任何一个单独的变量均是

统计显著的。（）

5、双对数模型的R2值可以与对数线性模型的相比较，但不能与线性对数模型的

相比较。（）

6、为了避免陷入虚拟变量陷阱，如果一个定性变量有m类，则要引入m个虚拟

变量。（）

7、尽管存在着完全多重共线性，普通最小二乘估计仍然是最优线性无偏估计量。

（）

8、存在异方差情况，常用的OLS法总是高估了估计量的标准差。（）

9、消除自相关的一阶差分变换假定自相关系数ρ必须等于1。（）

10、识别的阶条件仅仅是判别模型是否可识别的必要条件而不是充分条件。（）

二、简答题

1998年，为应对亚洲金融危机，我国政府提出了实施“积极的财政政策”的主张。积极财政政策的主要内容就是通过发行国债，支持重大的基础设施建设，以此来拉动经济增长。2003年3月5日朱镕基总理在第十届全国人民代表大会第一次会议上所做的政府工作报告中指出：“这几年，面对国际经济环境严峻和国内有效需求不足的困难局面，我们采取的最重要举措，就是果断地把宏观调控的重点，从实行适度从紧的财政政策和货币政策，治理通货膨胀，转为实行扩大内需的方针，实施积极的财政政策和稳健的货币政策，以致通货紧缩趋势，并在实践中实施完善政策措施，把握调控力度，确保取得成效。”请你结合有关经济理论，联系实际背景，谈谈怎样运用经济计量学研究经济问题的方法对实施的积

极的财政政策取得的成效进行实证研究？

三、依据美国1970-1983年的数据，得到下面的结果：

GDP t=-787.4723+8.0863M1t

se=(a)(0.2197)

t=(-10.0001)(b)

r2=0.9912

其中GDP是国民生产总值（单位是亿美元），M1是货币供给（单位是百万美元）a,b未知。

（1）上述模型中的数据属于哪种统计数据模型？

（2）求出a,b。

（3）假定1984年m1为552亿美元，预测该年平均GNP。

五、根据中国1950-1972年进出口贸易总额y t(单位亿元)与国内生产总值X t(

单位亿元)的数据，估计了进出口贸易总额和国内生产总值之间的关系，结果如下：

Dependent Variable:LOG(Y)

Method;Least Squares

Date:06/05/03 Time:11:02

Sample:1950 1972

Included observations:23

Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob

C 0.682674 0.235425 2.8997515

LOG(X) 0.514047 0.070189 7.323777

R-squared 0.718641 Mean-dependent var 4.596044 Adjusted R-squared 0.705243 S.D. dependent var 0.301263 S.E.of regression 0.1635560 Akaike info criterion 0.700328 Sum squared resid 0.561792 Schwarz criterion 0.601589 Log likelihood 10.05377 F-statistic 53.63771 Durbin-Watson stat 0.518528 Prob(F=statistic)

（1）写出所得到的回归模型的表达式，并解释系数的意义。

（2）分析该结果的系数显著性和拟合优度。

（3）在通常使用的D-W统计量需要有哪些基础假设？

（5）估计自相关系数。

（6）如何对该模型进行改进？

应用数理统计参考试卷三

一、判断对错（20分）

1、在用经济计量模型描述经济现象时应遵循的原则是以理论分析作先导，解释

变量应包括所有解释变量。（）

（1）线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果。（）

2、回归分析用来处理一个因变量与另一个或多个自变量之间的因果关系。（）

3、整个多元回归模型在统计上是显著的意味着模型中任何一个单独的变量均是

统计显著的。（）

4、多元线性回归分析中的RSS反映了应变量回归估计值总变差的大小。（）

5、最小二乘估计的残差均值为零。（）

6、在存在异方差情况下，常用的OLS法总是高估了估计量的标准差。（）

7、拟合优度R2越高说明样本回归模型对总体回归模型的代表性越高。（）

8、识别的阶条件仅仅是判别模型是否可识别的必要条件而不是充分条件。（）

9、总体回归线是当解释变量取给定值时因变量的条件均值的轨迹。（）

10、X与Y之间线性相关程度越高，样本相关系数Y越接近1。（）

二、试述计量经济学与经济学、数理经济学、经济统计学以及数理统计学的联

系与区别。（20分）

三、简述普通最小二乘原理，并以一元线性回归模型为例进行说明？（20分）

四、叙述高斯—马尔可夫定理。（10分）

五、试述多重共线性下，普通最小二乘估计量的统计性质及实际表现？（10分）

六、应用题（30分）

为了研究我国的居民消费函数，得到了如下回归分析结果：

Dependent Variable.LOG(CC)

Method: Least Squsres

Sample: 1960 1994

Included observation: 35

其中，CC表示居民消费，Y 表示居民可支配收入，LOG表示自然对数函数：单位：元。

（1）根据以上结果，写出回归分析结果报告。

（2）如果运用此结果解释我国的居民消费行为，你如何解释变量的系数？（3）有人认为我国居民消费的边际倾向小于1，你如何对此判断进行假设检验？

（4）由上述回归结果可知，模型中可能存在什么问题？如何检验？

（5）如何就模型中所存在的问题，对模型进行改进？

应用数理统计参考试卷四

一、判断对错（20分）

1、线性回归是指解释变量和被解释变量之间呈现线性关系。（）

2、如果回归模型中每一个参数估计值都是统计显著的，那么它们也一定是联合

统计显著的。（）

3、双对数模型的斜率和弹性系数相同。（）

4、引入虚拟变量后，用普通最小二乘法得到的估计量仍是无偏的。（）

5、判定系数R2的大小不受到回归模型中所包含的解释变量个数的影响。（）

6、X与Y之间线性相关程度越高，样本相关系数Y越接近1。（）

7、多重共线性是一种随机误差现象。（）

8、当存在自相关时，OLS估计值是有偏的并且也是无效的。（）

9、在存在异方差情况下，造成OLS估计量有较大的误差的原因是从属回归的较

大的R2。（）

10、任何两个计量经济模型的R2都是可以比较的。（）

二、试述用计量经济模型分析经济问题的基本步骤。（20分）

三、什么是虚拟变量？举例说明如何通过加法模式和乘法模式引进虚拟变量来

建立计量经济模型。（15分）、

四、试述多重共线性的后果及其补救措施。（15分）

五、下面是利用1970-1980年美国数据得到的回归结果。其中Y表示美国咖啡

消费（杯/日.人）。X表示平均零售价格。（美元/磅）

Y t=2.6911 - 0.4795 X1

se 0.1216 ( ) R2=0.6628

t值( ) 42.06

1、求出空白处的数值。

2、对模型中的参数进行显著性检验。

3、解释斜率系数的含义，并给出其95%的预测区间。

六、某种商品市场的均衡模型

Q S=b10P+ b11X2+ b12X3+ u1

Q d=b20P+ b21X1+ u2

Q S= Q d =Q

式中，Q为商品供需平衡量，P为市场价格，X1为可支配收入，X2为单位成本，X3为市场占有份额。要求：

1、指出模型中哪些是内是变量，哪些是外生变量。（5分）

2、对模型进行识别。（10分）

应用数理统计参考试卷五

一、判断对错（10分）

1、在实际中，一元回归没什么用，因为因变量的行为不可能仅用一个解释变量来解释。（）

2、通过虚拟变量将属性因素引入计量经济模型，引入虚拟变量的个数仅与样本容量大小有关。（）

3、模型Y=β0+β1/X+u不是线性回归模型。( )

4、在回归分析中，解释变量和被解释变量都是随机变量。（）

5、在联立方程结构模型中，对模型中的每一个随机方程单独使用普通最小二乘法得到的估计参数是无偏且一致的。（）

二、简述随机误差项产生的原因。（10分）

三、1、利用我国1998年全国30个省区的人均消费支出与人均可支配收入数据建立计量经济模型，得到的回归结果如下表，回答下列问题：（20分）

（1）这是一个时间数列回归还是横截面序列回归？（2分）

（2）写出回归方程。（2分）

（3）如何解释斜率？（3分）

（4）对参数进行显著性检验。（5分）

（5）如果某人可支配收入是1000元，求出该人的消费支出的点预测值。（3分）（6）求出该人消费支出95%置信水平的区间预测。（5分）

表2 回归结果

四、什么是自相关？杜宾-瓦尔森检验的前提条件和步骤是什么？（20分）

五、什么是异方差？如果误差方差与解释变量的平方成比例，应如何补救？为什

么？（20分）

六、在如下的收入决定模型中，利率R、政府支出G为外生变量，模型为：

C t=α0+α1Y t+α2I t+ u1 消费方程

I t=β0+β1Y t-1+β2I t+ u2 投资方程

T t=γ0+γ1Y t+ u3税收方程

Y t=C t + I t + G t收入方程

1、写出简化式模型（4分）

2、试利用模型识别条件分析判断模型的可识别性？（10分）

3、如何估计模型中的未知参数？（6分）

4、