弹性力学轴对称问题的有限元法

4.弹性力学轴对称问题的有限元法

本章包括以下内容：

4.1用虚功方程建立有限元方程

4.2三结点单元位移函数

4.3三结点单元刚度矩阵

4.4载荷移置

4.5轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程

物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过

该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（ r, 0, z）,以z轴为对称轴。

如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过对称性，轴对问题共有 4个应力分量： Z轴的一个纵截面就是对称面。由于

{ }

zr (4-1)

其中r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力; 表示沿0方向的正应力，称为

环向应力或切向应力； z表示沿z方向的正应力，称为轴向应力; zr表示在圆柱面上沿

z方向作用的剪应力。

同样，轴对称问题共有 4个应变分量: 图4.1受均布内压作用的长圆筒 r

其中r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿B方向的正应变，称为

环向正应变或切向正应变； z表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变； zr表示沿r和z

方向的剪应变。

在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移 u 和轴向位移 w ，两个位移分量表示为，

4-3)

在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。

由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，

* T * T * T { *}T{ } dxdydz { f * }T { F} dxdydz { f*}T{p}ds （4-4） s

其中 {F} 为体力， {p} 为面力。

将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向

分量 U1,U2,...,Un ，轴向分量 W1,W2,...,Wn，

u；,u2，...,u；，轴向位移分量 W； ,w2，...,W；。{F} U1

4-5) {} 4-2)

{f}

每个节点的虚位移也只有径向分量 *

4-6)

* w*n

在单元中由虚位移引起的虚应变为，

* Q * Q { *}e [B]{ *} e （4-7）

单元中的实际应力为，

{ }e [D][ B]{ }e （4-8）

离散后的单元组合体的虚功方程为，

{ *}T{F} ({ *}e)T[B]T[D][ B]{ } e dxdydz (4-9)

e i1

{ *}T{F} ({ *}e)T [B]T[D][ B]dxdydz{ }e (4-10)

e i1

[K ]e [B]T[D ][ B] dxdydz 就是单元刚度矩阵。 e

对于轴对称问题，

将（ 4-11）代入（ 4-10）可得

{ *}T{F} { *}T ([G]T [K]e[G]){ } (4-12)

[K ] （[G]T[K]e（[G]）为整体刚度矩阵，得到方程组，

[K ]{ } {F}u1 *

[K]e [B]T [D][ B]rdrdzd [B]T[D][ B]rdrdz (4-11)

4-13) u2 *

4.2三结点单元位移函数

轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，

圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数, 点三角形单元位移函数取为，

u ai a2「 a3z

w a4 a5「 a6z

按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（

其中,

定义形态函数为,

用矩阵表示的单元位移为,在整个弹性体中是三棱

轴对称问题的三结

(4-14)

4-14 )得到,

31 1

2A 3i aj 3 m Ui

32 bi bj bm Uj

33 Ci Cj Cm Um

a4 1

2A ai aj am Wj

a5 bi bj bm Wj

a6 ci cj cm wm (4-15)

(4-16)

21 rj

rm 召

zm (4-17)

ai rj zm zmrj， bi zj zm， ci rm r j

1 Ni ^^(ai br Ci z) （下标i,j,m轮换） (4-18) 图4-2三结点单元 (4-19)

u Nj 0 Nj 0 Nm 0 uj

w 0 Nj 0 N j 0 N m wj

um wm

4.3三结点单元刚度矩阵

轴对称问题的几何方程:

由（4-19）式得,

用几何矩阵表示单元的应变,

{ } [B] { }e z

zr w

u w

z r (4-20)

士(biui bjUj

fjUj bmum)

fmum) (4-21a)

(4-21b)

其中，fj 岂 bj

r CZj

r （下标轮换）

r —(cjuj 2A j j CjWj cmwm)

CjUj cmum)

bjwj bmwm) (4-21c)

(4-21d)

(4-21e)

[B] [Bj Bj Bm] (4-23) (4-22) （下标轮换） (4-24)

bi 0

1 fi 0

[Bi]

i 2A 0 Ci

q bi

由于在fi是坐标r、z的函数，分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元

1 2

令人，丄二 A2，则弹性矩阵为,

1 1 2（1 ） 2

1 A1

[D] )Al 1

(1 )(1 2 ) A1 A1

0 0 A 0

A 0

1 ( 4-26) 1 0

0 A2

下标轮换，可得到［SJ, ［Sj］。 [S] [D][ B] (4-27)

（4-28）

[S] [Si Sj Sm]

fi A1ci

Q] [D][Bi] E(1 ) A1bi fi A1ci （4-27）

i 2(1 )(1 2 )A Al (bi fi) ci 由弹性矩阵［D］和几何矩阵［B］可以得到应力矩阵［S］，并计算出单元内的应力分量,

A? q A?bi 1 1 1 0

E(1 ) 1 1

[D]

(1 )(1 2 ) 1 0

1 1

1 2 0 0 0

2(1 ) (4-25)

由应力矩阵可知，除剪应力 zr 为常量，其它三个正应力分量都是 r、z的函数。中仍为常量。

由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵,

单元刚度矩阵为，

[K]e 2 [B]T[D][ B]rdrdz (4-28)

单元刚度矩阵的分块矩阵为，

K rs 2 [B]：[D] [Bhrdrdz (4-29)

由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算,

用三角形单元形心位置的坐标 rc, zc代替[B]矩阵中的变量r、z。

4.4载荷移置

单元上的体力为｛p｝，与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载荷,

{R}e 2 [N]T{p}rdrdz (4-34)

作用在单元上的面力为 P ，结点载荷为, 可以

rc 3(ri rj rm)，

zc 扣

zj zm)

应变矩阵变成，

[B] Bi Bj Bm

E 0

1 bi昵 0 [Bi] rc

0 Ci

Ci bi (4-30)

[K]e 2 rc[B]T[D] [B]

单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为, (4-31)

rs 2 rc[B]：[D] [B]s (4-32)

[K]rs 2(1 E(1

)(1 )rc_ brbs

2 )A frfs

A1(Crbs Cr fs) A?brCs AJbpfs frbs) AzCrCs

AQCs

Cr Cs g) AzCrbs

Azbr bs (4-33) 单元刚度矩阵的近似表达式为:

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有限元法复习

1 有限元法复习

第一章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理

1．本章应掌握加权余量法基本方法。

2．熟练掌握伽辽金法和里兹方法的应用；

3．熟练掌握弹性力学问题最小位能原理应用。

4．了解虚功原理、虚位移原理及余能原理的基本理论和方法。

5．掌握弹性力学的基本方程和变分原理

1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法

1.2.1 微分方程的积分形式

工程或物理学中的许多问题，通常是以未知函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组。

0)()()(21uAuAuA （在Ω内）（1.2.1）

域可以是体积域、面积域等，如图1.1所示。同时未知函数u还应满足边界条件

0)()()(21uBuBuB （在Г内）（1.2.2）

Г是域Ω的边界。

1.2.3 基于等效积分形式的近似方法——加权余量法

对于微分方程（1.2.1）式和边界条件（1.2.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式 2 NaaNuuniii1 （1.2.16）

其中ia是待定参数；iN是已知函数，称为试探函数（或基函数、形函数），它取自完全的函数序列，是线性独立的。所谓完全的函数序列是指任一函数都可以用此序列表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数u是三维力学问题的位移时可近似取近似解

niiinnuNuNuNuNu12211

niiinnvNvNvNvNv12211

niiinnwNwNwNwNw12211

则有

iiiiwvua

其中iiiwvu,,是待定参数，共有n3个；iiINN是函数矩阵，I是33单位矩阵，iN是坐标独立函数。

东南大学有限元分析课程第三章轴对称问题和空间问.

第一部分有限元法的基本原理

轴对称及空间问题有限元法

一 •轴对称问题的定义

工程屮仃-类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都対称于某-固定轴（可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果），其力学分析称为轴对称问题。典型例了为烟囱.储液罐等受恒载作用。

1•离散化由于可视为了午而内平面物体绕轴旋转•周的结果，因此轴对称问题分析町在子午而内划分单元，实际是取子午而内图形绕対称轴旋转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题•样。

2.应力和应变对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为器rtb

径向为片轴，环向为e轴。

对称面上任一点P只会在该对称面上发生位移, 即所右的丿卫丿八应变和位移只是Z和r的頃数，而与坐标e无关。那么轴对称问题就可转化为二维平面问题來进行研究。但因与平而问题有区别，常称二维半问题。

其中叭表示沿半径方向的疋应力，称为径向应力0。表示沿&方向的匸应力，称为环向应力或切向应力;bz表示沿z方向的正应力，称为轴向应力表示在圆柱面上沿Z方向作用的剪应力。

同样，轴対称问题共仃4个应变分量:

C = [er Ge ez rzr\

其中町表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；£&表示沿&方向的世应变，称为环向匸应变或切向疋应变；电表示沿z方向的止应变，称为轴向正应变；人‘表示沿r和z方向的剪应变。

在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在

径向位移"和轴向位移

基本方程

1 •平衡方程

叫 dr

OCT.

-- + 如图所示的受均布内压作用的氏圆筒，通过Z轴的一个纵截而就是对

称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量: dz6

2 •几何方程

［十 LN」 r

dw 77

du dw

-- 卜 -

dz dr _ 十］

2•物理方程

「叩

十］［可

1一 2“

2(1— “) 8

有限元法

1 有限元作业

第二章弹性力学基础

1. 指出平面应力、平面应变、轴对称问题在结构上都有哪些特点？它们都有哪些独立应力和独立应变分量？

2.指出下列受力结构哪些是平面应力、平面应变、轴对称问题。

qyxqzybta

(a) (b) 挡水坝

pyxzyLhoqtΦΦqq

dΦ dΦq

(e)

(f)

第2题图

3. 根据应力边界条件，写出下列问题的应力之间关系。（注：图a题求AD和CD面的应力边界条件）

qxyAB CDq xyn

(a) (b)

第3题图

2 4. 如图示三角形截面水坝，材料的重量密度为，

承受重量密度为1的液体压力，已求得应力解为

xaxby，ycxdyy，xydxay

检验各应力是否满足平衡微分方程？

5. 试问在平面问题情况下，为使下列应变分量

2244012224401222012()()()()()xyxyAAxyAxyBBxyBxyCCxyxyC

成为一种可能的应变，常数012012012,,,,,,,,AAABBBCCC之间应有何种关系？

第三章平面问题的有限元法

1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设=0，单元厚度为t。求

1）形函数矩阵N；2）应变矩阵B；3）应力矩阵S。

弹性力学轴对称问题的有限元法

4. 弹性力学轴对称问题的有限元法

本章包括以下内容：

4.1用虚功方程建立有限元方程

4.2三结点单元位移函数

4.3三结点单元刚度矩阵

4.4载荷移置

4.5轴对称分析举例

4.1用虚功方程建立有限元方程

物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。

图4.1受均布内压作用的长圆筒

如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：

zrzr}{ （4-1）

其中r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；z表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；zr表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。

同样，轴对称问题共有4个应变分量：

zrzr}{ （4-2）

其中r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿θ方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；z表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变；zr表示沿r和z方向的剪应变。

在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u和轴向位移w，两个位移分量表示为，

wuf}{ （4-3）

由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，

dspfdxdydzFfdxdydzTsTT}{}{}{}{}{}{*** （4-4）

有限元实例分析

作业一：有限元分析实例

实例：请对一个盘轴配合机构进行接触分析。轴为一等直径空心轴，盘为等厚度圆盘，其结构及尺寸如图所示。盘和轴为一种材料，材料参数为：弹性模量Ex=2.5E5，泊松比NUXY=0.3，摩擦系数MU=0.25，试采用有限元计算方法分析轴和盘在过盈配合时的应力应变分布以及将轴从盘心拔出时轴和盘的接触情况。

问题分析说明

（1）本题主要分析装配过程中结构的静态响应，所以分析步选择通用静态分析步。由于为过盈配合，属于大变形，故应考虑几何非线性的影响。

（2）模型具有轴对称性，所以可以采取轴对称模型来进行分析，先建立二维模型计算，再转换为三维模型计算，这样可以节省计算时间。分析过程由两个载荷步组成, 第一个载荷步为过盈分析, 求解过盈安装时的情况。第二个载荷步为将轴从盘心拔出时的接触分析, 分析在这个过程中盘心面和轴的外表面之间的接触应力。它们都属于大变形问题, 属于非线性问题。在分析时需要定义一些非线性选项来帮助问题的收敛。

（3）接触面之间有很大的相对滑动，所以模型要使用有限滑移。

模型建立的分析说明

（1）进定义单元类型此项实例分析的问题中涉及到大变形, 故选用 So li d185 单元类型来建立本实例入部件模块，的模型。盘轴接触问题属于面面接触, 目标面和接触面都是柔性的,

将使用接触单元 T ARGET 170 和CO NTAT17 4来模拟接触面。分别创建名为为part1、part2的部件。

（2）定义材料属性，在线性各向同性材料属性对话框中的EX (弹性模量) 文本框中输入 2 . 5E5,PRX Y (泊松比 ) 文本框中输入

0 . 3,并将定义的材料属性赋予给part1和part2。如下图所示。

（3）进入装配模块，创建两者间的装配关系。

（4）进入分析步模块

定义名为step1和step2的两个分析步。

（5）进入相互作用模块，创建相互作用属性，设置摩擦系数；然后定义接触关系。如下图所示。

弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

1. 建立平衡微分方程时，用到了下列哪些假定（）、（）。

参考答案:

连续性_小变形

2. 有限单元法中的单元仍然满足（）、（）、（）、（）的理想弹性体。

参考答案:

完全弹性_均匀性_各向同性_连续性

3. 应力边界条件是指在边界上（）之间的关系式。

参考答案:

应力与面力

4. 面力是指分布在物体的力。

参考答案:

表面上##%_YZPRLFH_%##表面

5. 位移是指一点的移动。

参考答案:

位置

6. 线应变（或正应变）以为正。

参考答案:

伸长

7. 极坐标系下的几何方程有（）。

参考答案:

3个

8. 极坐标系下的平衡微分方程有（）。

参考答案:

2个

9. 应力是指上的内力。

参考答案:

单位面积##%_YZPRLFH_%##单位截面

10. 地面的沉陷与地基的弹性模量无关。（）

参考答案:

错误

11. 弹性力学问题中，仅对位移分量要求单值。（）

参考答案:

错误

12. 在小边界上按圣维南原理列写的三个边界条件是方程。

参考答案:

代数##%_YZPRLFH_%##积分

13. 在大边界上按精确的应力边界条件，列出的两个边界条件是方程。

参考答案:

函数

14. 精确的应力边界条件可理解为，边界上的应力分量应等于对应的。

参考答案:

面力分量

15. 当体力为常量时，按应力求解可简化为按求解。

参考答案:

应力函数

16. 常体力，是指。

参考答案:

体力是常量##%_YZPRLFH_%##体力等于常量##%_YZPRLFH_%##体力为常量

17. 体力是指分布在物体的力。

参考答案:

体积内##%_YZPRLFH_%##体积

18. 在弹性力学中，可以应用叠加原理。

参考答案:

正确

19. 逆解法先假设应力分量的函数形式进行求解。

参考答案:

弹性力学公式

①平衡微分方程：00yxyyxyxxYxyfyx

②平面问题中一点应力状态：

xyxynxyyxnmllmlmml22222xyyyxyxxlmpmlp

222122xyyxyx

221minmax；xxyxyxtgtg1211;

③平面问题几何方程：yuxvyvxuxyyx,,

④平面应力问题物理方程：

001211zxyzxyxyyxzxyyyxxEEEE；；

应变问题E=E/(1- *);=/(1-)

⑤相容方程：yxxyxyyx22222

⑥应力边界条件：ysxysyxsyxsxflmfml

圣维南原理:

222222222222)()()()()()(hhSyhhlxxyhhxhhlxxhhNxhhlxxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy

应力函数表示的相容方程

yfxfyxyxyx12222

⑦应力函数与应力分量：

yxyfxxfyxyyyxx22222,,

应力函数表示的相容方程

024422444yyxx

按位移求解平面应力问题时所用的基本微分方程： 0)2121(10)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuEμμμμμμ

有限元法课程教学大纲

1 有限元分析与数值模拟教学大纲

一、课程基本信息

课程中文名称：有限元分析与数值模拟

课程英文译名：finite element analysis and numerical simulation

课程编码：

课程类型：专业方向课，选修

总学时：32 理论学时：16 实验学时：0 上机学时：16

学分数：2

适用专业：机械类各专业

先修课程：《理论力学》、《材料力学》、《结构力学》、《弹性力学》

开课院系：机械工程学院力学教研室

二、课程的性质和任务

有限元分析与数值模拟是一门理论性和应用性均较强的主干学科课程。它的主要任务是让学生在材料力学和弹性力学等课程的基础上进一步学习并基本掌握工程结构的内力分析和位移分析的有限元分析方法，培养其运用计算机软件解决工程实际问题的能力，为后继课程学习及毕业后从事有关的工程技术工作打好必要的基础。

三、课程教学基本要求

学生按大纲学完有限元与程序设计后，应对课程基本内容有系统的理解，掌握其中基本概念、基本理论和基本方法。具体达到下列要求：

1．有限元法的理论基础：理解弹性力学的基本方程；理解变形体系虚位移原理与最小总势能原理。

2．有限元法的基本概念：理解有限元位移法的基本思想；理解有限元位移法的分析过程。

3．杆系结构的单元分析：掌握用最小总势能原理或虚位移原理建立单元刚度方程的一般形式；理解单元刚度矩阵和单元等效结点荷载矩阵的积分形式；掌握拉压杆单元、扭转杆单元和纯弯曲单元等简单单元的单元分析；理解平面刚架单元和空间刚架单元等复杂单元的单元分析。

4．杆系结构的整体分析：理解坐标变换的概念及其方法；掌握集成整体原始刚度方程的直接刚度法；掌握边界条件的处理方法；理解单元内力与应力的计算方法。

5．平面问题有限元分析：理解平面应力问题与平面应变问题的概念；掌握常应变三角形单元的单元分析；掌握矩形双线性单元的单元分析；掌握四结点任意四边形等参数单元的单元分析；理解八结点任意曲边四边形等参数单元的单元分析。

北科大有限元资料2(判断题-课后思考题-知识点总结)

-- 1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？6

答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，弹性力学的研究对象要广泛得多。

2、理想弹性体的五点假设？

答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小位移和小变形的假定。

3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？

答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标。当以弹性体的对称轴为Z轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。

4、梁单元和杆单元的区别？

答：主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。

5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？

答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。

6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？

答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。

7、有限单元法的收敛性准则？

答：完备性要求，协调性要求。

完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。

协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。

当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。

有限元法介绍

通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题

的发生过程而无需把东西真的做出来。这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们

在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。

有限元法也叫有限单元法（finite element method, FEM），是随着电子计算机的发展而

迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。由于这种方

法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到

塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。

有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域

里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进

而可以获得整个结构的变形和应力。

事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越

接近真实情况。理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但

是计算量相应增大。为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。

有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每

个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者

变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。

大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这

种方法称为位移法。

有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有

限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热

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