弹性力学轴对称问题的有限元法

4.弹性力学轴对称问题的有限元法

本章包括以下内容：

4.1用虚功方程建立有限元方程

4.2三结点单元位移函数

4.3三结点单元刚度矩阵

4.4载荷移置

4.5轴对称分析举例4.1用虚功方程建立有限元方程

物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r, 0, z）,以z轴为对称轴。

如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过对称

性，轴对问题共有4个应力分量：

Z轴的一个纵截面就是对称面。由于r

{ }

z

zr

(4-1)

其中r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力; 表示沿0方向的正应力，称为环向应力或切向应力；z表示沿z方向的正应力，称为轴向应力; zr表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。

同样，轴对称问题共有4个应变分量:

图4.1受均布内压作用的长圆筒

r

z

zr

其中r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿B方向的正应变，称为

环向正应变或切向正应变；z表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变；zr表示沿r和z

方向的剪应变。

在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u 和轴向位移w ，两个位移分量表示为，

4-3)

在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。

由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，

* T * T * T

{ *}T{ } dxdydz { f * }T { F} dxdydz { f*}T{p}ds （4-4）

s

其中{F} 为体力，{p} 为面力。

将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向

分量U1,U2,...,U n ，轴向分量W1,W2,...,W n，

u；,u2，...,u；，轴向位移分量W；,w2，...,W；。

{F}

U1

W1

U2

W2

4-5)

{} 4-2)

{f}

每个节点的虚位移也只有径向分量

*

4-6)

u

n *

w *n

在单元中由虚位移引起的虚应变为，

* Q

* Q

{ *}e

[B]{ *} e

（4-7）

单元中的实际应力为，

{ }e [D][ B]{ }e

（4-8）

离散后的单元组合体的虚功方程为，

n

{ *}T {F}

({ *}e )T [B]T [D][ B]{ } e dxdydz

(4-9)

e

i1 n { *}T {F} ({ *}e )T [B]T [D][ B]dxdydz{ }e

(4-10)

e

i1

eT

[K ]e

[B]T [D ][ B] dxdydz 就是单元刚度矩阵。

e

对于轴对称问题，

将（ 4-11）代入（ 4-10）可得

{ *}T {F} { *}T ([G]T [K]e [G]){ }

(4-12)

e

[K ] （[G]T [K]e （[G]） 为整体刚度矩阵，得到方程组，

e

[K ]{ } {F}

u 1

*

*

[K]e

[B]T [D][ B]rdrdzd [B]T [D][ B]rdrdz (4-11)

4-13)

u

2 *

4.2三结点单元位移函数

轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，

圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数, 点三角形单元位移函数取为，

u a i a2「a3z

w a4 a5「a6z

按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（

其中,

定义形态函数为,

用矩阵表示的单元位移为,在整个弹性体中是三棱

轴对称问题的三结

(4-14)

4-14 )得到,

31

1

2A 3i a j3m U i

32b i b j b m U j 33C i C j C

m

U m

a41

2A a i a j a m W j

a5b i b j b m W j a6c i c j c m w m (4-15) (4-16)

r i

21 r j

r m

召

z j

z m

(4-17)

a i r j z m z m r j，

b i z j z m，

c i r m r j

1

N i ^^(a i br C i z) （下标i,j,m轮换）(4-18) 图4-2三结点单元

(4-19)

u

i

W j

u

N j 0 N j 0 N m 0 u j w

N j 0 N j

0 N m w j

u

m w m

4.3三结点单元刚度矩阵

轴对称问题的几何方程:

由（4-19）式得,

用几何矩阵表示单元的应变,

{ } [B] { }e

z zr

w z u

w z

r

(4-20)

士(b i u i b j U j f j U j

b

m u m ) f

m u m )

(4-21a ) (4-21b )

其中，f j 岂 b j r C

Z j r

（下标轮换）

w z u

z w r

—(c j u j 2A j j C j W j c

m w m )

C j U j c

m u m )

b j w j

b

m w m )

(4-21c ) (4-21d ) (4-21e )

[B] [B j B j B m ]

(4-23)

(4-22)