matlab自定义函数与导数应用

实验5 matlab 自定义函数与导数应用

实验目的

１．学习matlab 自定义函数.

２．加深理解罗必塔法则、极值、最值、单调性.

实验内容

１．学习matlab 自定义函数及求函数最小值命令.

函数关系是指变量之间的对应法则，这种对应法则需要我们告诉计算机，这样，当我们输入自变量时，计算机才会给出函数值，matlab 软件包含了大量的函数，比如常用的正弦、余弦函数等.matlab 允许用户自定义函数，即允许用户将自己的新函数加到已存在的matlab 函数库中，显然这为matlab 提供了扩展的功能，无庸置疑，这也正是matlab 的精髓所在.因为matlab 的强大功能就源于这种为解决用户特殊问题的需要而创建新函数的能力.matlab 自定义函数是一个指令集合，第一行必须以单词function 作为引导词，存为具有扩展名“.m ”的文件，故称之为函数M －文件.

函数M －文件的定义格式为：

function 输出参数＝函数名（输入参数）

函数体

……

函数体

一旦函数被定义，就必须将其存为M －文件，以便今后可随时调用.比如我们希望建立函数12)(2++=x x x f ，在matlab 工作区中输入命令：

syms x ；y=x^2+2*x+1；

不能建立函数关系，只建立了一个变量名为y 的符号表达式，当我们调用y 时，将返回这一表达式.

y ?

y=x^2+2*x+1

当给出x 的值时，matlab 不能给出相应的函数值来.

x=3；y ?

y=x^2+2*x+1

如果我们先给x 赋值.

x=3；y=x^2+2*x+1

得结果：y=16

若希望得出2|=x y 的值，输入：

x=2；y ?

得结果：y=16，不是2=x 时的值.读者从这里已经领悟到在matlab 工作区中输入命令：y=x^2+2*x+1不能建立函数关系，如何建立函数关系呢？我们可以点选菜单Fill\New\M-fill 打开matlab 文本编辑器，输入：

function y=f1(x)

y=x^2+2*x+1；

存为f1.m .调用该函数时，输入：

syms x ；y=f1(x)?

得结果：y= x^2+2*x+1.输入:

y1=f1(3)?

得结果：y1=16

matlab 求最小值命令fmin 调用格式：

fmin(‘fun’，a ，b) 给出)(x f 在),(b a 上的最小值点.

２．自定义函数

例5.1.建立正态分布的密度函数

22)(21),.,(μ--

σπ=μσx e x f

解：打开文本编辑器，输入：

function y=zhengtai(x ，a ，b)

y=1/sqrt(2*pi)/a*exp(-(x-b).^2/2/a^2)；

存为zhengtai.m .调用时可输入命令：

y=zhengtai(1，1，0)

得结果：y=0.2420.此即)0,1,1(f 的值.如果想画出标准正态分布的密度函数的图象，输入： ezplot(zhengtai(x ，1，0))

例5.2.解一元二次方程02=++c bx ax .

解：我们希望当输入c b a ,,的值时，计算机能给出方程的两个根.在文本编辑器中建立名为rootquad.m 的文件.

function [x1，x2]=rootquad(a ，b ，c)

d=b*b-4*a*c ；

x1=(-b+sqrt(d))/(2*a)

x2=(-b-sqrt(d))/(2*a)

比如求方程07322=-+x x 的根，可用语句：

[r1，r2]=rootquad(2，3，-7)

得结果：r1=1.2656

r2=-2.7656

２．验证罗必塔法则. 罗必塔法则是指在求00及∞

∞的极限时，可用导数之比的极限来计算（如果导数之比的极限存在或∞）

例5.3.以x

b a x x x -→0lim 为例验证罗必塔法则. 解：这是0

0型极限 f=a^x-b^x ；g=x ；L=limit(f/g ，x ，0)

得结果：L=log(a)-log(b)

df=diff(f ，x)；dg=diff(g ，x)；L1=limit(df/dg ，x ，0)

得结果：L1=log(a)-log(b)

从结果看出：L=L1，即

b a x x x -→0lim =x b a x x x '-→'0)(lim ４．函数的单调性与极值.

例5.4.求函数396)(23++-=x x x x f 的单调区间与极值.

解：求可导函数的单调区间与极值，就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点，利用matlab 解决该问题，我们可以先求出导函数的零点，再画出函数图象，根据图象可以直观看出函数的单调区间与极值．输入命令：

f=x^3-6*x^2+9*x+3；df=diff(f ，x)；s=solve(df)

得结果：ans=[1，3]，画出函数图象．

ezplot(f ，[0，4])

从图上看，)(x f 的单调增区间为)1,(-∞、),1(+∞，单调减区间是)3,1(，极大值7)1(=f ，极小值3)3(=f .

我们可以建立一个名为dandiao.m 的M —文件，用来求求函数的单调区间.

disp(‘输入函数（自变量为x ）’)

syms x

f=input('函数f(x)=')

df=diff(f)；

s=solve(df)

a=[]；

for i=1:size(s)；

a(i)=s(i)； end

ezplot(f ，[min(a)-1，max(a)+1])

要求函数)1ln(

x x y +-=的单调区间与极值，可调用dandiao.m .输入： dandiao ?

在matlab 工作区出现以下提示：

输入函数（自变量为x ）

函数f(x)=

在光标处输入：x-log(1+x)，可得结果s=0.从图上看，)(x f 的单调增区间为),0(+∞，单调减区间是)0,(-∞，极小值0)0(=f .

５．函数的最值

调用求函数最小值命令fmin 时，可得出函数的最小值点，为求最小值，必须建立函数M —文件.

例5.5.求函数1)3()(2--=x x f 在区间)5,0(上的最小值.

解：我们可以建立一个名为f.m 的函数M －文件.

function y=f(x)

y=(x-3).^2-1；

并且调用fmin

x=fmin((‘f’，0，5)

得：x=3，)(x f 在最小值点处的值（函数最小值）是1)3(-=f . 求最大值时可用x=fmin(‘-f(x)’，a ，b)

练习

1.建立函数x x a a x f 3sin 31sin ),(+=，当a 为何值时，该函数在3π=x 处取得极值，它是极大值还是极小值，并求此极值.

2.确定下列函数的单调区间.

（1）7186223---=x x x y （2）)0(8

2>+=x x x y

（3）)1ln(2x x y ++= （4）3)1)(1(+-=x x y

3.求下列函数的最大值、最小值.

（1）2

332x x y -=41≤≤-x （2）312

824≤≤-+-=x x x y

精选-高考数学大二轮复习专题二函数与导数2-3二导数的综合应用练习

2.3（二）导数的综合应用【课时作业】 A 级 1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2 －1，对于任意的x ∈Z 且x ∈ (－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，4] D ．(－∞，5] 解析：对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2 ＋1恒成立．令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2 ＋1，当x <0时，g (x )h (x )．综上，实数a 的取值范围为(－∞，5]，故选D. 答案： D 2．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋ x >0，则函数F (x ) ＝xf (x )＋1 x 的零点个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：由F (x )＝xf (x )＋1 x ＝0，得xf (x )＝－1 x ，设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，因为x ≠0时，有f ′(x )＋x >0，所以x ≠0时，＋x >0，即当x >0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增，

此时g (x )>g (0)＝0，当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0，作出函数g (x )和函数y ＝－1 x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数 F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数为1个．答案： B 3．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x ) 在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3 －32 x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．解析： ∵f (x )＝x 3－32 x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2 －3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即 6x －3>0，解得x >12.∴x 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 答案： ? ?? ? ?12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ ex x ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2 ，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max . 因为g (x )＝－(x －1)2 ＋a 2 ，x >0，所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2 . 因为f (x )＝ex x ，x >0，所以f ′(x )＝ex·x－ex x2 ＝－x2 . 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e.

第13讲函数与导数之导数及其应用(学生版)

第13讲函数与导数之导数及其应用一．基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的．导函数y ＝f ′(x )的值域即为． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝； (2)[f (x )g (x )]′＝； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为函数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧，右侧，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧，右侧，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程的根；③检查f ′(x )在方程的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的；②将函数y ＝f (x )的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．典例精析探究点一：导数的运算例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为（A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增，在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ，（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；（2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减；当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值极小值此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ，若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

高三数学专题复习函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分）已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中（1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。（2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分（2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程：（1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式；（Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值；求实数 f (x) 总有两个不同的极值（2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ）（B ）（C ）（D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间（2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围；（2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

函数导数及其应用

函数、导数及其应用第一节函数及其表示考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． [基础真题体验] 考查角度[求函数的定义域] 1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1 log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【解析】要使函数有意义，则?? ? x >0， log 2x －1>0，解得x >2. 【答案】 C 2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1 x 的定义域为______．【解析】要使函数有意义，需????? x ＋1≥0，x ≠0.解得????? x ≥－1， x ≠0. ∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}．【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法] 3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 【解析】设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x

＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1) 2. 【答案】－x (x ＋1) 2 考查角度[分段函数] 4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝??? 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2 ，则f ? ???? f ? ????π4＝________. 【解析】 ∵π4∈??????0，π2，∴f ? ?? ??π4＝－tan π 4＝－1， ∴f ? ?? ?? f ? ????π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】－2 [命题规律预测]

2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文

第2讲导数及其应用配套作业一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4，故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)，因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0，故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析一、内容安排本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时小结与复习.............. 约2课时二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

(完整版)导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。二、导数的运算 1. 常见函数的导数：（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)；（2）0C '=(C 为常数)；（3）()1x '=；（4）2()2x x '=；（5）32()3x x '=；（6）211()x x '=-；（7 ）'；（8）1()ααx αx -'=（α为常数）；

matlab求积分极限导数

一．计算下列极限： 1. x e e x x x sin lim 0-→- 解：y=sym(‘(exp(x)-exp(-x))/sin(x)’); y1=limit(y) 结果：y1=2 2. n n m m a x a x a x --→lim 解：syms x a m n y=(x^m-a^m)/(x^n-a^n); y1=limit(y,x,a) 结果：y1=n a m a n m 3. n x x x 21lim ??? ??+∞→ 解：syms x n y=((1+x)/x)^(2*n); y1=limit(y,x,inf) 结果：y1=1 4. 111lim --→x x e 解：y=exp(1/(x-1)); y1=limit(y,x,1,‘left ’) 结果：y1= 0 5. 111lim -+→x x e 解：y=exp(1/(x-1)); y1=limit(y,x,1,‘right ’) 结果：y1= ∞ 二.创建表达式 f=2x+4, g=4x^2+5x-2, 并计算 (1) f+g; (2) f-g; (3) f ×g; (4) f /g; (5) f [g(x)]; (6) 求 g 的反函数。解：syms x f=2*x+4;

g=4*x^2+5*x-2; 结果：(1) f+g= 7*x+2+4*x^2 (2)f-g= -3*x+6-4*x^2 (3)f*g= (2*x+4)*(4*x^2+5*x-2) (4)f/g= (2*x+4)/(4*x^2+5*x-2) (5) f [g(x)]=compose(f,g)=8*x^2+10*x (6)clear syms x g=4*x^2+5*x-2; g1= finverse(g) 结果：g1= ()2116578 185x ++- 三.计算下列导数（1）)1ln(2x x e e y ++= 解：syms x y=log(exp(x)+sqrt(1+exp(2*x))); z=diff(y,x); simple(z) 结果：z=exp(x)/(exp(2*x) + 1)^(1/2) z=()21 21+x x e e (2)x e y 1sin 2-= 解： syms x y=exp(-(sin(1/x))^2); z=diff(y,x); simple(z) 结果：z=(exp(cos(2/x)/2 - 1/2)*sin(2/x))/x^2 z=2 21)2cos()2sin(*x x e x - (3) 212arcsin t t y += 解： syms t y=asin(2*t/(1+t^2)); z=diff(y,t); simple(z) 结果：z=-(2*t^2 - 2)/((t^2 + 1)^2*((t^2 - 1)^2/(t^2 + 1)^2)^(1/2))

导数的综合应用练习题及答案

导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-，使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-，使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0 f ξ'==，解出2ξ=。解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数 1、导数的概念（1）导数的定义

（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；

③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数在点处可导，则有此时，记 ,则有即在点处连续。（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量

考点06 函数与导数的综合运用(1)(解析版)

考点06 函数与导数的综合应用（1）【知识框图】【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点．解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需10，解得3 2