函数导数及其应用(导数)

函数、导数及其应用

2.7导数

【高考目标定位】

一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击

（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义；

（3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=

,y ; （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。

2、热点提示

（1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中；

（2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。

二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击

（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；

（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

（3）会利用导数解决某些实际问题。 2、热点提示

（1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。

（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。

【考纲知识梳理】

一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为

2121

()()

f x f x x x --，若21x x x ?=-，

21()()y f x f x ?=-则平均变化率可表示为

y x

??。 2、函数y=f(x)在x=x 0处导数（1）定义

称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率

0000()()lim

lim x x f x x f x y

x x

?→?→+?-?=??为y=f(x)在x=x 0处导数，记作

0000000()()()|,()lim lim x x x x f x x f x y

f x y f x x x =?→?→+?-?'''==??或即

（2）几何意义

函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y 0=0()f x '(x=x 0).

3、函数f(x)的导数称函数0

()()

()lim

x f x x f x f x x

?+?-'=?为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作y '

注：求函数f(x)在x=x 0处的导数的方法：

方法一：直接使用定义；0000()()

()lim x f x x f x f x x ?+?-'=?;

方法二：先求导函数0()()

()lim x f x x f x f x x

?+?-'=?，再令x=x 0求0()f x '

4、基本初等函数的导数公式

函数

导数

y c =

'0y =

*()()n y f x x n Q ==∈

1'n y nx -=

sin y x =

'cos y x =

5、导数运算法

导数运算法则

1．[]'

''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=±

3．[]

''2

()()()()()

(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠????

6、复合函数的导数

复合函数()()

y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为

x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。

二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、函数的单调性与导数

在某个区间（a,b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减。如果()0f x '=，那么函数

()y f x =在这个区间上是常数函数。

注：函数()y f x =在（a,b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a,b ）内单调递增的充分不必要条件。

2、函数的极值与导数

（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，

cos y x =

'sin y x =-

()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?>

()x y f x e == 'x y e =

()log a f x x =

'()(01)ln f x a a x a =>≠且 ()ln f x x =

'1()f x x

右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

一般地，当函数 f(x) 在点 x 0 处连续时，判断 f(x 0) 是极大（小）值的方法是：（1）如果在 x 0附近的左侧 f’(x)>0 ，右侧f’(x) <0 ，那么 f(x 0) 是极大值．（1）如果在x 0附近的左侧 f’(x) <0 ，右侧f’(x) >0 ，那么 f(x 0) 是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点 3、函数的最值与导数

函数f(x)在[a,b]上有最值的条件

如果在区间[a,b]上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是

优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决函数问题→优化问题答案

【热点、难点精析】

一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接

（1）根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；

②求平均变化率

00()()f x x f x y x x

+?-?=??； ③得导数00()lim x y

f x x

?→?'=?，简记作：一差、二比、三极限。

（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。

2、例题解析

〖例1〗求函数y=2

4x 的导数。

解析：错误！不能通过编辑域代码创建对象。，

22)(24x x x x

x x y ?+?+?-=??，

∴

00lim lim →?→?=??x x x y ???????+?+?-22)(24x x x x x =-38x 。

〖例2〗一质点运动的方程为283s t =-。

（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析（1）平均速度为

??；（2）t=1时的瞬时速度即283s t =-在t=1处的导数值。解答：（1）∵283s t =-

∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,

63s

v t t

=--??. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00

lim lim(63)6t t s

v t t ?→?→?==--?=-?

求导法：质点在t 时刻的瞬时速度

2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.

注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。

（二）导数的运算 1、相关链接

（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数()y f x =在开区间（a,b ）内的导数的基本步骤：

①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法则和导数公式求导； ③整理得结果。

（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。

（3）复合函数的求导方法

求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数

解决。

①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；

④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。 2、例题解析

〖例〗（1）求

)

1(32x x x x y ++

=的导数；

（2）求

)

11)(

1(-+=x

x y 的导数；

（3）求

2cos 2sin

x x x y -=的导数；

（4）求y=x x sin 2

的导数；

（5）求y ＝

x x x x 9

532-+-的导数

分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆。

解：（1）

2311x x y +

+= ,.2332

'x x y -=∴

（2）先化简,

111-

+-=-+

x x

x y

∴

1121212123

??? ??+-=--=--x x x x y （3）先使用三角公式进行化简.

x x x x y sin 21

2cos 2sin -=-=

cos 211)(sin 21sin 21'''

'x x x x x y -=-=???

??-=∴

（4）y’=x x x x x 222sin )'(sin *sin )'(-=x x

x x x 22sin cos sin 2-；

（5） y ＝2

33x －x ＋５－2

19-x

∴y’＝３*（x 23）＇－x ＇＋５＇－９2

1(x ）＇＝３*2321x －１＋０－９*（－21）2

x ＝1)1

1(292-+x x

（三）导数的几何意义【例】已知曲线314

y x =

+，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程。

分析：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程解答：（1）

(2,4)P 在曲线314

y x =+上，且2y x '=

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

（2）设曲线31433y x =

+与过点P(2,4)的切线相切于点A （x 0，3014

x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433

x +）=2

0x （x -0x ），即

3002433

y x x x =-+

∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x -302433

x +，即3200340x x -+=，∴322

000440

x x x +-+=， ∴（x 0+1）(x 0-2)2=0 解得x 0=-1或x 0=2

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. （3）设切点为（x 0,y 0）

则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3） ∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)

即4x-y-4=0和12x-3y+20=0

注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。

二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例（一）函数的单调性与导数 1、相关链接

（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ①确定函数f(x)的定义域;

②求f’(x) ，令f’(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。

④确定f’(x)在各个开区间内的符号，根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到单调递增（或递减）区间。

（2）证明可导函数f(x)在（a,b ）内的单调性的步骤 ①求f’(x);

②确认f’(x)在（a,b ）内的符号；

③作出结论：f’(x)>0时为增函数；f’(x)<0时为减函数。

（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是f’(x)≥0（或f’(x)≤0），x ∈（a,b ）恒成立，且f’(x) 在（a,b ）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f’(x 0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。

2、例题解析

〖例〗（安徽·合肥168中高三段考（理））( 本小题满分13分)已知函数

()2472x f x x -=-，[]01

x ∈，（Ⅰ）求

()

f x 的单调区间和值域；

（Ⅱ）设1a ≥，函数

()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在

[]

001x ∈，，使得

()()

01g x f x =成立，求a 的取值范围

解：对函数

()

f x 求导，得

()()

4167

2x x f

x x -+-=

-，

()()

()2

21272x x x --=-

令

()0f

x =，

解得

112x =

或272x =

当x 变化时，

()f x ，、()f x 的变化情况如下表： ]

所以，当102x ??∈ ???，时，()f x 是减函数；当

112x ??∈ ?

??，时，()f x 是增函数；当()

01x ∈，时，

()

f x 的值域为

[]43--，

（Ⅱ）对函数()

g x 求导，得

()()

223g x x a =-，

因此1a ≥，当()

01x ∈，时，

()

()2310

g x a -≤，因此当

()01x ∈，时，

()

g x 为减函数，从而当

[]

01x ∈，时有

()()()10g x g g ∈????

，又

()21123g a a =--，

()02g a =-，即当

[]

1x ∈0，时有

()2

1232g x a a a ??∈---??

，

任给

[]

11x ∈0，，

()[]143f x ∈--，，存在

[]

001x ∈，使得

()()

01g x f x =，则

[]2123243a a a ??---?--??，，

即212341232a a a ?--≤-?

-≥-?

（）（）解1（）式得 1a ≥或

53a ≤-

解2（）式得

2a ≤

又1a ≥，

故：a 的取值范围为

12a ≤≤

（二）函数的极值与导数 1、相关链接

（1）求函数f(x)极值的步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f’(x);

③求方程f’(x)=0的根。

④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f’(x)在点x 0的左右两侧符号不变，则f(x 0)不是函数极值。

（2）可导函数极值存在的条件

①可导函数的极值点x 0一定满足f’(x 0)=0,但当f’(x 0)=0时，x 0不一定是极值点。如f(x)=x 3,f’(0)=0,但x=0不是极值点。

②可导函数y=f(x)在点x 0处取得极值的充要条件是f’(x)=0，且在x 0左侧与右侧f’(x 0)的符号不同。

2、例题解析

〖例〗设x=1与x=2是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点。

（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断x=1,x=2是函数()

f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值。

解析：（1）()'

21,a

x bx x

++ 由已知得：()()'

'210101204102

a b f f a b ++=??=??

???=++=????

2316a b ?

=-??∴??=-??

（2）x 变化时。

()

f x ，，

()

f x 的变化情况如表：

故在x=1处，函数()f x 取极小值6；在x=2处，函数()f x 取得极大值ln 233-

（三）函数的最值与导数 1、相关链接

（1）设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤

①求函数y=f(x)在（a,b ）内的极值；

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

（2）①根据最值的定义，求在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b ）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f’(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。

②定义在开区间（a,b ）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。 2、例题解析

〖例〗（黑龙江省双鸭山一中·2010届高三期中考试（理））（本题12分）已知函数

()2f x x |x a |,a R.

=-∈

（1）当0a ≤时，求证函数()()

f x ,-∞+∞在上是增函数；

（2）当a=3时，求函数

()

f x 在区间[0，b]上的最大值。

解：(1)a 0≤时，()()()23230f x x x a x ax,f x x a '=-=-=-≥因故()f x 在R 上是增函数。

(4分)

(2)3a =时，(

)(

(

3233330x x x f x x |x |x x x ?-≥?

=-=?

①若0b <≤()()323330f x x x ,f x x '=-=-=由得：1x =

(Ⅰ)若01b <≤时，()()0f x ,f x '≥在[0，b]上单增，故()()33max f x f b b b ,==- (Ⅱ)

若1b <≤()()01010x ,f x ;x b,f x .

''<<><<<故()()12max f x f ==.

②若b >时，由①知()f x

在

0??上的最大值为2，下求()f x

在??

上的最大

值，因

()2330

f x x '=->，故

()()3

x f

b b

=-又

()()()()3

323212202b b b b b b b b ?-≥?--=+-=?

()()()()33

32212301max

b b b f x b b b b ?-≥?=<

（四）生活中的优化问题

〖例〗（安徽·合肥168中高三段考（理））（本小题满分12分）

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为ykm

（1）按下列要求建立函数关系式：

（Ⅰ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（Ⅱ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

20、解:（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则

cos cos AQ OA θθ=

故

cos OB θ=

，又OP ＝1010tan θ-，

所以

1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=

++-，