专题4 一元函数导数及其应用(原卷版)

专题4 一元函数导数及其应用

从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.

一、单选题

1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．

，则m 的范围是（ ） A ．1

(,)3

+∞

B ．1

(,)3

-∞

C ．1

[,)?3

+∞

D ．1(,3

-∞

2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =-

B ．2y x =-+

C ．y x =

D ．2y x =-

3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2

2

1212M x x y y =-+-，则( )

A ．M 的最小值为2

5 B ．M 的最小值为

45 C ．M 的最小值为8

5

D ．M 的最小值为12

5

4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()

()()2

sin x

x e e x f x x e

ππ-+=

-≤≤的图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )

A ．2332

31log 224g g g --??????>> ? ? ???????

B ．2332

31log 224g g g --??????>> ? ? ???????

C ．2

3323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

D ．23

323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）

A ．函数()y f x =在区间13,2?

?

--

???

内单调递增 B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值 C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增 D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值

7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )

A ．2332

31log 224g g g --??????>> ? ? ???????

B ．233231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

C ．2

3323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

D ．23

323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

二、多选题

8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,0

1,0x x x f x e x x ?>?=?+≤??

，若函数()()g x f x b =-有三

个零，则实数b 可取的值可能是 ( ) A ．0

B ．

1

2

C ．1

D ．2

9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2

f x f x x -+=，且当

0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ?

?∈-≥---????

，且0x 为函数

()

x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）

A ．

1

2

B ．

2

C ．

2

e D

10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2

2

1212M x x y y =-+-，则（ ）

A ．M

B ．当M 最小时，2125x =

C ．M 的最小值为4

5

D ．当M 最小时，26

5

x =

三、填空题

11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式

()()121x e f x f x -<-的解集为__________．

13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是

_____________．

14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()

()f x g x x

=的最小值为m ，则2m a +=________.

15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x x =，在公

共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．

16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.

17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若

()()cos f x x f x =--，且()sin 02

x

f x '+

<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 四、解答题

18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1x

f x x ae =-+

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：121

24x x e

->-+

． 19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（

a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21

()1ln ()2

f x m x x m =--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥. （2）讨论函数()f x 的极值；

（3）是否存在实数m ，使得不等式111

()x f x x e

->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.

21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2

()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <

，当a ≥时，求()()21f x f x -的最大值. 22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1x

f x ax e a R =-∈.

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin x

f x e x x x =-，(

)sin x g x x =，其中e

是自然对数的底数． （Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ????

?∈-

?∈????????

，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．

24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（2）若不等式2

()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；

（3）求证：当*n N ∈时，不等式()22

1

2ln 4121n

i n n

i n =-->+∑成立.

25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点; (2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.

26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1a =-时，令2

()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断

12

2

x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.

27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2

()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．

（1）当2k =时，求证：对于1x ?>-，()()f x g x <恒成立；

（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.

28．（2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11

x f x x x =+++.

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；

（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：

1

1ln 2n n n n

a S a a ++>

-. 29．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知函数()()2

ln 12

a f x x x x

b =---，,R a b ∈. （1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；

（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.

30．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知()ln f x x =，()()2

102

g x ax bx a =

+≠，()()()h x f x g x =-.

（Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；

（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记12

02

x x x +=，证明：()00h x '<． 31．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数()2

2()x

f x e ax x a =++在1x =-处取得极小值.

（1）求实数a 的值；

（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈

2.236≈）

32．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()ln 1f x x x =-，()()2

2g x ax a x =--.

（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；

（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.

33．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数2

()2ln =-f x x x x ，函数

2()(ln )=+

-a

g x x x x

，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值

（3

）证明

()*

1

1

ln(21)2

=>

+∈n

k n n N

34．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()()2

0f x lnx ax x a =--+≥．

()1讨论函数()f x 的极值点的个数；

()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．

专题4 一元函数导数及其应用

从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

预测2021年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等

.

一、单选题

1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．

，则m 的范围是（ ） A ．1

(,)3

+∞

B ．1

(,)3

-∞

C ．1

[,)?3

+∞

D ．1(,3

-∞

【答案】C 【解析】

若函数3

2

1y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2

320y x x m '=++≥ 恒成立，即

1

41203

m m =-≤∴≥，．

故选：C ．

2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+

C ．y x =

D ．2y x =-

【答案】A 【解析】

因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线

()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.

故选：A

3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2

2

1212M x x y y =-+-，则( )

A ．M 的最小值为2

5 B ．M 的最小值为

45 C ．M 的最小值为8

5

D ．M 的最小值为12

5

【答案】B 【解析】

由题意，()()22

1212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线

242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方. ln 2y x x =-+，得1

1y x

'=

-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12

-， 令

11

12

x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，

切点到直线242ln 20x y +--=的距离d =

=

即()()22

1212M x x y y =-+-的最小值为45

. 故选：B

4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()

()()2

sin x

x e

e x

f x x e

ππ-+=

-≤≤的图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称， 据此可排除B 选项，

考查函数()x

x

g x e e -=+，则()()

21

'x x x x

e g x e e e

--=-=

，

当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ????

< ? ?????

，据此有：344f f ππ????

< ? ?????

， 据此可排除C 选项； 当0πx <<时，0,sin 0x

x

e e x -+>>，则()0

f x >，据此可排除D 选项；

本题选择A 选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )

A ．2332

31log 224g g g --??????>> ? ? ???????

B ．233231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

C ．2

3323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

D ．23

323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

【答案】B 【解析】

由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，

由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．

因为()331log log 44g g ??= ?

?

?， 2303232221log 4--

<<=< 所以23

3231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

．

故选：B ．

6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）

A ．函数()y f x =在区间13,2?

?

--

???

内单调递增 B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值 C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增

D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值 【答案】BC 【解析】

对于A ，函数()y f x =在区间13,2??

--

???

内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；

对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确； 对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确. 故选：BC

7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )

A ．2

33231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

B ．23

3231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

C ．2

3323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

D ．23

323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

【答案】B 【解析】

由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及 当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，

由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数． 因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<． 故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．

因为()3

31log log 44g g ??= ???

， 2303232221log 4--

<<=< 所以23

3231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

．

故选：B ． 二、多选题

8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,0

1,0x x x f x e x x ?>?=?+≤??

，若函数()()g x f x b =-有三

个零，则实数b 可取的值可能是 ( ) A ．0 B ．

1

2

C ．1

D ．2

【答案】BC 【解析】

由题意，函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=， 即()f x b =有三个根， 当0x ≤时，()()1x

f x e

x =+，则()()()12x x x e x e x x e f =++=+'

由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值()21

2f e

-=-

，作出()f x 的图象如图：

要使()f x b =有三个根，则01b <≤，则实数b 可取的值可能是12

，1 故选：BC

9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2

f x f x x -+=，且当

0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ?

?

∈-

≥---????

，且0x 为函数()

x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）

A ．

1

2

B C ．

2

e D

【答案】BCD 【解析】

令函数21()()2

T x f x x =-，因为2

()()f x f x x -+=，

22211

()()()()()()()022

T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，

()T x ∴为奇函数，

当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．

存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，

∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即0

1

2

x ，

()x g x e a =-；1()2

x

， 0x 为函数()y g x =的一个零点；

当1

2

x

时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在1

2

x 时单调递减，

由选项知0a >，取1

2

x =<

，

又0g e

e ?-=> ?，

∴要使()g x 在1

2

x

时有一个零点，

只需使102g a ??

= ???

，

解得e a

，

a ∴的取值范围为??+∞??

???

， 故选：BCD ．

10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()2

2

1212M x x y y =-+-，则（ ）

A ．M

B ．当M 最小时，2125x =

C ．M 的最小值为4

5

D ．当M 最小时，26

5

x =

【答案】BC 【解析】

由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，

()()

22

1212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上

的点的距离的最小值的平方， 由ln 2y x x =-+得：1

1y x

'=

-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12

-， 则令

11

12

x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，

()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离d =

=.

即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=. ()()22

1212M x x y y ∴=-+-的最小值为245

d =

， 过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.

由242ln 2024ln 20x y x y +--=??

--+=?

，解得：125x =，即当M 最小时，212

5x =

. 故选：BC. 三、填空题

11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3 【解析】

设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝

1

x a

+． 所以k 切＝

01

x a

+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3． 故答案为3．

12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式

()()121x e f x f x -<-的解集为__________．

【答案】(1,)+∞ 【解析】 设F （x ）()x

f x e =

，

则F ′（x ）()()

'x

f x f x e -=

，

∵()()f x f x '>，

∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()1

21x e

f x f x -<-

∴

()()21

21x

x f x f x e

e

--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）

∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()1

21x e

f x f x -<-的解为()1,+∞

故答案为：()1,+∞

13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．

【答案】

【解析】

分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ??

=+-

???

，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ??-

-∈???

?，增区间为()2,233k k k Z ππππ?

?-+∈???

?，确定出函数的最小值点，

从而求得sin x x ==代入求得函数的最小值. 详解：()()2

1'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ?

?=+=+-=+-

?

??，所以当1

cos 2

x <时函数单调减，当1cos 2x >

时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ?

?--∈???

?，函数的增区间为()2,23

3k k k Z π

πππ?

?

-

+

∈??

?

?

，所以当2,3

x k k Z π

π=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时

sin x x ==，所以()min 2222f x ?=?--=- ??

，故答案是. 14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()

()f x g x x

=的最小值为m ，则2m a +=________. 【答案】0 【解析】

()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，

切线1l 的方程：21y a x +=-，

又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，

1

()ln g x x x =+

，22111()x g x x x x

-'=-=. 当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.

故函数()

()f x g x x

=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=. 故答案为:0.

15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =

共点处有共同的切线，则实数a 的值为______． 【答案】2

e 【解析】

函数()ln

f x a x =的定义域为()0,+∞，()a

f x x

'=，()2g x x '=，

设曲线()ln f x a x =与曲线()g x x =

公共点为()00,x y ，

由于在公共点处有共同的切线，∴00

2a x x =，解得204x a =，0a >．

由()()00f x g x =，可得00ln a x x =

．

联立2

000

4x a alnx x ?=??=??，解得2e a =．

故答案为：

2

e

． 16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.

【答案】

3227

π

【解析】

由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ， 则高为1sin 0,2πθθ??

+∈ ???

，， 小圆柱体体积()2

cos

1sin V πθθ=??+，

设()sin 0,1t t θ=∈，， 则(

)()()2

3

2111V t

t t

t t ππ=?-+=?--++

则()

()()2

321311V t t t t ππ'=?--+=?-++

当13t =

时，max 3227

V π

=

故答案为：3227

π

17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若

()()cos f x x f x =--，且()sin 02

x

f x '+

<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 【答案】,2π??

-+∞????

【解析】 依题意，()()()cos cos 22

x x

f x f x --

=--+

， 令()()cos 2

x

g x f x =-

，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '??''=-=+

?，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022

x x

f x f x f x f x πππ+++≤?+-

+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ?++≤?+≤-=-，即x x π+≥-，故2

x π

≥-

，则x 的取值范围为

,2π??

-+∞????

. 故答案为：,2π??

-+∞????

四、解答题

18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1x

f x x ae =-+

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：121

24x x e

->-+． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】

（1）()1x

f x ae ='+，

当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ??<-

???，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ????-∞- ? ????

?， 令()0f x '<，得1ln x a ??

>-

???，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ????-+∞ ? ?????

．

（2）证明：（法一）设()()231x

g x f x x e x =+=-+-，则()3x

g x e =-+'， 由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，

()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，

即12124x x e

->-+． （法二）

()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，

12122233x x x x e e x ∴-=+--，

设()3x

g x e x =-，则()3x

g x e '=-，

由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()min ln333ln3g x g ==-．

1210,0x x -<，

1121

233ln33ln3x x e e

-∴->+-=-，

3ln3ln274=<，121

24x x e

∴->-+．

19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（

a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).

【解析】

（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()

2221121x

x x x f x ae

a e ae e =+---'=+，

（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.

当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.

（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.

（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1

ln 1ln f a a a

-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于1

1ln 0a a

-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，1

1ln 0a a

-

+<，即()ln 0f a -<. 又()()4

2

2

2e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.

设正整数0n 满足03ln 1n a ??>- ???

，则()()

0000

0000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.

由于3ln 1ln a a ??->- ???

，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.

20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21

()1ln ()2

f x m x x m =--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥. （2）讨论函数()f x 的极值；

（3）是否存在实数m ，使得不等式111

()x f x x e

->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1. 【解析】