定时截尾样本下两参数韦布尔分布的矩估计_孙丽玢
威布尔分布参数计算方法
威布尔分布参数计算方法\[ f(x;\lambda, k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，$\lambda>0$和$k>0$是威布尔分布的两个参数，$\lambda$称为尺度参数，$k$称为形状参数。
下面将介绍如何计算威布尔分布的参数。
##最大似然估计法最常用的参数估计方法是最大似然估计法。
假设我们有$n$个样本数据$x_1, x_2, ..., x_n$，要估计威布尔分布的参数$\lambda$和$k$。
首先，根据概率密度函数，我们可以得到似然函数：\[ L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x_i/\lambda)^k} \]为了方便计算，我们可以求似然函数的对数：\[ \log L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log \lambda + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\lambda}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k \]接下来，我们需要最大化对数似然函数。
可以通过求偏导数等于0来求解最大化的参数。
求解$\lambda$的最大似然估计值：\[ \frac{\partial \log L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{(k-1)}{\lambda} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^k}{\lambda^{k+1}} = 0 \]化简上式得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k =\frac{(k-1)}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\lambda} \]我们可以定义一些中间变量：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]将上面的结果代入方程中：\[ \left(\frac{\bar{x}}{\lambda}\right)^k = \frac{(k-1)}{n} \frac{\bar{x}}{\lambda} \]进一步整理可得：\[ \lambda = \left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} \]接下来求解$k$的最大似然估计值，我们将$\lambda$的最大似然估计值带入似然函数中，得到：\[ \log L(k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right)^k \]类似地，对上式求偏导等于0，可以得到对$k$的求解。
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
Weibull分布在定时截尾样本下序进应力加速寿命试验的有约束统计分析
Weibull分布在定时截尾样本下序进应力加速寿命试验的有
约束统计分析
费鹤良;周广君
【期刊名称】《上海师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(0)3
【摘要】在Ｗｅｉｂｕｌｌ分布场合，讨论了定时截尾样本下序进应力加速寿命的统计分析⒚用ＢＡＹＷＳ方法给出了逆幂律中未知参数的估计，以及在正常应力下产品寿命分布的参数估计。
【总页数】9页(P1-9)
【关键词】序进应力加速寿命试验;定时截尾;Weibull分布;BAYES估计
【作者】费鹤良;周广君
【作者单位】上海师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB114.3
【相关文献】
1.Weibull分布CE模型序进试验下逐次截尾的统计分析——应力为时间的一般线性关系 [J], 阮丽华;王蓉华;徐晓岭
2.Weibull分布TFR模型序进试验下逐次截尾的统计分析——应力为时间的一般线性关系 [J], 阮丽华;王蓉华;徐晓岭
3.两参数Weibull分布定数,定时截尾下序进应力加速寿命统计分析 [J], 徐晓岭
4.Weibull分布定时截尾样本下寿命试验与加速寿命... [J], 茆诗松;韩青
5.Weibull分布下多组序进应力加速寿命试验的统计分析 [J], 张学新; 费鹤良因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
韦伯分布参数估计
韦伯分布参数估计
韦伯分布是一种概率分布，其分布函数为：
F(x) = 1 - exp[-(x/λ)^k]
其中，λ和k是分布的参数，它们的取值通常需要通过样本数据的估计来确定。
韦伯分布的参数估计方法有很多种，下面简单介绍两种常用的方法。
1. 最大似然估计法
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，其核心思想是找到一组参数，使得样本数据出现的概率最大。
对于韦伯分布来说，假设我们有n个样本数据x1, x2, ..., xn，那么它们的似然函数可以表示为：
L(λ,k) = ∏i=1^n[f(xi;λ,k)]
其中，f表示韦伯分布的概率密度函数。
为了求得最大似然估计值，需要对似然函数取对数，并通过牛顿迭代或其他优化算法求解。
2. 矩估计法
矩估计法的核心思想是利用样本数据的矩估计推导出参数的估计。
对于韦伯分布，我们通过样本数据的矩估计可以得到两个方程式：
λ = (1/n)∑i=1^n(xi) 和k = [2/π^2]·[∑i=1^n(xi-λ)^2/n]^-1
其中，n为样本数据的数量。
需要注意的是，矩估计法可能会产生偏差，因为矩估计值通常不会与真实值完全一致。
综上所述，韦伯分布的参数估计方法有很多种，最大似然估计法和矩估计法是其中较为常用的两种方法。
在实际应用中，我们可以针对具体情况选择合适的方法进行参数估计，以达到更好的效果。
韦伯分布参数估计
韦伯分布参数估计引言韦伯分布（Weibull distribution ）是一种常见的概率分布，广泛应用于可靠性工程、生物学、工业工程等领域。
它具有灵活性和适应性强的特点，在数据建模和分析中发挥着重要的作用。
韦伯分布的参数估计是使用已观测到的数据计算韦伯分布的参数，从而对未来的事件进行预测和分析。
韦伯分布的定义韦伯分布是一种连续概率分布，其概率密度函数由下式给出：f (x;λ,k )={(k λ)(x λ)k−1e −(x λ)k,x ≥0;0,x <0.其中，x 是随机变量的取值，λ 是形状参数，k 是尺度参数。
韦伯分布参数估计方法对于韦伯分布的参数估计，常用的方法有最大似然估计法和矩估计法。
1. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，其思想是寻找参数值，使得观测到的数据在该参数值下的似然函数取得最大值。
对于韦伯分布，最大似然估计法的步骤如下：1. 建立似然函数。
假设有n 个观测值 x 1,x 2,...,x n ，则似然函数定义为：L (λ,k )=∏[k λ(x i λ)k−1e −(x i /λ)k ]ni=1 2. 对似然函数取对数。
对数似然函数的形式为：lnL (λ,k )=∑[lnk −lnλ+(k −1)ln (x i /λ)−(x i /λ)k ]ni=13.求解对数似然函数的偏导数为零的方程，得到参数的估计值。
对参数λ和k分别求偏导数，并令偏导数为零，可以得到方程组：{∂∂λlnL(λ,k)=∑[kλ2(x iλ)k−1−k(k−1)λ(x iλ)k]ni=1=0∂∂k lnL(λ,k)=∑[1k−ln(x i/λ)k2−ln(x i/λ)+(x iλ)kln(x i/λ)]ni=1=0通过求解以上方程组，可以得到参数λ和k的最大似然估计值。
2. 矩估计法矩估计法是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的等值性对参数进行估计。
对于韦伯分布，矩估计法的步骤如下：1.计算样本矩。
威布尔分布参数估计的计算程序
威布尔分布参数估计的计算程序威布尔分布是一种常见的概率分布，常用于描述可靠性和寿命数据。
在实际应用中，我们经常需要根据一组观测数据来估计威布尔分布的参数，从而对未来的事件进行预测和分析。
本文将介绍一种基于最大似然估计方法的威布尔分布参数的计算程序。
我们需要明确威布尔分布的定义和参数。
威布尔分布是一个连续概率分布，其概率密度函数为：f(x;λ,k) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，λ为尺度参数，k为形状参数。
λ控制了威布尔分布的位置，k则决定了分布的形状。
通过估计这两个参数，我们可以得到对未来事件的预测。
接下来，我们将介绍一种基于最大似然估计方法的参数估计程序。
最大似然估计是一种常用的统计方法，用于根据观测数据来估计分布的参数。
在威布尔分布的参数估计中，最大似然估计方法可以通过最大化似然函数来得到参数的估计值。
似然函数是指在给定观测数据的情况下，参数取值的可能性。
对于威布尔分布，我们可以将似然函数定义为观测数据的概率密度函数的乘积。
然后，我们需要通过最大化似然函数来找到使观测数据最有可能发生的参数取值。
具体来说，我们可以通过以下步骤来计算威布尔分布的参数估计值：1. 收集观测数据：首先，我们需要收集一组与威布尔分布相关的观测数据。
这些观测数据可以是产品的寿命数据、设备的故障时间等。
2. 构建似然函数：根据收集到的观测数据，我们可以构建似然函数。
对于威布尔分布，似然函数可以表示为观测数据的概率密度函数的乘积。
3. 最大化似然函数：接下来，我们需要通过最大化似然函数来找到使观测数据最有可能发生的参数取值。
这可以通过数值优化算法来实现，例如梯度下降算法或牛顿法。
4. 参数估计结果：最后，通过最大化似然函数得到的参数取值就是威布尔分布的参数估计结果。
这些参数可以用来对未来事件进行预测和分析。
需要注意的是，对于威布尔分布的参数估计，我们需要确保观测数据满足威布尔分布的假设。
定时截尾试验下Weibull分布尺度参数的可容许Bayes估计
定时截尾试验下Weibull分布尺度参数的可容许Bayes估计
作者：崔晓丽刘丹丹
来源：《科技创新导报》2016年第26期
摘要：可靠性试验是获得可靠性指标的方法，是统计分析的主要研究方向之一，Weibull 分布是重要的产品寿命分布，Bayes方法能利用经验减少试验的量，同时，定时截尾试验方式可以有效控制试验时间，节约试验经费。
本文是在平方损失函数下，先验分布取Gamma分布，得到并证明了定时截尾试验下，Weibull分布的尺度参数的可容许Bayes估计量，可容许的Bayes估计量是很优良的估计量。
关键词：定时截尾试验可容许性 Weibull分布
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（b）-0174-02
证明：由于平方损失函数是严格凸函数，则其Bayes估计量一定是唯一的，由引理1得，定时截尾试验下Weibull分布的尺度参数的Bayes估计是可容许估计的。
参考文献
[1] 茆诗松，程依鸣，濮晓龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2] 许勇，师小琳.指数分布族参数的渐近最优与可容许的经验Bayes估计[J].数理统计与管理，2003（2）：34-36.
[3] E.L.Lehmann，George Casella.点估计理论[M].北京：中国统计出版社，2003.。
定数截尾寿命试验三参数威布尔分布的Bayes...
定数截尾寿命试验三参数威布尔分布的Bayes...
师义民
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】1992(009)003
【总页数】7页(P98-104)
【作者】师义民
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O213.2
【相关文献】
1.三参数威布尔分布有替换定时截尾试验的极大似然估计 [J], 徐明民;晏晓林
2.定数截尾试验下双参数威布尔分布尺度参数的EB估计 [J], 刘玉霜;宋立新
3.在定数截尾样本下三参数威布尔分布的矩估计改进 [J], 马志明;刘瑞元;程从华
4.在定数截尾样本下三参数威布尔分布的矩估计 [J], 孙丽玢;费鹤良
5.在定数截尾样本下三参数威布尔分布的矩估计方程 [J], 赵海清;刘瑞元
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
三参数威布尔分布的参数估计方法
三参数威布尔分布的参数估计方法威布尔分布是生存分析中常用的分布模型之一，它适用于描述随机事件所产生的时间间隔的统计特性。
威布尔分布的概率密度函数为：f(x;λ,α)=(α/λ)(x/λ)^(α-1)*exp(-(x/λ)^α)其中，λ是比例参数，α是形状参数。
在实际应用中，我们常常需要估计威布尔分布的参数。
下面介绍一种常用的三参数威布尔分布的参数估计方法。
1.最大似然估计法：最大似然估计法是一种常用的参数估计方法。
它通过寻找使得观测数据出现的概率最大的参数值，从而得到参数的估计值。
假设我们有n个独立同分布的观测数据x_1,x_2,...,x_n，那么威布尔分布的似然函数可以定义为：L(λ,α)=∏[f(xi;λ,α)]对似然函数取对数，计算出对数似然函数：lnL(λ,α)=∑[ln(f(xi;λ,α))]其中，f(xi;λ,α)为威布尔分布的概率密度函数。
我们需要最大化对数似然函数，通过求解偏导数等于零的方程组可以得到参数的估计值。
2.简化的两步法：简化的两步法是一种通过两步进行参数估计的方法。
首先，我们可以估计出比例参数λ的值。
其次，在已知λ的情况下，可以通过最小二乘法估计出形状参数α的值。
第一步：估计比例参数λ通过随机抽样得到n个观测数据x_1,x_2,...,x_n，我们可以计算它们的累计分布函数的反函数值：Y_i=λ*log(x_i)然后，我们可以计算出Y_1,Y_2,...,Y_n的均值ȳ和标准差s。
根据威布尔分布的性质，我们有：ȳ=λ*(ψ(1+1/α)-ψ(1)),s=λ/(α*(ψ(2+1/α)-ψ(1+1/α))^(1/2))其中，ψ(x)是二阶对数微分函数。
利用以上公式可以估计出比例参数λ的值。
第二步：估计形状参数α在已知λ的情况下，我们可以使用最小二乘法估计形状参数α的值。
定义残差函数e_i为：e_i=Y_i-(λ*(ψ(1+1/α)-ψ(1)))=Y_i-ȳ我们的目标是最小化残差的平方和：Q=∑(e_i^2)通过求解偏导数等于零的方程可以得到形状参数α的估计值。
威布尔分布参数估计的计算程序
威布尔分布参数估计的计算程序威布尔分布是一种经常用来描述风险或可靠性的概率分布，其密度函数为：$$ f(x; \lambda, k) =\frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k} $$其中， $\lambda$ 和 $k$ 是两个参数，分别表示尺度参数和形状参数。
威布尔分布的参数估计可以使用最大似然估计法，其步骤如下：1. 建立威布尔分布的似然函数：$$ L(\lambda, k) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i; \lambda, k) $$2. 取似然函数的对数，并对两个参数分别求偏导数：$$ \ln L(\lambda, k) =\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{k}{\lambda})+(k-1)\ln(\frac{x_i}{\lambda})-(\frac{x_i}{\lambda})^k] $$$$ \frac {\partial (\ln L)}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda}+\frac{k}{\lambda^2}\sum_{i=1}^{n}x_i^k $$ $$ \frac {\partial(\ln L)}{\partial k} =\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{x_i}{\lambda})-\frac{(x_i/\lambda)^k\ln(x_i/\lambda)}{k}-\ln(\lambda)+\ln(k)] $$3. 令偏导数等于零，解出两个参数的估计值：$$ \hat{\lambda} =(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k)^{1/k} $$$$ \hat{k} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{x_i}{\hat{\lambda}})]^{-1}\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{x_i}{\hat{\lambda}})] $$下面是威布尔分布参数估计的计算程序：```pythonimport numpy as npdef weibull_mle(x):n = len(x)k = np.log(np.log(np.max(x)/np.min(x)))**(-1) lam = (np.sum(x**k)/n)**(1/k)return lam, k```其中， x 是观测值序列，返回值是估计出的参数$\hat{\lambda}$ 和 $\hat{k}$。