矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的探讨
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ ： Ｃｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｉ ｓ ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｎ ｋ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ａ ｎｄ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ，ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｍｐｈ ａ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ 衢ｃ ｕ ｌ ｔ ｙ ｉ ｎ ｈｉ ｇ ｈｅ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ． Ｉ ｔ ｃ ｏ ｍｂｉ ｎｅ ｄ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈｅ ｍｉ ｎ ｉ ｍａ ｌ ｐｏ ｌ ｎ ｏ ｙ ｍｉ ａ ｌ ｏ ｔｅ ｆ ｎ ｂｅ ｃ ｏ ｍｅ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ｏ ｃ ｕ ｓ ｉ ｎ
是 数域 Ｐ上 的多项式 ， 如果使 得 ｘ ） ＝ Ｏ ， 则称 ｘ ） 以 Ａ为根或 ｆ （ ｘ ） 为 Ａ的零化 多项 式 。在 以 Ａ 为根 的多
项式中，次数最低且首项系数为 １ 的多项式称为 Ａ
的最小 多项式 ， 记为 ｍ （ 入） 。
２ 基本 性质
定义 １ 【 】 ： 设 Ａ 是数 域 Ｐ上 的一 个 ｎ阶方 阵 ， 如 果存 在 入 数 和 数域 Ｐ上 的 ｎ维非 零列 向量 ｘ ， 使 得
～
陕振沛 姚景景 陈华平
Ｓ ｈ ａ ｎ Ｚ ｈ ｅ ｎ ｐ ｅ ｉ Ｙａ ｏ Ｊ ｉ ｎ ｇ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｈｕ ａ ｐ ｉ ｎ ｇ （ 六 盘水师 范学 院数学 系 ， 贵州 六 盘水 ５ ５ ３ ０ ０ ４ ）
第七章最小多项式
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 1 0 0
1 1 0 0
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 2
,
B
0 0 0
1 0 0
0 2 0
0
0 2
的最小多项式皆为( x 1)2( x 2), 但A与B不相似.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系.
一、最小多项式的定义
定义： 设 A P nn , 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1( x), g2( x) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1( x) 可表成
f ( x) q( x)g( x) r( x), 其中 r( x) 0 或 (r( x)) (g( x)). 于是有 f ( A) q( A)g( A) r( A) 0 r( A) 0
由最小多项式的定义， r( x) 0. g( x) f ( x). 由此可知： 若 g( x)是A的最小多项式，则 g( x)整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
g1( x) q( x)g2( x) r( x) 其中 r( x) 0 或 (r( x)) ( g2( x)).
于是有
g1( A) q( A)g2( A) r( A) 0 r( A) 0 由最小多项式的定义， r( x) 0,
即， g2( x) g1( x).
矩阵的最小多项式
矩阵的最小多项式
求矩阵最小多项式的方法：特征多项式：(λ+1)(λ-1)^2，因为(A-E)(A+E)=0，所以最小多项式是(λ+1)(λ-1)。
最小多项式是代数数论的基本概念之一。
A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。
在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
线性代数中的特征多项式与相似矩阵
线性代数中的特征多项式与相似矩阵线性代数是数学的一个重要分支，涉及到向量、矩阵等概念和运算。
在线性代数中，特征多项式和相似矩阵是两个重要的概念，它们在研究矩阵的性质和变换中起着重要的作用。
本文将详细介绍特征多项式和相似矩阵的概念、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式特征多项式是与矩阵有关的一个重要概念，它可以帮助我们研究矩阵的本征值和本征向量。
对于一个n阶方阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = det(A - λI)其中，p(λ)是特征多项式，det表示行列式，A是待求特征多项式的矩阵，λ是待求的变量，I是单位矩阵。
特征多项式的根即为矩阵的特征值，可以通过求解特征多项式的根来求得矩阵的本征值。
特征多项式与矩阵的本征向量之间存在着密切的关系，通过特征多项式，我们可以求得矩阵的本征向量。
二、相似矩阵相似矩阵是指具有相同特征多项式的矩阵，它们之间存在着一定的关系。
设矩阵A和B是n阶方阵，若存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1)AP则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，A和B互为相似矩阵。
相似矩阵具有相同的特征多项式，它们的本征值也相同。
相似矩阵之间的转换可以帮助我们研究矩阵的性质。
通过相似矩阵的转换，我们可以将矩阵化为一种更简单的形式，从而更容易研究和计算。
三、特征多项式与相似矩阵的关系特征多项式与相似矩阵之间存在着密切的关系。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式为p(λ) = det(A - λI)，对于一个相似矩阵B，其特征多项式为p(λ) = det(B - λI)。
由于相似矩阵具有相同的特征多项式，所以它们的特征值也相同。
矩阵的特征值是矩阵性质的一个重要指标，通过特征值我们可以了解到矩阵的特性和变换情况。
此外，相似矩阵之间的转换可以帮助我们求解线性方程组。
假设有一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n阶矩阵，x和b是向量。
如果A和B是相似矩阵，那么线性方程组也可以写成Bx' = b，其中x' =P^(-1)x。
最小多项式的一个重要性质的多种证法及应用
Abstract In this paper, three proofs of an important property of minimal polynomial are given and its applcat?onsare?lustrated. Keywords invariant factor , elementary factor , Jordan canonical form , minimum polynomial , rational canonicalPorm
矩阵A的最小多项式是A的最后一个不变因子.
证法1用D&Q)表示21—A的0阶行列式因 子，((一A)表示(一A的伴随矩阵，于是
D” ( 2 ) = | 2( 一 A .
注意到D”—# ( 2)是21—A的所有”一 1阶子式 的最大公因式，即((一A)的所有一阶子式的最大 公因式，因此，从((一A)的每个元素中都能提出
文献标识码 A
文章编号 1008 - 1399(2020)01 -0111 -04
Various Proofs for an Important Property of Minimal Polynomial andItsApplcat#ons
ANJun
(School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China)
112
Hale Waihona Puke 高等数学研究2020年1月
则7A# (2) , 7a2 (2)的最小公倍式7 (2)=
[7a# ( 2) ,7a2 ( 2)]是A的最小多项式.
矩阵的最小多项式的求解及其应用
矩阵的最小多项式的求解及其应用冯福存【摘要】首先介绍最小多项式的相关概念及最小多项式的一些基本性质,然后给出求解最小多项式的几种常用方法,最后结合实例归纳总结最小多项式在解题中的几个应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P28-32)【关键词】最小多项式;特征多项式;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院, 宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵可以说贯穿线性代数始终，而矩阵的特征多项式则是高等代数学习中的重点和难点，它与最小多项式的结合又常常成为数学系硕士研究生入学考试的难点和焦点．矩阵最小多项式在求矩阵函数的结果以及观察矩阵的特征值等方面具有重要的应用,大多数教材[1-3]只对矩阵最小多项式的定义做了简单的介绍,如何快速准确地计算出其最小多项式却很少给予系统的讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于矩阵最小多项式的系列性质，并对计算最小多项式常用的易于掌握的几种方法进行整理、总结和对比，并将教材上的Jordan标准形和最小多项式两个知识点串联到了一起,有利于加深初学者对这两部分内容的理解，以期对读者有所帮助．1 基本概念及性质定义1 设f(x)∈C[x]，A∈Cn×n,若f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式．定义2 设A∈Cn×n,A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．关于矩阵的最小多项式有如下结论：性质1[1] A∈Cn×n，则A存在唯一的最小多项式，记为mA(λ)．性质2 A∈Cn×n，mA(λ)整除A的任一零化多项式，特别的mA(λ)|fA(λ)，(fA(λ)=|λE-A|)．证明设f(λ)是A的任一零化多项式，由带余除法定理可知f(λ)=mA(λ)q(λ)+r(λ),若r(λ)≠0，由f(A)=0，mA(λ)=0可知r(A)=0，则r(λ)为A的最小多项式，与性质1矛盾，故r(λ)=0，即mA(λ)|f(λ)．由Hamilton-Cayley定理[1]知fA(λ)是A的一个零化多项式，故mA(λ)|fA(λ)．性质3[7] A∈Cn×n，A的最小多项式的根必是A的特征多项式的根，反之亦然．性质4[1] 设A∈Cn×n，若A是一个准对角阵并设A1的最小多项式为g1(λ)，A2的最小多项式为g2(λ)，那么A的最小多项式为g1(λ)，g2(λ)的最小公倍式[g1(λ),g2(λ)]．性质5[6] 相似矩阵的最小多项式相同，即最小多项式是相似不变量．性质6[1] k级Jordan块的最小多项式为(λ-a)k．性质7[1] 设Α是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得Α在这组基下的矩阵是Jordan形．2 最小多项式的求解求矩阵的最小多项式有多种方法，本文主要介绍四种便于掌握的方法．2.1 由特征多项式求最小多项式设A∈Cn×n的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，则A的特征多项式为fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks,由性质3可知A的最小多项式必有如下形式：mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms，上式中mi≤ki(i=1,2,…,s)．若A的特征值均为单根时，mA(λ)=fA(λ)；若A的特征多项式为fA(λ)=(λ-λ1)n 时，mA(λ)=(λ-λ1)m(m≤n)，m为使(λ1I-A)m=0的最小次数．2.2 待定系数法A∈Cn×n，设A的最小多项式为mA(λ)=λm+am-1λm-1+am-2λm-2+…+a1λ+a0(1≤m≤n)，可如下操作：第一步：m=1，试解A=-a0I，看是否有解：若有解a0，则最小多项式为mA(λ)=λ+a0；若无解；则进入下一步；第二步：m=2，试解A2=-a1A-a0I，看是否有解：若有解a0,a1，则最小多项式为mA(λ)=λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；第三步：m=3，试解A3=-a2A2-a1A-a0I，看是否有解，若有解a0,a1,a2，则最小多项式为mA(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；如此循环，直到求出ai(0≤ai≤n)使矩阵方程Am=-am-1Am-1-am-2Am-2-…-a1A-a0I成立为止，以λ代A，以1代I便可得到所求的最小多项式．2.3 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)，则mA(λ)=dn(λ)，即λI-A的标准形的最后一个不变因子就是A的最小多项式．也可以先求出λI-A的n-1阶和n阶行列式因子分别为Dn-1(λ)，Dn(λ)，由前面可知A的最小多项式为2.4 利用Jordan标准形求最小多项式文献[8]关于A∈Cn×n的Jordan标准形的求解已做了详细的介绍，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，如果λi是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则以λi为对角元素的Jordan块的阶数之和为ri，设以λi为对角元素的Jordan块的最大阶数为di,可得A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds．由性质6可知每个Jordan块对应一个一次因式的方幂(初等因子)，即A化为标准形后每个Jordan块与A的初等因子是一一对应的．再由性质4、性质7可知A的最小多项式为所有这些初等因子的最小公倍式．这样，通过A的所有初等因子也可以确定A的最小多项式．这四种求矩阵最小多项式的方法中特征多项式法和待定系数法都有试探的成分，实际操作起来比较麻烦.前者适合低阶的比较简单的矩阵，而后者可适用于任意阶矩阵，计算方法机械，可用计算机编程来处理．如果知道矩阵的Jordan标准形，则可以快速的写出矩阵的最小多项式，但如果不知道矩阵的Jordan标准形而要计算矩阵的Jordan标准形有时也是比较麻烦的．初等变换法和行列式因子法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．3 矩阵最小多项式的应用3.1 计算Ak文献[8]中对于这种问题通过相似变换讨论过，即在n维线性空间V中，任意一个矩阵A∈Cn×n与一个n阶Jordan矩阵相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则及的形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．本文用最小多项式来解决此类问题，令f(λ)=λk，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，mA(λ)的次数∂(mA(λ))=m.若k≤m，则直接计算Ak，若k>m，由带余除法可得f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ)，其中,∂r(λ)=r<m．因为mA(A)=0，所以f(A)=r(A)，只需要确定r(λ)便可计算f(λ)，不妨设r(λ)=lm-1λm-1+lm-2λm-2+…+l1λ+l0，通过最小多项式的根待定系数后可确定r(λ)的系数，从而计算f(λ)．可以将这类问题的计算进一步推广为：已知方阵A与任意多项式f(λ)求f(A)，解决方法与前面的讨论完全一致．3.2 求方阵A的全体多项式所生成的线性空间的维数与基对于一个给定的方阵A的矩阵多项式,考察的核心对象是该矩阵的幂的形式.如果矩阵A没有明显的特征，则它的各次幂一般也没有明显的特征，这时就不好确定A 的矩阵多项式的次数，从而无法确定A的矩阵多项式所生成的空间的维数与基．将这类问题的结论以命题的形式给出，对于这一类型的问题只需知道A的最小多项式便可套用命题的结论解决．定理[1][9] A∈Cn×n，A的最小多项式的次数为k,W={f(A)|A∈Cn×n},则有：(1)dimW=k；(2)E,A,A2,…,Ak-1为W的一组基．3.3 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看文献[10],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n 阶数字方阵)的求解本质是求解它的基解矩阵，基解矩阵其本质就是一个矩阵函数．根据矩阵函数的定义，一般矩阵函数f(A)是用在A的特征值上和f(λ)一致的多项式g(λ)所对应的矩阵多项式g(A)来表示的．但是，这样的g(λ)并不是唯一的，因此用来定义矩阵函数f(A)的g(A)也不是唯一的，但借助于A的最小多项式后这样的g(A)是唯一的，从而f(A)也是唯一的．设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，最小多项式为mA(λ)，次数为∂(mA(λ))=m，由带余除法可得g(λ)=p(λ)mA(λ)+r(λ)，由矩阵函数的定义，利用拉格朗日插值公式可求解f(A)．(i)当A的最小多项式没有重根时(1)其中(ii)当A的最小多项式有重根时设此时最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，其中d1+d2+…+ds=m≤n，则其中mi(A)=(A-λ1I)d1(A-λ2I)d2…(A-λi-1I)di-1(A-λ1I)di+1…(A-λ1I)ds,；j=1,2,…,ds．4 应用举例例1 求下列矩阵的最小多项式．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，所以矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但无法判断Jordan块是一个1阶和3阶，还是2个2阶的，采用文献[8]中的波尔曼法计算可得A的Jordan标准形为由本文确定最小多项式的Jordan标准形方法可得矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-1)3．例2 解下列线性微分方程组其中解矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-4)(λ-2)．由微分方程理论可知所求方程组解的形式为X=eAtc，其中c=(c1,c2,c3)，ci(i=1,2,3)不全为零．下面只需计算矩阵函数f(A)=eAt和向量c，为此，令f(λ)=eλt，λ1=4,λ2=2.最小多项式无重根，由公式(1)可得其中于是得故一般解为X=eAtc．当t=0时，由初值条件可得c1=0，c2=1，c3=1．故满足初始条件的解为参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013．[2] 库洛什．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[3] 蓝以中．线性代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．[4] YU Bo,ZHANG Jintao,XU Yanyan．The RCH Method for Computing Minimal Polynomials of Polynomial Matrices[J]．J.Syst.Sci .Complex，2015,25:190-209.[5] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究,2003,6(3):34-39．[6] 张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京：科学出版社，2011．[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 冯福存．矩阵的Jordan标准形及其应用[J]．绵阳师范学院学报，2016,35(5):11-15．[9] 林志兴，杨忠鹏．线性组合与积相等矩阵对及其多项式表示[J]．浙江大学学报(理学版)，2015,42(3):261-267．[10] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006．。
特征多项式和最小多项式
特征多项式和最小多项式
特征多项式和最小多项式是数学统计的一个重要分支，可以通过多
项式来分析和拟合数据。
其中，特征多项式和最小多项式是一种用来
分析分布在空间中的数据集，具有一定的局部性质。
1、特征多项式
特征多项式又称特征曲线，特征多项式曲线具有一定的几何特征，可
以拟合空间中横纵坐标之间的关系，从而绘制出一条多项式曲线。
特
征多项式曲线的几何结构可以用多项式函数表示，各项参数通过拟合
可以确定。
特征多项式曲线的使用比较广泛，可以用来表示各种内在
的几何特征，比如可以拟合复杂几何形状，人物头像等等。
2、最小多项式
最小多项式是一种数学统计方法，可以用来分析和拟合数据，拟合出
最佳模型，有利于构建出不同的统计模型，比如最小二乘法及其变种，例如岭回归、Lasso回归等。
这种方法的优点在于具有良好的拟合度和
回归性能，可以较好的描述数据之间的关系。
最小多项式可以用来建
立统计模型，进行统计分析等，是一种有效的分析工具。
总之，特征多项式和最小多项式是数学统计中重要的方法，它们都是
用来分析和拟合数据，确定最佳拟合模型，较好地描述数据之间的关系，在日常数据采集和分析中具有重要的意义。
特征多项式 求法
特征多项式求法特征多项式是线性代数中的一个重要概念，它是矩阵理论中的一个基础工具。
特征多项式用来描述矩阵的本征值，本征向量的性质，它在矩阵的求逆、优化问题、微分方程等方面都有应用。
本文将详细介绍特征多项式的定义、性质、计算方法及应用。
一、特征多项式的定义特征多项式是一个矩阵的一个n次多项式，它的系数是由矩阵A的各个阶次的特征值λ1,λ2,...λn得到的。
特征多项式一般写作：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)，其中x为实数或复数，λ1,λ2,...λn为矩阵A的n个特征值。
特征多项式表示的是矩阵与一个实数或复数之间的关系，它是由矩阵的特征向量与特征值得到的。
特征多项式是描述矩阵本征值的一个重要工具。
二、特征多项式的性质1.特征多项式的次数等于矩阵的阶数，系数为1。
2.特征多项式的根为矩阵的特征值。
3.特征多项式与矩阵的特征值的乘积等于该矩阵的行列式。
4.特征多项式与伴随矩阵的特征多项式相同。
5.特征多项式的各项系数与特征矩阵的主对角线元素关系密切。
6.对于实对称矩阵，它的特征多项式一定可以分解成实系数的一次或二次因式。
7.特征多项式是能够反映矩阵的本征值和本征向量的重要工具。
三、特征多项式的计算方法特征多项式的计算方法一般有两种，一种是通过求解矩阵的本征值得到，另一种是通过矩阵的行列式得到。
1.通过求解矩阵的本征值对于给定的n×n矩阵A，首先可以求出它的n个本征值λ1,λ2,…λn，然后将它们代入特征多项式的表达式式子，即：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)。
然后对f(x)进行整理，即可得到特征多项式的表达式。
2.通过矩阵的行列式求值假设矩阵A是一个n阶方阵，其特征多项式的表达式为f(x) = |xI_n−A|，其中I_n表示n阶单位矩阵。
因此，特征多项式也可以通过求解矩阵A的行列式来得到。
需要注意的是，这种方法只适用于较小的矩阵，对于大规模的矩阵计算难度较大。
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中图分类号： O151.2本科生毕业论文（设计）（申请学士学位）论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用作者姓名专业名称数学与应用数学指导教师2011年5月1日学号：论文答辩日期：年月日指导教师：（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (4)绪论................................................................................................................... 错误!未定义书签。
1矩阵最小多项式与特征多项式.................................................................... 错误!未定义书签。
1.1相关符合及定义................................................................................... 错误!未定义书签。
1.2矩阵最小多项式................................................................................... 错误!未定义书签。
1.2.1最小多项式的定义 ................................................................... 错误!未定义书签。
1.2.2有关定理及推论 ....................................................................... 错误!未定义书签。
1.3矩阵特征多项式 (5)1.3.1特征多项式定义 (5)1.3.2特征多项式性质 (6)1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6)1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9)1.5.1Frobenius块 (9)1.5.2若挡块 (10)2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11)3定理应用 (13)3.1相等情形下的三个推论................................................................. 错误!未定义书签。
3.2定理与推论的应用.......................................................................... 错误!未定义书签。
参考文献............................................................................................................ 错误!未定义书签。
致谢. (18)矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用摘要：本文首先从矩阵最小多项式与特征多项式的定义与性质出发，讨论它们的概念与定理，给出了一种由特征多项式求最小多项式的方法。
介绍了Frobenius块和若当块,其最小多项式与特征式相等。
重点讨论矩阵最小多项式与特征多项式在相等情形下的充分必要条件，并得出它们在相等条件下的一些等价命题，对这些命题进行了简单的证明。
最后给这些定理的实际应用，使我们加深了矩阵最小多项式与特征多项式相等情形时的理解和应用。
关键词：最小多项式；特征多项式；不变因子；初等因子中图分类号：O151.2；O153Equal Properties of Minimum Polynomial and CharacteristicPolynomial of Matrix and ApplicationsAbstract:This paper firstly from matrix minimum polynomial and characteristic polynomial of the definition and properties, discussed their concepts and theorem, given a method for minimum polynomial by characteristic polynomial, introduced Frobenius piece and Jordan piece, when its minimum polynomial and characteristic polynomial are equal. Mainly discussed the sufficient and necessary conditions when the minimum polynomials and characteristic polynomial matrix are equal. And draw equivalent propositions under the condition of the equal condition. Finally to the practical application of these theorems, we deepen the understanding and application of minimum polynomials and characteristic polynomial matrix when they equal.Keywords: minimum polynomials; characteristic polynomial; invariant factor; elementary factor绪 论在先前学过的高等代数及参阅的一些文献中，对矩阵最小多项式及特征多项式的讲解比较笼统简单，对它们的性质及应用也是很少涉及，所参考的文献中对矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质研究非常有限，但它们在代数中又有着重要的应用价值，在这种情形下，对两者的研究就显得非常有必要。
因此本文从三个方面出发比较系统的讨论了矩阵最小多项式、特征多项式及矩阵最小多项式与特征多项式相等时的一些定理与性质，对其中一些定理给出了理论证明。
首先，本文对矩阵最小多项式、特征多项式进行了概述，参阅文献[1][2]中最小多项式及特征多项式的定义、定理，并对其中部分比较重要的定理予以证明，又给出一种由特征多项式求最小多项式的方法。
在这个过程当中，有助于我们进一步理解它们的性质与用处，为下面对矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的性质与应用探究做了些铺垫。
其次，引入了Frobenius 块(())C g x 和若当块，包括广义若当块(())k J p x 、k 阶若当块(())k J x c -，显然它们的最小多项式与特征多项式相等。
最后，也是本文的重点同时也是难点，这一部分比较系统的论证了矩阵最小多项式与特征多项式相等时的定理与应用，其中涉及到相等情形下的一些等价命题，主要有不变因子、初等因子、有理标准型、广义若单标准型和特征向量等，这些问题涉及到不同数域，这些等价命题间的理论推导，有一定的困难，但也是本文的亮点。
同时列举出一些实际例子，一般地，对()n A M F ∈,有()()A A m x f x 且两者根集相等，但实际问题中遇到()A m x 、()A f x 是否相等的问题，对这些问题的深入分析，弄清这些不是很常见的问题，有利于我们理解线性代数中的一些重要定理，能更好的学好高等代数。
总之，通过此次对上述三种情况的研究，不仅加深了对它们在理论上的理解，同时分清了它们在不同条件下的使用条件，将它们运用在实际的例子当中，体现了这些定理及性质实际应用性，也加深了我们对这些问题的认识，使我们从单一片面的理解矩阵最小多项式、特征多项式过度到能从整体的角度去把握它们。
1 矩阵最小多项式与特征多项式1.1 相关符号及定义[]C λ表示复数域C 上的一元多项式环；()n M C 表示C 上的全体n 阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向量空间； ()A f λ表示方阵A 的特征多项式；()A m λ表示方阵A 的最小多项式；()g λ表示方阵A 的某一化零多项式；0()r λ∂ 表示一元多项式()r λ的次数。
定义1.1 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环。
定义1.2 λ-矩阵()A λ的不变因子即标准形的主对角线上非零元素12(),(),,()n d d d λλλ （详见文献[1]）。
定义1.3 把矩阵A (或线性变换σ)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的 一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换σ)的初等因子。
1.2 矩阵最小多项式1.2.1 最小多项式定义定义1.4 设()n A M C ∈，()[]f C λλ∈，若()0f A =，则称()f λ为A 的零化多项式， 在A 的零化多项式中，次数最低的首1多项式称为A 的最小多项式，记作()A m λ。
最小多项式在n n ⨯矩阵多项式的计算中起着重要作用，这将在下节中具体阐述。
1.2.2 有关定理及性质定理1.1 设()n A M C ∈，A 的最小多项式()A m λ具有以下性质：（1）()A m λ存在并且唯一确定；（2）()A m λ整除A 的任一零化多项式；（3）()()A A m f λλ；（4）相似矩阵的最小多项式相同；（5）A 与T A 具有相同的最小多项式；（6）若()()A f m λλ，则()f A 不可逆。
证明 （1）对()n A M C ∀∈，以()A f λ表示A 的特征多项式，由Hamilton Cayley -定理()0A f A =，并且对()()n g M λλ∀∈，只要()()A f g λλ，就有()0g A =,表明A 的零化多项式大量存在。
由于次数是非负整数，有最小数原理，A 的零化多项式必有一个是次数最低的，记为()k λ，设()k λ的首项系数为0a ≠，则1()A m k aλ=，且唯一。
（2）设()g λ是的任一零花多项式，进行带余除法得：()()()()A g m q r λλλλ=+，其中：()0r λ=或00()()A r m λλ∂≤∂.若()0r λ≠，则()()()()A r g m q λλλλ=-。