定积分在几何上的应用教案(5)

定积分在几何上的应用教案(2)

目的要求

1．了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割——近似代替——求和——取极限”的思想方法．

2．掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学方法无法解决的体积问题．

3．对几何图形的基本度量——体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性．

4．培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力．

内容分析

1．本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识的重视．大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃，微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题．通过这部分内容的学习，可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识．

2．“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，使抽象问题形象化、直观化．

3．考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机辅助教学．在具体教学中要注意到以下几点：

关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体的平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线．

关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单的回顾，采用类比的方法，遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．

关于旋转体体积公式的计算，课本例3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积．之所以安排这道例题，是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学中切勿一带而过．在讲完例3后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤．本课的练习要紧紧围绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习，加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌握公式的教学效果．

4．本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨，以提高他们分析问题与解决实际问题的能力．

教学过程

(一)铺垫引入，创设情景

1．铺垫引入

①数轴可表示什么样的图形？

②什么样的图形叫做圆？

③什么样的图形叫做球？(多媒体演示球的形成过程)

2．创设情景

(1)问题一下列几何体是如何形成的？(多媒体演示形成过程)

①圆柱②圆锥③花瓶

归纳：

①什么叫旋转体？(平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体)

②旋转体形成的两个要素是什么？(一是被旋转的平面图形，二是旋转轴)

③举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转轴分别是什么．(多媒体演示一些旋转体)

(2)问题二如何求旋转体的体积？

学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况：

①对于特殊的旋转体(如球、圆柱、圆锥)，可直接运用公式求解；

②对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解；

③像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式．

(二)类比启迪，推导公式

1．复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体演示)．

2．类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限→无限→有限，精确→近似→精确．

3．探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由师生共同归纳旋转体体积的推导过程．(如图55－1)

①分割：将闭区间[a ，b]用n －1个分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜

②近似代替：过各分点x i 作垂直于x 轴的平面，将旋转体割成厚度

个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点ξi 的纵坐标f(ξi )来近

就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替

③作和：当n 很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左端点的函数值．这样旋转体的体积近似地等于n 个圆柱的体积之和．

④求极限：

4．深化：

[C]

A ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积

B ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积

C ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积

D ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积

②思考2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式

(三)范例讲解，运用公式

三角形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．

解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为△OSA ，其中S(h ，0)，A(0，r)．

△OSA 绕x 轴旋转而成的旋转体为圆锥．由旋转体的体积公式得：

归纳：求旋转体体积的解题步骤：

①根据题意画出草图；

②找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数；

③写出求体积的定积分表达式；

④计算定积分，求出体积．

变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r 、高为h 的圆锥的体积公式．学生讨论后，归纳出两种解法：

解法一：(以高所在直线为x 轴，以底面半径所在直线为y 轴，建立直角坐标系求解．) 解法二：(以高所在直线为y 轴，以底面半径所在直线为x 轴，建立直角坐标系求解．) 绕x 轴旋转一周所成旋转体体积的2倍，

y 轴旋转一周所成旋转体体积的2倍．

转而成的旋转体的体积．

(四)练习反馈，巩固公式

[C]

A ．单位圆面积的一半

B ．以1为半径的球的表面积的一半

C ．以1为半径的球的体积的一半

D ．以1为半径的球的体积

练习2：由曲线y ＝sinx ，x ∈[0，π]与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是________

练习3：椭圆x 2＋3y 2＝12绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是

[D]

B ．9π