拉普拉斯变换27530
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。
下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。
它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。
那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。
拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。
例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
拉普拉斯(Laplace)变换.
p1 )(s
p2 )] s p1
用拉氏变换解线性微分方程的步骤
1. 对线性微分方程中的每一项进行拉氏变 换，使微分方程变为S的代数方程；
2. 解该代数方程，得到有关变量的拉氏变 换表达式；
3. 用拉氏反变换得到微分方程复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 t
t 0 t 0
F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有
第三章-拉普拉斯变换法
( x)dx 1
f ( x) ( x)dx f (0)
[ ( x)] ( s) ( x) exp(sx)dx 1
0
§3-2拉普拉斯变换的逆变换
把变换后的函数从复变量s区域变回 到时间变量τ 区域的逆变换 部分分式法 回路积分法 查变换表
前四项计算结果：
Fo 0.001 0.004 0.010 0.020 0.040 0.050 0.060 0.080 0.100 0.200
Θc 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9992 0.9969 0.9922 0.9752 0.9493 0.7723
Θc1 0.9332 0.9591 0.9850 0.9978 0.9991 0.9971 0.9923 0.9752 0.9493 0.7273
t (x,τ)
绝热
O x
L
数学描述：
1 t ( x, ) 2t ( x, ) a x 2
t 0 x
0 ＜ x ＜ b ，τ＞0
x ＝0 ，τ＞0 x ＝ L ，τ＞0
t tw
t ti
0 ≤ x ≤L ，τ＝ 0
解：(1)进行 拉氏变换
ti d 2t ( x, s) s t ( x, s) 2 dx a a
Θc1 0.4745 0.2897 0.1769 0.1080 0.0659 0.0402 0.0246 0.0150 0.0092 0.0026
Θc2 0.4744 0.2896 0.1768 0.1079 0.0660 0.0402 0.0244 0.0146 0.0082 0.0007
拉普拉斯变换
Fx2 Fy2
1
பைடு நூலகம்
F(s)的角度为： tan (Fx / Fy ) ，从实轴开始， 逆时针方向计算。
F F(s)的共扼复数为： ( s) Fx jFy
尤拉定理
cosθ和sin θ的泰勒展开式分别为：
2! 4! 6! 3 5 7 sin 3! 5! 7! ( j ) 2 ( j )3 ( j ) 4 cos 因此： j sin 1 j
e-atf(t)的拉普拉斯变换
因为，f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则：
£ [
e-atf(t)
]= 0
e at f (t )e st dt f (t )e
( s a ) t
例如： £sinωt ] 2 [ 2 s £e-at sinωt ] [ 2
0
d £ dt f (t )]= sF(s)-f(0) [ d 当f(0)=0时： £ f (t )]= sF(s) [ dt
d f (t ) ： 令g(t)= dt d d2 [g(t)]-g(0) [ £ 2 f (t )]= £ dt g (t )]= s£ [ dt d = s£ [ dt f (t ) ]-f/(0)
终值定理
lim
s 0 0
d st [ f (t )]e dt lim[ sF ( s ) f (0)] s 0 dt lim[ sF ( s )] f (0)
s 0
lim
s 0
0
d d st [ f (t )][lim e st ]dt [ f (t )]e dt 0 s 0 dt dt d [ f (t )]dt 0 dt f () f (0)
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它能够将时域中的函数转换到复频域中，从而使许多问题的分析和求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实变量 t 的函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s 是一个复变量，通常表示为 s ＝σ ＋jω，σ 是实部，ω 是虚部，j 是虚数单位。
常用的函数拉普拉斯变换有很多，下面列举一些常见的例子。
单位阶跃函数 u(t)，其定义为 t ＜ 0 时，u(t) ＝ 0；t ≥ 0 时，u(t) ＝1。
它的拉普拉斯变换为 1 ／ s 。
指数函数 e^at （a 为常数），其拉普拉斯变换为 1 ／（s a) 。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω ／（s^2 ＋ω^2) 。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s ／（s^2 ＋ω^2) 。
单位脉冲函数δ(t)，其拉普拉斯变换为 1 。
这些常见函数的拉普拉斯变换在解决各种问题时经常会用到。
那么，为什么要进行拉普拉斯变换呢？这是因为在时域中分析一些问题可能会比较复杂，而通过拉普拉斯变换将其转换到复频域后，可以利用复频域中的一些特性和方法来简化问题的处理。
例如，在求解线性常系数微分方程时，通过对方程两边进行拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
接下来，我们再看看拉普拉斯反变换。
拉普拉斯反变换是将复频域中的函数 F(s) 转换回时域中的函数 f(t) 。
拉普拉斯反变换的计算方法通常有部分分式展开法和留数法等。
部分分式展开法是将 F(s) 分解为几个简单分式的和，然后根据已知的常见函数的拉普拉斯变换，直接写出对应的时域函数。
例如，如果 F(s) ＝（s ＋ 1) ／（（s ＋ 2)（s ＋ 3) ），可以通过部分分式展开为 A ／（s ＋ 2) ＋ B ／（s ＋ 3) 的形式，然后求出 A 和 B 的值，再根据常见函数的拉普拉斯变换反求出时域函数。
拉普拉斯变换(自动控制原理).ppt
根据拉斯变换的微分定理
ls i0 m Ld dft ls i0 m [sF (s)f(0)]
上式中f(0)是一常数，与s无关
ls i0 m Ld dft ls i0 m sF (s)f(0)
从另一个角度看，又有
0
f ( u ) e s ( u ) du
0
e s f ( u ) e su du e s F ( s )
0
6、初值定理和终值定理
1）初值定理 此定理表明，原函数在t=0时情形与像函数在s→∞ 时的情形有着密切的关系，既有：
lt或 im 0ff(0(t))lsls i im m ssFF((ss))
lim
s
0
L
df dt
lim e st df
s 0 0
dt
dt
lim
e st df
dt
s 0 0
dt
df
0 dt
dt
f (t) 0
lim f ( t ) f ( 0 ) t
所以
lifm ( t) f( 0 ) li[ s m ( s F ) f( 0 )]
f (t)21 j F(s)estds
简记： f(t)L-1[F(s)]
到此大家可能会问：为什么要进行拉普拉斯变换？是 不是将问题复杂化了？
• 大家在初等数学中都学过自然对数。；例如
要计算 ab的数值 c
其中a，b，c代表的已知的数值，当然我们可以直接用 乘除法进行计算，但当这些数的数值较大，则乘除运算 还是相当麻烦的。
lim sF (s)f(0)0
s
所以
f(0)lim sF(s) s
常用拉普拉斯变换公式表
常用拉普拉斯变换公式表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时域转换到频域，从而方便地进行分析和处理。
在工程、物理、数学等领域中，拉普拉斯变换都有着广泛的应用。
本文将介绍常用的拉普拉斯变换公式表。
1. 基本公式拉普拉斯变换的基本公式如下：$$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$其中，$f(t)$是时域函数，$F(s)$是频域函数，$s$是复变量。
2. 常用公式(1) 常数函数$$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$$(2) 单位阶跃函数$$\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$$(3) 指数函数$$\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$$(4) 正弦函数$$\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^2+a^2}$$(5) 余弦函数$$\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}$$(6) 阶跃函数$$\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}$$(7) 带指数的函数$$\mathcal{L}\{te^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^2}$$(8) 带阶跃的函数$$\mathcal{L}\{(t-a)u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s^2}$$(9) 带正弦的函数$$\mathcal{L}\{t\sin(at)\}=\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$$(10) 带余弦的函数$$\mathcal{L}\{t\cos(at)\}=\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$$ 3. 总结本文介绍了常用的拉普拉斯变换公式表，包括基本公式和常用公式。
这些公式在工程、物理、数学等领域中都有着广泛的应用，可以方便地将时域函数转换到频域进行分析和处理。
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ch14 拉普拉斯变换.doc - 1 - §14 拉普拉斯变换
重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开 2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 4. 网络函数的的定义和极点、零点的概念； *5. 网络函数的零点、极点与冲激响应(ch7)的关系； *6. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系 难点： 1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 *3. 零点、极点与冲激响应的关系 *4. 零点、极点与频率响应的关系
本章与其它章节的联系： 1.是前几章基于变换思想的延续。2.是叠加定理的一种表现 预习知识：积分变换 卷积积分 学时安排： 教学方式： 课件： 参考资料： ch14 拉普拉斯变换.doc - 2 - §14－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0,+∞) 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由 F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中 c 为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即：
它计及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数 F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1) 单位阶跃函数的象函数
2) 单位冲激函数的象函数 3) 指数函数的象函数 ch14 拉普拉斯变换.doc - 3 - §14－2 拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。
表 14-1 拉氏变换的若干性质和定理 特性和定理 表 达 式 条 件 和 说 明
线性 a 、 b 为常数
位移特性 时域延迟 为一非负实数 频域延迟
微分 若所有初值为零，则有
积分 初值定理 或 存在
终值定理 或
所有奇点均在 s 平面
左半部
卷积定理 为 与的卷
积 应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。 ch14 拉普拉斯变换.doc - 4 - 表 14-2 拉氏变换简表
1
Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at )
ch14 拉普拉斯变换.doc - 5 - 例14-1 已知 ，求函数 的像函数。解：
例14-2 已知 ，求 f(t)= 的象函数。 解： 根据积分性质和时域延迟性质
例14-3 求函数 的像函数。 解： 例14-4 求函数 的像函数。
解： 根据微分性质，因为 ，所以
例14-5 求函数 的像函数。 解： 例14-6 求 的像函数。 例14-7 求函数 的像函数。 ch14 拉普拉斯变换.doc - 6 - §14－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 1．拉普拉斯反变换法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有：
1） 利用公式 2) 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数 3) 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则 2. 部分分式展开法
用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉氏变
换表中查到的 的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。 设 ，的阶次不高于的阶次，否则，用除 ，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因
式分解，求出=0的根。
设象函数的一般形式： 即 F（s）为真分式。下面讨论 =0 的根的情况。 1） 若=0 有 n 个不同的单根 p1、p2……pn 。利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数的确定： 方法一：按 ， i =1, 2, 3, … , n 来确定。 方法二：用求极限方法确定ai的值
得原函数的一般形式为： ch14 拉普拉斯变换.doc - 7 - 2） 若=0有共轭复根和 ，可将F(s)分解为： 则， 因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。设，
3） =0 的具有重根时，因含有 的因式。
则， ； ； …… ； 总结上述得由 F(s) 求 f( t) 的步骤： 1） n = m 时将 F(s) 化成真分式和多项式之和；
2） 求真分式分母的根，确定分解单元； ch14 拉普拉斯变换.doc - 8 - 例14-8 已知 求原函数 解法一： 设 其中 所以 解法二 例14-9 已知 求原函数 。 解： 因为 的根为：
所以
例14-10 已知 ，求原函数 解： ； ； ch14 拉普拉斯变换.doc - 9 - ； 则， 例14-11 已知 ，求原函数 。 解： 原式 所以 ch14 拉普拉斯变换.doc - 10 - §14－4 运算电路 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R 、 L 、 C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出 复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法 与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。 1. 电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示：
把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。 1) 电阻 R 的运算形式 图 14.1（a）
图14.1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件 VCR 的运算形式：
或 根据上式得电阻 R 的运算电路如图（b）所示。 图 14.1（b）
2) 电感 L 的运算形式 图14.2(a)所示电感元件的电压电流关系为
两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件 VCR 的运算形式：
图 14.2（a）
图 14.2（b） ch14 拉普拉斯变换.doc - 11 - 或 根据上式得电感L的运算电路如图(b)和
图(c)所示。图中表示附加电压源的电
压，表示附加电流源的电流。 式中分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。 图 14.2（c）
3) 电容 C 的运算形式 图14.3(a)所示电容元件的电压电流关系为：
两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件 VCR 的运算形式：
或 根据上式得电容 C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
式中 分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图 14.3（a） 图 14.3（b）
图 14.3（c） 4) 耦合电感的运算形式 图14.4（a）所示耦合电感的电压电流关系为： ch14 拉普拉斯变换.doc - 12 -
两边取拉普拉斯变换，得耦合电感 VCR的运算形式： 图14.4（a）
根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。图中和都是附加电压源。式中
分别称为互感运算阻抗和互感运算导纳。 5) 受控源的运算形式 图14.5（a）所示 VCVS 的电压电流关
系为： 两边取拉普拉斯变换，得运算形式为：
图14.4（b）
根据上式得 VCVS 的运算电路如图（b）所示。
图14.5（a） 图14.5（b） 3. 运算电路模型
图14.6（a） 图14.6（b）