指数函数及其性质(导学案)

根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.百度文库0.3>0.93.1
2014-11-13
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B ).
A. y (4) B. y x
x
C. y 2 4 x D. y a
x2
(a 0且a 1)
2 x y ( a 3 a 1) a 3 2. 函数 是指数函数,则a=_____.
2.掌握指数函数的图象和性质 ； （重点、难点）
3.培养学生实际应用函数的能力；
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探究1
指数函数的概念
1 x （ ） 的函数是指数函数.那么，指 2
形如y=2x， y
数函数是怎样定义的呢？ 一般地，函数____ y=ax（a＞０，且a≠１）叫做指数函
数，其中x是自变量，函数的定义域是__. R
要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
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思考2：要确定函数y=ax(a>0,且a≠1)的解析式，
关键需要确定哪个量？
提示：要确定函数y=ax(a>0，且a≠1)的解析式，
关键需要确定底数a的值.
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例1
下列函数中是指数函数的函数序号是（2）
.
（2）y 3x； （） 1 y x 2； （3）y 4x；
y ax
( a 1)
y a x (0 a 1)
y
1 0
x
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
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图象自左至右逐渐下降
探究3 指数函数的性质
0<a<1
y ax
y
a>1
y
y ax
( a 1)
图象
1
0
x
1 0
x
定义 域 值域
R （0，+∞）
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（1）过定点（0，1），即x=0 性质 时， y=1 R上是 （2）在R上是增函 （2）在 减函数 数
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y=ax (0<a<1) y=ax (a>1)
1 1 1 0
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1 1 1
x
0 0
0 x x
x
（1）图象可向左、右两方无限伸展 图象共同特征： （2）图象都在x轴上方 （3）都经过坐标为（0，1）的点
y
0 1
0.5
1
1.5
2
0.7 0.3 0.2 0.5 1 5 5
1 y 2
x
1 0
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1
x
1 x (2) y 3 与 y ( ) 的图象. 3
x
图象
列表：
x … -3 … 0. y= 03 x 3 … 2 7 y= 7 3-x
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-2 0. 11 9
1 x y （ ）( x N ) 次，剩余长度y与x的关系是 2 .
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截取 次数
1次
2次
3次
4次
x次
1 x * y ( ) (x N ) 2
木棰 剩余
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1 尺 2
1 尺 4
1 尺 8
1 尺 16
1 ( )x 尺 2
1.理解指数函数的概念 ； （重点）
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思考1：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？
x 当 x ＞ 0 时， a 恒等于0 提示：若a=0， ， x 0时，a 无意义 当x＜
若a＜0，比如y=(-4)x，这时对于x=
1 2n
(n∈N*)在
实数范围内函数值无意义.
若a=1,y=1x=1是一个常量，因此对它就没有研究的必
1 x ( 1 )y 2 与y 2
x
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-2 1. -1 0. 5 5 y= 0. 0. 0. 0.
x
0
0. 5 1.
1
1. 5 2.
2
y
y2
x
1
0
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1
x
x
1 x y （ ） 2
-2 -1 1.5 0.5 2.8 1.4 y 4 2 3 1
例2.比较下列各题中两个值的大小
11.7 ,1.7 ; 2 0.8 0.3 3.1 3 1.7 , 0.9 .
2.5 3
0.1
, 0.8
0.2
;
根据指数 函数的性 质
解：(1)根据函数y=1.7x的性质，1.72.5<1.73。 (2)根据函数y=0.8x的性质，0.8-0.1<0.8-0.2。 (3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
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3.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取
值范围是( A ).
A.m≤-1
C.m≥1
B.-1≤m＜0
D.0＜m≤1
解析：∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,
∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，
则1+m≤0即m≤-1.
1 0. 3 3
0
1 1
1 3
2
9
3 … 27 …
0. 33
0.1 0.0 … 1 37
y
1 y 3
x
y 3
x
关于y轴对称
1
0
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1
x
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3
x
y2
x
关于y轴对称
1
0
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1
x
y
y y
y
是R上的单调增函数，
解析：首先通过上面二次函数判断出a>0,再根 据下面复合函数的单调性得到 a2 1 0 ，最后 要比较下面的最大值小于等于上面的最小值， 答案为 1 a 2.
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1.指数函数的定义 一般地，函数y=ax（a＞0,且a≠１）叫做指数函 数.
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2.指数函数的图象和性质
底数
图象
0 a 1
a 1
定义域 值域 性质
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R (0, ) （1）过定点（0，1），即 （x=0 2）在 R上是减函数 （2）在 时， y=1 R上是增函数
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(4) y 3 ;
x
(5) y x
x
2 x 1
.
自变量仅有 这一种形式
y 1 a
系数为1
底数为正数且不为1
注意三点： （1）底数：大于0且不等于1的常数； （2）指数：自变量x； 2014-11-13 （3）幂系数为1.
探究2 指数函数的图象 １.如何来研究指数函数的性质呢？ 用描点法作出下列两组函数的图象， 然后写出其一些性质：
指数函数及其性质
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实例1
......
某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个分 裂成４个，…，一个细胞分裂ｘ次，得到的细胞的
x y 2 (x N ) . 个数ｙ与ｘ的函数关系式是： 2014-11-13
实例2 《庄子· 逍遥游》记载：一尺之椎，日取其 半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一 半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
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4.如图,指数函数:A. y=ax
解：ｃ,ｄ大于１
B.y=bx
C D
C.y=cx
D. y=dx
A B
ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ
y
且ｃ＞ｄ ,则a,b,c,d与1的大小关系是 的图象 ａ,ｂ大于０小于１ 且 ｂ＜ ａ
________________.
O
x
∴ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ 结论：当a>1时,图象越靠近ｙ轴，底数越大; 当0<a<1时,图象越靠近ｙ轴，底数越小.
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5.求函数 y 4x 2x1 1(x R) 的值域.
x t 2 (t 0), 解：运用换元法，令
得到关于t的二次函数，答案为 (1, )
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6.若函数 求a的取值范围.
ax2 1( x 0) f ( x) 2 ax (a 1)e ( x 0)