浙江财经线性代数期末复习提纲
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）B A AB =； （6）B A BA B A ==0**0； （7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。
⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
线性代数期末知识点总结线性代数知识点总结(免费)
线性代数期末知识点总结线性代数知识点总结(免费)1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3.代数余子式和余子式的关系：4.设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积；⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；2.对于阶矩阵：无条恒成立；3.4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；（主对角分块）③、；（副对角分块）④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若，则可逆，且；②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、对调两行或两列，符号，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；5.矩阵秩的基本性质：①、；②、；③、若，则；④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；Ⅱ、⑨、若、均为阶方阵，则；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：Ⅰ、展开后有项；Ⅱ、Ⅲ、组合的性质：；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；②、伴随矩阵的特征值：；③、、 8.关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）②、，中有阶子式全部为0；③、，中有阶子式不为0；9.线性方程组：，其中为矩阵，则：①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；10.线性方程组的求解：①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、；②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3.矩阵与行向量组等价的充分必要条是：齐次方程组和同解；(例14)4.；(例15)5.维向量线性相关的几何意义：①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；③、线性相关共面；6.线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）向量组能由向量组等价（定理2推论）8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；③、矩阵等价：（、可逆）；9.对于矩阵与：①、若与行等价，则与的行秩相等；②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵的行秩等于列秩；10.若，则：①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、只有零解只有零解；②、有非零解一定存在非零解；12.设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；（）②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14.线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；16.若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或（定义），性质：①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；③、若、正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：；; 3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；②、与合同，其中可逆；与有相同的正、负惯性指数；③、与相似；5.相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条不同，相似的更严格）；6.为对称阵，则为二次型矩阵；7.元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；；(必要条)。
线性代数本科期末考试重点资料
本学期线性代数课程的考试要点：第一章一、二阶行列式定义及其计算――对角线法则，利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；二、数码排列的逆序数的计算；三、n 阶行列式的定义及其计算――利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；四、行列式的展开定理的有关结论。
第二章一、矩阵的概念及其有关运算（加，减，数乘，矩阵相乘，逆矩阵，方阵的行列式，方阵的幂乘）（矩阵相乘一般不满足交换律，必须注意是左乘还是右乘）二、逆矩阵的定义及有关概念和有关结论；三、逆矩阵存在的充要条件；四、矩阵的初等变换（主要是初等行变换）；五、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义；六、如何利用矩阵的初等行变换将一个矩阵化为行阶梯形和行最简形；七、初等矩阵的概念；八、矩阵的秩的概念；九、如何利用矩阵的初等行变换：（1）求出可逆矩阵的逆矩阵；（2）求解矩阵方程；（3）确定所给矩阵的秩。
第三章一、方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念；二、如何利用矩阵的初等行变换判定齐次线性方程组是否有非零解；三、如何利用矩阵的初等行变换判定非齐次线性方程组是否有解；有解时是唯一解还是无穷多解；四、向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关的概念；五、如何利用矩阵的初等行变换判定向量组：（1）求出所给向量组的秩；（2）判定向量组是否线性相关；（3）求出向量组的极大无关组；（4）求出不在极大无关组中的向量由极大无关组向量线性表示的表达式。
六、解向量、解空间、基础解系的概念；七、如何利用矩阵的初等行变换求解线性方程组：（1）求出齐次线性方程组的基础解系和通解的表达式；（2）求出非齐次线性方程组的一个特解，求出相应的齐次线性方程组的基础解系，最后，利用基础解系写出非齐次线性方程组的通解的表达式。
第四章一、如何求出所给矩阵的特征值和特征向量。
[线性代数知识点总结(免费)]线性代数期末知识点总结
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[线性代数知识点总结(免费)]线性代数期末知识点总结1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3.代数余子式和余子式的关系：4.设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积；⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；2.对于阶矩阵：无条件恒成立；3.4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；（主对角分块）③、；（副对角分块）④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若，则可逆，且；②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、对调两行或两列，符号，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；5.矩阵秩的基本性质：①、；②、；③、若，则；④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；Ⅱ、⑨、若、均为阶方阵，则；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：Ⅰ、展开后有项；Ⅱ、Ⅲ、组合的性质：；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；②、伴随矩阵的特征值：；③、、8.关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）②、，中有阶子式全部为0；③、，中有阶子式不为0；9.线性方程组：，其中为矩阵，则：①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；10.线性方程组的求解：①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、；②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)4.；(例15)5.维向量线性相关的几何意义：①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；③、线性相关共面；6.线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）向量组能由向量组等价（定理2推论）8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；③、矩阵等价：（、可逆）；9.对于矩阵与：①、若与行等价，则与的行秩相等；②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵的行秩等于列秩；10.若，则：①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、只有零解只有零解；②、有非零解一定存在非零解；12.设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；（）②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14.线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；16.若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或（定义），性质：①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；③、若、正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：；;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；②、与合同，其中可逆；与有相同的正、负惯性指数；③、与相似；5.相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.为对称阵，则为二次型矩阵；7.元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；；(必要条件)。
线性代数期末知识点总结
线性代数期末知识点总结1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2.代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3.代数余子式和余子式的关系：4.设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积；⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7.证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；2.对于阶矩阵：无条件恒成立；3.4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；（主对角分块）③、；（副对角分块）④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若，则可逆，且；②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、对调两行或两列，符号，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；5.矩阵秩的基本性质：①、；②、；③、若，则；④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；Ⅱ、⑨、若、均为阶方阵，则；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：Ⅰ、展开后有项；Ⅱ、Ⅲ、组合的性质：；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；②、伴随矩阵的特征值：；③、、8.关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）②、，中有阶子式全部为0；③、，中有阶子式不为0；9.线性方程组：，其中为矩阵，则：①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；10.线性方程组的求解：①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、；②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)4.；(例15)5.维向量线性相关的几何意义：①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；③、线性相关共面；6.线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）向量组能由向量组等价（定理2推论）8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；③、矩阵等价：（、可逆）；9.对于矩阵与：①、若与行等价，则与的行秩相等；②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵的行秩等于列秩；10.若，则：①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、只有零解只有零解；②、有非零解一定存在非零解；12.设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；13.①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；（）②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14.线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；16.若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或（定义），性质：①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；③、若、正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：；;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；②、与合同，其中可逆；与有相同的正、负惯性指数；③、与相似；5.相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.为对称阵，则为二次型矩阵；7.元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；；(必要条件)。
线性代数-复习提纲
线性代数-复习提纲1、()()12......21n n n --的逆序数是 .答案：()12n n -;2、A 为n 阶方阵，则A λ= .答案：nA λ;3、已知2412A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则AA A A **== . 答案：8008⎡⎤⎢⎥⎣⎦;4、已知A 为n 阶方阵，则有()____0R A n A <⇔（填“>”，“<”或“=”）。
答案：=;5、12106721xA y ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的特征值121λλ==，32λ=，则x = .，y = 。
答案：1-；4;1、当k 为何值时，21200111kD k==-（ ）A 、2k =B 、2k =-C 、0k =D 、3k =- 答案：B2、如果304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则 （ ）A 、0k =B 、1k =C 、2k =D 、3k =- 答案：D3、A 为n 阶矩阵，则下列结论不正确的是（ ） A 、T A A +是对称矩阵。
B 、T AA 是对称矩阵。
C 、TA A - 是对称矩阵。
D 、TA A 是对称矩阵。
答案：C4、A 为n 阶矩阵，下列正确的是（ ） A 、()22TnTA A =B 、()122n A A -=C 、()2n nA A λλ*-=D 、nAA A *= 答案：D5、下列不是12,,s ααα线性无关的必要条件是（ ）A 、12,s ααα都不是零向量。
B 、12,s ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
C 、12,s ααα中任意两个向量都不成比列。
D 、12,s ααα中任意部分组线性无关。
答案：B1、34215352152809229092D =答案：解:()()123421535215342151000342151110002809229092280921000280921100034215280926123000D c c =-+==-=2、已知223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1A -。
线性代数复习提纲
第一章 矩阵1 矩阵的概念特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、上三角阵、下三角矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。
2 矩阵的运算：（1）矩阵的线性运算及其运算规律－矩阵的加法（减法）和数乘。
（2）矩阵的乘法：能够进行乘法运算必须具备的条件，运算方法，左乘与右乘的区别。
乘法的运算规律（应用较为普遍的是矩阵乘法满足结合律） （3）矩阵的转置：(AB)T =B T A T（4）矩阵的逆：AB=BA=I →A -1=B 矩阵的逆唯一 运算规律： (A -1) -1= A ；(λA) -1= λ-1A -1；(AB) -1=B -1A -1；(A T ) -1=(A -1) T 矩阵逆的计算方法：待定系数法、初等变换法、伴随矩阵法。
3 分块矩阵及其运算第二章 线性方程组与矩阵初等变换 1 线性方程组与矩阵的一一对应关系2 高斯消元法：线性方程组的三种变换→阶梯形方程组。
3 利用矩阵初等变换解线性方程组：三种初等变换→行阶梯形矩阵→行最简形矩阵4 非齐次线性方程组解的三种情形的讨论⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211r r rn r r rr nr r nr r d d c c c d c c c c d c c c c c（1）无解（2）唯一解（3）无数解 5矩阵等价的概念 6 初等矩阵的概念7 初等矩阵与矩阵初等变换的关系8 逆矩阵定理：设A 是n 阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A 是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax ＝0只有零解； （3）A 可以经过有限次初等行变换化为In ； （4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。
9 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 A 可以经过一系列初等行变换化为I ； I 经过这同一系列初等行变换化为A -1P s …P 2P 1 (A | I n )=(I n |A -1)第三章 行列式1 n 阶行列式的定义（1）全排列及其奇偶性：逆序数的概念，对换，相邻对换。
《线性代数》期末复习要点
《线性代数》期末复习要点第一章行列式1、行列式的计算（略）2、Cramer法则：系数行列式D≠0,则方程租有唯一解。
齐次方程租有非零解，则D＝0。
3、Vandermonde行列式。
（略）第二章矩阵1、矩阵的计算（略）2、对称矩阵：A∧T=A。
反称矩阵A∧T=-A。
3、矩阵可逆，则｜A｜≠0。
4、分块矩阵（略）5、初等变换与初等矩阵（略）6、m×n阶矩阵A，B等价，则当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B。
7、（1）可逆矩阵一定满秩，即r=n。
（2）若A的一个r阶子式不等于零，则r（A）≥r，若A的r+1阶子式都为零，则r（A）≤r。
8、矩阵秩的不等式：（1）r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝。
（2）A，B分别为m×n阶和n×k 阶矩阵，r（AB）≥r（A）+r（B）-n。
特别的，当AB=0时，r（A）+r（B）≤n。
（3）A，B 均为m×n阶矩阵，则r（A+B）≤r（A）+r（B）。
第三章n维向量空间1、线性相关：（1）k1，k2，kn不全为0且能使kiα1+k2α2+……+knαn＝0成立，则α1，α2，……，αn线性相关。
（2）至少一个向量是其余向量的线性组合。
（3）含零向量的向量组是线性相关的。
（4）n维向量中的两个向量组T1＝｛α1,α2,α3,……,αr｝，T2=｛β1,β2,β3,……βs｝，若T1可由T2线性表示，且r＞s，则T1线性相关。
若T1可由T2线性表示但T1线性无关，则r≤s。
（5）n+1个n维向量一定线性相关。
2、（1）零向量自身线性相关。
非零向量自身线性无关。
（2）向量组中一部分线性相关，则整体线性相关，若向量组整体线性无关，则向量组的一部分线性无关。
3、向量组的任意极大线性无关组都与之等价，向量组的任意两个极大线性无关组都等价。
4、矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩。
5、向量空间的基与维数，空间向量的坐标（略）6、基变换和坐标变换：｛α1,α2,α3,……,αr｝，｛β1,β2,β3,……βsr｝是向量空间V的两组基，若有r维方阵C，使［β1,β2,β3,……βs］=［α1,α2,α3,……,αr］C，则称C为从基｛α1,α2,α3,……,αr｝到基｛β1,β2,β3,……βs｝的过渡矩阵（基变换矩阵）。
线性代数期末复习知识点考点总结
线性代数必考的知识点行列式n 行列式共有n 2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式;代数余子式的性质： ① 、A j 和a j 的大小无关；② 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 ③ 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D !，则D !（将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D s ，则D s行列式的重要公式： 主对角行列式：主对角元素的乘积;拉普拉斯展开式:范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值;证明A 0的方法:① 、A |A ; ② 、反证法;③ 、构造齐次方程组 Ax 0，证明其有非零解; ④ 、利用秩，证明r （A ） n ; ⑤、证明0是其特征值;矩阵A 是n 阶可逆矩阵：A 0 （是非奇异矩阵）；r （A ） n （是满秩矩阵）1 1. 2.3. 4.5.6. 7.21.对于n 阶行列式A ，恒有： E A1)0 ，其中 S k 为k 阶主子式;代数余子式和余子式的关系： M jj （ 1）i j A jA j(1)「M jn(n 1)1L D ;将D 顺时针或逆时针旋转 90°，所得行列式为 D 2，贝U D 2(1) n(n 1)~^D ;将D 主副角线翻转后，所得行列式为D 4，则 D 4 D ;④、 副对角行列式：畐U 对角元素的乘积 上、下三角行列式（|| I ） 匚和丄：副对角元素的乘积n (n 1)(厂;主对角元素的乘积;n(n 1)1)h ;A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax 0有非零解； b R n，Ax b 总有唯一解;A 与E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; A 的特征值全不为0 ;AA A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是 R n的一组基; A 是R n中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A : AA * A *A A E 无条件恒 成立；1 ** 11 TT 1* TT *3.(A )(A) (A ) (A ) (A ) (A ) * * * 111(AB)B A(AB)BA(AB)B A3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m n 矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ，若r （A ） r （B ） A: B ;4. 5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论， Ai其中均B 可逆:A 2O，则:I 、 AA A 2L A s ；n 、②、 （主对角分块）③、（副对角分块）④、1CBB 11;（拉普拉斯）⑤、A B 1CA 1B O ；（拉普拉斯）E r O2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得;若 A : B ，则 r(A) r(B)；如果A 是m n 矩阵，B 是n s 矩阵，且AB 0,则：(探)B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0解(转置运算后的结论)；n 、 r(A) r(B) n若A 、B 均为n 阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n ；6. 三种特殊矩阵的方幕：① 、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1 a c② 、型如 0 1b 的矩阵：利用二项展开式；0 0 13.4.5. ② 、每行首个非0元素必须为1 ；③ 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0 ；初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) ①、若(A,E) : (E,X)，则 A 可逆，且 X A 1 ；c②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当 A 变为E 时，B 就变成A 1B ，即：(A,B) (E, A 1B)；r③、求解线形方程组：对于 n 个未知数n 个方程Ax b ，如果(A,b)・ (E,x)，则A 可逆，且 初等矩阵和对角矩阵的概念：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、 对调两行或两列, 倍乘某行或某列， 倍加某行或某列， 矩阵秩的基本性质: ①、②、 r(A T ) r(A)；符号符号 符号，左乘矩阵A , i 乘A 的各行元素；右乘, E(i,j)，且 E(i, j) 1E(i, j)，例如：1E(i(k))，且 E(i (k)) 1一 1 E(ij(k))，且 E(ij(k))乘A 的各列元素;x A 1b ；1E(i())，例如: kE(ij( k))，如:(k0)，(k 0)；1若P 、Q 可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ)； (可逆矩阵不影响矩阵的秩⑤、 max(r(A),r(B)) r(A,B) r(A) r(B);(探)⑥、 r(A B) r(A) r(B)； ⑦、 r(AB) min(r(A),r(B))；m 0 注：1、(a b)；展开后有n 1项；nC m n(n 1)L L (n m 1)、；1g2g3g_ gmn!C；0 C； 1 m!(n m)!川、组合的性质：C；m C n；m m mC n 1 C nm 1C nnC；2；r 0rC；nC,③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：n r(A) n①、伴随矩阵的秩：r(A*) 1 r(A) n 1 ；0 r(A) n 1②、伴随矩阵的特征值：—(AX X,A* AA1*A XA X)；③、A* |A A 1、A* A；18. 关于A矩阵秩的描述：①、r(A) n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;(两句话)②、r(A) n，A中有n阶子式全部为0 ；③、r(A) n，A中有n阶子式不为0 ；9. 线性方程组：Ax b，其中A为m n矩阵，则:②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为n元方程;10. 线性方程组 Ax b的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n兀线性方程：a〔1 x 1 a〔2 x 2L a1 n X ；a①、日21 X1 已22 X2 L a2n x；b2 .L L L L L L L L L L La m1x 1 a m 2 - X2 L a；m X nb na11 a12 L a1n X1b1②、a21 a22 L a2n X2 d Ax b(向量方程，A为m n矩阵，m个方程，n个未知数) M M O M M Ma m1 a m2 L a mn X mb mX1 b1③、a-, a2L X2 a；(全部按列分块，其中b2 )；M Mx；b；④、a1X1 a?X2 L a；X n (线性表出)⑤、有解的充要条件：r(A) r(A, ) n ( n为未知数的个数或维数)二项展开式: (a b)n C0a n C：a 1b1L C m a L C；1a1b n 1C：b m m. n mC n a b①、m与方程的个数相同，即方程组Ax b有m个方程;向量组的线性相关性含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； ① 、向量组的线性相关、无关 Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组） ② 、向量的线性表出 Ax b 是否有解；（线性方程组） ③ 、向量组的相互线性表示 AX B 是否有解；（矩阵方程）矩阵A m n 与B l n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AX 0和BX 0同解；（R °1例14）r （A TA ） r （A ） ； （ R 01 例 15）n 维向量线性相关的几何意义:① 、 线性相关 0 ；② 、 , 线性相关 , 坐标成比例或共线（平行）；③ 、 , , 线性相关, , 共面； 线性相关与无关的两套定理:若1，2丄,s 线性相关，则1，2，L , s ，s 1必线性相关；若1, 2丄,s 线性无关，则 1, 2 ,L , s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r 个分量，构成n 维向量组B : 若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且 A 线性无关，则r s ； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则r （A ） r （B ）； 向量组A 能由向量组B 线性表示 AX B 有解； r （A ） r （A ，B ）向量组A 能由向量组B 等价 r （A ） r （B ） r （A,B ） 方阵A 可逆 存在有限个初等矩阵 R,P 2，L ,R ，使A PP 2L P ；①、矩阵行等价： rA~BPA B （左乘，P 可逆） Ax 0与Bx 0冋解②、矩阵列等价：cA~B AQ B （右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价： A ~ B PAQ B ( P 、 Q 可逆)； 对于矩阵 A m n 与 B l① 、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；② 、若A 与B 行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;③ 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;④ 、矩阵A 的行秩等于列秩;①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵;4、 1.2.3. 4.5. 6. 7.8.9. 10.m 个n 维列向量所组成的向量组A :m 个n 维行向量所组成的向量组 B :1, 2,L , m 构成 n m 矩阵 A ( 1, 2 ,L , m ) ；T 1 1T, 2T ,L , m T 构成 m n 矩阵 BT 2MT m若 A m s B s n C m n ，则:-------- 精选文档 ----------------②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示， A T为系数矩阵；(转置)齐次方程组Bx 0的解一定是ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；① 、ABx 0只有零解 Bx 0只有零解； ② 、Bx 0 有非零解ABx 0 一定存在非零解；设向量组B n r : b 1, b s ,L , b r 可由向量组 A n s ： a 卫2丄Rs 线性表示为：(b,b 2丄，b r ) (31,32,L ,a s )K ( B AK )其中K 为s r ，且A 线性无关，则B 组线性无关r (K) r ； ( B 与K 的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ;充分性：反证法) 注：当r s 时，K 为方阵，可当作定理使用； ① 、对矩阵A m n ，存在Q nm, AQ E m「(A) m 、Q 的列向量线性无关； ② 、对矩阵A m n ，存在P nm，PAE .「(A) n 、P 的行向量线性无关；1, 2 ,L , s 线性相关存在一组不全为0的数k 1,k 2,L ,k s ，使得k 1 1 k 2 2 L k s s 0成立；(定义)x1(1, 2,L , )X 2 0有非零解，即Ax 0有非零解；'''s M11. 12. 13. 14.15. 16. 5、 1. 2.3. 4. 5. r( 1, 2,L ,s) s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数;设m n 的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组 Ax0的解集S 的秩为：r(S) n r ；若*为Ax b 的一个解，1, 2,L , n r 为Ax 0的一个基础解系，则*, 1, 2,L , n r 线性无关;相似矩阵和二次型正交矩阵A T A E 或A 1 A T (定义)，性质：1① 、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即a 「a j② 、若A 为正交矩阵，则 A 1 A T 也为正交阵，且 A 1 ； ③ 、若A 、B 正交阵，则 AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记 施密特正交化 和单位化；施密特正交化：(a,a 2,L ,aj b 印；[b,b]b rSg [b ^g )2 L[b,b ] [b 2,b 2] 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； ①、A 与B 等价 ② 、A 与B 合同③ 、A 与B 相似A 经过初等变换得到B ；PAQ B ， P 、Q 可逆； r(A) r(B)， A 、B 同型；C T AC B ，其中可逆；x T Ax 与x T Bx 有相同的正、负惯性指数;P 1 AP B ;相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则 C T AC B A: B ,(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格)；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；7. n元二次型x T Ax为正定：A的正惯性指数为n ；A与E合同，即存在可逆矩阵 C ,使C T AC E ；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于 0 ；an 0, A 0 ；（必要条件）。
线性代数复习纲要
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
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《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识
一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；
2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；
（2）性质： (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
（3）可逆的条件： ① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A->I; （4）逆的求解 伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~) ②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1） 5．用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B，则X=（A^-1）B； XB=A，则X=B(A^-1)； AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组 1．线性方程组解的判定 定理： (1) r(A,b)≠r(A) 无解； (2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解； (3)r(A,b)=r(A)特别地：对齐次线性方程组AX=0 (1) r(A)=n 只有零解； (2) r(A)再特别，若为方阵， (1)|A|≠0 只有零解 (2)|A|=0 有非零解 2．齐次线性方程组 （1）解的情况： r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解； r(A)（2）解的结构： X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 （3）求解的方法和步骤： ①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组； ③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。 3．非齐次线性方程组 （1）解的情况： 利用判定定理。 （2）解的结构： X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 （3）无穷多组解的求解方法和步骤： 与齐次线性方程组相同。 （4）唯一解的解法： 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。 四、向量组 1．N维向量的定义 注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。 2．向量的运算： （1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）； （2）向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn； （3）向量长度 |α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2) (√ 根号) （4）向量单位化 (1/|α|)α； （5）向量组的正交化（施密特方法） 设α1，α 2，…，αn线性无关，则 β1=α1， β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1， β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。 3．线性组合 （1）定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。
（2）判别方法 将向量组合成矩阵，记 A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β) 若 r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示； 若 r (A)≠r (B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。 （3）求线性表示表达式的方法： 将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。 4．向量组的线性相关性 （1）线性相关与线性无关的定义 设 k1α1+k2α2+…+knαn=0， 若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关； 若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。 （2）判别方法： ① r(α1，α 2，…，αn)r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。 ②若有n个n维向量，可用行列式判别： n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关） (行列式太不好打了) 5．极大无关组与向量组的秩 （1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 （2）求法 设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量 1．定义 对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
2．特征值和特征向量的求解： 求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3．重要结论： （1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0； （2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值； （3）不同特征值对应的特征向量线性无关。 六、矩阵的相似 1．定义 对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。 2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）： 求出所有特征值； 求出所有特征向量； 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。
3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。 七、二次型 n 1．定义 n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。
i,j=1 2．二次型标准化： 配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。
3．二次型或对称矩阵的正定性： （1）定义（略）； （2）正定的充要条件： ①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0； ②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；
《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识
一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；