中考数学复习指导：例析线段和差倍分问题的求解策略

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例析线段和差倍分问题的求解策略
在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分
之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问
题．本文举例说明几种常见的求解策略．
一、利用全等形或相似形
对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较
短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所
在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．
例1 如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD
＝45°，AD与BE交于点F，连CF．
(1)求证：BF＝2AE；

(2)若CD＝2，求AD的长．
分析 由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要
证明BF＝AC．

(2)略．
例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F．
(1)求证：△AEB∽△OFC；
(2)AD＝2OF．
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二、取长补短法
对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的
相等问题（俗称取长补短法）．
例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，
求证：AM＝CD＋CM．
证明（延长法）
延长DC至点N，使CN＝CM，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，
得
∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN，
又CN＝CM，BC为公共边，

例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过
点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME．
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解 (1)略；(2)证法1（截取法）
如图4，连BD交AC于点O，分别证明AO＝DF，OM＝ME即可．

证法2（延长法）
如图5，延长DF至点N，使FN＝ME，只要证AM＝DN即可．
连CN、MB．同证法1可得△BCD为正三角形，M是正△BCD的中心．

三、几何变换法
用几何变换法证明线段的和差倍分问题，实质上是利用几何变换将线段移动，使较短
线段在适当的位置进行“集中”，使隐含的数量关系明显化，从而达到证明的目的．
例5 如图6，⊙O外接于正方形ABCD，P为劣弧AD上任意一点，求证：
PAPCPB+

恒为定值，并求出此定值．
证明 当P与A重合时，易知
2PAPCACPBAB+==
；
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一般情况下，可将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBQ，则
综上，无论P为劣弧AD上哪一点，PAPCPB+恒为定值2，得证．
例6 如图7，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC边的中点，F在DC边的延长
线上，且∠BAE＝∠EAF，求证：AB＝AF＋CF．
解 将△ABE绕点E顺时针旋转180°，得到△GCE，则由AB∥CD、E为BC边的
中点知点G在DC的延长线上．