高中数学第1讲不等式和绝对值不等式 2_1 绝对值三角不等式课后练习新人教A版选修4-5

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节第1课时绝对值三角不等式创新应用课件新人教A版选修

∴lg|A|＋2 |B|≥12(lg|A|＋lg|B|)，④正确．
(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0， ∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. ∴必有|a|a|＋－b|b||≥1. 即|a|>|b|是|a|a|＋－b|b||≥1 成立的充分条件．当|a|a|＋－b|b||≥1 时，由|a＋b|>0，必有|a|－|b|>0. 即|a|>|b|，故|a|>|b|是|a|a|＋－b|b||≥1 成立的必要条件．故所求为：|a|>|b|.
2 ．“ |x － a| ＜ m 且 |y － a| ＜ m” 是 “|x － y| ＜
2m”(不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 A ∵|x－a|＜m，|y－a|＜m， ∴|x－a|＋|y－a|＜2m. 又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|， ∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，如取 x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5， ∴|x－y|＜2m 不一定有|x－a|＜m 且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m 且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y， a，m∈R)的充分不必要条件．
第1课时绝对值三角不等式
[核心必知]
1．绝对值的几何意义
(1)实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 到原点的距离．
的点 A
(2)对于任意两个实数 a，b，设它们在数轴上的对应点
分别为 A、B，那么|a－b|的几何意义是数轴上 A，B 两点
之间的距离，即线段 AB 的长度．
2．绝对值三角不等式 (1)如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． (2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数 a，b 换成向量 a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边． 3．三个实数的绝对值不等式如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.1 不等式的基本性质(一)课后导练新人教A版选修45

1.1.1 不等式的基本性质（一）课后导练基础达标1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0D.-1<α-β<1解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,∴-2<α-β<0.答案:A2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( )A.a>c,或b>cB.a>c 且b<cC.a>c 且b>cD.a>c,或b<c解析:∵a>c 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c.答案:C3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )A.x-1>1-yB.x-1>y-1C.x-y>1-yD.1-x>y-x解析:∵x>1>y,∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确;x+(-y)>1+(-y),即C 正确;1+(-x)>y+(-x),即D 正确.故选A.答案:A4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<n<-mD.m<-n<-m<n解析:∵n>0,m+n<0,∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.∴m<-n<n<-m.故选C.答案:C5若0<a<b<1,m=log a b,n=log b a,p=a1log b,则( )A.p<m<nB.p<n<mC.m<n<pD.n<m<p解析:m>0,m,n 互为倒数,易得m<1<n,而p=-m<0.答案:A综合运用6已知a<b<c,且a+b+c=0,则b 2-4ac 与0的大小关系是__________.解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0.答案:b 2-4ac>07下列命题中真命题的个数为( )①若a>b,且a,b 同号,则a 1<b 1 ②若a 1>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥bc ⇒c≥0 ④若a>b,n∈N *⇒a 2n+1>b 2n+1A.1B.2C.3D.4解析:①∵a,b 同号,∴ab 1>0.由a>b,两边同乘ab 1得ab b ab a >,即b 1>a 1,亦即a 1<b 1,因此①是真命题. ②由a 1>1可知a>0,给a1>1两边同乘a 得1>a,综合得0<a<1,故②是假命题. ③ac≥bc,即c·(a -b)≥0,当a-b=0时,c 可取任意实数,特别地,当a=b=0时,c 可取负数,因此③是假命题.④由a>b 可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.若a>b≥0,则由性质(5)知a 2n+1>b 2n+1;若a≥0>b,则a 2n+1≥0>b 2n+1;若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,即-b 2n+1>-a 2n+1,即是a 2n+1>b 2n+1,因此④是真命题.答案:B8设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x∈R ,则A,B 的大小关系是____________.解析:A-B=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.答案:A≥B9若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>by a x ,成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)若⎩⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x ①②由式②知(x-a)与(y-b)同号;又由式①得(x-a)+(y-b)>0.∴x -a>0,y-b>0,即x>a,y>b.故充分性成立.(2)若⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧>>.0,0,,b y a x b y a x 则 ∴⎩⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x .故必要性成立. 综合(1)(2)知,应选C.答案:C拓展探究10某顾客第一次在商店买x 件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?解析:依题意⎪⎩⎪⎨⎧=-+≥)2(,21208)(10()1(,1x y x y 由②得y=)10(15)40()151102(++=-+x x x x x ≥1, ∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).∴x 2+25x-150≥0.∴(x+30)(x -5)≥0.∵x+30>0,∴x -5≥0,即x≥5.答:第一次至少买5件商品.备选习题11若x<y<0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小.解析:(用作差法比较)(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)=(x-y)［(x 2+y 2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).∵x<y<0,∴xy>0,x -y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).12令0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) A.21 B.a C.2ab D.a 2+b2 解析:由题意,0<a<21<b<1,则a<2ab. 又由2ab≤2)(2b a +≤a 2+b 2, 得a<2ab<21<a 2+b 2. 答案:D13给出函数f(x)=x 2,对任意x 1,x 2∈R +,且x 1≠x 2,试比较21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小关系.解析:∵21［f(x 1)+f(x 2)］-f(221x x +) =21 (x 12+x 22)-(221x x +)2=21x 12+21x 22-41x 12-41x 22-21x 1x 2 =41x 12+41x 22-21x 1x 2 =41(x 1-x 2)2>0, ∴21［f(x 1)+f(x 2)］>f(221xx +).14若a<b<0,则下列不等式中,不能成立的是( ) A.a 1>b 1B.|a|>|b|C.a 2>b 2D.b a -1>a 1解析:∵b a -1-a 1=)()()(b a a bb a a b a a -=---<0,∴应选择D.答案:D15设a>0,且a≠1,试比较21log a t 与log a 21+t 的大小.解析: 21log a t-log a 21+t =log a t -log a 21+t =log a 12+t t.∵t+1-t 2=(t -1)2≥0, ∴t+1≥t 2.∴0<12+t t≤1.(1)当0<a<1时,log a 12+t t≥0, ∴有21log a t≥log a 21+t (当且仅当t=1时取“=”).(2)当a>1时,log a 12+t t≤0, ∴有21log a t≤log a 21+t (当且仅当t=1时取“=”).16若a,b,m,n 均为正数,且m+n=1,试比较nb ma +与b n a m +的大小. 解析:由已知nb ma +>0,b n a m +>0, (nb ma +)2-(b n a m +)2=ma+nb-m 2a-n 2b-ab mn 2=m(1-m)a+n(1-n)b-ab mn 2=mna+mnb-ab mn 2 =mn(a+b-ab 2)=mn(b a -)2. 因为m,n,a,b 均为正数，所以（nb ma +）2≥(b n a m +)2, 所以nb ma +≥b n a m +.。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法练习(含解析)新人教A版选修4

word - 1 - / 6 2.绝对值不等式的解法

一、选择题 1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于( ) A.{x|2≤x≤3}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|2

D.{x|-1

解析:A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1}. 则A∩B={x|2答案:C

2. >0的解集为( ) A. B. C. D.{x|x∈R且x≠-3}

解析:>0⇔⇔ 答案:C 3.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数,则不等式loga|x+1|>loga|x-3|的解集为( ) word - 2 - / 6 A.{x|x<-1}

B.{x|x<1}

C.{x|x<1且x≠-1}

D.{x|x>1}

解析:因为a>0,且a≠1,所以2-ax为减函数. 又因为y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数, 所以0所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0. 由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2, 即x2+2x+1解得x<1.又x≠-1,且x≠3, 所以原不等式的解集为{x|x<1且x≠-1}. 答案:C 4.已知不等式|x+b|<3的解集为{x|-4A.1 B.2 C.-1 D.-2

解析:∵|x+b|<3,∴-3∴-3-b又不等式的解集为{x|-4

∴∴b=1. 答案:A 二、非选择题 5.设函数f(x)=|2x-1|+x+3,则f(-2)=;若f(x)≤5,则x的取值X围是. 解析:f(-2)=|2×(-2)-1|+(-2)+3=6. |2x-1|+x+3≤5, 即|2x-1|≤2-x, word - 3 - / 6 当2x-1≥0,即x≥时, 2x-1≤2-x,

则x≤1,故≤x≤1. 当2x-1<0,即x1-2x≤2-x,则x≥-1.

故-1≤x<. 综上所述,x的取值X围是-1≤x≤1. 答案:6 [-1,1] 6.在实数X围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为. 解析:原不等式等价于-1≤|x-2|-1≤1, 即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4. 答案:[0,4] 7.关于x的不等式1<|2x+1|≤3的解集为.

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值不等式素材新人教A版选修45

绝对值三角不等式知识梳理1.绝对值的几何意义实数a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为___________的点A 到___________________的距离.对于任意两个实数a,b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a-b|的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的___________，即线段AB 的___________.2.绝对值三角不等式如果a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当___________时，等号成立. 绝对值三角不等式的几何意义是___________.3.三个实数的绝对值不等式如果a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a -b|+|b-c|,当且仅当___________时，等号成立. 知识导学在掌握本节知识的过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a∈R ,则|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,时当时当a a a a|a|≥0，-|a|≤a≤|a|,|a|2=a 2.掌握绝对值的运算性质： |ab|=|a|·|b|,|b a |=||||b a (b≠0),2a =|a|. 含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|;|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |;|a|-|b|≤|a -b|≤|a|+|b|.在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件. |a+b|=|a|+|b|(ab≥0);|a-b|=|a|+|b|(ab≤0);|a|-|b|=|a+b|［(a+b)b≤0］;|a|-|b|=|a-b|［(a-b)b≥0］.疑难突破1.对绝对值三角不等式的理解绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a|-|b|≤|a -b|≤|a|+|b|和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab>0,ab<0，ab=0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往再所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯.2.对绝对值三角不等式几何意义的理解用向量a ,b 替换实数a,b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ,b 不共线时，a +b ,a ,b 构成三角形，有|a +b |<|a |+|b |.当向量a ,b 共线时，a ,b 同向（相当于ab≥0)时，|a+b|=|a|+|b|;a,b异向（相当于ab<0）时，|a+b|<|a|+|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a+b|是不小于||a|-|b||的，|a|-|b|不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确.。

高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式教案新人教A版选修4_5

1.2.1 绝对值三角不等式课堂探究1．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的．题型一绝对值三角不等式的性质【例1】若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①⎪⎪⎪⎪⎪⎪x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ④|x |lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1. 其中，能够成立的有______．解析：∵0＜n n ＋1＜1，∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴①②可能不成立；当x ＝－6时，可知③不成立；由|x |lg n n ＋1＜0,5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1＞0，可知④成立．答案：④反思一个不等式成立与否，取决于影响不等号的因素，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都会对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，对于一个不等式是否成立也就比较好判断了.题型二用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋bx 2＜2. 故原不等式成立．反思分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.题型三绝对值三角不等式的综合应用【例3】已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数．证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.又在[－1,1]上u ＞0，故lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16＝13， ∴－13≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤13. 由(1)的结论，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 710，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝lg 1310， ∴lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2017_2018学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式课件新人教A版选修4_5

ε ε 1．|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 的( 2 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
)
ε ε 解析：若|x－A|< ，|y－A|< ， 2 2 则有|x－y|＝|x－A＋A－y| ε ε ＝|(x－A)＋(A－y)|≤|x－A|＋|y－A|< ＋＝ε. 2 2 ε ε ∴|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 成立的充分条件． 2 2 3 ε ε ε 反之，若|x－y|<ε，则可以取|x－A|< ε，|y－A|< 使得条件|x－A|< ，|y－A|< 得 4 4 2 2 不到满足． ε ε 因此，我们有|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 成立的充分不必要条件，故选择 A. 2 2 答案：A
[双基自测] 1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b 为实数，则有( A．ab<0 C．ab≥0 B．ab>0 D．以上都不对 )
解析：若|a＋b|＝|a|＋|b|，则 ab≥0，选 C.
答案：C
2．若|x－a|<h，|y－a|<k，则下列不等式一定成立的是( A．|x－y|<2h C．|x－y|<h＋k B．|x－y|<2k D．|x－y|<|h－k|
法二：①当|a|≤|b|时， |a2－b2| |a| |b| 由 ≥0，－ ≤0，知不等式成立． 2|a| 2 2 ②若|a|>|b|， |a＋b||a－b| 左边＝ 2|a| |a＋b||a－b| |a＋b||a－b| ＝ ≥ |a＋b＋a－b| |a＋b|＋|a－b| ＝ 1 1 1 ＋ |a＋b| |a－b| ，

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.

1.1.1 不等式的基本性质（一）课后导练基础达标1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0D.-1<α-β<1解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,∴-2<α-β<0.答案:A2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( )A.a>c,或b>cB.a>c 且b<cC.a>c 且b>cD.a>c,或b<c解析:∵a>c 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c.答案:C3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )A.x-1>1-yB.x-1>y-1C.x-y>1-yD.1-x>y-x解析:∵x>1>y,∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确;x+(-y)>1+(-y),即C 正确;1+(-x)>y+(-x),即D 正确.故选A.答案:A4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<n<-mD.m<-n<-m<n解析:∵n>0,m+n<0,∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.∴m<-n<n<-m.故选C.答案:C5若0<a<b<1,m=log a b,n=log b a,p=a1log b,则( )A.p<m<nB.p<n<mC.m<n<pD.n<m<p解析:m>0,m,n 互为倒数,易得m<1<n,而p=-m<0.答案:A综合运用6已知a<b<c,且a+b+c=0,则b 2-4ac 与0的大小关系是__________.解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0.答案:b 2-4ac>07下列命题中真命题的个数为( )①若a>b,且a,b 同号,则a 1<b 1 ②若a 1>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥bc ⇒c≥0 ④若a>b,n∈N *⇒a 2n+1>b 2n+1A.1B.2C.3D.4解析:①∵a,b 同号,∴ab 1>0.由a>b,两边同乘ab 1得ab b ab a >,即b 1>a 1,亦即a 1<b 1,因此①是真命题. ②由a 1>1可知a>0,给a1>1两边同乘a 得1>a,综合得0<a<1,故②是假命题. ③ac≥bc,即c·(a -b)≥0,当a-b=0时,c 可取任意实数,特别地,当a=b=0时,c 可取负数,因此③是假命题.④由a>b 可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.若a>b≥0,则由性质(5)知a 2n+1>b 2n+1;若a≥0>b,则a 2n+1≥0>b 2n+1;若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,即-b 2n+1>-a 2n+1,即是a 2n+1>b 2n+1,因此④是真命题.答案:B8设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x∈R ,则A,B 的大小关系是____________.解析:A-B=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.答案:A≥B9若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>by a x ,成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)若⎩⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x ①②由式②知(x-a)与(y-b)同号;又由式①得(x-a)+(y-b)>0.∴x -a>0,y-b>0,即x>a,y>b.故充分性成立.(2)若⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧>>.0,0,,b y a x b y a x 则 ∴⎩⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x .故必要性成立. 综合(1)(2)知,应选C.答案:C拓展探究10某顾客第一次在商店买x 件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?解析:依题意⎪⎩⎪⎨⎧=-+≥)2(,21208)(10()1(,1x y x y 由②得y=)10(15)40()151102(++=-+x x x x x ≥1, ∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).∴x 2+25x-150≥0.∴(x+30)(x -5)≥0.∵x+30>0,∴x -5≥0,即x≥5.答:第一次至少买5件商品.备选习题11若x<y<0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小.解析:(用作差法比较)(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)=(x-y)［(x 2+y 2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).∵x<y<0,∴xy>0,x -y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).12令0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) A.21 B.a C.2ab D.a 2+b2 解析:由题意,0<a<21<b<1,则a<2ab. 又由2ab≤2)(2b a +≤a 2+b 2, 得a<2ab<21<a 2+b 2. 答案:D13给出函数f(x)=x 2,对任意x 1,x 2∈R +,且x 1≠x 2,试比较21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小关系.解析:∵21［f(x 1)+f(x 2)］-f(221x x +) =21 (x 12+x 22)-(221x x +)2=21x 12+21x 22-41x 12-41x 22-21x 1x 2 =41x 12+41x 22-21x 1x 2 =41(x 1-x 2)2>0, ∴21［f(x 1)+f(x 2)］>f(221x x +). 14若a<b<0,则下列不等式中,不能成立的是( ) A.a 1>b1 B.|a|>|b| C.a 2>b2 D.b a -1>a 1 解析:∵b a -1-a 1=)()()(b a a b b a a b a a -=---<0,∴应选择D. 答案:D15设a>0,且a≠1,试比较21log a t 与log a 21+t 的大小. 解析: 21log a t-log a 21+t =log a t -log a 21+t =log a 12+t t . ∵t+1-t 2=(t -1)2≥0, ∴t+1≥t 2.∴0<12+t t ≤1. (1)当0<a<1时,log a12+t t ≥0, ∴有21log a t≥log a 21+t (当且仅当t=1时取“=”). (2)当a>1时,log a12+t t ≤0, ∴有21log a t≤log a 21+t (当且仅当t=1时取“=”). 16若a,b,m,n 均为正数,且m+n=1,试比较nb ma +与b n a m +的大小. 解析:由已知nb ma +>0,b n a m +>0, (nb ma +)2-(b n a m +)2=ma+nb-m 2a-n 2b-ab mn 2=m(1-m)a+n(1-n)b-ab mn 2=mna+mnb-ab mn 2 =mn(a+b-ab 2)=mn(b a -)2. 因为m,n,a,b 均为正数，所以（nb ma +）2≥(b n a m +)2, 所以nb ma +≥b n a m +.。

高中数学 1-2-1 绝对值三角不等式知能达标演练新人教A版选修4-5

第二节绝对不等式第1绝对值三角不等式一、选择题1．若集合A＝{||2－1|0}＝错误!∴A∩B＝错误!0，则①|a＋b|>|a| ②|a＋b||a－b|这四个式子中正确的是．A．①②B．①③C．①④D．②④答案 C3．如果存在实数，使co α＝错误!＋错误!成立，那么实数的集合是．A．{－1,1} B．{|0，或＝－1} D．{|≤－1，或≥1}解析由|co α|≤1，所以错误!≤1又错误!＝错误!＋错误!≥1∴错误!＋错误!＝1，当且仅当||＝1时成立，即＝±1答案 A4．函数＝|＋1|＋|－2|的最小值及取得最小值时的值分别是．A．1，∈[－1,2] B．3,0C．3，∈[－1,2] D．2，∈[1,2]解析运用含绝对值不等式的基本性质有|＋1|＋|－2|＝|＋1|＋|2－|≥|＋1＋2－|＝3当且仅当＋12－≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤≤2答案 C二、填空题5．已知|a＋b|＜－ca、b、c∈R，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c其中一定成立的不等式是________注：把成立的不等式的序号都填上．解析∵|a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c，∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立，|a|－|b|＜|a＋b|＜－c，∴|a|＜|b|－c，④成立．答案①②④6．函数＝|＋2|－|－2|的最大值是________．解析＝|＋2|－|－2|≤|＋2－＋2|＝4答案 47．2022·江西高考对于实数，，若|－1|≤1，|－2|≤1，则|－2＋1|的最大值为________．解析|－2＋1|＝|－1－2－1|≤|－1|＋|2－2＋2|≤1＋2|－2|＋2≤5，即|－2＋1|的最大值为5答案 58．若|－4|＋|＋5|>a对于∈R均成立，则a的取值范围为__________．解析∵|－4|＋|＋5|＝|4－|＋|＋5|≥|4－＋＋5|＝9∴当a<9时，不等式对∈R均成立．答案－∞，9三、解答题9．已知|＋1|<错误!，|－2|<错误!，|＋3|<错误!，求证：|＋2＋|<ε证明|＋2＋|＝|＋1＋2－2＋＋3|≤|＋1|＋|2－2|＋|＋3|＝|＋1|＋2|－2|＋|＋3|<错误!＋错误!＋错误!＝ε∴|＋2＋|<ε10．已知|A－a|＜错误!，|B－b|＜错误!，|C－c|＜错误!求证：|A＋B＋C－a＋b＋c|＜证明|A＋B＋C－a＋b＋c|＝|A－a＋B－b＋C－c|≤|A－a＋B－b|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|∵|A－a|＜错误!，|B－b|＜错误!，|C－c|＜错误!，∴|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜错误!＋错误!＋错误!＝11．已知f＝a2＋b＋c，且当||≤1时，|f|≤1，求证：1|c|≤1；2|b|≤1证明1由|f0|≤1，得|c|≤12由|f1|≤1，得|a＋b＋c|≤1，由|f－1|≤1，得|a－b＋c|≤1，∴|b|＝错误!≤错误!|a＋b＋c|＋|a－b＋c|≤1。

高中数学 1.2.1绝对值三角不等式课件新人教A版选修45

例2 设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求 |a|＋|b|的最大值．
解析(jiě xī)：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－栏
1|≤1＋1＝2，
目链
接
|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋
2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.
第一(dìyī)讲不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式 1．2.1 绝对值三角不等式
第一页，共19页。
栏目链接
第二页，共19页。
1．理解绝对值的几何意义．
2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明(zhèngmíng)以
下不等式：
栏
目
链
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
接
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
第三页，共19页。
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第四页，共19页。
1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也
称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普
通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．栏目在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表链接
示的数的绝对值．
即|x|＝ x0，，xx＞＝00，，－x，x＜0.
栏目链接
第九页，共19页。
题型一利用绝对值三角(sānjiǎo)不等式证明不等式
例1 若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证(qiúzhèng)：c＜a.
证明(zhèngmíng)：由|a－b|＞c及|b－c|＜a得
栏
c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝
目链
接
|a－c|＝|c－a|.

高中数学第一章不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式教案新人教A版选修45

1.2.1 绝对值三角不等式课堂探究1．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的．题型一绝对值三角不等式的性质【例1】若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①⎪⎪⎪⎪⎪⎪x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1； ④|x |lg n n ＋1＜5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1. 其中，能够成立的有______．解析：∵0＜n n ＋1＜1，∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴①②可能不成立；当x ＝－6时，可知③不成立；由|x |lg n n ＋1＜0,5⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg n n ＋1＞0，可知④成立．答案：④反思一个不等式成立与否，取决于影响不等号的因素，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都会对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，对于一个不等式是否成立也就比较好判断了.题型二用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋bx 2＜2. 故原不等式成立．反思分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键.题型三绝对值三角不等式的综合应用【例3】已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数．证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.又在[－1,1]上u ＞0，故lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16 ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －16＝13， ∴－13≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤13. 由(1)的结论，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 710，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝lg 1310， ∴lg 710≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －16－⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋16≤lg 1310. 此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键．。

高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 2_1 绝对值三角不等式课后练习 新人教A版选修4-5

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