2011年高考总复习数学(大纲版)提能拔高限时训练：44 空间距离(练习+详细答案)
【数学】2011年高考总复习数学(大纲版)提能拔高限时训练：椭圆(练习+详细答案)
提能拔高限时训练35一、选择题1.已知A(0,b),点B 为椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线与x 轴的交点.若线段AB 的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为（ ） A.3 B.23 C.33 D.43解析:由已知,得B(0,2c a -),又A(0,b), ∴AB 的中点C 为)2,2(2b c a -. ∵点C 在椭圆上,∴,3.14142222=∴=+c a c a 即33=e . 答案:C2.椭圆1422=+y x 的左、右两个焦点分别为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,已知一个交点为P,则|PF 2|等于（ ） A.23B.3C.27D.4解析:方法一:设F 1(3-,0),F 2(3,0), 则点P 的横坐标为3-.由点P 在椭圆上,得,14)3(22=+-y ∴,21±=y 即|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a=4,∴|PF 2|=27. 方法二:由已知得a=2,c=3,e=23, 椭圆的右准线方程为3342==c a x .∵.27||,23)3(334||22=∴=+--PF e PF 答案:C3.设F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.]22,0( B.]33,0( C.)1,22[ D.)1,33[解析:如图,设右准线与x 轴的交点为H,则|PF 2|≥|HF 2|.又∵|F 1F 2|=|PF 2|, ∴|F 1F 2|≥|HF 2|,即2c≥c ca -2. ∴3c 2≥a 2.∴e 2≥31,即e≥33. 又∵e<1,∴e ∈［1,33). 答案:D4.设点P(-3,1)在椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线上,过点P 且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ） A.33 B.31 C.22D.21解析:入射光线所在直线的方程为y-1=25-(x+3),它与直线y=-2的交点为)2,59(--.又反射光线过点(-c,0),∴1,255902==+---c c . 又3,3,322==-=-a a ca , ∴33=e . 答案:A5.设椭圆12222=+by a x (a>b>0)与x 轴正半轴的交点为A,和y 轴正半轴的交点为B,P 为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB 的面积最大值为（ ） A.2ab B.ab 22C.21abD.2ab解析:方法一:设P(acosθ,bsinθ),则S 四边形OAPB =S △OAP +S △OBP =)cos (sin 21cos 21sin 21θθθθ+=+ab ba ab . ∵sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)≤2, ∴S 四边形OAPB ≤22ab. 方法二:设点P(x,y),则S 四边形OAPB =S △AOP +S △BOP =).(212121bx ay bx ay +=+ 由不等式性质:a>0,b>0时,.2222)(21,2222222222ab b a x b y a bx ay b a b a ==+≤++≤+得方法三:如图,直线AB 的方程为),(0a x a b y --=-S 四边形OAPB =S △AOB +S △APB =ab 21+S △APB . 设点P 到直线AB 的距离为d,则S △APB =d b a d AB ∙+=∙2221||21, 由题意,知过点P 的直线与椭圆相切且和直线AB 平行时d 有最大值,∴可设过点P 且与AB 平行的直线为m x aby +-=.联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,1,2222b y a x m x ab y 得2b 2x 2-2mabx+a 2(m 2-b 2)=0,Δ=(-2mab)2-8a 2b 2(m 2-b 2)=0, 解得b m 2=.由两平行线间的距离公式,得,)12(22b a ab d +-=S △APB 最大值=ab 212-, ∴S 四边形OAPB 最大值=ab 22. 答案:B6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆1422=+y x 交于A 、B 两点,点P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为21的点P 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析:可求出直线l′:2x+y -2=0.由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,14,02222y x y x 解得x=0或x=1.∴A(0,2),B(1,0),|AB|=5. ∴点P 到AB 的距离为51. 由AB 所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x 0,y 0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+,515|22|,14002020y x y x 解之有两组解.故存在两个不同的P 点满足题意. 答案:B 7.椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2Y x (φ为参数)的离心率为（ ）A.32 B.135 C.35D.132 解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得,1)3()2(22=+yx 即19422=+y x . ∴a 2=9,b 2=4,即a=3,b=2. ∴c 2=a 2-b 2=5,c=5. ∴35==a c e . 答案:C8.设e 为椭圆)2(1222->=-m m y x 的离心率,且e ∈(1,22),则实数m 的取值范围为（ ） A.(-1,0) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(-2,21-) 解析:∵椭圆方程为1222=-+my x , ∵m>-2且-m>0, ∴0<-m<2.∴a 2=2,b 2=-m,即.,2m b a -== ∴c 2=a 2-b 2=2+m,m c +=2,)1,22(22∈+==m a c e .解得m ∈(-1,0). 答案:A9.若AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦,F 1为椭圆的右焦点,则△F 1AB 面积的最大值为（ ）A.6B.12C.24D.48解析:由已知得F 1为(3,0),则△F 1AB 可看成由△OBF 1和△OAF 1组成. 设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0). ∴111O AF O BF AB F S S S ∆∆∆+==||||21||||210101y OF y OF ∙+-∙ =||3||321200y y =⨯⨯⨯.由椭圆的定义,知|y 0|≤b=4, ∴.121≤∆AB F S 答案:B10.已知椭圆192522=+y x ,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于P 点,设=λ1,=λ2BF ,则λ1+λ2的值为（ ）A.259-B.950-C.950 D.259 解析:设直线AB 的方程为y=k(x-c),则02)()()0(1222222222222222=-+-+⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=>>=+b a c k a x ck a x b k a c x k y b a b y a x ,∴222222b k a ck a x x B A +=+, 22222222b k a b a c k a x x B A +-=,BBA A x c x x c x -+-=+21λλ=BA B A BA B A x x x x c c x x x x c ++--+)(2)(2=121)(2222222222-=-=--=-e ac c a a b a . ∵,54=e ∴λ1+λ2=950-. 答案:B 二、填空题11.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ,则m 的值为___________. 解析:分两种情况.焦点在x 轴上时,0<m<5, ∴51055=-=m e ,解得m=3; 焦点在y 轴上时,m>5, ∴,5105=-=mm e 解得325=m . 答案: 3或32512.(理)在△ABC 中,AB=BC,cosB=187-.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=____________. 解析:∵以A 、B 为焦点的椭圆经过点C, ∴BCAC ABe +=.∵AB=BC,∴ABAC ABe +=.又1872cos 222-=∙-+=BC AB AC BC AB B , ∴18722222-=-AB AC AB ，解得AB AC 35=. ∴83=e . 答案:83(文)在△ABC 中,∠A=90°,tanB=43.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,又∵∠A=90°,∴|BC|=5x.由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x, 那么2c=|AB|=4x,∴2184===x x a c e . 答案:2113.已知A 、B 为椭圆C:1122=++my m x 的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且∠APB 的最大值是32π,则实数m 的值是______________. 解析:由椭圆知识,知当点P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值,根据题意则有.2113tan=⇒+=m mm π答案:2114.椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2,点P 为椭圆上的动点.当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是__________.解析:若∠F 1PF 2=90°,设P(x,y),则由椭圆方程得a=3,b=2,52322=-=c . ∴F 1(5-,0),F 2(5,0). ∴15521-=-∙+=∙x yx y k k PF PF . ①又14922=+y x . ② 解①②得x=±553. 结合椭圆图形可得,当∠F 1PF 2为钝角时,553553<<-x . 答案：553553<<-x 三、解答题15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l 与x 轴相交于点A,且｜OF ｜=2｜FA ｜,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率;(2)设∙=0,求直线PQ 的方程.解:(1)由题意,设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x . 由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧-==-),(2,2222c c a c c a 解得a=6,c=2.∴椭圆的方程为12622=+y x ,离心率36==a c e . (2)由(1)知A(3,0),设直线PQ 的方程为y=k(x-3),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+).3(,12622x k y y x 得(3k 2+1)x 2-18k 2x+27k 2-6=0. 依题意Δ=12(2-3k 2)>0, ∴3636<<-k . 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1+x 2=13627,1318222122+-=+k k x x k k ,由直线PQ 的方程,得y 1y 2=k(x 1-3)·k(x 2-3) =k 2［x 1x 2-3(x 1+x 2)+9］. ∵OQ OP ∙=0, ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴0]91318313627[136272222222=++⨯-+-++-k k k k k k k . 整理得5k 2=1, ∴)36,36(55-∈±=k . ∴直线PQ 的方程为55±=y (x-3), 即035=--y x 或035=-+y x .16.(理)已知菱形ABCD 的顶点A,C 在椭圆x 2+3y 2=4上,对角线BD 所在直线的斜率为1.(1)当直线BD 过点(0,1)时,求直线AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(1)由题意得直线BD 的方程为y=x+1. ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD. 设直线AC 的方程为y=-x+n.由⎩⎨⎧+-==+,.4322n x y y x 得4x 2-6nx+3n 2-4=0. ∵A,C 在椭圆上, ∴Δ=-12n 2+64>0,解得334334<<-n . 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=23n ,,443221-=n x x y 1=-x 1+n,y 2=-x 2+n. ∴y 1+y 2=2n ,AC 的中点坐标为)4,43(nn . 由四边形ABCD 为菱形可知,点)4,43(nn 在直线y=x+1上.∴1434+=nn ,解得n=-2. ∴直线AC 的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. (2)∵四边形ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, ∴|AB|=|BC|=|CA|. ∴S 菱形ABCD =2||23AC . 由(1)知|AC|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=.21632+-n ∴S 菱形ABCD =).334334)(163(432<<-+-n n ∴当n=0时,S 菱形ABCD 取得最大值34.(文)已知△ABC 的顶点A,B 在椭圆x 2+3y 2=4上,C 在直线l:y=x+2上,且AB ∥l.(1)当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC=90°,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程. 解:(1)因为AB ∥l,且AB 边通过点(0,0), 所以AB 所在直线的方程为y=x. 设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由⎩⎨⎧==+,,4322x y y x 得x=±1.所以|AB|=2|x 1-x 2|=22.又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离,所以h=2,S △ABC =2||21=∙h AB . (2)设AB 所在直线的方程为y=x+m.由⎩⎨⎧+==+,,4322m x y y x 得4x 2+6mx+3m 2-4=0.因为A,B 在椭圆上,所以Δ=-12m 2+64>0.设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则443,2322121-=-=+m x x m x x . 所以|AB|=2|x 1-x 2|=26322m -. 又因为BC 的长等于点(0,m)到直线l 的距离,即|BC|=2|2|m -, 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m 2-2m+10=-(m+1)2+11.所以当m=-1时,AC 边最长.(这时Δ=-12+64>0)此时AB 所在直线的方程为y=x-1.【例1】已知椭圆M 的两焦点坐标分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率21=e ,P 是椭圆M 上的动点. (1)求椭圆M 的方程;(2)设||||21PF -=m,求m 的取值范围. (3)求21PF ∙的取值范围. 解:(1)由已知得c=1,21=a c ,∴a=2,b=3, 即椭圆M 的方程为13422=+y x . (2)设P 点的坐标为(x 0,y 0),则x 0∈［-2,2］,又||1PF =e(x 0+c a 2)=a+ex 0, ||2PF 002)(ex a x ca e -=-=,∴m=||||21PF PF -=2ex 0=x 0∈［-2,2］. (3)∵||||21PF PF -=m,||||21PF PF +=4, ∴||1PF =24m +, ||2PF =24m -. ||||2121PF PF ∙=∙cos 〈||1PF ,||2PF 〉 =||21221222121PF PF ∙ =21)|||||(|2212221F F PF -+ =48]2)24()24[(212222+=--++m m m . 又m ∈［-2,2］,∴21PF ∙∈［2,3］.【例2】已知椭圆12222=+by a x (a>b>0),长轴两端点为A 、B,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120°,求这个椭圆的离心率的范围.解:如图,根据椭圆的对称性,不妨设Q 在x 轴上方,设Q 点坐标为(x 0,y 0),直线QA 、QB 的斜率分别为k 1、k 2.又A(-a,0)、B(a,0),由于直线QA 到直线QB 的角是120°, ∴311120tan 000000002112-=+∙-++--=+-=︒ax y a x y a x y a x y k k k k , 整理得32202200-=+-y a x ay . ① ∵点Q 在椭圆上,∴1220220=+by a x ,即)1(220220b y a x -=,代入①得22032c ab y =. ∵0<y 0≤b,∴0<b c ab ≤2232,即ab c 232≥.∴3c 4≥4a 2(a 2-c 2),即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0. 故3e 4+4e 2-4≥0,∴322≥e .又e<1,∴136<≤e .。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：双曲线(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练35双曲线一、选择题1.设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 …（ ） A.25B.210C.215D.5 解析:设|AF 2|=t(t>0),则|AF 1|=3t.∴|AF 1|-|AF 2|=2t=2a.又t 2+(3t)2=4c 2, ∴210=a c . 答案:B2.设双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的离心率为3,且它的一条准线与抛物线y 2=4x 的准线重合,则此双曲线的方程为（ ） A.1241222=-y x B.1964822=-y x C.132322=-y x D.16322=-y x 解析:∵3==ac e ,∴a c 3=. 而12-=-c a ,∴12=ca . ∴a=3,c=3.∴b 2=c 2-a 2=9-3=6. 故双曲线的方程为16322=-y x . 答案:D3.设a>1,则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值X 围是（ ） A.(2,2)B.(2,5)C.(2,5)D.(2,5)解析:,1)11()1(222++=++=aa a a e ∵a>1,∴0<11<a . ∴)4,1()11(2∈+a .∴e∈(2,5). 答案:B4.若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31,则m 等于（ ） A.21B.23C.81D.89 解析:由双曲线第二定义,知e=3.又a=m ,b=1,122+=+=m b a c . ∴,31=+mm 解得m=81. 答案:C5.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点,F 1、F 2是该双曲线的两个焦点.若|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,则△PF 1F 2的面积为（ ） A.63B.12C.123D.24解析:由双曲线定义知||PF 1|-|PF 2||=2.又|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,解得|PF 1|=6,|PF 2|=4.由c 2=13,得|F 1F 2|=2c=213.∵|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴PF 1⊥PF 2. ∴.124621||||212121=⨯⨯=•=∆PF PF S F F 答案:B 6.双曲线1:22221=-by a x C (a>0,b>0)的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2;抛物线C 2的准线为l,焦点为F 2,C 1和C 2的一个交点为M,则||||||||21121MF MF MF F F -等于（ ） A.-1B.1C.21- D.21 解析:设M 到l 的距离为d,由题意得|MF 2|=d,|MF 1|=ed,|MF 1|-|MF 2|=2a,∴ed -d=2a,ac a e ad -=-=2212. ∴1222||||||||221121-=--⨯=-=-a c ac a a c cd ed ed c MF MF MF F F . 答案:A7.(2009某某部分重点中学高三第二次联考)双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值X 围是（ ）A.［42-4,4)B.［42-4,2］C.(42-4,2)D.［42-4,2)解析:设双曲线的方程为12222=-by a x (a>0,b>0), 其中a 2+b 2=c 2,∵2a+2b+2c=8,∴a+b+c=4.∵(a+b)2≤2(a 2+b 2),∴(4-c)2≤2c 2⇒c 2+8c-16≥0⇒c≥42-4或c≤-42-4(负根舍去). 又∵a 2+b 2=c 2,∴a+b>c.而a+b+c=4,∴c<2,即42-4≤c<2.答案:D 8.设双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的半焦距为c,离心率为45.若直线y=kx 与双曲线的一个交点的横坐标恰为c,则k 等于（ ） A.54± B. 53± C.209± D. 259± 解析:由题意,知点(c,kc)在双曲线上, ∴.1)(2222=-b kc a c 又,45=a c ∴259169)25161(16916)(9,1692222222⨯=-⨯=-==c a c k b c k . ∴|209||=k ,即209±=k . 答案:C 9.设F 1、F 2为曲线126:221=+y x C 的焦点,P 是曲线13:222=-y x C 与C 1的一个交点,则||||2121PF PF PF PF •• ） A.41B.31C.32D.31- 解析:C 1为椭圆,222=-=b ac ,∴F 1(-2,0),F 2(2,0). 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,13,1262222y x y x 得四组解,即C 1与C 2有四个交点(关于x 轴、y 轴对称),不妨取第一象限的交点)21,23(P . ∴||||2121PF PF PF PF ••31)210()232()210()232()210)(210()232)(23,2(2222=-+-•-+----+---=. 答案:B10.双曲线1422=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,△F 1PF 2的面积为3,则21PF PF •等于（ ） A.2B.3C.-2D.3-解析:2121=∆PF F S ||||21PF PF ·sin∠F 1PF 2,再由双曲线中焦三角形面积公式,2cot 21221PF F b S PF F ∠=∆知∠F 1PF 2=60°, ∴||||21PF PF 4sin 3221=∠=PF F . ∴||||2121PF PF PF PF =•2214cos 21=⨯=∠•PF F . 答案:A二、填空题11.与椭圆1244922=+y x 有相同焦点,且以x y 34±=为渐近线的双曲线方程为________. 解析:双曲线焦点在x 轴上,且半焦距52449=-=c .又,,34222c b a a b =+=∴a=3,b=4.所求双曲线方程为116922=-y x . 答案:116922=-y x 12.设双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果△PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率e=___________.解析:由题设,|y p |=c a c 2-,即cb c ab 2=,得a=b,又∵双曲线的两条渐近线的夹角为90°,∴e=2.答案:213.过双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的一个焦点作垂直于渐近线的直线,与双曲线的两支都相交,则双曲线的离心率的取值X 围是_______.解析:不妨取渐近线x a b y =,其垂线的斜率为b a -,于是a b b a <-|||, ∴a 2<b 2⇒a 2<c 2-a 2⇒2>a c. 答案:(2,+∞)14.已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x (a>0,b>0且a≠b)的两个焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题:①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x=a 上;②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x=b 上;③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上;④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a,0).其中真命题的代号是_________.(写出所有真命题的代号)解析:设△PF 1F 2的内切圆与△PF 1F 2的三边PF 1,PF 2,F 1F 2相切的切点分别为S 、T 、M,则有|PF 1|-|PF 2|=|PS|+|SF 1|-|PT|-|TF 2|=|SF 1|-|TF 2|=|F 1M|-|MF 2|.又由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2a,∴|F 1M|-|F 2M|=2a.设点M 坐标为(x m ,0),则有(x m +c)-(c-x m )=2a,求得x m =a,即△PF 1F 2的内切圆的圆心在直线x=a 上,且与x 轴相切,∴△PF 1F 2的内切圆过点(a,0).综上所述,正确命题的代号为①④.答案:①④三、解答题15.已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0).(1)求双曲线C 的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B,且OB OA•>2(其中O 为坐标原点),求k 的取值X 围. 解:(1)设双曲线方程为12222=-by a x (a>0,b>0). 由已知得a=3,c=2,∴b=1. 故所求双曲线方程为.1322=-y x (2)将y=kx+2代入1322=-y x ,可得(1-3k 2)x 2-62kx-9=0, 由直线l 与双曲线交于不同的两点,得⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆≠-,0)1(36,03122k k 故k 2≠31且k 2<1.① 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=23126k k -, x 1x 2=2319k--. 由OB OA •>2,得x 1x 2+y 1y 2>2. 而x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+2=(k 2+1)·,13732312623192222-+=+-•+--k k k k k k 于是2137322>-+k k ,解得3312<<k .② 由①②得,1312<<k故k 的取值X 围为(-1,33-)∪(33,1). 16.设双曲线C:1222=-y ax (a>0)与直线l:x+y=1相交于不同的两点A 、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值X 围;(2)设直线l 与y 轴的交点为P,且PA =125PB ,求a 的值. 解:(1)由C 与l 相交于两个不同的点,知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x-2a 2=0.①∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-,0)1(84,012242a a a a 解得0<a<2且a≠1.双曲线的离心率11122+=+=aa a e . ∵0<a<2且a≠1,∴e>26且e≠2, 即离心率e 的取值X 围为)2,26(∪(2,+∞). (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∵P(0,1), PA =125PB ,∴(x 1,y 1-1)=125(x 2,y 2-1). 由此得x 1=125x 2. 由于x 1、x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,∴x 1+x 2=,121217222a a x --=22222112125a a x x x --==,消去x 2,得602891222=--a a . ∵a>0, ∴1317=a .此时满足Δ>0. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】过双曲线C:1222=-m y x 的右顶点A 作两条斜率分别为k 1、k 2的直线AM 、AN 交双曲线C 于M 、N 两点,其中k 1、k 2满足关系式k 1·k 2=-m 2且k 1+k 2≠0,k 1>k 2.(1)求直线MN 的斜率;(2)当m 2=2+3时,若∠MAN=60°,求直线MA 、NA 的方程. 解:(1)双曲线C:1222=-m y x 的右顶点A 坐标为(1,0), 设直线MA 方程为y=k 1(x-1),代入m 2x 2-y 2-m 2=0中,则m 2x 2-k 12(x-1)2-m 2=0,整理得(m 2-k 12)x 2+2k 12x-(k 12+m 2)=0,由根与系数的关系可知x m ·x a =221221mk m k -+, 而x a =1,又k 1k 2=-m 2, ∴212121212121221221k k k k k k k k k k m k m k x M +-=+-=-+=. 于是y m =k 1(x m -1)=2121212112)1(k k k k k k k k k +-=-+-. 同理可知21212k k k k y N +-=,于是有y M =y N , ∴MN∥x 轴,从而直线MN 的斜率k MN =0.(2)∵∠MAN=60°,说明AM 到AN 的角为60°或AN 到AM 的角为60°, 则313121212112=+-=+-k k k k k k k k 或. 又k 1k 2=-(2+3),k 1>k 2, 从而⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=-),32(,332112k k k k 则求得⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧+-==,1,32)32(,12121k k k k 或因此直线MA,NA 的方程为y=x-1,y=-(2+3)(x-1)或y=(2+3)(x-1),y=-(x-1).【例2】双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s≥54c,求双曲线的离心率e 的取值X 围. 解:直线l 的方程为1=+by a x ,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=,同理得到点(-1,0)到直线l 的距离222)1(b a a b d ++=,s=d 1+d 2=.2222c ab b a ab=+ 由s≥54c,得c c ab 542≥,即22225c a c a ≥-. 于是得22215e e ≥-,即4e 4-25e 2+25≤0.解不等式,得.5452≤≤e 由于e>1>0,所以e 的取值X 围是525≤≤e . 【例3】已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.(1)求双曲线C 的方程;(2)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程.解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,∵该直线与圆x 2+(y-2)2=1相切, ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x.故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x , 又∵双曲线C 的一个焦点为(2,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(2)若Q 在双曲线的右支上,则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|;若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T,使|QT|=|QF 1|.根据双曲线的定义知|TF 2|=2,∴点T 在以F 2(2,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x-2)2+y 2=4(x≠0).① 由于点N 是线段F 1T 的中点,设N(x,y),T(x T ,y T ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,2,22T T y y x x ,则⎩⎨⎧=+=.2,22y y x x T T ②把②代入①并整理,得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：随机事件的概率(练习+详细答案)大纲人教版
提能拔高限时训练50随机事件的概率一、选择题1．从存放分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一X 卡片并记下,统计结果如下：卡片 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到为奇数的频率是（ ） A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37 解析：10011186513++++＝0.53,故选A ．答案：A2．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸球,则摸出的两球恰好颜色不同的概率为（ ） A ．256B ．2512C ．53D ．52 解析：由题意,知所求概率251255221312=⨯••=C C C P ,故选B ．答案：B3．从20名男同学、10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．299B ．2910C ．2919D ．2920 解析：由题意,知所求概率29201330310320=+-=C C C P ,故选D ． 答案：D4．小明同学在网易上申请了一个电子信箱,密码由4位数字组成,现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成,但忘记了它们的顺序,那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,则他恰好能输入正确密码进入的概率是（ ） A ．61B ．81C ．121D ．241 解析：由2个6,1个3,1个9这4个数字一共组成2244A A ＝12种不同的密码顺序,因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码,他恰好能输入正确密码进入的概率P ＝121,故选C ． 答案：C5．福娃是2008年第29届奥运会吉祥物,每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成,甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念,按先甲选再乙选的顺序不放回地选择,则在这两位好友所选择的福娃中,“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）A ．101B ．51C ．53D ．54 解析：由题意,知所求概率531415131212==C C C C C P ,故选C ． 答案：C6．在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．511B ．681C ．3061D ．4081 解析：属于古典概型问题,基本事件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3（n －1）（1≤n ≤6）,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B7．如图,三行三列的方阵有9个数a ij （i ＝1,2,3;j ＝1,2,3）,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧333231232221131211a a a a a a a a a A ．73B ．74C ．141D ．1413解析：从中任取三个数共有C 39＝84种取法,没有同行、同列的取法有111213C C C ＝6种,至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-. 答案：D8．从0,1,2,3,4,5,6中任取三个数字组成三位数,然后拿出卡片若干,每一X 卡片上写上一个三位数,最后把所有写着三位数的卡片混合后放在一个箱子里,现从中任取一X 卡片,则卡片上的三位数不大于320的概率是（ ） A ．51B ．18069C ．150109D ．18071 解析：所有卡片数为2616A C ＝180,其中卡片上以1为首位的三位数共有26A X,以2为首位的三位数有26A X,以3为首位,以0,1为十位的三位数有1512A C X,卡片上的三位数不大于320的共有7112151226=++A C A X,所以概率为18071.答案：D9．将7个人（含甲、乙）分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为P,则a 、P 的值分别为（ ）A ．a ＝105,P ＝215B ．a ＝105,P ＝214 C ．a ＝210,P ＝215D ．a ＝210,P ＝214解析：将7个人分成三组按要求有22222437A C C C ＝105种分法,将甲、乙两人分在同一组有两种情况：①在三人一组,这时有22222415A C C C 种情况;②在两人一组,这时有35C 种情况. ∴2151053522222415=+=C A C C C P . 答案：A10．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a ＝（m,n ）与向量b ＝（1,－1）的夹角为θ,则θ∈（0,2π］的概率是（ ） A ．125B ．21C ．127D ．65解析：∵m＞0,n ＞0,∴a ＝（m,n ）与b ＝（1,－1）不可能同向. ∴夹角θ≠0. ∴θ∈（0,2π］⇔a·b ≥0. ∴m－n ≥0,即m ≥n.当m ＝6时,n ＝6,5,4,3,2,1; 当m ＝5时,n ＝5,4,3,2,1; 当m ＝4时,n ＝4,3,2,1; 当m ＝3时,n ＝3,2,1; 当m ＝2时,n ＝2,1; 当m ＝1时,n ＝1. ∴所求概率12766123456=⨯+++++=P .答案：C二、填空题11．将3个不同的小球随意地放入4个不同的盒子内,则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为____________.解析：由题意,知所求概率为834334==A P .答案：83 12．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷一本,共8本,将它们任意地排成一排,左边四本恰好都属于同一本小说的概率是________.（结果用分数表示）解析：由题意,知所求概率为3512884444==A A A P . 答案：35113．在平面直角坐标系中,从六个点：A （0,0）、B （2,0）、C （1,1）、D （0,2）、E （2,2）、F （3,3）中任取三个,则这三点能构成三角形的概率是_________.（结果用分数表示）解析：已知A 、C 、E 、F 共线;B 、C 、D 共线;六个无共线的点生成三角形的总数为36C ;可构成三角形的个数为15333436=--C C C ,所以所求概率为4336333436=--C C C C . 答案：43 14．将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b 、c,则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为___________.解析：一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为b 2≥4C ．b 1 2 3 4 5 6使b 2≥4c 的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19,于是方程有实根的概率为P＝3619. 答案：3619三、解答题15．甲、乙两人用4X 扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一X.（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况. （2）若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少?（3）甲、乙两人约定：若甲抽到的牌面数字比乙大,则甲胜;否则,则乙胜.你认为此游戏是否公平,请说明你的理由. 解：（1）甲、乙两人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2,3）、（2,4）、（2,4′）、（3,2）、（3,4）、（3,4′）、（4,2）、（4,3）、（4,4′）、（4′,2）、（4′,3）、（4′,4）,共12种不同情况.（2）甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的数字比3大的概率为32. （3）由甲抽到的牌比乙大有（3,2）、（4,2）、（4,3）、（4′,2）、（4′,3）共5种,甲获胜的概率为P 1＝125,乙获胜的概率为P 2＝127,∵125＜127,∴此游戏不公平. 16．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.解：（1）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E a ,那么401)(442533==A C A E P A ,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是401. （2）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么101)(442544==A C A E P ,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是109)(1)(=-=E P E P . 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求： （1）两数之和为6的概率;（2）两数之积是6的倍数的概率;（3）以第一次向上的点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y 的点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域的概率. 解：（1）两数之和为6的概率为365.表1（2）此问题中含有36个等可能基本事件,记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A,则由表1可知,事件A 中含有其中的15个等可能基本事件,所以1253615)(==A P . 故两数之积是6的倍数的概率为125.表2（3）此问题中含有36个等可能基本事件,记“点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域”为事件B,则由表2可知,事件B 中含有其中3个等可能基本事件,所以121363)(==B P . 故点（x,y ）在直线x －y ＝3的下方区域的概率为121. 【例2】 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球.已知袋中共有10个球.从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是52;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是97.求： （1）从中任意摸出2个球,得到的都是黑球的概率;（2）袋中白球的个数.解：（1）由题意知,袋中黑球的个数为45210=⨯. 记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件A,则152)(21024==C C A P .（2）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ． 设袋中白球的个数为x,则971)(1)(210210=-=-=-C C B P B P x. 得到x ＝5.。
高考数学课时提能演练(四十四) 7.3
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课时提能演练(四十四)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )(A)A，M，O三点共线(B)A，M，O，A1不共面(C)A，M，C，O不共面(D)B，B1，O，M共面3.(2012·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直②α、β至少有三个公共点③α、β至少有一条公共直线④α、β至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a,P∈α⇒a⊂α②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④5.（2012·厦门模拟）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、C1D1、C1C、A1B1、B1B的中点，则下列判断：（1）PQ与RS共面；（2）MN与RS共面；(3)PQ与MN共面；则正确的结论是（）（A）（1）（2）（B）（1）（3）（C）（2）（3）（D）（1）（2）（3）6.(2012·揭阳模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )(C)1(D)22二、填空题(每小题6分，共18分)7.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_______对．8.（2012·莆田模拟)到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为____.9.(2012·福州模拟)设a,b,c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b,b∥c，则a∥c；②若a⊥b,b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a,b一定是异面直线；⑤若a,b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是__________(只填序号)．三、解答题(每小题15分，共30分)10.（易错题）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．【探究创新】(16分)在长方体ABCD—A′B′C′D′的A′C′面上有一点P(如图所示，其中P 点不在对角线B′D′上).(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由.(2)过P点在平面A′C′内作一直线l′，使l′与直线BD成α角，这样的直线有几条？答案解析1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．2.【解析】选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1,C1,A,C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.∴A，M，O三点共线.3.【解析】选C.由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相交；若公共点不共线，则α、β重合.故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立.4.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错；当a∩β=P时,②错；如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.5.【解析】选B.由已知可知PQ∥RS，PQ与MN必相交，交点在直线CD上，RS与MN 异面，故选B.6.【解析】选B.如图，取AC 中点G ，连FG 、EG ，则 FG ∥C 1C ，FG=C 1C ；EG ∥BC ，EG=12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG FGFE ===. 7.【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线， 则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线 对的直线有4条，分别是A ′B,BC ′,A ′D,C ′D ，正方体 的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有124242⨯=对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)． 答案：248.【解析】设空间不共面的四点为A 、B 、C 、D. 则空间到A 、B 、C 、D 四点距离相等的平面分为两类： ①平面的一侧一点，另一侧三点，这样的平面有4个； ②平面的两侧各两点，这样的平面有3个. 综合上述共有7个符合条件的平面. 答案：79.【解析】由公理4知①正确；当a ⊥b,b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确； 当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a,b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①10.【解题指南】根据公理3，确定两平面的两个公共点即可得到交线．【解析】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F,P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB,∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．11.【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB=C1F∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB=C1G,∵D1C1∥EG，且D1C1=EG,∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1=D1E,∴FB∥D1E，且FB=D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1为菱形．【误区警示】解答本题时，常忽视对四边形EBFD1为平面图形的证明，如证得BE=ED1=D1F=FB后即下结论得到菱形．【探究创新】【解析】(1)连接B′D′，在平面A′C′内过点P作直线l,使l∥B′D′,∵B′D′∥BD,∴l∥BD,∴l即为所求作的直线.π或0时，这样的直线l′有且只有一条；(2)当α=2π且α≠0时，这样的直线l′有两条.当α≠2。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：圆及直线的位置关系(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练33 圆及直线的位置关系一、选择题1.直线xcosθ+ysinθ=r 和圆x 2+y 2=r 2的位置关系为( ) A.相切B.相交C.相离D.随θ的变化而变化 解析：圆心(0,0)到直线的距离为.||cos sin ||22r r d =+=θθ答案：A2.若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x-2)2+y 2=1有公共点,则直线l 的斜率的取值X 围为( ) A.)3,3(- B.]3,3[- C.)33,33(-D.]33,33[- 解析：依题意,设直线l 的方程是y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因此由题意得圆心(2,0)到直线l 的距离不超过该圆的半径,即有11|42|2≤+-k k k ,由此解得.3333≤≤-k 答案：D3.已知圆的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是…( ) A.x 2+y 2-2x-3=0B.x 2+y 2+4x=0 C.x 2+y 2+2x-3=0D.x 2+y 2-4x=0解析：设圆心坐标为(a,0)(a>0),由直线3x+4y+4=0与圆相切,可得圆心到直线3x+4y+4=0的距离25|43|43|43|22=+=++=a a d ,解得a=2或a=314-(舍去), 故所求的圆的方程为(x-2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x=0.故应选D. 答案：D4.经过圆x 2+2x+y 2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( ) A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0解析：由于x 2+2x+y 2=0的圆心坐标为(-1,0),于是过(-1,0)且垂直于直线x+y=0的直线方程为y=x+1. 答案：C5.圆x 2+y 2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( ) A.k∈(2,2-)B.k∈(3,3-)C.k∈(-∞,2-)∪(2,+∞)D.k∈(-∞,3-)∪(3,+∞)解析：由圆x 2+y 2=1与直线y=kx+2没有公共点得圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离大于半径1,即1122>+k ,由此解得33<<-k .答案：B6.已知直线ax+by+c=0与圆O:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且AB=3,则OB OA •等于( ) A.21B.23C.21- D.23-解析：OBOA •=|OA||OB|cos∠AOB=21(|OA|2+|OB|2-|AB|2)=212311-=-+(余弦定理).答案：C7.若直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点,且∠POQ=120°(其中O 为原点),则k 的值为( )A.3-或3B.3C.22或-D.2解析：如图所示,过O 作OS⊥PQ 于S,由∠POQ=120°,结合图形可求得圆心O 到直线y=kx+1的距离|OS|=21,再由点到直线的距离公式,得21112=+k ,解得k=±3,故选A. 答案：A 8.(理)若圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值X 围是( ) A.]4,12[ππ B.]125,12[ππ C.]3,6[ππ D.]2,0[π 解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2,2),半径为32,因为圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22,所以圆心到直线的距离小于或等于2,即2|22|22≤++b a b a ,,0422≤++b ab a ,3232,014)(2+-≤≤--≤+•+b ab a b a,3232+≤-≤-ba ,32tan 32+≤≤-θ.12512πθπ≤≤答案：B(文)圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 ……( ) A.36B.18C.26 D.25解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是圆的直径等于32×2=62.故选C.答案：C9.从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A.πB.2πC.4πD.6π解析：把圆转化为标准方程为x 2+(y-6)2=9. 如图所示,设圆心为C,切线为OA 、OB. ∵OC=6,AC=3,∴∠AOC =6π. ∴∠ACO=3π.∴∠ACB=32π.∴劣弧AB 的长为32π×3=2π. 答案：B 二、填空题10.(2009某某某某调研,文16)已知圆C:x 2+y 2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C 上,则a=_________. 解析：∵圆C:x 2+y 2+2x+ay-3=0(a 为实数)的圆心为C(-1,2a -), 且圆C 上任意一点关于直线l 的对称点都在圆C 上, ∴点C(-1,2a-)在直线l 上. ∴0221=++-a.∴a=-2. 答案：-211.若直线3x+4y+m=0与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2,cos 1y x (θ为参数)没有公共点,则实数m 的取值X 围是____________.解析：圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1, ∴15|5|169|83|>-=++-m m ,解得m<0或m>10.答案：m<0或m>1012.已知圆C 的圆心C 与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB|=6,则圆C 的方程为_________.解析：设圆C 的半径是R,点C 的坐标是(m,n),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-,12221,121m n m n ,由此解得m=0,n=-1,即点C 的坐标是(0,-1),R 2=18]5|11)1(403|[)26(22=--⨯+⨯+,所以圆C 的标准方程是x 2+(y+1)2=18.答案：x 2+(y+1)2=1813.直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A,B,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为______________.解析：由已知条件得圆心坐标为(-1,2),圆心与AB 中点连线的斜率101121-=---=k ,连线与AB 垂直,故直线l 的斜率k 1·k 1=-1,即k 1=1,故l 的方程为y-1=1·(x -0),整理,得x-y+1=0. 答案：x-y+1=0 三、解答题14.已知m∈R ,直线l:mx-(m 2+1)y=4m 和圆C:x 2+y 2-8x+4y+16=0. (1)求直线l 斜率的取值X 围.(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧?为什么? 解：(1)直线l 的方程可化为14122+-+=m mx m m y , 直线l 的斜率12+=m mk ,因为|m|≤)1(212+m ,所以211||||2≤+=m m k ,当且仅当|m|=1时等号成立.所以斜率k 的取值X 围是]21,21[-.(2)不能.由(1)知l 的方程为y=k(x-4),其中21||≤k , 圆C 的圆心为C(4,-2),半径r=2, 则圆心C 到直线l 的距离212kd +=.由21||≤k ,得154>≥d ,即2r d ≥.从而,若l 与圆C 相交,则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于32π, 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧. 15.在平面直角坐标系xOy 中,设二次函数f(x)=x 2+2x+b(x∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为C. (1)某某数b 的取值X 围; (2)求圆C 的方程;(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.解：(1)显然b≠0,否则,二次函数f(x)=x 2+2x+b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0),(-2,0),这与题设不符.由b≠0知,二次函数f(x)=x 2+2x+b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0,b),故它与x 轴必有两个交点,从而方程x 2+2x+b=0有两个不相等的实数根, 因此方程的判别式4-4b>0,即b<1. 所以b 的取值X 围是(-∞,0)∪(0,1).(2)由方程x 2+2x+b=0,得x=-1±b -1.于是二次函数f(x)=x 2+2x+b 的图象与坐标轴的交点是)0,11(),0,11(b b ++----(0,b).设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因圆C 过上述三点,将它们的坐标分别代入圆C 的方程,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+-+-+-=+---+---.0,0)11()11(,0)11()11(222F Eb b F b D b F b D b 解上述方程组,因b≠0,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==.),1(,2b F b E D所以圆C 的方程为x 2+y 2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圆C 过定点.证明如下:假设圆C 过定点(x 0,y 0)(x 0,y 0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C 的方程,并变形为x 02+y 02+2x 0-y 0+b(1-y 0)=0.(*)为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b 都成立,必须有1-y 0=0,结合(*)式,得x 02+y 02+2x 0-y 0=0. 解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.1,21,00000y x y x 或经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆C 上. 因此圆C 过定点.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】求通过直线l:2x+y+4=0与圆C:x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且有最小面积的圆的方程. 解法一:由⎩⎨⎧=+-++=++,0142,04222y x y x y x得5x 2+26x+33=0, 所以x 1=-3,x 2=511-. 设l 与圆C 的交点为A 和B,则A(-3,2),)52,511(-B . 由题意,过A 、B 两点且面积最小的圆应以AB 为直径.于是圆心),56,513(-,542516254)5256()511513(222=+=-++-=r 故圆的方程为54)56()513(22=-++y x .解法二:设所求圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+k(2x+y+4)=0, 即［x+(k+1)］2+(y+54)58(454445)24(222+-=+-=-+k k k k y . 要使圆面积最小,只要半径r 2最小. 当58=k 时,r 2取最小值为54,故该圆的方程为.54)56()513(22=-++y x 点评:与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0有公共弦(弦所在直线为Ax+By+C=0)的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.【例2】已知圆x 2+y 2+8x-6y+21=0与直线y=mx 交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,求OQOP •的值.解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则OP =(x 1,y 1),OQ =(x 2,y 2),联立⎩⎨⎧=+-++=02168,22y x y x mx y 消去y,得 (m 2+1)x 2+(8-6m)x+21=0,∴,1212221+=m m x x 又y 1y 2=m 2x 1x 2=,12122+m m ∴OQ OP •=x 1x 2+y 1y 2=.21121121222=+++m m m。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：平面与平面的平行、垂直(练习+详细解析)大纲人教版.doc
提能拔高限时训练41 平面与平面的平行、垂直一、选择题1.平面α∥平面β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a、b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析：对于A、B、C,α与β可相交.故选D.答案：D2.若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ解析：对于A,如图,m∥α,故A为假命题;对于B,可令一三棱柱的三侧面分别为α、β、γ,则α、β相交;对于D,β与γ可能平行,也可能垂直;对于C,利用线面平行性质及面面垂直判定定理可求解.答案：C3.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:β∩γ=l,m∥l,m⊂α,则必有（）A.l∥αB.α∥γC.m∥β且m∥γD.m∥β或m∥γ解析：但若m为α与β的交线或为α与γ的交线,则不能同时有m∥β,m∥γ.答案：D4.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥β;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,m⊂α,则m∥β.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析:m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,①不正确;②中缺条件m与n是两条相交直线,∴②不正确;m∥α,n⊂α,则m∥n或m与n异面,③不正确;④正确.答案:A5.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等,则l1、l2互相平行;④若直线l1、l2是异面直线,则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：该题考查了立体几何中的公理、判定定理、性质定理以及推论等.①假命题:譬如正方体ABCD —A′B′C′D′中AB 和A′D′都与AA′垂直,但它们是垂直关系;②假命题:譬如正方体ABCD —A′B′C′D′中平面AB′和平面AD′都与平面AC 垂直,但它们是相交关系;③假命题:譬如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等,但它们都相交,不平行;④假命题:譬如正方体ABCD —A′B′C′D′中AB 和A′D′是一对异面直线,直线AA′与直线A′D′分别与AB 和A′D′都相交,但它们是相交关系.故选D. 答案：D6.对于直线m 、n 和平面α,下列命题中的真命题是( ) A.如果m ⊂α,n ⊄α,m、n 是异面直线,那么n∥α B.如果m ⊂α,n 与α相交,那么m 、n 是异面直线 C.如果m ⊂α,n∥α,m、n 共面,那么m∥n D.如果m∥α,n∥α,m、n 共面,那么m∥n 解析:∵m、n 共面,m ⊂α,n∥α,∴由m 、n 确定的平面β与α交于m,则m∥n.故选C. 答案：C7.从点P 引三条射线PA 、PB 、PC,每两条的夹角都是60°,则二面角BPAC 的余弦值是…（ ） A.21 B.31C.33D.23解析：如图,取A 1∈PA,作A 1C 1⊥PC,A 1B 1⊥PB,连结B 1C 1,则∠C 1A 1B 1为二面角BPAC 的平面角,设PC 1=a,∵∠BPA=∠APC=∠BPC=60°, ∴A 1C 1=23a=A 1B 1,B 1C 1=a. ∴cos∠C 1A 1B 1=3121111211211211=•-+B A C A C B B A C A .答案：B8.已知m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面.下列命题中正确的是( )A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β 解析：由线面垂直的性质定理知选B. 答案：B9.设直线m 与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) A.在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：用排除法排除A、C、D.答案：B10.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β解析：由α∥β,b⊥β,所以b⊥α.因为a⊂α,所以b⊥a.答案：C二、填空题11.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下列命题中正确命题的序号是______________.①a⊥α,a⊥b,则b∥α;②a⊥α,a⊥β,则α∥β;③a∥b,a⊥c,则b⊥c;④a∥β,b⊥β,则a⊥b;⑤a⊥α,a∥b,b⊂β,则α⊥β;⑥a⊥b,b⊥c,则a∥c.解析：对于①,可能有b⊂α;对于⑥,a、c可能相交或异面;易知②③正确;对于④,若a∥β,则在β中必有直线c,使a∥c,故b⊥β时有b⊥c,进而a⊥b;对于⑤,a⊥α,a∥b⇒b⊥α,又b⊂β,故α⊥β.答案：②③④⑤12.平面ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD这五个平面中,互相垂直的平面有_____________对.解析：如图,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平面APD,共5对.答案：513.已知直线m⊥平面α,直线n⊂平面β,给出下列四个命题:①若α∥β,则m⊥n;②若α⊥β,则m∥n;③若m∥n,则α⊥β;④若m⊥n,则α∥β.其中正确命题是___________________.(把你认为正确命题的序号都填上)解析：m⊥α,n⊂β,若α∥β,则m⊥β,从而m⊥n,故①正确;若α⊥β,m、n的关系不确定,故②错误;若m∥n,m⊥α,从而n⊥α,n⊂β,则α⊥β,从而③正确;若m⊥n,α、β可能相交,故④错误.答案：①③14.如右图，等边△ABC 的边长为4,D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC′处，使二面角BADC′为60°,则折叠后点A 到直线BC′的距离为__________________；二面角ABC′D 的正切值为___________________________.解析：如右图,作DM⊥BC′,连结AM,则AM 为点A 到直线BC′的距离, AD=32,DM=3,∴AM=1522=+DM AD .二面角ABC′D 的平面角为∠AMD,正切值为tan∠AMD=332=2.答案：15 2三、解答题15.如图,四棱锥P —ABCD 的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E 、F 分别是AB 、PD 的中点,又二面角PCDB 为45°.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求证:平面PEC⊥平面PCD;(3)设AD=2,CD=22,求点A 到平面PEC 的距离. (1)证明:取PC 的中点G,连结EG 、FG.∵F 是PD 的中点,∴FG∥CD 且FG=21CD. 而AE∥CD 且AE=21CD,∴EA∥GF 且EA=GF.故四边形EGFA 是平行四边形,从而EG∥AF. 又AF ⊄平面PEC,EG ⊂平面PEC, ∴AF∥平面PEC.(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影. 又CD⊥AD,∴CD⊥PD,∠PDA 就是二面角PCDB 的平面角. ∴∠ADP=45°,则AF⊥PD. 又AF⊥CD,PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD. 由(1),EG∥AF, ∴EG⊥平面PCD. 而EG ⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.(3)解:过F 作FH⊥P C 交PC 于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,∴FH 为点F 到平面PEC 的距离,而AF∥平面PEC,故FH 等于点A 到平面PEC 的距离. 在△PFH 与△PCD 中,∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC 为公共角, ∴△PFH∽△PCD,PCPFCD FH =. ∵AD=2,CD=22,PF=2,PC=22PD CD +=4,∴FH=42·22=1. ∴点A 到平面PEC 的距离为1.16.（理）如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E 是CD 的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.(1)证明平面PBE⊥平面PAB;(2)求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小.解：(1)证明:如图所示,连结BD,由四边形ABCD 是菱形且∠BCD=60°,知△BCD 是等边三角形. 因为E 是CD 的中点,所以BE⊥CD. 又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因PA⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB. 又BE ⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)延长AD 、BE 相交于点F,连结PF. 过点A 作AH⊥PB 于H,由(1)知平面PBE⊥平面PAB, 所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF 中,取PF 的中点G,连结AG,则AG⊥PF,连结HG,由三垂线定理的逆定理,得PF⊥HG,所以∠AGH 是平面PAD 和平面PBE 所成的二面角的平面角(锐角). 在等腰Rt△PAF 中,AG=22PA=2. 在Rt△PAB 中,AH=5525222==+•=•AB AP AB AP PBABAP ,在Rt△AHG 中,sin∠AGH=5102552==AG AH . 故平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小是arcsin510. （文）如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E 是CD 的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)证明平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角ABEP 的大小.解：(1)证明:连结BD,由四边形ABCD 是菱形且∠BCD=60°,知△BCD 是等边三角形. 因为E 是CD 的中点,所以BE⊥CD. 又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD, 所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知BE⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB, 所以PB⊥BE. 又AB⊥BE,所以∠PBA 是二面角ABEP 的平面角. 在Rt△PAB 中,tan∠PBA=3=ABPA,∠PBA=60°. 故二面角ABEP 的大小是60°. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,CC 1=2.(1)求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.(1)证明:由于BC 1∥AD 1,则BC 1∥平面ACD 1. 同理,A 1B∥平面ACD 1,所以平面A 1BC 1∥平面ACD 1.(2)解:设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d,则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离. 易求A 1C 1=5,A 1B=52,BC 1=13, 则cos∠A 1BC 1=652.从而sin∠A 1BC 1=6561,S △A1BC1=61. 由于V D1—A1BC1=V B —A1C1D1,则31S △A1BC1·d=31(21·A 1D 1·C 1D 1)·BB 1, 代入求得d=616112, 即(1)中两个平行平面间的距离等于616112. (3)解:由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分,所以点B 1与点D 1到平面A 1BC 1的距离相等,故由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. 【例2】已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面边长及侧棱长均相等,AB⊥CB 1,且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC.(1)求证:平面ABC 1⊥平面CBB 1C 1;(2)求侧棱B 1B 与底面ABC 所成角的大小.剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB 1);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角. (1)证明:∵四边形BB 1C 1C 是菱形, ∴CB 1⊥C 1B.又∵AB⊥CB 1,AB∩C 1B=B, ∴CB 1⊥平面ABC 1. 而CB 1 平面CBB 1C 1,∴平面ABC 1⊥平面CBB 1C 1.(2)解:作B 1D⊥AB 于D,连结CD.∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC,而平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB, ∴B 1D⊥面ABC.∴∠B 1BD 就是侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角. 又∵CB 1⊥AB, ∴其射影CD⊥AB. 而△ABC 是正三角形, ∴BD=21AB=21B 1B. ∴∠B 1BD=60°,即侧棱B 1B 与底面ABC 所成的角为60°.【例3】 已知四棱锥P —ABCD,底面ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E 为AB 中点,点F 为PD 中点. (1)证明平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角PABF 的平面角的余弦值. (1)证明:连结BD, ∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ADB 为等边三角形. ∵E 是AB 中点, ∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABCD,AB ⊂平面ABCD, ∴AB⊥PD.∵DE ⊂平面PED,PD ⊂平面PED,DE∩PD=D, ∴AB⊥平面PED. ∵AB ⊂平面PAB,∴平面PED⊥平面PAB.(2)解:∵AB⊥平面PED,PE ⊂平面PED, ∵AB⊥PE, 连结EF,∴EF ⊂平面PED. ∴AB⊥EF.∴∠PEF 为二面角PABF 的平面角. 设AD=2,那么PF=FD=1,DE=3,在△PEF 中,PE=7,EF=2,PF=1, ∴cos ∠PEF=147572212)7(22=⨯-+,即二面角PABF 的平面角的余弦值为1475.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：单元检测—极限(练习+详细解析)大纲人教版
单元检测(十三) 极限(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.542lim 221-+-+→x x x x x 等于( ) A.21 B.1 C.52 D.41 解析：2152lim )1)(5()1)(2(lim 542lim 11221=++=-+-+=-+-+→→→x x x x x x x x x x x x x . 答案：A2.极限)(lim 0x f x x →存在是函数f(x)在点x=x 0处连续的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：f(x)在x=x 0处连续)(lim 0x f x x →⇒存在,)(lim 0x f x x →存在f(x)在x=x 0处连续.∴)(lim 0x f x x →存在为f(x)在x=x 0处连续的必要不充分条件.答案：B3.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,111--+=n n n a a a ,且已知此数列有极限,则∞→n lim a n 等于( )A.-2B.-1C.0D.1∞→n lim解析：由n n a ∞→lim 存在,知1lim lim -∞→∞→=n n n n a a ,令b a n n =∞→lim ,∵111--+=n n n a a a ,∴1111lim 1lim 1lim lim -∞→-∞→--∞→∞→+=+=n n n n n n n n n a a a a a .∴bbb +=1,b=0.∴∞→n lim a n =0.答案：C 4.21)1(lim=+++∞→an n a n ,则a 的值为( )A.1B.-1C.±1D.2 解析：采取“上下同除以一个数”的方法.a nan a n a n n n a n n +=+++=++•+=∞→∞→1111lim1)1(lim 原式. 由题意,知1+a=2,因此a=1.选A.答案：A 5.函数极限0ln ln lim0x x x x x x --→的值为( )A.20x B.02x C.021x D.021x 解析：000000ln ln lim21ln ln lim 21lim ln ln lim0000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=--•=--→→→→, 令y=lnx,则0ln ln lim|00x x x x y x x x x --=='→=,∵xy 1=',∴01|0x y x x =='=.∴000021121ln ln lim 0x x x x x x x x =•=--→. 答案：C6.x=1是函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<=1,,1,0,1,)(3x x x x x x f 的( )A.连续点B.无定义点C.不连续点D.极限不存在的点 解析：1)(lim 1=+→x f x ,1)(lim 1=-→x f x , ∴1)(lim 1=→x f x .但f(1)=0,∴)1()(lim 1f x f x ≠→.答案：C7.)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ++++++++∞→ 等于( ) A.3 B.31 C.61D.6 解析：∵2243422423332242322n n n C C C C C C C C C C C +++=++++=++++31+==n C ,2)1)(2()(1141312-+=++++n n nC C C C n n ,∴312)2)(1(6)1()1(lim 2)2)(1(lim )(lim 3111413122242322=+--+=+-=++++++++∞→+∞→∞→n n n n n n n n n C C C C C n C C C C n n n nn n . 答案：B8.若数列{a n }满足311=a ,且对任意正整数m,n 都有a m+n =a m ·a n ,则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于( ) A.21 B.32 C.23D.2 解析：由a m+n =a m ·a n ,得212a a =,31213a a a a ==,…,n n a a 1=,∴{a n }是以311=a 为首项,公比31=q 的等比数列. ∴211)(lim 121=-=+++∞→q a a a a n n . 答案：A9.在等比数列{a n }中,a 1＞1,且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→,那么a 1的取值X 围是( ) A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)解析：由题意,知qq a S n n --=1)1(1,∵11lim a S n n =∞→,∴⎪⎩⎪⎨⎧=-<.11,1||11a q a q ∴q a -=11.∴211<<a .答案：D10.设正数a,b 满足4)(lim 22=-+→b ax x x ,则n n n n n ba ab a 2lim 111++--+∞→等于( ) A.0 B.41 C.21D.1 解析：∵b a b a b ax x x =⇒=-+⇒=-+→24244)(lim 22,∴21=b a .∴412)21(121)21(lim 2)(1)(lim 2lim 111=++=++=++∞→∞→--+∞→nn n n n n nn n n n a a b a a b a ba ab a ab a ,选B. 答案：B11.若21333lim 321=+++→x ax x x ,则a 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1解析：2461333lim321=+=+++→a x ax x x ,∴a=2. 答案：C12.函数y=f(x)在x=x 0处连续,且2)(lim 2-=-→a x f x x ,12)(lim 0+=+→a x f x x ,其中a ＞0,则f(x 0)等于( )A.-1B.7C.-1或7D.3 解析：∵函数f(x)在x=x 0处连续, ∴)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→,即a 2-2=2a+1. ∵a ＞0,∴a=3. ∴f(x 0)=7. 答案：B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在数列｛a n ｝中，a 1=9,且对任意大于1的正整数n,点),(1-n n a a 在直线x-y-3=0上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________________________.解析：由题意,得31=--n n a a , ∴}{n a 是等差数列. ∴n n a a n 33)1(1=⨯-+=.∴a n =9n 2.∴9)11(9lim )1(9lim )1(lim2222=+=+=+∞→∞→∞→nn n n a n n n n . 答案：9 14.=--→πππx xx x cos )(lim____________________.解析：ππππππππ2cos )(cos )(lim cos )(lim-=+=+=--→→x x x x xx x x . 答案：-2π15.如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1,又连结△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2,如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2、…,这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M 的坐标是________________________.解析：由条件结合图象可知，三角形的顶点都在△ABC 的三条中线上，由极限知识知M 点的坐标是△ABC 的重心，∴)32,35(即为所求. 答案：)32,35(16.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnC n )1(1+,就得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可看出rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++,其中x=___________.令221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++=- ,则=∞→n n a lim __________.1121213161314112112141512013012015161301601601301617142110511401105142171…… 解析：令n=3,r x r C C C 233314141=+.当r=1时,231413413⨯=+⨯x C ,12112161413=-=rC , ∴33=xC .∴x=1,2.当r=2时,314141323=+x C C . ∴4112312131413==-=xC . ∴13=xC .∴x=3.归纳x=r+1.利用裂项求和求极限求出n n a ∞→lim 的值.答案：r+121 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知f(x)=a ·b x(a,b 为常数)的图象经过点)81,1(P 和Q(4,8). (1)求f(x)的解析式;(2)记a n =log 2f(n),n ∈N *,S n 是数列{a n }的前n 项和,求13lim2+∞→n S nn .解：(1)∵f(x)的图象经过点)81,1(P 和Q(4,8),∴⎪⎩⎪⎨⎧==,8,814ab ab ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,321b a ∴522524321)(--=⨯=x x x f . (2)a n =log 2f(n)=log 222n-5=2n-5. ∵a n+1-a n =2(n+1)-5-(2n-5)=2,∴{a n }是以-3为首项,公差为2的等差数列. ∴n n n n S n 42)523(2-=-+-=.∴31134lim 13lim222=+-=+∞→∞→n n n n S n n n .18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,其中)12(-=n n S a n n 且311=a .(1)求a 2、a 3;(2)猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法加以证明; (3)求n n S ∞→lim .解：(1)由323122⨯+=a a ,得5312⨯=a ,由3111⨯=a ,5312⨯=a ,得535313133⨯+⨯+=a a ,得7513⨯=a . (2)猜想)12)(12(1+-=n n a n .证明：①当n=1时,显然成立. ②假设n=k 时,猜想成立,即)12)(12(1+-=k k a k ,则n=k+1时,)12)(1(11++=++k k S a k k ,得S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,同时12)12(+=-=k ka k k S k k . 两式相减,得12)12)(1(111+-++=-=+++k k a k k S S a k k k k ,即12)32(1+=++k ka k k k .∴)32)(12(11++=+k k a k ,即n=k+1时,猜想成立.(3)]12)(12(1531311[lim lim +-++⨯+⨯=∞→∞→n n S n n n21)1211(21lim )1211215131311(21lim=+-=+--++-+-=∞→∞→n n n n n . 19.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,且有41)2(lim 1=-+∞→n n q q a ,求首项a 1的取值X 围. 解：∵41)2(lim 1=-+∞→n n q q a , ∴0＜|q|＜1或q=1.当0＜|q|＜1时,即有0＜|4a 1-2|＜1.解之,得43411<<a ,211≠a ； 当q=1时,41)13(lim 1=-∞→a n ,即41131=-a ,得4151=a .故a 1的取值X 围为43411<<a 且211≠a 或4151=a . 20.(本小题满分12分)在边长为l 的等边△ABC 中,⊙O 1为△ABC 的内切圆,⊙O 2与⊙O 1外切,且与AB 、BC 相切,…,⊙O n+1与⊙O n 外切,且与AB,BC 相切,如此无限继续下去,记⊙O n 的面积为a n (n∈N *).(1)证明{a n }是等比数列;(2)求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.(1)证明：记r n 为⊙O n 的半径,则l r 6330tan 211=•= ,2130sin 11==+--- n n n n r r r r , ∴131-=n n r r (n ≥2). 于是122211l r a ππ==,91)(211==--n n n n r r a a , 故{a n }成等比数列. (2)解：∵11)91(a a n n -=,∴323911)(lim 2121l a a a a n n π=-=+++∞→ .21.(本小题满分12分)已知公比为q(0＜q ＜1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9,无穷等比数列}{2n a 各项的和为581. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q;(2)对给定的k(k=1,2,…,n),设T (k)是首项为a k ,公差为2a k -1的等差数列,求数列T (2)的前10项之和;(3)设b i 为数列T (i)的第i 项,S n =b 1+b 2+…+b n ,求S n ,并求正整数m(m ＞1),使得mnn n S ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限)解：(1)依题意,可知⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.32,358119112211q a q a q a(2)由(1),知1)32(3-⨯=n n a ,所以数列T (2)的首项为t 1=a 2=2, 公差d=2a 2-1=3,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列T (2)的前10项之和为155.(3)),1()32)(12(3)1()12()12)(1(1---=---=--+=-i i i a i a i a b i i i i i2)1()32)(4518(45--+-=n n n S n n , m n m m n m n n nn n n n n n S 2)1()32(451845lim lim --+-=∞→∞→. 当m=2时,21lim -=∞→m n n n S ,当m ＞2时,0lim =∞→m nn nS ,所以m=2.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项a 1=5,前n 项和为S n ,且S n+1=2S n +n+5(n ∈N *). (1)证明数列{a n +1}是等比数列;(2)令f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,求函数f(x)在点x=1处的导数f ′(1),并比较2f ′(1)与23n 2-13n 的大小.(1)证明：由已知S n+1=2S n +n+5,∴n ≥2时,S n =2S n-1+n+4.两式相减,得S n+1-S n =2(S n -S n-1)+1,即a n+1=2a n +1. 从而a n+1+1=2(a n +1). 当n=1时,S 2=2S 1+1+5, ∴a 1+a 2=2a 1+6. 又a 1=5,∴a 2=11. 从而a 2+1=2(a 1+1).故总有a n+1+1=2(a n +1),n ∈N *. 又∵a 1=5,∴a n +1≠0. 从而2111=+++n n a a ,即{a n +1}是以a 1+1=6为首项,2为公比的等比数列.(2)解：由(1)知a n =3×2n-1.∵f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n,∴f ′(x)=a 1+2a 2x+…+na n x n-1, 从而f ′(1)=a 1+2a 2+…+na n=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n ×2n)-(1+2+…+n)=3［n ×2n+1-(2+ (2))］2)1(+-n n =3(n ×2n+1-2n+1+2)2)1(+-n n62)1(2)1(31++-•-=+n n n n .由上,知2f ′(1)-(23n 2-13n)=12(n-1)·2n -12(2n 2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2n-(2n+1)］.(*) 当n=1时,(*)式=0,∴2f ′(1)=23n 2-13n; 当n=2时,(*)式=-12＜0,∴2f ′(1)＜23n 2-13n; 当n ≥3时,n-1＞0,又1222)11(2110+>+≥++++=+=-n n C C C C nn n n n n n n ,∴(n-1)［2n-(2n+1)］＞0,即(*)＞0,从而2f ′(1)＞23n 2-13n.〔或用数学归纳法：n ≥3时,猜想2f ′(1)＞23n 2-13n.由于n-1＞0,只要证明2n＞2n+1.事实上,①当n=3时,23＞2×3+1.不等式成立.②设n=k 时(k ≥3),有2k＞2k+1,则2k+1＞2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1). ∵k ≥3, ∴2k-1＜0.从而,2k+1＞2(k+1)+1+(2k-1)＞2(k+1)+1,即n=k+1时,亦有2n＞2n+1.综合①②,知2n ＞2n+1对n ≥3,n ∈N *都成立.∴n ≥3时,有2f ′(1)＞23n 2-13n.〕综上,n=1时,2f ′(1)=23n 2-13n;n=2时,2f ′(1)＜23n 2-13n;n ≥3时,2f ′(1)＞23n 2-13n.。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：抽样方法与总体分布的估计(练习+详细答案)大纲人教版
提能拔高限时训练53 抽样方法与总体分布的估计一、选择题1．一个容量为n 的样本,分成若干组,已知某组的频率和频数分别为0.125和40,则n 的值为（ ）A ．640B ．320C ．240D ．160 解析：∵样本容量频数频率=,∴样本容量320125.040==n .故选B ． 答案：B则第6组的频率为（ ）A ．0.14B ．14C ．0.15D ．15解析：运用频率、频数的定义,注意它们的区别以及频率范围,易知频数为15,则频率为0.15.故选C ． 答案：C3．为了了解一批电器的质量技术参数,现从中抽取100件电器进行检测,这个问题中的样本是（ ）A ．这批电器的技术参数B ．100件电器C ．100D ．抽取的100件电器的技术参数 解析：样本指抽取的100件电器的技术参数,而不是这100件电器. 答案：D4．在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性（ ） A ．与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性要大些 B ．与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等 C ．与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性大些D ．与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽到的可能性不一样解析：在简单随机抽样过程中,某一个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关. 答案：B5．某林场有树苗30 000棵,其中松树苗4 000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为（ ）A ．30B ．25C ．20D ．15 解析：在总体中,松树所占比重为152000300004=,故样本中松树也占152,也就是150×152＝20（棵）.答案：C 6．从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为002125 D ．都相等且为401解析：抽样的原则是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7．一工厂生产了某种产品18 000件,它们来自甲、乙、丙3个车间,现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查.已知从甲、乙、丙3个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列,则这批产品中乙车间生产的产品件数是（ ）A ．9 000B ．4 500C ．3 000D ．6 000 解析：∵从甲、乙、丙3个车间抽取产品的件数恰好组成一个等差数列, ∴甲、乙、丙三个车间的产品数成等差数列.设产品数分别为a 1、a 2、a 3,则a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝18 000,a 2＝6 000, 故选D ． 答案：D8．某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 解析：∵307210=, ∴从高三学生中抽取的人数应为1030300=. 答案：A9．根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图,从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）A ．48米B ．49米C ．50米D ．51米 解析：由频率分布直方图,知水位为50米的组距频率为1%,即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米. 答案：C10．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒;……;第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,45 解析：成绩小于17秒的人数的百分比为（0.02＋0.18＋0.36＋0.34）×1＝0.9; 成绩大于等于15秒且小于17秒的人数为（0.36＋0.34）×1×50＝35. 答案：A 二、填空题11．某学校共有师生2 400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本.已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是_____________. 解析：教师的人数为2 400×160150160 ＝150.答案：15012．为了了解某市参加高考体检的学生的体能状况,经抽样调查1 000名男生的肺活量（mL ）,得到如下频率分布直方图,根据图形,可得这1 000名学生中肺活量在［3 000,3 600）的学生人数是______________.解析：300×0.000 5＋300×0.001＝0.45,1 000×0.45＝450. 答案：45013．利用简单随机抽样的方法,从n 个个体（n ＞13）中抽取13个个体,若第二次抽取时余下的每个个体被抽到的概率为31,则在整个抽样过程中,各个个体被抽取到的概率为_______.解析：由题意得311113=--n , ∴n＝37.∴各个个体在整个抽样过程中被抽到的概率为3713. 答案：3713 14．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79,而剩下三组的频数成公比大于2的整数的等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为_____________.解析：已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79＝0.21,进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.由已知知前七组的累积频数为0.79×100＝79, 故后三组共有的频数为21，依题意211)1(31=--∙qq a ,a 1（1＋q ＋q 2）＝21. ∴a 1＝1,q ＝4.∴后三组频数最高的一组的频数为16. 答案：16 三、解答题 15．在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图（如下图）.已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列各题.（1）本次活动共有多少件作品参加评比? （2）哪组上交的作品数量最多?有多少件?（3）经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪一组获奖率较高? 解：（1）依题意可算出第三组的频率为511464324=+++++.设共有n 件作品,则5112=n , ∴n＝60（件）.（2）由题中直方图可看出第四组上交作品数量最多,共有1820660=⨯（件）.（3）第四组获奖率为951810=, 第六组获奖率为9632201602==⨯, ∴第六组获奖率较高.（1）列出频率分布表; （2）画出频率分布直方图;（3）估计电子元件寿命在100 h ～400 h 以内的概率.（3）由频率分布表可以看出,寿命在100 h ～400 h 的电子元件出现的频率为0.65,故我们估计电子元件寿命在100 h ～400 h 的概率为0.65. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________.解析：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x,则在第16组中应抽出的号码为120＋x. 设第1组抽出的号码为x,则第16组应抽出的号码是8×15＋x ＝126, ∴x＝6. 答案：6【例2】某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为___________.解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取. ∵120∶16∶24＝15∶2∶3,又共抽出20人, ∴各层抽取的人数分别为20×2015＝15人，20×202＝2人，20×203＝3人. 答案：15、2、3。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：棱柱、棱锥与球(练习+详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练45棱柱、棱锥与球一、选择题1.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( ) A.43B.23C.2D.3解法一:过O 作OO′⊥平面ABC,O′是垂足,则O′是△ABC 的中心,则O′A=r=2. 又因为∠AOC=θ=3π,OA=OC,知OA=AC ＜2O′A. 又因为OA 是Rt△OO′A 的斜边, 故OA ＞O′A.所以O′A＜OA ＜2O′A. 因为OA=R,所以2＜R ＜4. 因此,排除A 、C 、D.故选B.解法二:在正△ABC 中,应用正弦定理,得AB=2rsin60°=23. 因为∠AOB=θ=3π,所以侧面AOB 是正三角形,得球半径R=OA=AB=23. 解法三:因为正△ABC 的外径r=2,故高AD=23r=3,D 是BC 的中点. 在△OBC 中,BO=CO=R,∠BOC=3π,所以BC=BO=R,BD=21BC=21R.在Rt△ABD 中,AB=BC=R, 所以由AB 2=BD 2+AD 2,得R 2=41R 2+9. 所以R=23. 答案:B2.已知球O 的半径是1,A 、B 、C 三点都在球面上,A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π,B 、C 两点的球面距离是3π,则二面角BOAC 的大小是( ) A. 4πB. 3πC. 2πD. 32π解析:由题意知在三棱锥O —ABC 中, ∠AOB=∠AOC=4π,∠BOC=3π,则BC=1. 作BD⊥AO,连结DC,则∠BDC 为所求二面角BOAC 的平面角. ∵S △AOB =21OB·OA·sin 4π=21·AO·BD, ∴BD=22. 同理,DC=22,由勾股定理可知△BDC 为直角三角形. ∴所求的二面角的大小为90°,选C. 答案:C3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B. 23C.2D.3解析:由题意,知截面与棱的交点为棱AD 的中点,设为E 点,∴EC=3,EF 为△EBC 的高,F 为BC 的中点.∴EF=222=-FC EC ,S=21BC×EF=2.答案:C4.如图,O 是半径为1的球的球心,点A 、B 、C 在球面上,OA 、OB 、OC 两两垂直,E 、F 分别是大圆弧与的中点,则点E 、F 在该球面上的球面距离是…( )A.4πB. 3πC. 2πD.42π解析:∵E、F 分别为圆弧、的中点,故∠AOE=∠AOF=4π.通过E 、F 两点分别作AO 的垂线,根据图形的对称性,易知垂足重合,设为H 点, 则HF=EH=22R,在等腰Rt△EHF 中,EF=R,则△EOF 为正三角形. 故球心角∠EOF=3π,可求得点E 、F 的球面距离为3π,选B. 答案:B5.如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心O,且与BC 、DC 分别交于E 、F,如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为S 1、S 2,则必有( )A.S 1＜S 2B.S 1＞S 2C.S 1=S 2D.S 1、S 2的大小关系不能确定 解析:设内切球半径为R,∵V A —BEFD =31(S △ABD +S △ABE +S △ADF +S 四边形BEFD )×R=V A —EFC = 31(S △AEC +S △ACF +S △ECF )×R, 即S △ABD +S △ABE +S △ADF +S 四边形BEFD =S △AEC +S △ACF +S △ECF , 两边同加S △AEF ,得S 1=S 2.故选C. 答案:C6.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点.将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起,使A 、B 重合于点P,则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )A.2734πB. 26πC.86πD.246π答案:C7.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,AA 1=1,则顶点A 、B 两点间的球面距离是( ) A.22πB.2πC.π22 D.π42 解析:由题意,易知球心O 是长方体对角线AC 1的中点.因为AB=2,AC 1=22,AO=OB=2,所以△AOB 是等腰直角三角形. 故球心角θ=2π, 所以A,B 两点间的球面距离为θR=22π. 答案:C8.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( ) A.38πB.328π C.82πD.332π解析:S 圆=πr 2=π⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1, ∴球的半径为R=22d r + =2. ∴V=34πR 3=328.故选B.答案:B9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:①弦AB 、CD 可能相交于点M;②弦AB 、CD 可能相交于点N;③MN 的最大值为5;④MN 的最小值为1.其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案:C 二、填空题10.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为89,底面周长为3,则这个球的体积为___________. 解析:设底面正六边形的边长为a,球的直径为2R,棱柱的高为h,由已知a=21,6×43×(21)2×h=89⇒h=3,因为h 2+(2a)2=(2R)2, 所以2R=2,R=1. 故所求球的体积V=34πR 3=34. 答案:3411.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_________.解析:设三棱锥为S —ABC,则依题意,知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直,且SA=SB=SC=3,AB=BC=CA=6.设球的半径为R,则由题意,可得(R-1)2+(2)2=R 2,∴R=23.则外接球的表面积为S=4πR 2=9π. 答案:9π12.在体积为43π的球的表面上有A 、B 、C 三点,AB=1,BC=2,A 、C 两点间的球面距离为33π,则球心到平面ABC 的距离为_____________.解析:如图,由343R π=43π⇒R=3.又因为A 、C 两点间的球面距离为=|α|R,所以|α|R=33π⇒α=3π. 所以|AB|=R=3.又因为AB=1,BC=2,所以AB⊥BC.所以AC 是△ABC 所在圆的直径.设其圆心为O′,则圆O′的半径r=O′C=O′A=2AC=23. 所以球心到平面ABC 的距离为直线222222)23()3(''-=-=-=r R C O OC OO 23433=-=. 答案:23 13.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的各顶点都在球O 的球面上,其中AB∶AD∶AA 1=1∶1∶2, A 、B 两点间的球面距离记为m,A 、D 1两点间的球面距离记为n,则nm的值为___________ 解析:依题意知,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体对角线等于球O 的直径2R,因为AB∶AD∶AA 1=1∶1∶2,所以可设AB=AD=a,AA 1=2a(a ＞0),则a 2+a 2+2a 2=4R 2,所以a=R.所以AB=AD=R,AA 1=2R,则球心角∠AOB=3π,∠AOD 1=32π.所以A 、B 两点间的球面距离m=3πR,A 、D 1两点间的球面距离n=32πR,所以n m =21.答案:21三、解答题14.如图所示,四棱锥A —BCDE 中,AD⊥底面BCDE,AC⊥BC,AE⊥BE.(1)求证:A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上; (2)若∠CBE=90°,CE=3,AD=1,求B 、D 两点间的球面距离.解:(1)∵AD⊥底面BCDE, ∴AD⊥BC,AD⊥BE. 又∵AC⊥BC,AE⊥BE, ∴BC⊥CD,BE⊥ED.∴B、C 、D 、E 四点共圆,即BD 为此圆的直径. 取BD 的中点M,AB 的中点N,连结MN,则MN∥AD.∴MN⊥底面BCDE,即N 的射影是圆的圆心M,有AM=BM=CM=DM=EM,五点共球且直径为AB. (2)若∠CBE=90°,则底面四边形BCDE 是一个矩形,连结DN. ∵CE=3,AD=1,∴BD=3,MN=21. ∴R=BN=1,∠BNM=3π,∠BND=32π.∴圆周角α=32π.∴B、D 两点间的球面距离是l=|α|·R=32π. 15.如图,在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠A 1AB=∠A 1AC,AB=AC,A 1A=A 1B=a,侧面B 1BCC 1与底面ABC 所成的二面角为120°,E、F 分别是棱B 1C 1、A 1A 的中点.(1)求A 1A 与底面ABC 所成的角; (2)证明A 1E∥平面B 1FC;(3)求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的体积.解:(1)过A 1作A 1H⊥平面ABC,垂足为H,连结AH,并延长交BC 于点G,连结EG,于是∠A 1AH 为A 1A 与底面ABC 所成的角.∵∠A 1AB=∠A 1AC,∴AG 为∠BAC 的平分线. 又∵AB=AC,∴AG⊥BC,且G 为BC 的中点.因此,由三垂线定理,得A 1A⊥BC. ∵A 1A∥B 1B,且EG∥B 1B, ∴EG⊥BC.于是∠AGE 为二面角ABCE 的平面角, 即∠AGE=120°.由四边形A 1AGE 为平行四边形, 得∠A 1AG=60°.所以A 1A 与底面ABC 所成的角为60°.(2)设EG 与B 1C 的交点为P,则点P 为EG 的中点,连结PF.在AGEA 1中,因为F 为A 1A 的中点,故A 1E∥FP.而FP ⊂平面B 1FC,A 1E ⊄平面B 1FC, 所以A 1E∥平面B 1FC.(3)连结A 1C,在△A 1AC 和△A 1AB 中, 由于AC=AB,∠A 1AC=∠A 1AB,A 1A=A 1A, 则△A 1AC≌△A 1AB,故A 1C=A 1B. 由已知得A 1A=A 1B=A 1C=a. 又∵A 1H⊥平面ABC, ∴H 为△ABC 的外心.设所求球的球心为O,则O∈A 1H,且球心O 与A 1A 中点的连线OF⊥A 1A. 在Rt△A 1FO 中,3330cos 21cos 111a aH AA F A O A ==∠= , 故所求球的半径R=33a, 球的体积V=34πR 3=34π(33a)3=2734πa 3.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的.已知正四面体的顶点都在球面上,球的直径为12 cm,则正四面体的棱长为__________cm,球心到正四面体各面的距离为____________cm.解析：设正四面体的棱长为a cm,球的半径为正四面体高的43, ∴6=3643⨯,得a=46cm. 又∵球心到各面的距离为高的41,即41×36×46=2 cm.答案：46 2【例2】 如图,水平地面上有一个大球,现有如下方法测量球的大小:用一个锐角为45°的三角板,斜边紧靠球面,一条直角边紧靠地面,并使三角板与地面垂直,P 为三角板与球的切点,如果测得PA=2,则球的表面积为.解析：设球心为O,半径为R,B 为另一个切点,∠PAB=135°,∠POB=45°,由余弦定理,得R 2+R 2-2R·Rcos45°=22+22-2×2×2cos135°, 整理,得R 2(1-22)=22·(1+22), R 2=22×2222-+=4(3+22),4πR 2=16π×(3+22)=(48+322）π,故填(48+322)π. 答案：(48+322)π。
2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：不等式性质、算术平均数与几何平均数(练习 详细解析)大纲人教版
提能拔高限时训练26 不等式性质、算术平均数与几何平均数一、选择题1.“a+b＞2c”的一个充分非必要条件是（ ）A.a ＞c 或b ＞cB.a ＞c 且b ＜cC.a ＞c 且b ＞cD.a ＞c 或b ＜c解析：由不等式基本性质，知a ＞c 且b ＞c ⇒a+b ＞2c,∴C 项是a+b ＞2c 的充分非必要条件. 答案：C2.若a ＜b ＜0,下列不等式不成立的是（ ） A.b a 11> B.ab a 11>- C.|a|＞|b| D.a 2＞b 2 解析：方法一:(特殊值法)令a=-2,b=-1,则11-=-b a ,211-=a ,故选B. 方法二:(排除法)a ＜b ＜0⇒⇒<ab b ab a b a 11>, a ＜b ＜0⇒-a ＞-b ＞0⇒|a|＞|b|,a ＜b ＜0⇒-a ＞-b ＞0⇒a 2＞b 2.故知不成立的是B.方法三:(应用不等式性质)∵a＜b ＜0,∴a -b ＜0.∵-b ＞0,∴a -b ＞a.又∵(a -b)·a＞0, ∴ba a ->11. 答案：B3.若a,b∈R ，则使|a|+|b|＞1成立的一个充分不必要条件是（ ）A.|a+b|≥1B.|a|≥21且|b|≥21 C.b ＜-1 D.a≥1解析：对于A,取21=a ,21=b ,则|a+b|=1,但|a|+|b|=1,∴|a+b|≥1|a|+|b|＞1.同理|a|≥21且|b|≥21|a|+|b|＞1.而b ＜-1,则|b|＞1,∴|a|+|b|＞1;但反过来不成立.而在D 中,取a=1,b=0,则可知a≥1|a|+|b|＞1.故选择C. 答案：C4.0＜a ＜1,a F 2=,G=1+a,aH -=11,那么F 、G 、H 中最小的是（ ） A.F B.G C.H D.不能确定 解析：直接法:易证H ＞G ＞F.间接法:取81=a ,得三者的大小关系. 答案：A5.若|x-a|＜m,|y-a|＜n,则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|＜2mB.|x-y|＜2nC.|x-y|＜n-mD.|x-y|＜m+n解析：由绝对值不等式的性质可得|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x -a|+|y-a|＜m+n.答案：D6.如果a ＜0,b ＞0,那么,下列不等式中正确的是（ ） A.ba 11< B.b a <- C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析：∵a＜0,b ＞0,∴01<a ,01>b .∴b a 11<. 答案：A7.若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>>b y a x ,是⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：若⎩⎨⎧>>,,b y a x 则⎩⎨⎧>->-.0,0b y a x由同向不等式相加、相乘运算性质,得⎩⎨⎧>-->-+-,0))((,0b y a x b y a x 即⎩⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x 故充分性成立.若⎩⎨⎧>--+>+②b y a x ①b a y x ,0))((,由②式知,x-a 与y-b 同号,又由①式得(x-a)+(y-b)＞0,∴x -a ＞0,y-b ＞0,即x ＞a 且y ＞b,故必要性也成立.答案：C8.对于0＜a ＜1,给出下列四个不等式:①log a (1+a)＜)11(log a a +;②log a (1+a)＞)11(log a a +;③a 1+a ＜a a 11+;④a 1+a ＞a a 11+. 其中成立的是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④ 解析：∵0＜a ＜1, ∴a 1＞1＞a,1＜1+a ＜a11+. ∵y=log a x 与y=a x 在各自定义域内都单调递减,∴log a (1+a)＞)11(log a a +,a 1+a ＞a a 11+. ∴①③不对,②④正确.答案：D9.已知a,b 都是负实数,则b a b b a a +++2的最小值是（ ） A.65 B.)12(2- C.122- D.)12(2+ 解析：令m=a+2b ＜0,n=a+b ＜0,由此解得a=2n-m,b=m-n,0>mn , 22222-+=-+-=+++nm m n n n m m m n b a b b a a )12(2222-=-∙≥nm m n ,故b a b b a a +++2的最小值是)12(2-. 答案：B10.若x 、y 是正数,则22)21()21(xy y x +++的最小值是（ ） A.3 B.27 C.4 D.29 解析：22)21()21(xy y x +++ 22224141xx y y y y x x +++++= yx x y y y x x +++++=22224141 又14124122=≥+x x ,14124122=≥+y y ,2≥+y x x y , 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===yx x y y y x x ,41,412222时等号成立,即22==y x 时，22)21()21(x y y x +++的最小值为4. 答案：C二、填空题11.设a 、b 是两个实数,给出下列条件:①a+b＞1;②a+b=2;③a+b＞2;④a 2+b 2＞2;⑤ab＞1.其中能推出“a、b 中至少有一个数大于1”的条件是______________.解析：①中a 取21，b 取32时,a+b ＞1,但a 、b 均不大于1，所以①不能推出“a、b 中至少有一个数大于1”.②中a=b=1时满足a+b=2,而不满足a 、b 中至少有一个数大于1的条件,所以②不符合条件.③中不妨设a≥b,则有2a≥a+b＞2,∴a＞1.∴③符合条件.④中取a=-2,b=-1,则a 2+b 2=5＞2,但a ＜1,b ＜1,所以④不符合条件.⑤中取a=-2,b=-1,则ab=2＞1,但a ＜1,b ＜1,∴⑤不符合条件.故填③.答案：③12.如果0＜a ＜b ＜c ＜d ＜e,ed c b a S 1++=,则把变量______________的值增加1会使S 的值增加最大.(填入a,b,c,d,e 中的某个字母)解析：经分析可知,只有将a 、c 增大,才能使S 增大.若a 增加1,则be d c b a e d c b a S 1)1(111+++=+++=, 若c 增加1,则de d c b a e d c b a S 1)1(112+++=+++=. 又0＜b ＜d,则011>>d b , ∴S 1＞S 2.答案：a13.设a ＞0,a≠1,函数)32lg(2)(+-=x xa x f 有最大值,则不等式log a (x 2-5x+7)＞0的解集为________________.解析：要使)32lg(2)(+-=x x a x f 有最大值,则0＜a ＜1,所以log a (x 2-5x+7)＞0, 即⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-,175,07522x x x x ,解得2＜x ＜3. 答案：{x|2＜x ＜3}14.如图，某药店有一架不准确的天平（其两臂长不相等）和一个10克的砝码.一个患者想要买20克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者;然后又将砝码放在右盘中,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者一次实际购买的药量为m(克),则m____________20克.(请选择填“＞”“=”或“＜”)解析：设两次售货员分别在盘中放置m 1克、m 2克药品，则⎪⎩⎪⎨⎧+===③m m m ②a m b ①b m a .,10,102121 由①×②得100ab=m 1m 2·ab,m 1m 2=100,∵m 1≠m 2,∴m=m 1+m 2＞20221=m m .答案：＞三、解答题15.(1)求函数11072+++=x x x y (x ＞-1)的最小值. (2)已知x ＞0,y ＞0,且3x+4y=12.求lgx+lgy 的最大值及相应的x,y 的值.解：(1)∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴14)1(5)1(110722+++++=+++=x x x x x x y 514)1(++++=x x 95)14)(1(2=+++≥x x . 当且仅当141+=+x x ,即x=1时,“=”成立. ∴当x=1时,函数11072+++=x x x y (x ＞-1)的最小值为9. (2)∵x＞0,y ＞0,且3x+4y=12, ∴)4()3(121y x xy ∙=≤3)243(1212=+y x . ∴lgx+lgy=lgxy≤lg3. 当且仅当3x=4y=6,即x=2,23=y 时“=”成立. ∴当x=2,23=y 时,lgx+lgy 取最大值lg3. 16.设x∈R ,比较x+11与1-x 的大小. 解：xx x x +=--+1)1(112. ①当x=0时,即012=+xx , ∴x x-=+111. ②当1+x ＜0,即x ＜-1时,012<+xx , ∴x+11＜1-x. ③当1+x ＞0,且x≠0,即-1＜x ＜0或x ＞0时,xx +12＞0,∴x+11＞1-x. 综上,当x=0时,x x -=+111;当x ＜-1时,x +11＜1-x;当-1＜x ＜0或x ＞0时,x +11＞1-x. 数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架如右图所示,要求∠ACB=60°,BC 长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固,要求AC 的长度越短越好,求AC 最短为多少米?且当AC 最短时,BC 长度为多少米?解：设BC=a(a ＞1),AB=c,AC=b,21=-c b . c 2＝a 2+b 2-2abcos60°, 将21-=b c 代入,得ab b a b -+=-222)21(, 化简,得41)1(2-=-a a b . ∵a＞1,∴a -1＞0.232)1(43)1(14322)1(14122+≥+-+-=-+-+-=--=a a a a a a a b . 当且仅当)1(431-=-a a 时,取“=”，即231+=a 时，b 有最小值32+. 【例2】已知a 、b 是正常数，a+b=10，又x 、y∈R +,且1=+y b x a ,x+y 的最小值为18.求a 、b 的值. 解：yx x y y x y x y x 8210)82)((++=++=+ 1882210=∙+≥yx x y . 当且仅当y x x y 82=时取等号.由⎪⎩⎪⎨⎧==+,4,18222x y y x 解得⎩⎨⎧==.12,6y x∴当x=6,y=12时,x+y 的最小值为18.同理,ab b a yby x ay b a y b x a y x y x 2))((++≥+++=++=+. 由⎩⎨⎧=+=++,10,182b a ab b a 得⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a。
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提能拔高限时训练44 空间距离 一、选择题 1.α、β是两个平行平面,aα,bβ,a与b之间的距离为d1,α与β之间的距离为d2,则( )
A.d1=d2 B.d1＞d2 C.d1＜d2 D.d1≥d2 解析:若a、b为异面直线时,d1=d2,若a∥b时,d1≥d2. 答案:D 2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、BB1的中点,G为棱A1B1
上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为( )
A.3 B.22 C.32 D.55 解析:∵A1B1∥EF,∴A1B1∥平面D1EF. ∴A1到面D1EF的距离等于G到面D1EF的距离. 在面A1ED1中,作A1H⊥ED1,垂足为H. ∵面A1ED1⊥面D1EF,∴A1H⊥面D1EF.
在△A1ED1中,211251HA,
∴551HA. 答案:D 3.如图,四棱锥P—ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则有( ) A.1＜d1＜d2 B.d1＜d2＜1 C.d1＜1＜d2 D.d2＜d1＜1 解析:∵CD∥平面PAB, ∴C到平面PAB的距离等于D到平面PAB的距离. 过D作DE⊥PA,则DE⊥平面PAB.
221DEd.B与D到平面PAC的距离相等.设AC∩BD=O,则平面PDO⊥平面PAC,
∴d2等于D到PO的距离. 可计算332d,∴d2＜d1＜1. 答案:D 4.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则E到平面ABC1D1的距离是…( )
A.23 B.22 C.21 D.33 解析:∵A1B1∥平面ABC1D1, ∴点B1到平面ABC1D1的距离等于点E到平面ABC1D1的距离.∴22h. 答案:B 5.如右图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P,它到直线A1B1与到直线AD的距离相等,则动点P所在曲线形状为(图中实线部分)( ) 解析:由已知,得点P到点A的距离等于点P到直线A1B1的距离,∴点P的轨迹为以A为焦点,A1B1为准线的抛物线在正方形ABB1A1内的部分. 答案:C 6.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一个各棱都相等的四面体,四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上,碳原子位于该四面体的中心,它与每个氢原子的距离都是a.若将碳原子和氢原子均视为一个点,则任意两个氢原子之间的距离为( )
A.a34 B.a362 C.a27 D.a938 解析:设A在平面BCD上的射影为E,O在AE上,
∵VA—BCD=4VO—BCD, ∴AE=4OE. ∵AO=a,
∴aAE34.
设AD=x,则xED33, ∴222)33()34(xax.∴ax362. 答案:B 7.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M为AB中点,将△ACM沿CM折起,使A、B间的距离为22,则M到面ABC的距离为( )
A.362 B.2 C.1 D.2 解析:从点M作面ABC的垂线.如图,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有MA=MB=MC=2,从而点M在面ABC上的射影一定在AB和BC的中垂线上,即△ABC的外心.而由AC2+AB2=4+8=12=BC2,知△ABC是直角三角形,所以△ABC的外心为斜边的中点.取BC的中点G,连结MG,MG即为三棱锥的高.显然MG=1.
答案:C 8.设OA,OB,OC为不共面的三条射线,若∠AOB=∠AOC=60°,∠BOC=90°,点P为射线OA上一点,设OP=a,则点P到平面OBC的距离为( )
A.a23 B.a33 C.a21 D.a22 解析:如图所示,过P作PG⊥平面OBC于点G,则PG的长即为所求.由∠AOB=∠AOC,知点G在∠BOC的角平分线上.过G作GH⊥OB于点H,连结PH,由三垂线定理,得
PH⊥OB,OH=21a,OG=22a.
在Rt△PGO中,aOGPOPG2222,故选D. 答案:D 9.如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E为BC中点,F为PA
上一点,FG∥AD.若异面直线DE与BF所成角的余弦值为54,则PG的长为( ) A.1 B.21 C.2 D.22 解析:如图,取AD的中点H,连结BH,则BH∥ED,所以∠FBH即为异面直线DE与BF所成的角,所以54cosFBH.设FA=x,又5BH,则42xBF,12xFH,
由余弦定理,可得542cos222BHBFFHBHBFFBH,即154542154222xx
xx,所以F为PA的中点.又FG∥AD,
所以G为PD的中点,且22PD, 故2PG. 答案:C 10.斜边长为2a的直角三角板ABC的直角顶点C在桌面上,斜边AB与桌面平行,∠A=30°,三角板ABC与桌面所成的锐角为45°,则边AC的中点到桌面的距离是( )
A.a36 B.a46 C.a66 D.a86 解析:先求出直线AB到桌面的距离,点A到桌面的距离就是直线AB到桌面的距离;而AC的中点到桌面的距离就是点A到桌面距离的一半. 如图,A1B1为AB在桌面上的射影,CD⊥AB,D1为D在A1B1上的射影. ∵面ABC与桌面所成锐二面角为45°,又点C到AB的距离CD为a23, ∴aaCDDD4645cos2311. ∴AB到桌面的距离为a46, 则AC的中点到桌面的距离为a86,故选D. 答案:D 二、填空题 11.平面α内有Rt△ABC,∠C=90°,P是平面α外一点,且PA=PB=PC,P到α的距离是40 cm,AC=18 cm,则点P到BC边的距离是____________________________________. 解析:作PO⊥平面ABC,垂足为O,
∵PA=PB=PC,AO=BO=CO, ∴O为△ABC的外心. 又∵∠ACB=90°, ∴O是AB边的中点. 作OD⊥BC,由三垂线定理,知PD⊥BC. ∴PD是点P到BC边的距离,
且OD21AC.
∴OD=9 cm.在Rt△POD中,4122ODPOPD(cm). 故点P到BC的距离为41 cm. 答案:41 cm
12.把长、宽分别为32、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角,则顶点B和D之间的距离是__________________________________________________. 解析:作DE⊥AC,垂足为E,BF⊥AC,垂足为F.
∵AB=32,AD=2, ∴3BFDE,EF=2. 又∵二面角DACB为60°,DE⊥AC,BF⊥AC, ∴异面直线DE、BF所成的角为60°.
∴760cos2222BFDEEFBFDEBD. 答案:7 13.如图,已知点E是棱长为2的正方体AC1的棱AA1的中点,则点A到平面EBD的距离等于_________________________________.
解析:可求得S△EBD=6. 设点A到面EBD的距离为d, 由VA—EBD=VB—ADE,得2131631d,
解得36d. 答案:36 14.已知菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角ABDC为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于_______________________________________. 解析:如图,△ABD沿BD折起,A到A′点处,连结AC、BD交于点O,连结A′O,则∠A′OC为二面角的平面角.
∴∠A′OC=120°.故∠A′OA=60°. 又121ABAOOA,
∴点A到面BCD的距离为2360sinOAd. 答案: 23 三、解答题 15.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2(如图).
(1)求证:平面A1BC1∥平面ACD1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离. 解:(1)由于BC1∥AD1,则BC1∥平面ACD1. 同理,A1B∥平面ACD1,则平面A1BC1∥平面ACD1. (2)设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d,则d等于D1到平面A1BC1的距离. 易求A1C1=5,A1B=25,BC1=13,
则652cos11BCA,则6561sin11BCA,则S△A1BC1=61. 由于VD1—A1BC1=VB—A1C1D1, 则1111)21(313111BBDCADdSBCA. 代入求得616112d,即(1)中两个平行平面间的距离等于616112. 16.如图,在三棱锥P—ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求证:PC⊥AB; (2)求二面角B-AP-C的大小; (3)(理)求点C到平面APB的距离. 解法一:(1)证明:如图,取AB中点D,连结PD、CD.
因为AP=BP, 所以PD⊥AB. 因为AC=BC, 所以CD⊥AB. 因为PD∩CD=D, 所以AB⊥平面PCD. 因为PC平面PCD,所以PC⊥AB. (2)因为AC=BC,AP=BP, 所以△APC≌△BPC. 又PC⊥AC,所以PC⊥BC. 又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C, 所以BC⊥平面PAC. 取AP中点E,连结BE、CE. 因为AB＝BP,所以BE⊥AP. 因为EC是BE在平面PAC内的射影, 所以CE⊥AP. 所以∠BEC是二面角BAPC的平面角.
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,623ABBE,所以36sinBEBCBEC.