【试题库】(人教B版)(数学)(一轮复习)【走向高考·2015】阶段性测试题八

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2015学年第二学期八阶段考(新)

第1页,共6页第2页,共6页密封线学校班级姓名学号密封线内不得答题2015学年第二学期八年级数学学科阶段性考试卷（一）（考试时间90 分钟，满分100分） 2016年3月题号一二三 25 26 27 总分得分一．选择题：（本大题共12分，每小题3分）1. 下列方程组中是二元二次方程组的是………………………………………（）A. 2321x y y =⎧⎨-=⎩B.112x y xy y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C.121x yx y +=⎧⎨-=⎩D. 211y x x y ⎧=-⎪=2. 下列方程有实数解的是…………………………………………………（） A. 2310x -= 12x x -=-C. 222x x x =--D. 222x x x --=3. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如右下图所示，则不挂物体时弹簧的长度是 ……………（） A ． cm 5.12 B ． cm 5 C ． cm 20 D ． cm 10 4. 有一改造工程要限期完工．甲工程队独做可提前1天完成，乙工程队独做要误期6天．现由两工程队合做3天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成．设工程期限为x 天，则下面所列方程中正确的是…………………………………（）（A ）1613=-++x x x （B ）1613=++-x xx （C ）x x x x =++-613 （D ）613-=-x x x二．填空题：（本大题共28分，每小题2分）5. 直线()213y x =-+的截距为_____________.6. 直线112y x =-+与x 轴的交点坐标为_______________. 7. 已知()21f x x =+,如果()4f a =-,则_______________a =. 8. 若函数(1)3y m x =++图象经过点（1，2），则m=________________. 9. 直线32y x =+与35y x =-在同一直角坐标系中的位置关系是_____________. 10. 若关于x 43x m +=有实数解，则m 的取值范围是_____________. 11. x x =-的解是______________. 12. 方程032213=+-+-x x x x ，设y x x=-1，那么原方程可变形为整式方程是 ___ _______ _____.13. 请设计一个二元二次方程，使这个二元一次方程的一个解是32x y =⎧⎨=-⎩，此方程可以是__________________.14. 解关于x 的方程xmx x -=--223会产生增根，则m=_________. 15. 已知点A （-4，a ），B （-2，b ）都在直线12y x k =+上，则a_______b.(大小关系)16.若一次函数()32y m x m =-++图象不经过第三象限，则m 的取值是_____ _____.17. 一个水池储水20立方米，用每分钟抽水0.5立方米的水泵抽水，则水池的余水量y （立方米）与抽水时间t （分）之间的函数解析式____________________.18. 某公园门票价格如下表，有27名中学生游公园，则最少应付费______________元．(游客只能在公园售票处购票)购票张数1～29张 30～60张 60张以上每张票的价格10元8元 6元流水号第3页,共6页第4页,共6页密封线内不得答题三. 简答题（本大题共34分，19—20每题5分；21—24每小题6分） 19. 解方程：2654111x x x x x ++=--+ 20. 解方程： 423100x x +-=21. 解方程：x x 3112=++ 22. 解方程：2231ax x -=+23. 解方程组： ⎩⎨⎧=-=+.02,2022y x y x 24. 解方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++113715yx y x yx y x四. 解答题（本大题共28分，其中25题8分，26题825.某学校组织团员举行建党90周年的宣传活动，地后，宣传8分钟；然后下坡到B 地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A 地仍要宣传8分钟。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某一中月考)已知a 、b 是实数，则“a >1，b >1”是“a ＋b >2且ab >1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵a >1，b >1，∴a ＋b >2，且ab >1；当a ＝103，b ＝910时，a ＋b >2且ab >1，但“a >1，b >1”不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x >1，则不等式f (1－1x )>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a )C ．(－∞，11－a )D ．(1，11－a) [答案]D[解析]依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x <a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.3．(文)已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 [答案]C[解析]∵2＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，排除A 、B ； ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，排除D ，选C.[点评] 用特值检验法易得．令a ＝1，b ＝1排除A ；令a ＝2，b ＝0，排除B 、D ，故选C.(理)(2014·枣阳一中诊断)已知2x ＋8y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18 [答案]D[解析]x ＋y ＝(x ＋y )(2x ＋8y )＝2＋8＋2y x ＋8xy≥10＋22y x ·8xy＝18. 当且仅当x ＝6，y ＝12时取等号．故选D.4．(文)(2013·某某鱼台一中质检)若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b2<a[答案]C[解析]y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，a >b >0，∴1a <1b ，故A 成立；∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，∴log 2a >log 2b ，∴B 成立；∵a >b >0，∴a ＝2a 2>a ＋b2>ab >b 2＝b ，∴D 成立；∵a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 不成立．(理)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案]C[解析]由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.5．(2013·某某市检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9 [答案]C[解析]由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2013·某某二模)在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc .若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －2a ＋1x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为()A ．－12B ．－32C.13D.32 [答案]D[解析]原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意实数x 恒成立，∵x 2－x －1＝(x －12)2－54≥－54，∴－54≥a 2－a －2，∴－12≤a ≤32.故选D.二、填空题7．(文)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b 2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.(理)已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b 的取值X 围是________．[答案][22，1)[解析]由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b <1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(c a ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab ≥c 22(a 2＋b 2)＝12， ∴c a ＋b ≥22，22≤c a ＋b <1.8．(2013·某某)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[答案]36[解析]∵f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时f (x )取得最小值．又∵x ＝3，∴a ＝4×32＝36.9．(文)(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________． [答案]20[解析]依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.(理)在等式“1＝1()＋9()”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案]4和12[解析]设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9x y，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12. 三、解答题10．若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b 的最小值．[解析]由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab，由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16. 能力拓展提升一、选择题11．(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·某某一模)若实数x 、y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值X 围是( ) A ．0<t ≤2 B ．0<t ≤4 C ．2<t ≤4 D ．t ≥4 [答案]C[解析]设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4.12．(文)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案]D[解析]f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．(理)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32B.53 C.256D ．不存在 [答案]A[解析]由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q ，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎣⎡⎦⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．13．(2013·江南十校联考)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案]B[解析]由已知得ab ＝1，m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，m ＋n 取得最小值4.故选B.二、解答题 14．(文)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析](1)设DQ ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x .S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x 2(0<x <102)．(2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x 2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x 2，即x ＝10时，S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解析](1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%， ∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－(t －1)2＋98(t －1)＋352t ＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t≥2t 2·32t＝8，即W ≤42，当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 15．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析](1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β，整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24.当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24，此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值X 围． [解析](1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5， ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．补充材料1．证明不等式常用的方法：比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)．2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等 . (1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的两个因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )； a 2＋b 2≥(a ＋b )22(a 、b ∈R )；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a 、b ∈R )⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )，以上各等号在a ＝b 时成立． (2)a b ＋b a ≥2(a 、b 同号)，特别地1a ＋a ≥2(a >0)，1a ＋a ≤－2(a <0)． a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a 、b ∈R ＋)．备选习题1．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定 [答案]A[解析]R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2，R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝(R 1＋R 2)2－4R 1R 22(R 1＋R 2)＝(R 1－R 2)22(R 1＋R 2)>0，所以R A >R B . 2．(2013·某某模拟)已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7[答案]B[解析]由条件知m ≤(a ＋2b )(2a ＋b )ab恒成立， ∵(a ＋2b )(2a ＋b )ab ＝2(a 2＋b 2)＋5ab ab≥4ab ＋5ab ab＝9. 等号在a ＝b 时成立，∴m ≤9，故选B.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3 [答案]C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x－1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析]若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时y ′>0， ∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52，当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，∴选C.4．(2013·某某调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)[答案]D[解析]x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x y，即y ＝2，x ＝4时等号成立．∵x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m <8，∴m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.5．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． [答案]8[解析]AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-6正弦定理和余弦定理课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-6正弦定理和余弦定理课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3 C ．1 D.23[答案]A[解析]在△ABC 中，C ＝60°， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4， ∴ab ＝43，选A.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案]A[解析]∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝aba ＋b>0，所以a >b . 2．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( ) A ．0<a <43B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤43或a ＝6 [答案]C[解析]∵b ·sin A ＝43·sin60°＝6，∴要使△ABC 只有一解，应满足a ＝6或a ≥4 3. 如图顶点B 可以是B 1、B 2或B 3.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3 [答案]A[解析]由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.3．(文)已知△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝1:1:2，则此三角形的最大内角的度数是( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．135° [答案]B[解析]依题意和正弦定理知，a :b :c ＝1:1:2，设a ＝k ，b ＝k ，c ＝2k ，由余弦定理得，cos C ＝k 2＋k 2－(2k )22k 2＝0，所以C ＝90°，故选B.(理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案]A[解析]由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3b ＋c 2b ＝32，于是A ＝30°.4．在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝() A.817B.1517 C.1315D.1317 [答案]B[解析]S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517.5．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝()A ．－12B.12C. －1D. 1 [答案]D[解析]由a cos A ＝b sin B 可得，sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B ，所以sin A cos A ＋cos 2B ＝1.(理)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝() A ．23B ．2 2 C.3D. 2 [答案]D[解析]∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba＝ 2.6．(文)(2013·某某某某十校联考)在△ABC 中，a 2tan B ＝b 2tan A ，则角A 与角B 的关系是()A ．A ＝B B ．A ＋B ＝90°C ．A ＝B 或A ＋B ＝90°D ．A ＝B 且A ＋B ＝90° [答案]C[解析]由已知条件a 2tan B ＝b 2tan A ⇒sin2A ＝sin2B ，因为A ，B 为三角形内角，所以有2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，即A ＝B 或A ＋B ＝90°.学生容易错选D ，即A ＝B 且A ＋B ＝90°.(理)(2013·某某二检)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 [答案]A [解析]依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.二、填空题7．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案]2 3[解析]∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8， ∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3.(理)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.[答案]2＋ 5 [解析]如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题设可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°.c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD＝13a ＝2＋ 5. 8．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值X 围是________． [答案]3<c < 5[解析]边c 最长时(c ≥2)， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0，∴c 2<5.∴2≤c < 5.边b 最长时(c <2)，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c >0，∴c 2>3.∴3<c <2. 综上，3<c < 5.9．(文)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝________.[答案]1[解析]∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋b a ＋c＝1. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3，则△ABC 的面积为________．[答案]2[解析]依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝2.三、解答题10．(文)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3c ＝2a sin C ，且角C ≥B ≥A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[解析](1)在△ABC 中，由3c ＝2a sin C ，及正弦定理得， 3sin C ＝2sin A sin C ，∴sin A ＝32，又A ≤B ≤C ，∴A ＝π3.(2)由于A ≤B ≤C 及A ＝π3，故在△ABC 中，只有A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形，又a ＝2，∴S △ABC ＝34×22＝ 3. (理)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值． [解析](1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， ∴4sin B ·sin 2(π4＋B 2)＋cos2B －2＝0，2sin B [1－cos(π2＋B )]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12.∵0b ，∴此时B ＝π6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1.能力拓展提升一、选择题11．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° [答案]B[解析]依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B.12．(文)(2013·某某金丽衢十二校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，则2sin B cos C －sin(B －C )的值为( )A.33B.32 C.22D.12[答案]D[解析]利用余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B＋C ＝5π6，所以2sin B cos C －sin(B －C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝12.(理)(2013·某某稽阳联谊学校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不可能．．．是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 [答案]D[解析]由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，可得A ＝π6，又由b ＝3a 可得b a ＝sin B sin A ＝2sin B ＝3，可得sin B ＝32，得B ＝π3或B ＝2π3，若B ＝π3，则△ABC 为直角三角形；若B ＝2π3，C ＝π6＝A ，则△ABC 为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC 不可能为锐角三角形，故应选D.13．(文)(2013·某某五校第二次联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．5B ．25 C.41D ．5 2 [答案]A[解析]解法1：由S △ABC ＝12ac sin45°＝2⇒c ＝42，再由余弦定理可得b ＝5.解法2：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ，在Rt △BDC 中求得高CD ＝22，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝722，从而b ＝AD 2＋CD 2＝5.(理)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．1 C.3 D ．2 [答案]C[解析]据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝12×2×23×sin30°＝ 3.二、解答题14．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C . (1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．[解析](1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63 (0<φ<π2)，则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.(理)(2013·某某省名校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －ab.(1)求sin Csin A的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值X 围． [解析](1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin Asin B，所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A ＝3.(2)由sin Csin A＝3得c ＝3a . 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >ba 2＋c 2<b2，又b ＝10，所以52<a <10.15．(文)(2013·某某某某联考)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(cos B ，sin B )，m ·n ＝sin2C ，且A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角．(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等比数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 的值． [解析](1)由m ·n ＝sin2C 得sin(A ＋B )＝sin2C ， ∴sin C ＝2sin C cos C ，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin A ，sin C ，sin B 成等比数列， ∴sin 2C ＝sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝ab .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝ab cos C ＝12ab ＝18，∴ab ＝36，∴c 2＝36，∴c ＝6.(理)(2013·某某模拟)已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S . (1)求tan2A 的值；(2)若B ＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积．[解析](1)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵AB →·AC →＝S ，∴bc cos A ＝12bc sin A ，∴cos A ＝12sin A ，∴tan A ＝2.∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－43.(2)|CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3， ∵tan A ＝2，∴0<A <π2，∴sin A ＝255，cos A ＝55. ∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255×22＋55×22＝31010. 由正弦定理知，c sin C ＝b sin B ⇒b ＝c sin C ·sin B ＝5， ∴S ＝12bc sin A ＝12×5×3×255＝3.考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．补充材料1．求解三角形中的三角函数问题的技巧解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路：②它毕竟是三角变换，只是角的X 围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．2．在解斜三角形的问题中，有时所给问题在一个多边形中，需将多边形分割成三角形，有时在同一个图形中有几个三角形，解题时要先分析条件，将已知和待求量归结到一个可解的三角形中，如果不能归到同一个三角形中，则应看待求量需要在哪个三角形中解决，这个三角形中的哪个量与已知条件所在的三角形共用，先解可解的三角形求出这个量或建立方程求解．备选习题1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形[答案]C[解析]因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，∴b ＝c ， ∴则此三角形一定是等腰三角形．[点评] 也可以先由正弦定理，将a ＝2b cos C 化为sin A ＝2sin B cos C ，利用sin A ＝sin(B ＋C )代入展开求解．2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值X 围是( )A ．(0，π6]B ．[π6，π) C ．(0，π3] D ．[π3，π) [答案]C[解析]根据正弦定理，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 得a 2≤b 2＋c 2－bc ，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，∴0<A ≤π3，故选C. 3．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( )A ．22B.32 C.23D ．3 2 [答案]A[解析]设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12×AB ×BC sin B ＝x 1－cos 2B ①，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x②，将②代入①得，S △ABC ＝x 1－(4－x 24x )2＝128－(x 2－12)216，由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.4．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案]①④[解析]①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．5．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值X 围．[解析](1)由a cos C ＋12c ＝b 得， sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值X 围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值X 围为(2,3]．6．(2013·某某市、贵港市、某某市、某某市模拟)已知△ABC 中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6<0的解集是空集．(1)求角C 的最大值；(2)若c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求当角C 取最大值时a ＋b 的值． [解析](1)若解集为空，则⎩⎪⎨⎪⎧cos C >0，Δ＝16sin 2C －24cos C ≤0，解得cos C ≥12.则C 的最大值为π3.(2)S ＝323＝12ab sin π3，得ab ＝6，由余弦定理得：494＝a 2＋b 2－ab ，从而得(a ＋b )2＝1214，则a ＋b ＝112.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2 D ．3[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝6，a 1＝4，∴d ＝－2.(理)(2013·某某二模)已知等差数列1，a ，b ，且3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案]C[解析]2a ＝1＋b ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，a ＝4或a ＝－2. ∵等比数列中的项不能为0， ∴a ＝4，b ＝7，∴等差数列的公差为3.2．(2013·某某新华中学月考)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案]C[解析]因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 3a 7＝a 24，又S 8＝8(a 1＋a 8)2＝32，所以a 1＋a 8＝8，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝－3×10＋90＝60，选C.3．(文)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案]C[解析]设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 7＝4a 6＋a 8＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋10d ＝42a 1＋12d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，∴a n ＝－3n ＋20.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.解得173≤n ≤203，又n ∈N *，∴n ＝6.故选B.法二：S n ＝17n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32(n －376)2＋37224，∵n ∈N *，∴当n ＝6时，S n 取得最大值．故选B.4．(2013·某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案]D[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n . ∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.5．(文)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.13 [答案]B[解析]设其公差为d ，∵S 5S 10＝5a 1＋12×5×4d 10a 1＋12×10×9d＝a 1＋2d 2a 1＋9d ＝13， ∴a 1＝3d .∴S 10S 20＝10a 1＋12×10×9d20a 1＋12×20×19d＝310. (理)(2013·某某省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．641B ．640C ．639D ．638 [答案]B [解析]由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x [答案]D[解析]对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1－x n ＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029B.20144029 C.40174029D.40184029 [答案]B[解析]依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案]20[解析]依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案]110[解析]由题意，设公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10(10－1)2d ＝110.(理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案]75[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1(a 1＋2d )＝21， ∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75.9．(文)(2013·冀州中学检测)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析]∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)．两式相减得a n ＝2a n －1，∴a n a n －1＝2.由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n .∴S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝317. (理)(2013·某某某某中学模拟)设m >3，对于项数为m 的有穷数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k (k ≤m )中最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2，…，m (m >3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}．若m ＝4，则创新数列为3,4,4,4的所有数列{a n }为________．[答案]3,4,2,1或3,4,1,2[解析]由数列{a n }的创新数列定义知，a 1＝3，a 2＝4，由于c 3＝4，∴a 3≤4，又{a n }是1,2,3,4的一个排列，∴a 3≠3,4，∴a 3＝1或2，由于c 4＝4， ∴当a 3＝1时，a 4＝2；当a 3＝2时，a 4＝1， ∴数列{a n }为3,4,1,2或3,4,2,1. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解析](1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.[点评] 在等差数列和等比数列中，已知具体项或某几项的和等条件时，常选用“基本量法”来求解，即把已知条件均用数列的首项、公差或首项、公比来表示；概率中的古典概型关键是能正确列举出所有的基本事件和满足条件的基本事件.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3 [答案]A[解析]由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6，由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根，解之得m ＝0，或m ＝－45，则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3.(理)(2013·某某六中月考)已知a >0，b >0，若2是4a 与2b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．8C ．9D ．10 [答案]C[解析]由条件知：4a ·2b ＝(2)2， ∴22a ＋b ＝21，∴2a ＋b ＝1， ∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，等号在⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时成立．12．(2013·某某市调研)已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或12[答案]A[解析]由条件知2S 9＝S 3＋S 6，∴2a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－12，∵q ≠1，∴q 3＝－12.13．(文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L[答案]B[解析]设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →等于( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1 [答案]A[解析]S 29＝S 4000⇒a 30＋a 31＋…＋a 4000＝0⇒a 2015＝0，又P (1，a n )，Q (2015，a 2015)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2015，a 2015)， ∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2015，a 2015)＝2015＋a n a 2015＝2015，故选A. 二、填空题14．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案]4[解析]由条件知，S k ＋S k ′＝k (k －1)2d ＋k (k －1)2d ′－4k ＝k (k －1)(d ＋d ′)2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4. 三、解答题15．(文)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析](1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1，两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2 (n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n 2n ＋1.(理)(2013·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析](1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2， …b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．16．(文)(2013·某某适应性测试)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设＝b n ·2n ，求数列{}的前n 项和S n .[解析](1)b 1＝1a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n ，1a n ＋1－1a n ＝4， ∴b n ＋1－b n ＝4.数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列．1a n＝b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3(n ∈N *)． (2)S n ＝21＋5×22＋9×23＋…＋(4n －3)·2n ，①2S n ＝22＋5×23＋9×24＋…＋(4n －3)·2n ＋1，②②－①并化简得S n ＝(4n －7)·2n ＋1＋14.(理)(2013·某某调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a 2n 2n }的前n 项和S n . [解析](1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n 2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，②①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以S n ＝3－2n ＋32n .考纲要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．补充材料1．函数思想等差数列的通项是n 的一次函数，前n 项和是n 的二次函数，故有关等差数列的前n 项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．2．等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d ；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .3．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则(1)若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大； (2)若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．备选习题1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6[答案]D[解析]∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝a 3＋a 92＝0，∴S 5＝S 6. 2．(2013·某某模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11[答案]B[解析]因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究] 求得b n ＝2n －8后可用逐差相加法求a 8.3．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案]D[解析]由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝i i ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若＝b n a n，求数列{}的前n 项和T n . [解析](1)由题意S n ＝2－a n ，①当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1；由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1. 综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1. (2)＝b n a n＝(2n －1)·2n －1， T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，④ ③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析](1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c，因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n . 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 [答案]B[解析]由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.(理)(2013·西城期末)在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3 [答案]A[解析]点P (2，π6)的直角坐标为(3，1)，∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k ＝0.所求直线的普通方程为y ＝1，化为极坐标方程为ρsin θ＝1，故选A.2．(文)抛物线x 2－2y －6x sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R )( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 [答案]B[解析]原方程变形为：y ＝12(x －3sin θ)2＋4cos θ.设抛物线的顶点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θy ＝4cos θ，消去参数θ得轨迹方程为x 29＋y 216＝1.它是椭圆．(理)已知点P (x ，y )满足(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )，则点P (x ，y )所在区域的面积为( )A ．36πB ．32πC ．20πD ．16π [答案]B[解析]圆心坐标为(4cos θ，4sin θ)，显然圆心在以原点为圆心、半径等于4的圆上，圆(x －4cos θ)2＋(y －4sin θ)2＝4(θ∈R )绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环，圆环的外径是6，内径是2，∴选B.3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2＋y 2＝16变换为椭圆方程x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′y ＝y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝y ′C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝8y ′[答案]B[解析]设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2y 2＝16，与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1，故所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y .故选B.4．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin50°－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为( ) A ．40° B ．50° C ．140° D ．130° [答案]C[解析]将直线的参数方程变形得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t cos140°y ＝－t sin140°，∴倾斜角为140°.5．在极坐标系下，直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2与曲线ρ＝2的公共点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2或0 [答案]B[分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系，交点个数等问题，一般是化为直角坐标方程求解．对于熟知曲线形状、位置的曲线方程，也可以直接画草图，数形结合讨论．[解析]方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， ∴x ＋y ＝2，方程ρ＝2，即x 2＋y 2＝2，显然直线与圆相切，∴选B.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1.(t ∈R )，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为( ) A ．0 B ．2 C.2D.22[答案]C[解析]化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t ∈R )为普通方程为x －y ＋1＝0，化圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ.(θ∈[0,2π))为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离为|1－0＋1|12＋(－1)2＝ 2.二、填空题7．在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________．[答案]相离[解析]直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心C (1,0)，半径r ＝1.因为圆心到直线的距离d ＝22＝2>1，故直线与圆相离． 8．(文)已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．[答案]⎝⎛⎭⎫23，π6 [解析]化为直角坐标方程为x ＝3和x 2＋y 2＝4x (y ≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [点评] 可直接解⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝π6.(理)(2013·某某某某一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案](2,5)[解析]将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)．9．(文)(2013·某某某某调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．[答案] 2[解析]圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故圆C 截直线l 所得的弦长为212－d 2＝ 2.(理)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .(t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．[答案]75[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ，y ＝－1－3t .得直线方程为3x ＋4y ＋1＝0，∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cos θ－sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2＝x －y ，即(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.圆心到直线的距离d ＝110，∴弦长＝2×12－1100＝75. 三、解答题10．(2013·某某五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1，2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆C 的方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值． [解析](1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2(12cos θ＋32sin θ)＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.能力拓展提升一、填空题11．(文)(2013·某某理，15)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．[答案]ρcos 2θ－sin θ＝0[解析]由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(理)(2013·某某理，14)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．[答案]ρsin(θ＋π4)＝ 2[解析]∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴曲线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即ρsin(θ＋π4)＝ 2.12．(2013·某某理，15)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．[答案]⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)[解析]由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[解法探究] 因为直线OP 与圆的交点为P ，所以点P 与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程．将圆x 2＋y 2－x ＝0配方得，(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则|OP |＝cos θ， x ＝|OP |cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝sin θcos θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ，(θ为参数)．二、解答题13．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t (t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程；(2)曲线C 1与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由． [解析](1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，所以C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. (2)C 2的直角坐标方程为3x －4y －1＝0， C 1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心C 1(2,0)到直线C 2的距离 d ＝|3×2－4×0－1|32＋42＝1<2.所以C 1与C 2相交．相交弦长|AB |＝222－12＝2 3.14．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.(θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .的焦点，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求|AF |·|FB |的取值X 围．[解析]圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ.的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ.(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0. 所以|AF |·|FB |＝|t 1t 2|＝4sin 2θ.因为0<sin 2θ≤1，所以|AF |·|FB |的取值X 围是[4，＋∞)．15．(文)(2013·某某六校联考)已知圆C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[解析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，得x 2＋y 2＝1，又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ. ∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即(x －12)2＋(y ＋32)2＝1.(2)圆心距d ＝(0－12)2＋(0＋32)2＝1<2，得两圆相交．设交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得A (1,0)，B (－12，－32)，∴|AB |＝(1＋12)2＋(0＋32)2＝ 3.(理)(2013·某某某某一模)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－1＋sin φ，(φ为参数，0≤φ≤π)．(1)求C 1的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个不同公共点时，某某数a 的取值X 围． [解析](1)将曲线C 1的极坐标方程变形，ρ(22sinθ＋22cosθ)＝22a，即ρcosθ＋ρsinθ＝a，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y－a＝0.(2)曲线C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1(－1≤y≤0)，为半圆弧，如图所示，曲线C1为一组平行于直线x＋y＝0的直线，当直线C1与C2相切时，由|－1－1－a|2＝1得a＝－2±2，舍去a＝－2－2，得a＝－2＋2，当直线C1过A(0，－1)、B(－1,0)两点时，a＝－1.∴由图可知，当－1≤a<－2＋2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．考纲要求1．了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．补充材料1．极坐标系的概念在平面内取一个定点O 为极点，引一条射线Ox 为极轴，再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R .2．在极坐标系中，(ρ，θ＋2k π)，k ∈Z 与(ρ，θ)代表同一个点，为了使极坐标与平面上的点(除极点外)建立一一对应关系，规定ρ≥0,0≤θ<2π.曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程，但曲线上一点P 的无数个极坐标中，必有一个适合曲线的极坐标方程．极坐标方程θ＝θ1表示一条射线并非直线，只有当允许ρ<0时，θ＝θ1才表示一条直线． 3．极坐标与直角坐标互化条件：(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2)极轴与x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系中取相同的长度单位4．只有在a 2＋b 2＝1时，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt .(t 为参数)中的参数t 才表示由M (x 0，y 0)指向N (x ，y )的有向线段的数量，而在a 2＋b 2≠1时，MN ＝a 2＋b 2·t .5．消参后应将原参数的取值X 围相应地转化为变量x (或y )的取值X 围．备选习题1．(2013·某某某某测评)若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数，θ∈R )所截，则截得的弦的长度是( )A.355B.655C.322D ．6 2 [答案]B[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t ，∴x ＋2y ＋3＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，∴(x －1)2＋(y －1)2＝9， ∴圆心(1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0的距离d ＝|1＋2＋3|5＝655，弦长为232－(655)2＝655，故选B.2．设点A 的极坐标为(2，π6)，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为________．[答案]填ρcos(θ＋π6)＝1、3ρcos θ－ρsin θ－2＝0、ρsin(π3－θ)＝1、ρsin(θ－4π3)＝1中任意一个均可[解析]∵点A 的极坐标为(2，π6)，∴点A 的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3，即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理得ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.[点评] 一般地，在极坐标系下，给出点的坐标，曲线的方程，讨论某种关系或求某些几何量时，通常都是化为直角坐标(方程)求解．如果直接用极坐标(方程)求解，通常是解一个斜三角形．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析](1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3＝23，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3＝4 3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．已知直线l 经过点P (12，1)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析](1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t .(t 为参数)．由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得(x －12)2＋(y －12)2＝12.(2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入(x －12)2＋(y －12)2＝12中得t 2＋12t －14＝0.由根与系数的关系得t 1t 2＝－14，由参数t 的几何意义得：|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M (1，32)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D (1，π3)． (1)求曲线C 1、C 2的方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解析](1)将M (1，32)及对应的参数φ＝π3，代入 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎨⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ.(φ为参数)，或x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意，圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)．将点D (1，π3)代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1.(或由D (1，π3)，得点D 的直角坐标(12，32)，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1)，所以曲线C 2的方程为ρ＝2cos θ(或(x －1)2＋y 2＝1)． (2)因为点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ4＋sin 2θ)＋(sin 2θ4＋cos 2θ)＝54.。

【试题库】(人教B版)(数学)(一轮复习)【走向高考·2015】阶段性测试题五

阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·韶关市曲江一中月考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝22，a ·b ＝12，∴A 、B 错；∵1×12－0×12≠0，∴a ∥b 不成立；∵(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14＝0，选C.2．(2014·威海期中)已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8 [答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)－6(1＋x )＝0，∴x ＝2.(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案] B[解析] ∵m ∥n ，∴(a ＋c )(a －c )－b (a －b )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.4．(文)(2014·安徽程集中学期中)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |等于( )A ．2B ．3 C.3 D ．4 [答案] A[解析] 设|b |＝m ，则a ·b ＝m cos π3＝m2，|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋m 2＋m ＝7，∴m 2＋m －6＝0，∵m >0，∴m ＝2.(理)(2014·哈六中期中)已知向量a 、b 满足，|a |＝2，a ⊥(a －2b )，2|a2－b |＝3|b |，则|b |的值为( )A ．1B ．2 C.3 D ．2 3[答案] B[解析] 设|b |＝m ，∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝4－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝2，将2|a 2－b |＝3|b |两边平方得，4(|a |24＋|b |2－a ·b )＝3|b |2，即4(1＋m 2－2)＝3m 2，∴m 2＝4，∴m ＝2.5．(2014·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，若OB→∥AC →，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．－12 C.12 D ．2[答案] C[解析] 因为，在平面直角坐标系xOy 中，点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)，所以，OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)，又OB →∥AC →，所以，m 1－－1－2，m ＝12，选C.6．(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2,1)，c ＝(－4，－2)，则下列结论中错误．．的是( ) A ．向量c 与向量b 共线B ．若c ＝λ1a ＋λ2b (λ1、λ2∈R )，则λ1＝0，λ2＝－2C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数k 1、k 2，使得d ＝k 1b ＋k 2cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为0 [答案] C[解析] ∵c ＝－2b ，∴向量c 与向量b 共线，∴选项A 正确；由c ＝λ1a ＋λ2b 可知，⎩⎪⎨⎪⎧ －4＝λ1＋2λ2－2＝－2λ1＋λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝0，λ2＝－2，∴选项B正确；向量c 与向量b 共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，∴选项C 错误；a ·b ＝0，所以a ⊥b ，夹角是90°，向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos90°＝0，∴D 正确．7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)， ∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又|b |＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12， ∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB→＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°，即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13 B.23 C ．－23 D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝23.9．(2014·泉州实验中学期中)已知平面向量m 、n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 中点，则|AD→|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] B[解析] 由条件知，m ·n ＝|m |·|n |·cos π6＝3，|m |2＝3，|n |2＝4，∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)＝2m －2n ，∴|AD →|2＝4(|m |2＋|n |2－2m ·n )＝4×(3＋4－2×3)＝4.10．(文)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )A ．最大值为16B ．最小值为4C ．为定值8D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD→|2＝8. (理)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( ) A ．－2 B ．－8116 C ．1 D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min＝－2，故选A. 11．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE→＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE→＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)， ∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1，∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)，∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE→与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)，∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ.∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.12．(文)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC→＋2PD →|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)，∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252，∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min＝522，故选C. (理)(2014·海南省文昌市检测)如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →＝αOC →＋βOD →(α，β∈R )，则α＋β的最大值等于( )A.14B.43 C.13 D ．1[答案] B[解析] 以O 为原点，OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则由条件知，C (0,1)，A (1,0)，B (1,1)，D (3,0)，OP →＝αOC →＋βOD →＝(3β，α)，设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3β，y ＝α，∵P 在△BCD 内，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，x ＋2y －3≤0，y ≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧β＋α－1≥0，3β＋2α－3≤0，α≤1.作出可行域如图，作直线l 0：α＋β＝0，平移l 0可知当移到经过点A (1，13)时，α＋β取最大值43，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(2，－2)，若a ∥b ，则实数x 的值为________．[答案] －1[解析] ∵a ∥b ，∴x 2＝1－2，∴x ＝－1. (理)(2014·鄂南高中、黄冈中学、襄阳四中联考)设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(3，－6)，且a ⊥c ，b ∥c ，则(a ＋b )·c ＝________.[答案] 15[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝3x －6＝0，∴x ＝2，∵b ∥c ，∴13＝y －6，∴y ＝－2，∴b ·c ＝(1，－2)·(3，－6)＝15，∴(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝15.14．(2014·三亚市一中月考)已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为________． [答案] 12[解析] ∵〈a ，b 〉＝120°，a ⊥c ，c ＝a ＋b ，∴a ·c ＝a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝|a |2－12|a |·|b |＝0， ∴|a ||b |＝12. 15．(文)(2014·天津市六校联考)已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA→＝(2,1)，则OA→与OB →夹角的正弦值为________． [答案] 35[解析] OA→＝OC →＋CA →＝(4,3)， cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA→||OB →|＝85×2＝45， ∴sin 〈OA →，OB →〉＝35.(理)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则∠C ＝________.[答案] π4[解析] ∵p ∥q ，∴41＝a 2＋b 2－c 2S，∴a 2＋b 2－c 2＝4S ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，S ＝12ab sin C ， ∴2ab cos C ＝2ab sin C ，∴sin C ＝cos C ，又0<C <π，∴C ＝π4.16．(文)(2014·河南淇县一中模拟)若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且α－β＝k π(k ∈Z )，则a 与b 一定满足：①a 与b 夹角等于α－β；②|a |＝|b |；③a ∥b ；④a ⊥b .其中正确结论的序号为________．[答案] ②③[解析] 由条件知|a |＝|b |＝1，∴②正确；又a 、b 对应点A 、B都在单位圆上，且OA→与OB →共线，∴a ∥b ，但〈a ，b 〉不一定等于α－β，∴③对①错；a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝cos k π≠0，故④错．(理)(2014·河北冀州中学期中)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB →，它们的夹角为90°，点C 在以O 为圆心的劣弧AB 上运动，若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则xy 的取值范围是________． [答案] [0，12][解析] 以O 为原点，OA→，OB →为基向量建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，OC→＝xOA →＋yOB →＝(x ，y )，且|OC →|2＝x 2＋y 2＝1，∴xy ≤x 2＋y 22＝12，特别的当C 与A (或B )重合时，xy ＝0，∴0≤xy ≤12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12. ∵0<C <π，∴C ＝2π3，又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6.(理)(2014·宝鸡市质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos2C 1＋tan C＋1的取值范围． [解析] (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin2C －cos2C ＝2sin(2C －π4)．∵0<C <2π3，∴－π4<2C －π4<13π12， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos2C 1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]． 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM→⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值． [解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM→＝(－a 2，a 2)．又∵|AB→|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12，∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA→－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM→＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)， ∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP→＝(λt ，3λ)，OA→－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM→＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)．19．(本小题满分12分)(文)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小；(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )，∴4＋4cos(π4＋A )＝4，∴cos(π4＋A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4.(2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.(理)(2014·陕西工大附中四模)已知向量a ＝(cos x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝2a ·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．[解析] (1)f (x )＝2(cos x sin x －cos 2x )＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．因此，函数f (x )的最小正周期为π.(2)因为f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数，又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4＝－1，故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.20．(本小题满分12分)(文)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b 的取值范围．[解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )，∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ，∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)，∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴a ＋c b ∈(1,2]．(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．21．(本小题满分12分)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A 、B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．22．(本小题满分14分)(文)(2014·成都七中模拟)已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB →＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →＋m .(1)若f (x )的定义域为[－π2，π]，求y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求m 的值．[解析] (1)f (x )＝2sin 2x －23sin x cos x ＋1＋m＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin(2x ＋π6)＋2＋m ，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，∴y ＝f (x )在R 上的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，又f (x )的定义域为[－π2，π]，∴y ＝f (x )的增区间为[－π2，－π3]，[π6，2π3]．(2)当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6，∴－1≤sin(2x ＋π6)≤12，∴1＋m ≤f (x )≤4＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝2，4＋m ＝5，∴m ＝1. (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)．∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)．(1)由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3，∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。

走向高考高三数学一轮人教B阶段性测试题数列

阶段性测试题六(数列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23[答案] C[解析] 由条件知S 21＝S 8，∴a 9＋a 10＋…＋a 21＝0， ∴a 15＝0，∵a 8＋a k ＝2a 15＝0，∴k ＝22.2．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( )A ．54B ．45C ．36D ．27 [答案] A[解析] ∵2a 8＝a 5＋a 11,2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6， ∴S 9＝9a 5＝54.(理)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，a 2＝1，前6项的方差为353，则a 3S 3的值为( )A ．－9B ．3C ．±9D ．9[答案] D[解析] ∵数列{a n }的前6项为1－d,1,1＋d,1＋2d,1＋3d,1＋4d ，∴x －＝1＋32d ，由条件知，S 2＝16[(1－d －x －)2＋(1－x －)2＋(1＋d －x －)2＋(1＋2d －x －)2＋(1＋3d －x －)2＋(1＋4d －x －)2]＝3512d 2＝353，∴d 2＝4，∴d ＝±2，∵a 2＝1，∴当d ＝2时，a 1＝－1，a 3＝3，S 3＝3，∴a 3S 3＝9，当d ＝－2时，a 1＝3，a 3＝－1，S 3＝3，∴a 3S 3＝9，故选D.3．(2015·大连市二十中期中)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64[答案] C[解析] 由等比数列的性质知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)， ∴S 6＝63.4．(2015·江西南昌市二中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 [答案] C[解析] 当a ＝1时数列{a n }为等差数列，当a 为其他不等于0和1的值时，{a n }为等比数列．5．(文)(2015·江西三县联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋12，n ∈N *，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52 [答案] D[解析] ∵a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝2＋12(n －1)＝12(n ＋3)．∴a 101＝52.(理)(2015·遵义航天中学二模)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n[答案] A [解析] ∵2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，∴数列{1a n }是等差数列，∵a 1＝1，a 2＝12，∴1a n ＝n ，∴a n ＝1n，故选A.6．(2015·山师大附中月考)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝n n ＋1.7．(文)(2015·成都市树德中学期中)已知等差数列{a n }的公差d <0，若a 4·a 6＝24，a 2＋a 8＝10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为( )A ．50B ．40C ．45D ．35 [答案] C[解析] ∵a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝10，a 4·a 6＝24，d <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝6，a 6＝4.∴d ＝a 6－a 46－4＝－1，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝10－n .∴当n ＝9或10时S n 取到最大值，S 9＝S 10＝45.(理)(2015·许昌、平顶山、新乡调研)已知正项数列{a n }的前n 项的乘积等于T n ＝(14)n 2－6n (n∈N *)，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 中的最大值是( )A ．S 6B ．S 5C ．S 4D ．S 3[答案] D[解析] S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝log 2T n ＝log 2(14)n 2－6n ＝－2(n 2－6n )，∴当n ＝3时，S n 取最大值．8．(2015·开封二十二校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] ∵a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，即(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝－212，∴(k ＋1)(－32)＝－21，∴k ＝13.9．(2015·江西南昌市月考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n (n ∈N ＋)，则S 2014＝( )A ．2×31007－2B ．2×31007 C.32014－12D ．32014＋12[答案] A[解析] 由a n a n ＋1＝3n 得a n －1a n ＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的所有奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，又a 2＝3a 1＝3.∴S 2014＝1×(1－31007)1－3＋3(1－31007)1－3＝2×31007－2.故选A.10．(2015·黄风中学月考)若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”，已知正项数列{1b n }为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 由“梦想数列”的定义知，b n ＋1－pb n ＝0，∵p ≠0，∴b n ＋1b n＝p ，∴{b n }为等比数列，又b 1b 2…b 99＝299＝b 9950，∴b 50＝2.∴b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，等号成立时，b 8＝b 92，即该数列为常数列时等号成立，故选B.11．(2015·临川一中、宜春中学，新余四中联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n＋1(n ∈N *)，则a 2014＝( )A ．1B ．0C ．2014D ．－2014[答案] B[解析] 由a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝(a n －1)2，∵a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0，…，∴数列{a n }的所有奇数项为1，偶数项为0.∴ a 2014＝0.故选B.12．(2015·深圳市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足对任意的n ∈N *，都有a n＋1－a n ≤2n ，a n ＋2－a n ≥3×2n 成立，则a 2014＝( ) A ．22014－1 B ．22014＋1 C ．22015－1 D ．22015＋1[答案] A[解析] ∵a n ＋2－a n ＝a n ＋2－a n ＋1＋a n ＋1－a n ≥3×2n ，① 又a n ＋1－a n ≤2n ，∴a n ＋2－a n ＋1≤2n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＋2≥－2n ＋1，② 由①②得，a n ＋1－a n ≥2n ，又a n ＋1－a n ≤2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n .∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋1＝2n －1， ∴a 2014＝22014－1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·洛阳市期中)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则a 5＋a 7＝________. [答案] 160[解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2， ∴a 5＋a 7＝(a 3＋a 5)q 2＝40×22＝160.14．(2015·江西师大附中期中)若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为________．[答案] － 3[解析] 因为S 11＝11a 6＝22π3，a 6＝2π3，所以tan a 6＝tan 2π3＝－ 3.15．(文)(2014·鄂南高中、孝感高中联考)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________.[答案] 33[解析] ∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上， ∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1,2,3，…，6， ∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.(理)(2015·江西师大附中、鹰潭一中联考)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，则m ＝________.[答案] 3[解析] 解法1：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2d ＝－1，ma 1＋m (m －1)2d ＝0，(m ＋1)a 1＋(m ＋1)m 2d ＝2，解得m ＝3.解法2：a m ＝S m －S m －1＝1，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝2，d ＝a m ＋1－a m ＝1， a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋m －1＝1，∴a 1＝2－m ， ∴S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝m (2－m )＋m (m －1)2＝0，∴m ＝3.16．(2015·绍兴一中期中)下图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列．．．．，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 88＝________.14 12，14 34，38，316 … [答案]164[解析] 由条件知第一列为等差数列，∴a i 1＝14＋(i －1)·(12－14)＝i4，由于每一行都成等比数列，且公比相等，∴公比q ＝1412＝12，∴a ij ＝a i 1·q j －1＝i 4·q j －1＝i 4·(12)j －1，∴a 88＝84×(12)7＝164.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·三亚市一中月考)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n .(理)(2014·北京东城区联考)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和． [解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，又a 4＝10，可得a 3＝10－d ，a 6＝10＋2d ，a 10＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 由d ≠0，可得d ＝1. a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋6.(2)由b n ＝2a n (n ∈N *)，a n ＝n ＋6，可得b n ＝2n ＋6. 所以b 1＝21＋6＝128. 因为b n ＋1b n ＝2n ＋72n ＋6＝2，所以数列{b n }是首项为128，公比为2的等比数列．所以{b n }的前n 项和为S n ＝128(1－2n )1－2＝2n ＋7－128.18．(本小题满分12分)(文)(2015·桂城中学、中山一中摸底)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋a n ＝2S n. (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项；(3)若b n ＝1a 2n (n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：T n ＜53.[解析] (1)令n ＝1，得a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1， ∵a 1>0，∴a 1＝1. (2)∵a 2n ＋a n ＝2S n ，①∴a 2n ＋1＋a n ＋1＝2S n ＋1，②②－①得，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0， ∴a n ＋1－a n ＝1， ∴a n ＝1＋1×(n －1)＝n .③n ＝1时b 1＝1<53符合；n ≥2时，∵1n 2<1n 2－14＝44n 2－1＝2(12n －1－12n ＋1)， ∴∑k ＝1n1k 2<1＋2(13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)<1＋23＝53.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <53.(理)(2015·深圳五校联考)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，S n 是数列{b n }的前n 项和，且有S n2＝1＋n －1n b n.(1)证明：数列{1a n －1}为等差数列；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)设c n ＝a nb n ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1.[解析] (1)证明：∵a n ＝2a n －1－1a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝2a n －1－1a n －1－1＝a n －1－1a n －1，∴1a n －1＝a n －1a n －1－1＝(a n －1－1)＋1a n －1－1＝1a n －1－1＋1(n ≥2)， ∴1a n －1－1a n －1－1＝1(n ≥2)， ∴数列{1a n －1}是以1a 1－1＝2为首项，1为公差的等差数列．(2)当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2＋2n －2n b n )－(2＋2n －4n －1b n －1)＝2n －2n b n －2n －4n －1b n －1，∴b n n ＝2n －1b n －1，即b n b n －1＝2n n －1(n ≥2)， ∴b 2b 1×b 3b 2×b 4b 3×…×b n b n －1＝2×21×2×32×2×43×…×2×n n －1，∴b nb 1＝n ·2n －1， ∵b 1＝2，∴b n ＝n ·2n (n ≥2)．当n ＝1时，b 1＝S 1＝2，∴b n ＝n ·2n . (3)由(1)知：1a n －1＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n －1＝1n ＋1，∴a n ＝n ＋2n ＋1.∴c n ＝a n b n ＝n ＋2n (n ＋1)·2n ＝1n ·2n －1－1(n ＋1)2n，∴T n ＝∑i ＝1nc i ＝(1－12×21)＋(12×21－13×22)＋…＋(1n ·2n －1－1(n ＋1)·2n )＝1－1(n ＋1)·2n<1.19．(本小题满分12分)(2014·北京朝阳区期中)如果项数均为n (n ≥2，n ∈N *)的两个数列{a n }，{b n }满足a k －b k ＝k (k ＝1,2，…，n )，且集合{a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n }＝{1,2,3，…，2n }，则称数列{a n }，{b n }是一对“n 项相关数列”．(1)设{a n }，{b n }是一对“4项相关数列”，求a 1＋a 2＋a 3＋a 4和b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值，并写出一对“4项相关数列”{a n }，{b n }；(2)是否存在“15项相关数列”{a n }，{b n }？若存在，试写出一对{a n }，{b n }；若不存在，请说明理由；(3)对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．[解析] (1)依题意，a 1－b 1＝1，a 2－b 2＝2，a 3－b 3＝3，a 4－b 4＝4，相加得， a 1＋a 2＋a 3＋a 4－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＝10，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝36，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝23，b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝13.“4项相关数列”{a n }：8,4,6,5；{b n }：7,2,3,1(不唯一)．(2)不存在．假设存在“15项相关数列”{a n }，{b n }，则a 1－b 1＝1，a 2－b 2＝2，…，a 15－b 15＝15，各式相加得，(a 1＋a 2＋…＋a 15)－(b 1＋b 2＋…＋b 15)＝120，又由已知a 1＋a 2＋…＋a 15＋b 1＋b 2＋…＋b 15＝1＋2＋…＋30＝465，两式相加得，2(a 1＋a 2＋…＋a 15)＝585，显然不可能，所以假设不成立，从而不存在“15项相关数列”{a n }，{b n }．(3)对于确定的n ，任取一对“n 项相关数列”{a n }，{b n }，令c k ＝2n ＋1－b k ，d k ＝2n ＋1－a k (k ＝1,2，…，n )，先证{c n }，{d n }也必为“n 项相关数列”．因为c k －d k ＝(2n ＋1－b k )－(2n ＋1－a k )＝a k －b k ＝k (k ＝1,2，…，n )，又因为{a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n }＝{1,2,3,4，…，2n }，很显然有：{(2n ＋1)－a 1，(2n ＋1)－a 2，…，(2n ＋1)－a n ，(2n ＋1)－b 1，(2n ＋1)－b 2，…，(2n ＋1)－b n |＝{1,2,3，…，2n }，所以{c n }，{d n }也必为“n 项相关数列”．再证数列{c n }与{a n }是不同的数列．假设{c n }与{a n }相同，则{c n }的第二项c 2＝2n ＋1－b 2＝a 2，又a 2－b 2＝2，则2b 2＝2n －1，即b 2＝2n －12，显然矛盾．从而，符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．20．(本小题满分12分)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长．其他费用(保险及维修费用等)第一年为5000元，以后每年递增2000元．而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动汽车的其他费用每年约为5000元．(1)求使用n 年，普通型汽车的总耗资费S n (万元)的表达式(总耗资费＝车价＋汽油费＋其他费用)；(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用．(参考数据：(1.24≈2.1 1.25≈2.5 1.29≈5.2 1.210≈6.2)[解析] (1)依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列，∴使用n 年，汽油费用共计0．6(1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n －1)＝0.6(1－1.2n )1－1.2＝3(1.2n －1)，其他费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n 年其他费用共计0.5＋(0.5＋0.2)＋…＋[0.5＋0.2(n －1)]＝0.5n ＋n (n －1)2×0.2＝0.1n 2＋0.4n ， ∴S n ＝12＋3×1.2n －3＋0.1n 2＋0.4n ＝3×1.2n ＋0.1n 2＋0.4n ＋9(万元)．(2)由(1)知S n ＝3×1.2n ＋0.1n 2＋0.4n ＋9，∴S 10＝3×1.210＋0.1×102＋0.4×10＋9≈3×6.2＋10＋13＝41.6(万元)，又设T 10为电动型汽车使用10年的总耗资费用，则T 10＝25－6－4＋102×1＋0.5×10＝25(万元)， 41．6－25＝16.6(万元)，∴使用10年，普通汽车比电动型汽车多花费16.6万元．答：(1)使用n 年，普通型汽车的总耗资费用S n ＝3×1.2n ＋0.1n 2＋0.4n ＋9，(2)使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元．21．(本小题满分12分)(文)(2015·安徽示范高中联考)数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小． [解析] (1)由题意得，(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)，∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)，∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n ＝(12)n . ∵⎩⎪⎨⎪⎧ T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d ).∴λ＝12，d ＝8，∴b n ＝8n ， ∴T n ＝4n (n ＋1)．(2)令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝14(1－1n ＋1)， ∴18≤C n <14， ∵S n ＝12(1－12n )1－12＝1－(12)n ， ∴12S n ＝12[1－(12)n ]，∴14≤12S n <12， ∴C n <12S n . (理)(2014·长安一中质检)已知{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝18，{b n }是等差数列，b 1＝2，b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝a 1＋a 2＋a 3>20.(1)求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设P n ＝b 1＋b 4＋b 7＋…＋b 3n －2，Q n ＝b 10＋b 12＋b 14＋…＋b 2n ＋8，其中n ∈N ＋，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．[解析] (1)设{a n }的公比为q ，由a 3＝a 1q 2得，q 2＝a 3a 1＝9，∴q ＝±3. 当q ＝－3时，a 1＋a 2＋a 3＝2－6＋18＝14<20，这与a 1＋a 2＋a 3>20矛盾．当q ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2＋6＋18＝26>20，符合题意．设{b n }的公差为d ，由b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝26得，4b 1＋4×32d ＝26，又b 1＝2，∴d ＝3，∴b n ＝3n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝32n 2＋12n . (2)∵b 1、b 4、b 7，…，b 3n －2组成公差为3d 的等差数列，∴P n ＝nb 1＋n (n －1)2·3d ＝92n 2－52n . ∵b 10，b 12，b 14，b 2n ＋8组成公差为2d 的等差数列，∴Q n ＝nb 10＋n (n －1)2·2d ＝3n 2＋26n ， ∴P n －Q n ＝32n (n －19)，故当n ≥20时，P n >Q n ；当n ＝19时，P n ＝Q n ；当n ≤18时，P n <Q n .22．(本小题满分14分)(文)(2015·豫南九校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且a 3是6a 1与a 2的等差中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a .当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)①S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)②①－②得，∴a n ＝a ×a n －1，即a n a n －1＝a ，故数列{a n }是首项为a 1＝a ，公比为a 的等比数列，∴a n ＝a ×a n －1＝a n ，故a 2＝a 2，a 3＝a 3，由a 3是6a 1与a 2的等差中项可得2a 3＝6a 1＋a 2，即2a 3＝6a ＋a 2，因为a >0，所以2a 2－a －6＝0，即(2a ＋3)(a －2)＝0，解得a ＝2或a ＝－32(舍去)． ∴a ＝2.故a n ＝2n .(2)把a n ＝2n 代入b n ＝a n log 2a n ，得b n ＝2n log 22n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，①∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1， ∴T n ＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2.(理)(2015·山东烟台期中)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的各项均为正数，且b n 是n a n 与n a n ＋2的等比中项，求b n 的前n 项和T n . [解析] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋2得a n ＝2S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1a n＝3(n ≥2)．当n ＝1时，a 2＝2S 1＋2＝2a 1＋2＝6，∴a 2a 1＝3，∴a n ＝2×3n －1. (2)由条件知b 2n ＝n a n ·n a n ＋2＝n 24×32n， ∵b n >0，∴b n ＝n 2×3n. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12×31＋22×32＋32×33＋…＋n 2×3n， 13T n ＝12×32＋22×33＋32×34＋…＋n －12×3n ＋n 2×3n ＋1，两式相减得，23T n ＝12×3＋12×32＋12×33＋…＋12×3n －n 2×3n ＋1＝14(1－13n )－n 2×3n ＋1＝14－3＋2n4×3n ＋1.∴T n ＝38－9＋6n 8×3n ＋1.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 [答案]D[解析]因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.2．(2013·某某某某一模)二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28 [答案]C[解析]二项式(x 2－13x )8展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x )r ＝(－1)r C r 82r －8x 8－4r 3，令8－4r 3＝0得r ＝6，∴常数项是(－1)6C 6822＝7，故选C.3．(2013·某某模拟)(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [答案]B[解析]展开式中所有各项系数的和为(2－1)8＝1，其中x 4项的系数为1，∴选B. 4．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项 [答案]D[解析](1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n－1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.5．(2013·某某模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5 D ．25[答案]B[解析](x 2＋x ＋1)(x －1)5＝(x 3－1)(x －1)4，其展开式中x 4项的系数为：－1＋C 34(－1)3＝－5.6．(2013·某某理，7)使(3x ＋1x x)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案]B[解析](3x ＋1x x )n 展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －r xn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使n －52r ＝0，∴r ＝2k ，k ∈N *，n ＝5k .故最小的n 值为5，故选B. 二、填空题7．(2013·日照模拟)已知关于x 的二项式(x ＋a 3x)n 的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．[答案]2[解析]由条件得2n ＝32，∴n ＝5，∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·(a 3x )r ＝a r C r 5x 52－5r6 ，令52－5r 6＝0得r ＝3，∴a 3C 35＝80，∴a ＝2.8．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案]5[解析]法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3.∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1，故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.9．若a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x ＋1x )8展开式中含x 项的系数是________．[答案]1792[解析]a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2. ∵(2x ＋1x )8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(1x )r ＝28－r ·C r 8·x 4－3r 2，令4－3r2＝1得，r ＝2，∴T 3＝26·C 28x ＝1792x ，故所求系数为1792.10．(2013·某某模拟)已知等比数列{a n }的第5项是二项式(x －13x )6展开式的常数项，则a 3a 7＝________.[答案]259[解析](x －13x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(x )6－r ·(－13x )r ＝C r 6·(－13)r ·x 3－3r 2 .令3－3r 2＝0得r ＝2，因此(x －13x )6的展开式中的常数项是C 26·(－13)2＝53，即有a 5＝53， a 3a 7＝(a 5)2＝(53)2＝259.能力拓展提升一、选择题11．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案]B[解析]由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 12．(2013·某某一模)(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案]D[解析]由题意得C 25(3y )5－2(x )2＝10，∴xy ＝1，x >0，y >0，∴y ＝1x ，x >0.故选D. 13．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值X 围是( )A ．(－∞，15)B ．[45，＋∞)C ．(－∞，－45] D ．(1，＋∞)[答案]D[解析]二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值X 围是(1，＋∞)，选D.14．(2013·某某某某质检)若(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．[答案]255[解析]T 6＝C 5n (x 2)n －5(－1x )5＝－C 5n x 2n －15，令2n －15＝1得，n ＝8，令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256，令x ＝0得，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.15．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192[解析]y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值为a ＝2，二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，∴x 2项的系数为(－1)1×25×C 16＝－192. 16．(2013·某某某某期末)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.[答案]364[解析]令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36；令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12；令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．赋值法：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．2．求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式，代入求解或列方程求解，要特别注意项数与指数都是整数．3．求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R *)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即为所求．对于(a －bx )x (a ，b ∈R ＋)，求展开式中系数最大的项，还要考虑符号．4．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法．备选习题1．(2013·某某江门调研)二项式(ax －36)3的展开式的第二项的系数为－32，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为( )A ．3 B.73 C ．3或73 D ．3或－103[答案]C[解析]二项式(ax －36)3的展开式的第二项为 T 2＝C 13(ax )2(－36)＝－32a 2x 2， ∴a 2＝1，即a ＝±1.则⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73，⎠⎛1－2x 2d x ＝13x 3|1－2＝3，故选C. 2．(2012·某某，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 [答案]A[解析]本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12. 3．(2013·某某某某一模)已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．[答案]1或38[解析]由题意知C 48·(－a )4＝1120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.4．(2013·某某师大附中月考)(x －1x )6的展开式中，系数最大的项为第________项．[答案]3或5[解析](x －1x )6的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3,5项系数最大．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案]A[解析]∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x，∴x －2x <0，即x (x －2)<0.解得0<x <2，选A. 2．(文)若a 1b B.1a －b >1bC.－a >－b D ．|a |>－b [答案]B[解析]取a ＝－2，b ＝－1，逐一检验即可知选B. (理)设00，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12)b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可取特值a ＝12，b ＝14检验．3．(文)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)[解析]由题意知－12、－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，由韦达定理得，－12＋(－13)＝ba ，－12×(－13)＝－1a. ∴a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，∴2<x <3.(理)关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 [答案]C[解析]方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.4．已知a 1<a 2<a 3<0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值X 围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a 1，0B.⎝⎛⎭⎫2a 1，0 C.⎝⎛⎭⎫1a 3，0D.⎝⎛⎭⎫2a 3，0 [答案]B[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 1x <1，－1<1－a 2x <1，－1<1－a 3x <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1<x <0，2a 2<x <0，2a 3<x <0.∵a 1<a 2<a 3<0，∴0>2a 1>2a 2>2a 3，∴2a 1<x <0，故选B. 5．(文)(2013·东城区统一检测)“x 2－2x －3>0成立”是“x >3成立”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析]由x 2－2x －3>0得x <－1或x >3，所以x 2－2x －3>0是x >3成立的必要不充分条件． (理)(2013·某某一模)若a 、b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]∵当x ∈[－1,0]时，恒有ax ＋b >0成立， ∴当x ＝－1时，b －a >0，当x ＝0时，b >0， ∴2b －a >0，∴甲⇒乙；但乙推不出甲，例如：a ＝32b ，b >0时，则2b －a ＝12b >0，但是，当x ＝－1时，a ·(－1)＋b ＝－32b ＋b ＝－12b <0，∴甲是乙的充分不必要条件．6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定 [答案]B[解析]由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N ，选B. 二、填空题7．(文)(2013·某某期末)若a 1<a 2，b 1a 1b 2＋a 2b 1[解析]作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.(理)(2013·某某一模)给出下列四个命题： ①若a >b >0，则1a >1b ；②若a >b >0，则a －1a >b －1b ；③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >ab；④设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)． [答案]②[解析]①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab <0，∴①错误．②若a >b >0，则1a <1b ，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b 正确．∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b (2a ＋b )－a (a ＋2b )(a ＋2b )b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b －a )(b ＋a )(a ＋2b )b<0，∴③错误．④当a －b <0时此式不成立，∴④错误．8．(2012·某某某某统考)已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝(12)x －m ，若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________．[答案][－52，＋∞)[解析]要使对∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)≥g (x 2)，只需使f (x )在区间[1,2]上的最小值大于等于g (x )在区间[－1,1]上的最小值即可．因为f ′(x )＝2(x 3－1)x 2≥0对x ∈[1,2]恒成立，所以函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，从而函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为f (1)＝3.易知函数g (x )在区间[－1,1]上单调递减，故函数g (x )在区间[－1,1]上的最小值为g (1)＝12－m .由题意得3≥12－m ，解得m ≥－52.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)，0 (x <0)，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案](－∞，1][解析]原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤2x ≥0或②⎩⎨⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]． (理)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0的解集是________．[答案]{x |x <－1或x >2}[解析]不等式x 2－(x ＋1)sgn x －1>0化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－x －2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2－(x ＋1)×0－1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋x >0. ∴x >2或x <－1. 三、解答题10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8(0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么X 围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析]依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)，8.2－x (x >5).(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7， ∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的X 围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知a >b >0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b ，P ＝logc a ，N ＝log c b ，M ＝log c (ab )，则有( )A ．P <M <NB ．M b >0，且ab ＝1，所以a >1,02ab ＝2，c ＝2a ＋b <1，所以log c a <log c (ab )<log c b ，即P <M <N ，选A.(理)已知0<a 0 B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b <12D ．log 2a ＋log 2b <－2[答案]D[解析]当a ＝14，b ＝34时A 不成立；对B 有2a －b <12⇒2a －b <2－1⇒a －b <－1，又a ＋b ＝1，可得a <0，与a >0矛盾；对C 有2b a ＋a b <12⇒2b a ＋a b <2－1⇒b a ＋a b <－1，与b a ＋ab >2(∵a ≠b ，且a >0，b >0)矛盾，故选D.12．(文)已知x ∈R ，A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝x 2＋9x ＋20，则A 、B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A ＝B C ．A 1时A >B ，当x ＝1时A ＝B ，当x <1时A aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b [答案]A[解析]解法1：特值法：令a ＝0，则b ＝1，c ＝5， ∴c >b >a ，排除B 、D ；令c ＝b ，则a ＝2，∴b ＝c ＝5，也满足b >a ，排除C ，选A. 解法2：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2， ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴1＋a 2>a ，∴b >a ，∴c ≥b >a .13．(2013·某某名校模拟)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) [答案]C[解析]把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.二、填空题14．(文)若关于x 的不等式2x 2－(2a ＋1)x ＋a <0的整数解有且仅有1、2，则实数a 的取值X 围是________．[答案](2,3][解析]将不等式变形为：(2x －1)(x －a )<0，由题设条件知a >12，∴12<x <a ，∵不等式的整数解有且仅有1、2，∴2<a ≤3.(理)已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，比较S 3a 3与S 5a 5的大小，结果为________．[答案]S 3a 3<S 5a 5[分析] 可以利用等比数列前n 项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意对公比的分类讨论．[解析]当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.三、解答题15．已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >yy ＋b .[解析]∵x >y >0，∴0<1x <1y，∵b >a >0，∴0<a x yy ＋b.16．(文)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，某某数a 的取值X 围． [解析](1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，所以当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，所以f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立．又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，解法一：设g (x )＝ax ＋a －1，则要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≥0，g (1)≥0，成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，2a －1≥0，解得a ≥1. 解法二：要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立，因为x >0，所以a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，∴g (x )≤1，∴a ≥1.(理)(2013·某某模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．[解析](1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )(a ≠0)，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .考纲要求1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．3．了解证明不等式的基本方法——比较法． 4．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．补充材料1．实际应用中不等关系与数学语言间的转换将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换．2．利用不等式性质求数(式)的取值X 围应用不等式的性质求多个变量线性组合的X 围问题时，由于变量间相互制约，“取等号”的条件会有所不同，故解此类题目要特别小心．一般来说，可采用整体换元或待定系数法解决．3．数的大小比较比较数或式的大小时，可以利用不等式的性质进行比较；也可以作差(与0比)和作商(与1比)比较；还可以利用函数的单调性进行比较，要注意结合题目的特点选取恰当的方法．4．含参数的不等式问题一般分为两类：一类是已知参数的取值X 围，求不等式的解；另一类是求使不等式有解(或恒成立)的参数的取值X 围，求解时要注意分类讨论．对于含参数的一元二次不等式，往往既要按二次项系数a 的正负分类，又要按判别式Δ的符号分类．5．恒成立问题一般地，a >f (x )恒成立，f (x )的最大值为M ，则a >M ； a <f (x )恒成立，f (x )的最小值为m ，则a <m . 6．求解含参不等式恒成立问题的常用方法 (1)变换主元，转化为一次函数问题；(2)转化为二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想求解． (3)分离参变量，构造函数求最值． 7．不等式的解法 (1)分式不等式的解法先通分化为一边为f (x )g (x )，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B <0⇔A ·B <0；A B ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ·B ≥0B ≠0；A B ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≤0B ≠0. 如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．(2)高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论；二是平方法．(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．(6)超越不等式讨论解的个数可用图解法．8．(1)无理不等式和含绝对值的不等式多数题目都可以用平方法求解，平方后要注意取值X 围是否发生变化．(2)关于不等式解集的选择题，大多能用检验排除法求解．(3)去掉绝对值号时可以用绝对值的定义．(4)含无理式时，必须注意定义域的制约．(5)注意方程的根、函数的零点，不等式解集的端点三者之间的关系．备选习题1．设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则( ) A ．a log 33＝12，因此c <a x 2－2x ＋5成立，∴m >5，故选B.3．设a ＋b <0，且b >0，则( )A ．b 2>a 2>abB ．b 2<a 2<－abC ．a 2<－ab －ab >b 2[答案]D[解析]由a ＋b <0，b >0，可得a <0,00，b 2＋ab ＝b (b ＋a )<0，可知B 错误，D 正确．[点评] 可对a 、b 取特值检验．4．(2013·某某莱州一中质检)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <4}，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |x >12或x <14}B ．{x |x <14} C ．{x |x >12} D ．{x |12<x <14} [答案]A[解析]由条件知a <0且b a ＝－6，c a＝8，∴b ＝－6a ，c ＝8a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0化为8ax 2－6ax ＋a <0，∴8x 2－6x ＋1>0，∴x <14或x >12，故选A. 5．(2013·某某模拟)设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值X 围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π) [答案]D[解析]由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．设A ＝log 201320141111＋120142222＋1，B ＝log 201320142222＋120143333＋1，则A 与B 的大小关系为________． [答案]A >B[解析]设20141111＝x ，则x >1，A ＝log 2013x ＋1x 2＋1，B ＝log 2013x 2＋1x 3＋1， ∵x ＋1x 2＋1－x 2＋1x 3＋1＝x (x －1)2(x 2＋1)(x 3＋1)>0， y ＝log 2013x 为增函数，∴log 2013x ＋1x 2＋1>log 2013x 2＋1x 3＋1，即A >B .。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2012·某某示X 高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |[答案]B[解析]y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数，故选B.(理)(2014·常熟诊断)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x[答案]D[解析]y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(文)函数f (x )(x ∈R )是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2014)的值为( )A ．aB ．－aC ．0D ．2a[答案]B[解析]∵f (x )周期为3，∴f (2014)＝f (671×3＋1)＝f (1)，∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ，∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2013·某某育才中学模拟)已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6B.π3C.π4D.π2[答案]D[解析]由f (x ＋α)＝f (x ＋3α)得f (x )＝f (x ＋2α)，∴f (x )周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝π2. 3．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1 B.114C ．1D ．－114[答案]A[解析]f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2013·东北三省第一次大联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝3，则f (2012)＋f (2014)＋f (－2.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．3[答案]C[解析]∵f (x )为偶函数，f (x －1)为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (2014)＝－f (2012)，∴f (2014)＋f (2012)＝0；又f (－2.5)＝f (－1.5－1)＝－f (1.5－1)＝－f (0.5)＝－3，故选C.4．(文)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )[答案]C[解析]函数f (x )＝ln(x ＋1)的图象由f (x )＝ln x 的图象向左平移1个单位得到，选取x >0的部分，然后作关于y 轴的对称图形即得．(理)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0 [答案]C[解析]∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．(2013·某某模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 126)的值为( ) A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6 [答案]C[解析]∵f (x )为奇函数，log 126＝－log 26，∴f (log 126)＝－f (log 26)，∵2＝log 24<log 26<log 28＝3，f (x )的周期为2，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)＝2log 232－1＝12， ∴f (log 126)＝－12. 6．(文)(2013·某某)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案]B[解析]∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，所以g (1)＝3.故选B. (理)(2013·某某模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )A ．10 B.110C ．－10D ．－110[答案]B[解析]由f (x ＋6)＝f (x )知该函数为周期函数，所以f (107.5)＝(6×18－12)＝f (－12)＝－1f (52) ＝－1f (－52)＝－1－10＝110. 二、填空题7．若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案]0[解析]由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值X 围是______．[答案](－3,1)[解析]依题意得，函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)>f (2a )，只需3－a 2>2a .由此解得－3<a <1，即实数a 的取值X 围是(－3,1)．9．(文)若f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R )是奇函数，则a ＝________. [答案]－1[解析]∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝1， ∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－a a ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]2π3[解析]∵f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)．∴f (x )＋f ′(x )＝sin(3x ＋φ)＋3cos(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )．又∵0<φ<π，∴k ＝1时，φ＝2π3. 三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，某某数t 的取值X 围．[解析](1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a ＝0，解得a ＝2. (2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y，由2x >0知1＋y 1－y>0， ∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤0，22－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值X 围．[解析](1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴当a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ，若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾；若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾，∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数．(2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)． ∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227. 能力拓展提升一、选择题11．(文)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2[答案]B[解析]由f (2)＝0，得f (5)＝0，∴f (－2)＝0，f (－5)＝0.∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，∴1、2、4、5是f (x )＝0的解．故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有四个．(理)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝－f (x )，且当x ∈[0,1]时有f (x )＝－x 2＋1，当x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2，f (x )＝0在[－1,5]上有5个根x i (i ＝1,2,3,4,5)，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案]D[解析]∵f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∵x ∈[0,1]时，f (x )＝－x 2＋1，∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 2＋1，即x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，又x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2，∴x ∈[－2，－1)时，f (x )＝－x －2，∴x ∈[2,3)时，f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－2＝2－x .从而可知在[－1,5]上有f (－1)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0，f (3)＝0，f (5)＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝10，故选D.12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值X 围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]B[解析]∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－lg(－x )，且f (0)＝0，∴f (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，lg x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－lg (－x )>0，解得x >1或－1<x <0.13．(2013·某某一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P (x ，y )满足x 24＋y 2＝1，若函数y ＝f (x )的值域是(－1,1)，则f (x )一定是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．单调函数D ．幂函数[答案]A[解析]设P (x ，y )在函数图象上，则由条件知P ′(－x ，－y )也在函数图象上，所以f (－x )＝－f (x )，函数一定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A.二、填空题14．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x(a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________． [答案]1或－1[解析]f (－x )＝a －e －x1＋a e －x ＝a e x －1e x ＋a f (x )＋f (－x )＝(a －e x )(a ＋e x )＋(1＋a e x )(a e x －1)(1＋a e x )(e x ＋a )＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1(1＋a e x )(e x ＋a )＝0恒成立，所以a ＝1或－1.15．(文)(2013·某某质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．[答案]①②④[解析]令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(理)(2013·某某质检)已知函数f (x )满足下面关系：(1)f (x ＋π2)＝f (x －π2)； (2)当x ∈(0，π]时，f (x )＝－cos x .给出下列命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于y 轴对称；④方程f (x )＝lg|x |解的个数是8.其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)．[答案]①④[解析]由f (x ＋π2)＝f (x －π2)，可得f (x ＋π)＝f (x )，即可得函数f (x )是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f (0)＝f (π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f (x )不是奇函数，即命题②不正确；由f (－π3)＝f (2π3)＝－cos 2π3＝12≠f (π3)＝－12，可得函数f (x )不是偶函数，其函数图象不关于y 轴对称，即命题③不正确；函数f (x )与函数y ＝lg|x |在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f (x )＝lg|x |有8个解，即命题④正确．综上可得正确的命题的序号是①④.三、解答题16．(文)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析](1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x 为增函数，y ＝－1ex 为增函数，∴f (x )为增函数． (2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )，∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )，∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x .由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立，当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14. ∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12. 故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立． (理)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0且a ≠1)是奇函数． (1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析](1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1.(也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m )(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0.∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数，∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)，由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.考纲要求结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义．补充材料1．牢记：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；奇函数若在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；奇偶函数的单调性，图象的对称性．2．把握四个考向：奇偶性判断；由奇偶性求参数值；求周期；函数性质的综合应用． 3．突破三个难点综合利用奇偶性、周期性求函数值；抽象函数性质的讨论；函数不等式的求解．备选习题1．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数[答案]D[解析]由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数m (x )＝lg(1＋x )是增函数，函数n (x )＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝m (x )－n (x )是增函数．选D.2．(2013·某某育才中学模拟)若奇函数f (x )在R 上是增函数，且a ＋b >0，则有( )A ．f (a )－f (b )>0B ．f (a )＋f (b )<0C ．f (a )＋f (b )>0D ．f (a )－f (b )<0[答案]C[解析]由a ＋b >0得a >－b ，因为f (x )在R 上是奇函数且为增函数，所以f (a )>f (－b )，即f (a )>－f (b )，故选C.3．(2013·琼海市嘉积中学质检)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )在区间[0,6]上零点的个数有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个[答案]B[解析]当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则有f (0)＝f (1)＝0，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以函数y ＝f (x )在区间[0,6]上有f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，所以有7个．4．(2012·某某某某质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)[答案]D[解析]由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与f (x )的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x <0，f (－x )， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D. 5．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x (x ⊕2)－2( ) A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案]B[解析]f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.6．(2013·某某质检)设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－4)＝2，则f(2014)＝________.[答案]－2[解析]由已知f(x＋3)＝－1f(x)，∴f(x＋6)＝－1f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6.∴f(2014)＝f(335×6＋4)＝f(4)＝－f(－4)＝－2.。

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阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·山东省博兴二中质检)“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若两直线垂直，则3m ＋m (2m －1)＝0，∴m ＝0或－1，故选A.2．(2014·天津市六校联考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [答案] C[解析] 由条件知，|a －0＋1|2≤2，∴－3≤a ≤1，故选C.3．(文)(2014·山西曲沃中学期中)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时，可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B.(理)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 、b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1b C ．0<a 1b >0，则0<a 0，∵a 2＝9，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝9＋m ，∴c ＝9＋m ，∵双曲线的一个焦点在圆上，∴9＋m 是方程x 2－4x －5＝0的根，∴9＋m ＝5，∴m ＝16，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.5．(文)(2014·银川九中一模)设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( )A ．1 B.2 C.3 D ．2 [答案] D[解析] ∵直线AB ：y ＝x 过圆心，∴|AB |＝2，故选D. (理)(2014·北京西城区期末)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是( )A ．y ＝x ＋2－ 2B ．y ＝x ＋1－12C ．y ＝x －2＋ 2D ．y ＝x ＋1－ 2[答案] A[解析] 由已知得M (22－1，－22＋1)，又切线斜率为1，故切线方程为y ＋22－1＝x －22＋1，即y ＝x ＋2－ 2.6．(文)(2014·佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.33D.22[答案] D[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22.(理)(2014·吉林省实验中学一模)如图，F 1、F 2是双曲线C 1：x 2－y23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1、C 2在第一象限的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13B.23 C.23或25 D.25[答案] B[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得，|AF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝21＋3＝4， ∴c ＝2，|AF 1|－|AF 2|＝2，∴|AF 2|＝2，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，∴a ＝3，∴e ＝c a ＝23.7．(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y 2＝4x 图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．10B ．8C ．6D ．4 [答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.8．(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1 B.x 26＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1 [答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C.9．(文)(2014·浙北名校联盟联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P ，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，若PM →·PN→＝2b 2，则该双曲线的离心率为( ) A.63 B. 3 C.62 D. 2[答案] C[解析] 由条件知，双曲线两渐近线方程为y ＝±ba x ，设P (x 0，y 0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，∴x 20－a 2y 20b 2＝a 2，由y ＝y 0与y ＝±b a x 得M (－ay 0b ，y 0)，N (ay 0b ，y 0)，∵PM →·PN →＝(－ay 0b －x 0,0)·(ay 0b －x 0,0)＝x 20－a 2y 20b 2＝a 2＝2b 2，又b 2＝c 2－a 2，∴3a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝62.(理)(2014·陕西工大附中四模)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右两支．．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] D [解析]如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ，在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e>1，∴e ＝ca ＝7，故选D.10．(文)(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝b a x ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－b a x ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－ba )2－8＝0，即(b a )2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋(b a )2＝1＋8＝3.故选B.(理)(2014·银川九中一模)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程为y ＝x 知，b2＝1，∴b ＝2，∵点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 0＝±1， y 0＝1时，P (3，1)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1→·PF 2→＝0，y 0＝－1时，P (3，－1)，PF 1→·PF 2→＝0，故选C.11．(文)(2014·山西曲沃中学期中)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17[答案] A[解析] ⊙C 1的圆心C 1(2,3)，半径r ＝1，⊙C 2的圆心C 2(3,4)，半径R ＝3，设E 为x 轴上任一点，EC 1交⊙C 1于A ，EC 2交⊙C 2于B ，则|EA |＋|EB |＝|EC 1|＋|EC 2|－4为E 到⊙C 1与⊙C 2上的点的距离之和的最小值，而|EC 1|＋|EC 2|的最小值为|C 1′C 2|(其中C 1′为C 1关于x 轴的对称点)，∴当P 为直线C 1′C 2：7x －y －17＝0与x 轴的交点(177，0)时，|PM |＋|PN |取到最小值，|PC 1|＋|PC 2|－4＝(177－2)2＋9＋(177－3)2＋16－4＝1527＋2027－4＝52－4，故选A. (理)(2014·武汉市调研)如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为()A.3＋1 B．23＋2C.3－1 D．23－2[答案] D[解析]连接AC、OC，过D作DE⊥AB，垂足为E，由题意知，梯形ABCD为等腰梯形．设∠CAB＝α，∵AB为⊙O的直径，AB＝4，∴∠ACB为直角，∴AC＝4cosα，BC＝4sinα，AE＝AD cos∠DAE＝BC cos∠CBA＝4sinα·sin∠CAB＝4sin2α，∴CD＝2(AO－AE)＝4(1－2sin2α)，∴梯形的周长l ＝AB ＋2BC ＋CD ＝4＋8sin α＋4(1－2sin 2α)＝－8sin 2α＋8sin α＋8＝－8(sin α－12)2＋10，显然当sin α＝12时，周长l 取最大值，∵α为锐角，∴cos α＝32，此时2a ＝CA －CB ＝4cos α－4sin α＝23－2，故选D.12．(2014·海南省文昌市检测)设F 1、F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·天津市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．[答案] x 24－y 23＝1[解析] 椭圆中，a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝7，∴离心率e 1＝74，焦点(±7，0)，∴双曲线的离心率e 2＝c a ＝72，焦点坐标为(±7，0)，∴c ＝7，a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝3，∴双曲线方程为x 24－y 23＝1.(理)(2014·三峡名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝________.[答案] 32[解析] 由条件知b a ＝12，即a ＝2b ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，c ＝3b ，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝32.14．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．[答案] e ＝32[解析] 抛物线的焦点为F (3,0)，椭圆的方程为：x 23k ＋y 23＝1，∴3k －3＝9，∴k ＝4，∴离心率e ＝323＝32. 15．(2014·浙北名校联盟联考)已知直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内相切于点C ，并且分别与x ，y 轴相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为________．[答案] 2[解析] 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，l ：x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，∵l 与⊙O 相切，∴ab a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝a 2b 2， ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)2≥4a 2b 2＝4(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥4，∴a 2＋b 2≥2，即|AB |的最小值为2.16．(2014·山西曲沃中学期中)在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W .(1)给出下列三个结论：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y ＝x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________；(2)曲线W 上的点到原点距离的最小值为________．[答案] (1)②③ (2)2－ 2[解析] 由条件知：|x |＋|y |＝(x －1)2＋(y －1)2，两边平方得，|xy |＝－x －y ＋1，当xy ≥0时，xy ＝－x －y ＋1， ∴y ＝1－x 1＋x ＝21＋x－1，当xy <0时，－xy ＝－x －y ＋1，∴(x －1)(y －1)＝0，∴x ＝1(y <0)或y ＝1(x <0)，∴曲线W 如图所示．由图易知：W 的图象关于直线y ＝x 对称，关于原点不对称，W与x 轴、y 轴非负半轴围成图形的面积S <12×1×1＝12，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1－x 1＋x ，x >0，得x ＝y ＝2－1，∴A (2－1，2－1)到原点距离d ＝(2－1)2＋(2－1)2为W 上点到原点距离的最小值．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·银川九中一模)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．[解析] 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，r ＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y .得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切；②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．(理)(2014·广东执信中学期中)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|NP →|＝MN →·MP→. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点A (t,4)是动点P 的轨迹上的一点，K (m,0)是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4的位置关系．[解析] (1)设P (x ，y )，则MN→＝(2,0)，NP →＝(x －1，y )，MP →＝(x ＋1，y )．∵|MN →|·|NP →|＝MN →·MP→， ∴2(x －1)2＋y 2＝2(x ＋1)，化简得y 2＝4x .所以动点P 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由A (t,4)在轨迹y 2＝4x 上，则42＝4t ，解得t ＝4，即A (4,4)．当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时直线AK 与圆x 2＋(y－2)2＝4相离．当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m (x －m )，即4x ＋(m －4)y －4m ＝0.圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2，令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2<2，解得m <1；令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2＝2，解得m ＝1；令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2>2，解得m >1. 综上所述，当m <1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相交；当m ＝1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相切；当m >1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．18．(本小题满分12分)(2014·山东省博兴二中质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为3.∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.① 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)(文)(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧ y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2，解得b ＝22. (理)(2014·陕西工大附中四模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．①当直线l 的倾斜角为45°时，求|MN |的长；②求△MF 1N 的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF 1N 的内切圆的面积取最大值时直线l 的方程．[解析] (1)由已知，得a 2－b 2＝c 2＝1，且1a 2＋94b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①由⎩⎨⎧ y ＝x －1，x 24＋y 23＝1，消去x 得7x 2－8x －8＝0，解得x 1＝4＋627，x 2＝4－627.则|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247. ②设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧ x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x 得，(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，显然Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4，设△MF 1N 的内切圆半径为r ，由S △MF 1N ＝12(|MF 1|＋|NF 1|＋|MN |)·r ＝4r 可知，当S △MF 1N 最大时，r 也最大，△MF 1N 的内切圆面积也最大，由S △MF 1N ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4，令t ＝m 2＋1，则t ≥1，且m 2＝t 2－1，则 S △MF 1N ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t ，令f (t )＝3t ＋1t (t ≥1)，则f ′(t )＝3－1t 2>0，从而f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，故有f (t )≥f (1)＝4，所以S △MF 1N ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，S △MF 1N 有最大值3，即r max ＝34，这时△MF 1N 的内切圆面积的最大值为916π，直线l 的方程为x ＝1.20．(本小题满分12分)(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形AMBF 2为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵c ＝1，b 2a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在符合条件的点M (x 0，y 0)，设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 得：(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，由条件知Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4， ∴AB 的中点为(－43m 2＋4，3m 3m 2＋4)， ∵四边形AMBF 2为平行四边形，∴AB 的中点与MF 2的中点重合，即⎩⎨⎧x 0＋12＝－43m 2＋4，y 02＝3m 3m 2＋4.∴M (－3m 2＋123m 2＋4，6m 3m 2＋4)，把点M 的坐标代入椭圆C 的方程得：27m 4－24m 2－80＝0，解得m 2＝209， ∴存在符合条件的直线l ，其方程为：y ＝±3510(x ＋1)．(理)(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 作斜率为－22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM→＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．[解析] (1)由题意可得圆的方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵直线x －y ＋2＝0与圆相切，∴d ＝22＝b ，即b ＝1，又e ＝c a ＝22，及a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵直线l 过点F (1,0)，且斜率为k ＝－22， ∴l 的方程为y ＝－22(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－22(x －1)，消去y 得2x 2－2x －1＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－12，于是⎩⎨⎧x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝22.又OM →＋ON →＋OH →＝0，得OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)，即H (－1，－22)，而点G 与点H 关于原点对称，于是可得点G (1，22)． ∴k GH ＝22.若线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，则有l 1：y －24＝2(x －12)，l 2：y ＝－2x .联立方程组⎩⎨⎧y －24＝2(x －12)，y ＝－2x .解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－28)．因此，可求得|O 1H |＝(98)2＋(328)2＝3118，|O 1M |＝(x 1－18)2＋(y 1＋28)2＝3118.所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为3118.21．(本小题满分12分)(文)(2014·山西省太原五中月考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点(1，32)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量为d ＝(2,1)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：|P A |2＋|PB |2为定值．[解析] (1)因为C 的焦点在x 轴上且长轴长为4，故可设椭圆C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(2>b >0)，因为点(1，32)在椭圆C 上，所以14＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (m,0)(－2≤m ≤－2)，由已知，直线l 的方程是y ＝x －m2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12(x －m )，x 24＋y 2＝1，消去y 得，2x 2－2mx ＋m 2－4＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两个根，所以有，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－42，所以，|P A |2＋|PB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1－m )2＋14(x 1－m )2＋(x 2－m )2＋14(x 2－m )2＝54[(x 1－m )2＋(x 2－m )2] ＝54[x 21＋x 22－2m (x 1＋x 2)＋2m 2] ＝54[(x 1＋x 2)2－2m (x 1＋x 2)－2x 1x 2＋2m 2] ＝54[m 2－2m 2－(m 2－4)＋2m 2]＝5(定值)．所以，|P A |2＋|PB |2为定值．(理)(2014·绵阳市南山中学检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过(1,1)与(62，32)两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA |＝|MB |.求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2为定值．[解析] (1)将(1,1)与(62，32)两点坐标代入椭圆C 的方程得， ⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋1b 2＝1，32a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝32.∴椭圆C 的方程为x 23＋2y 23＝1.(2)由|MA |＝|MB |知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2(1a 2＋1b 2)＝2.同理，若点A 、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2(1a 2＋1b 2)＝2.②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1k x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2，y 21＝3k 21＋2k 2， ∴|OA |2＝|OB |2＝x 21＋y 21＝3(1＋k 2)1＋2k 2，同理|OM |2＝3(1＋k 2)2＋k 2，所以1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝2×1＋2k 23(1＋k 2)＋2(2＋k 2)3(1＋k 2)＝2，故1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝2为定值．22．(本小题满分14分)(2014·长沙市重点中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当直线l 的斜率为1时，坐标原点O 到直线l 的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0， ∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，由已知得，c 2＝22，∴c ＝1.由e ＝c a ＝33，得a ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝ 2. ∴所求椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB→成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由(1)，知C 的方程为x 23＋y 22＝1.由题意知，l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝ty ＋1.由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，x 23＋y 22＝1.消去x 并化简整理得，(2t 2＋3)y 2＋4ty －4＝0.由韦达定理，得y 1＋y 2＝－4t2t 2＋3， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2 ＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3，∴P (62t 2＋3，－4t2t 2＋3)．∵点P 在C 上，∴(62t 2＋3)23＋(－4t 2t 2＋3)22＝1，化简整理得，4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2＝12. 当t ＝22时，P (32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0；当t ＝－22时，P (32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0.故C 上存在点P (32，±22)，使OP →＝OA →＋OB →成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.。

【试题库】(人教B版)(数学)(一轮复习)【走向高考·2015】阶段性测试题八

2015学年第二学期八阶段考(新)

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