2018届高三数学每天一练半小时：第18练 用导数研究函数的单调性 Word版含答案
2018届高三数学每天一练半小时：第28练 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质含答案
训练目标 (1)三角函数图象的简图；(2)三角函数图象的变换．训练题型(1)“五点法”作简图；(2)已知函数图象求解析式；(3)三角函数图象变换；(4)三角函数图象的应用．解题策略 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的基本画法“五点法”作图；(2)求函数解析式时φ可采用“代点法”；(3)三角函数图象每一次变换只针对“x ”而言；(4)利用图象可解决方程解的个数、不等式问题等.一、选择题1．已知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ，在直角坐标系下利用“五点法”作f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．－π3，0，π2，2π3，πC ．－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3D ．－π3，0，π2，π，3π2，5π32．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)3．已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( ) A ．向左平移512π个单位B ．向右平移512π个单位C ．向左平移1112π个单位D ．向右平移1112π个单位4．(2016·长春三调)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.325.(2016·南阳期中)如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 的面积最大时PM →·PN →＝0，则ω等于( )A.π4B.π3C.π2D ．86.(2017·郑州质检)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733C.833D ．4 37．(2016·开封第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r二、填空题8．(2016·辽源联考)若0≤x ≤π，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的单调递增区间为__________．9．(2016·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．10．关于x 的方程3sin 2x ＋cos 2x ＝k ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两相异实根，则k 的取值范围是__________．11．(2016·皖北协作区联考)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称.答案精析1．C [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，当2x ＋π3＝－π3，0，π2，π，3π2，5π3时，x 的值分别为－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3，故选C.] 2．D [当x ＝0时，f (x )＝1，代入验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.]3．A [由题意得ω＝2，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位即可得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．]4．A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象．又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3.又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 5．A [由图象可知，当P 位于M 、N 之间函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象的最高点时，△MPN 的面积最大．又此时PM →·PN →＝0，∴△MPN 为等腰直角三角形， 过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PQ ＝2， 则MN ＝2PQ ＝4，∴周期T ＝2MN ＝8. ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.故选A.]6．C [依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2PQ ＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4，f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833.] 7．C [f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π. ∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9是最大值．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .] 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ·(－sin x )＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )，又0≤x ≤π，则函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.9．8解析 由图象知y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8. 10．[0,1) 解析3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，作出函数y ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6和y ＝k ＋1的大致图象如图所示，由图象易知当1≤k ＋1<2，即0≤k <1时，方程有两相异实根．11．①③④⑤解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确；因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin(－π6＋π3)＝1≠0，所以②不正确； 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，所以③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，所以④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－g (x )，所以⑤正确．。
2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测试卷(一)有答案
一、选择题1．如图所示的Venn 图中，阴影部分对应的集合是( )A ．A ∩B B ．∁U (A ∩B )C ．A ∩(∁U B )D ．(∁U A )∩B2．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”B ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0”C ．“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0”D ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于() A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥－1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1≤x <1}5．下列各组函数中是同一个函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <c <bD ．a <b <c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t x，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1) 10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}．(1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M；(2)设关于x的不等式(x－a)(x＋a－2)<0(a∈R)的解集为N，若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .]7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )，即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]．∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的函数．若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3；若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0；若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.] 12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22， 当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2， 因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．]13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3.14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)． 16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0， 解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立，∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，解得m ≥1或m ≤－6.又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．(2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12. 综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2. 19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]． 当t ＝－32，即log 3x ＝－32， 即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14. 综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}． 21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)． (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， 当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x <－1时，f (x )＝1恒成立．∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a <0， 取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0， 即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1，∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]．。
2018届高三数学每天一练半小时：第13练 函数与方程含答案
一、选择题1．(2017·长沙调研)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)2．(2016·四川眉山仁寿一中段考)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．63．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3，则f (x )的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，18C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，16．已知函数f (x )＝x ＋sin x ＋2x－12x ＋1，且方程f (|f (x )|－a )＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－1,2)D ．(－1,2)7．(2016·太原期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)8．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．(2015·湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．10．(2016·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.11．定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.则函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数为________．12．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根；②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有7个根；④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根．其中正确命题的序号为________.答案精析1．C [∵函数f (x )＝|x －2|－ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f (1)＝1>0，f (2)＝－ln 2<0，f (3)＝1－ln 3<0，f (4)＝2－ln 4>0，f (5)＝3－ln 5>0，∴f (1)·f (2)<0，f (3)·f (4)<0.∴函数的零点在(1,2)，(3,4)上，故选C.]2．C [方程f (x )＝log 3|x |的零点个数，即函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |图象的交点个数，作函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选C.]3．C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点，当x >0时，f (x )＝2x＋x －3＝0，则2x＝－x ＋3，分别画出函数y ＝2x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点， 所以函数f (x )有一个零点，又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C.]4．D [当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝0，0<14m<2.解①得－18<m <0或0<m <38，解②得m ∈∅，解③得m ＝38.综上可知－18<m ≤38，故选D.]5．A [令f (x )－mx ＋2＝0，则f (x )＝mx －2，设g (x )＝mx －2，可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3与函数g (x )的图象有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象，其中A (0，－2)，B (3,1)，C (4,0)，可知直线g (x )＝mx －2应介于直线AB 与直线AC 之间，其中k AB ＝1，k AC ＝12，故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选A.]6．B [由于f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称．由于(x ＋sin x )′＝1＋cos x ≥0，且2x－12x ＋1＝1－22x ＋1为增函数．故f (x )为R 上的增函数，且f (0)＝0.所以|f (x )|－a ＝0，即|f (x )|＝a 有两个不同的实数根，|f (x )|的图象是由f (x )图象的将x <0的部分关于x 轴对称翻折上来，x >0部分保持不变所得，所以a ∈(0，＋∞)．]7．D [由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，即为f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，则f (x )是周期为4的函数．当x ∈[－2,0)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，可得x ∈(0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1.在同一坐标系内作出f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)在区间(－2,6)内的图象，若要使它们有4个交点，则0<log a (6＋2)<1，即a >8，故选D.]8．B [令sgn(ln x )－ln 2x ＝0，得当ln x >0，即x >1时，1－ln 2x ＝0，解得x ＝e ； 当ln x <0，即0<x <1时，－1－ln 2x ＝0，无解； 当ln x ＝0，即x ＝1时，成立．故方程sgn(ln x )－ln 2x ＝0有两个根，即函数f (x )有2个零点．] 9．2解析 函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．10．5解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 11．4解析 ∵定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝2f (x )；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|，∴函数f (x )在区间[1,28]上的图象如图所示：函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上的零点个数，即为函数f (x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2交点的个数，由图可得函数f (x )在区间[1,28]上的图象与直线y ＝2有4个交点，故函数g (x )＝f (x )－2在区间[1,28]上有4个零点． 12．①④解析 ①设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，则t 1＝0或－2<t 2<－1或1<t 3<2.当t 1＝0时，g (x )＝0有2个不同根；当－2<t 2<－1时，g (x )＝t 2有2个不同根；当1<t 3<2时，g (x )＝t 3有2个不同根，∴方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根，故①正确．②设t ＝f (x )，若g [f (x )]＝0，则g (t )＝0，则－2<t 1<－1或0<t 2<1.当－2<t 1<－1时，f (x )＝t 1有1个根；当0<t 2<1时，f (x )＝t 2有3个不同根，∴方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，故②错误．③设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，则f(t)＝0，则t1＝0或－2<t2<－1或1<t3<2.当t1＝0时，f(x)＝t1有3个不同根；当－2<t2<－1时，f(x)＝t2有1个根；当1<t3<2时，f(x)＝t3有1个根，∴方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根，故③错误．④设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，则g(t)＝0，则－2<t1<－1或0<t2<1.当－2<t1<－1时，g(x)＝t1有2个不同根；当0<t2<1时，g(x)＝t2有2个不同根，∴方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根，故④正确．综上，命题①④正确．。
2018届高三数学每天一练半小时：第17练 导数的概念及其运算含答案
一、选择题1．若函数y ＝f (x )在x ＝a 处的导数为A ，则li m Δx →0f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx为( )A ．AB ．2A C.A2D ．02．(2016·云南统一检测)函数f (x )＝ln x －2xx在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．曲线y ＝ax cos x ＋16在x ＝π2处的切线与直线y ＝x ＋1平行，则实数a 的值为( )A ．－2πB.2πC.π2D ．－π24．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－23C.73D ．－13或535．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π66．(2016·昆明模拟)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 015(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x7．(2017·长沙调研)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.29 B.19 C.13D.238．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定二、填空题9．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是____________． 10．已知函数f (x )＝－f ′(0)e x＋2x ，点P 为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线l 上的一点，点Q 在曲线y ＝e x上，则|PQ |的最小值为________．11．(2016·黄冈模拟)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 12．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝________.答案精析1．B [由于Δy ＝f (a ＋Δx )－f (a －Δx )， 其改变量对应2Δx ， 所以0()()lim x f a x f a x x ∆→+∆--∆∆＝0()()2lim2x f a x f a x x∆→+∆--∆∆＝2f ′(a )＝2A ，故选B.]2．C [f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1，故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.]3．A [设y ＝f (x )＝ax cos x ＋16，则f ′(x )＝a cos x －ax sin x ，又因为曲线y ＝ax cos x ＋16在x ＝π2处的切线与直线y ＝x ＋1平行，所以f ′(π2)＝－a π2＝1⇒a ＝－2π，故选A.]4．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0， ∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.]5．C [因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.]6．D [∵f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，…，∴f n (x )＝f n ＋4(x )，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ， ∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.]7．B [y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2，所以切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19，故选B.]8．C [依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 又－π2<－π3<π3<π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.] 9．y ＝2e x －e解析 ∵f (x )＝x e x ，∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. 10. 2解析 由f ′(x )＝－f ′(0)e x＋2，令x ＝0可得f ′(0)＝－f ′(0)e 0＋2，即f ′(0)＝1，所以f (x )＝－e x＋2x ，所以切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，又f (0)＝－1，故切线方程为y ＋1＝x －0，即x －y －1＝0.由题意可知与直线x －y －1＝0平行且与曲线y ＝e x相切的切点到直线x －y －1＝0的距离即为所求．设切点为Q (t ，e t)，则k 1＝e t＝1，故t ＝0，即Q (0,1)，该点到直线x －y －1＝0的距离为d ＝22＝2，故答案为 2.11．－120解析 f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)]′，∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 12.12 016解析 y ′＝(n ＋1)x n，y ′|x ＝1＝n ＋1， 切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0152 016＝12 016.。
2018届高三数学每天一练半小时：第44练 不等式的解法 Word版含答案
一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是( )A ．(2，＋∞)∪(－∞，0]B ．RC ．[0,2)D ．(－∞，0) 2．不等式－x 2－x ＋2<0的解集为( )A ．{x |x <－2或x >1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－1或x >2}D ．{x |－1<x <2}3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2<x <14，则ab 等于( ) A ．－28B ．－26C ．28D ．266．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]7．(2017·南宁调研)已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)8．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f ?x 2?－f ?x 1?x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1. 若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－12]∪{0}∪[12，＋∞) C ．[－12，12] D ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)二、填空题9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为________________．10．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．11．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是________．12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，若对于任意x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为____________．答案精析1．A [当x >0时，x ＋2<x 2，即x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，∴x >2.当x ≤0时，x －2<x 2，即x 2－x ＋2>0，恒成立．∴x ∈(－∞，0]∪(2，＋∞)．]2．A [不等式变形为x 2＋x －2>0，∴(x ＋2)(x －1)>0，∴x >1或x <－2，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．]3．D [由题意得，关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，可得b a ＝1且a >0，又(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x －3)(x ＋b a )>0，即(x －3)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >3，故选D.]4．B [∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3.] 5．C [由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.]6．A [由题意得，不等式x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，又关于x 的不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A.]7．C [把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3.]8．D [由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立． 设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D.]9．{x |x <－lg 2}解析 由已知条件得0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2. 10．{m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53， 即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 11．{m |－13<m ≤73} 解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|>2×(－1)＋3，即|3m ＋2|>1，解得m <－1或m >－13.① 由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3，即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.② 故由①②得实数m 的取值范围是{m |－13<m ≤73}． 12．t ≤－10解析 2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实根是x 1＝0，x 2＝5，所以c ＝0，b ＝－10， 不等式2x 2－10x ＋t ≤2对任意x ∈[－1，1]恒成立，即2x 2－10x ＋t －2≤0，又f (x )＝2x 2－10x 在(－∞，52)上为单调函数， 当x ∈[－1,1]时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2×(－1)2－10×(－1)＋t －2≤0，2×12－10×1＋t －2≤0，解得t ≤－10.。
2018届高三数学每天一练半小时：第16练 函数综合练 含答案
一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在【－∞，0)上单调性也相同的是【 ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－12．设函数f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，lg (x 2＋1)，x >2，则f 【f 【3))等于【 ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．【2016·福建四地六校联考)若f 【x )对于任意实数x 恒有2f 【x )－f 【－x )＝3x ＋1，则f 【1)等于【 )A ．2B ．0C ．1D ．－14．【2016·湖北襄阳枣阳二中期中)已知函数f 【x )＝【x －a )【x －b )【其中a >b )，若f 【x )的图象如图所示，则函数g 【x )＝a x ＋b 的图象大致为【 )5．已知函数f 【x )＝21＋2x ＋11＋4x 满足条件f 【log a 【2＋1))＝1，其中a >1，则f 【log a【2－1))等于【 ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是【－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是【 ) A ．【0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 7．已知f 【x )是定义在【－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间【－∞，0]上是增函数，设a＝f 【log 47)，b ＝f 【12log 3)，c ＝f 【0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是【 )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c8．【2017·南昌质检)对于定义域为R 的函数f 【x )，若f 【x )在【－∞，0)和【0，＋∞)上均有零点，则称函数f 【x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是【 )A ．f 【x )＝x 2＋bx －1【b ∈R ) B ．f 【x )＝2－|x －1| C ．f 【x )＝2x －x 2D ．f 【x )＝x －sin x二、填空题9．【2016·北京东城区二模)已知f 是有序数对集合M ＝{【x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对【x ，y )在映射f 下的像为实数z ，记作f 【x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n 【m >n )，映射f 由下表给出：则f 【3,5)＝________，使不等式f 【2x，x )≤4成立的x 的集合是__________．10．某商品在最近100天内的单价f 【t )与时间t 的函数关系是f 【t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22，0≤t <40，t ∈N *，－t 2＋52，40≤t ≤100，t ∈N *，日销售量g 【t )与时间t 的函数关系是g 【t )＝－t3＋1093【0≤t ≤100，t ∈N )，则这种商品的日销售额的最大值为________． 11．定义在R 上的偶函数f 【x )满足f 【x ＋1)＝－f 【x )且f 【x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f 【x )是周期函数；②f 【x )的图象关于x ＝1对称；③f 【x )在[1,2]上是减函数；④f 【2)＝f 【0)．其中正确命题的序号是____________．【请把正确命题的序号全部写出来)12．【2016·山东聊城一中期中)设定义域为[0,1]的函数f 【x )同时满足以下三个条件时称f 【x )为“友谊函数”：【1)对任意的x ∈[0,1]，总有f 【x )≥0； 【2)f 【1)＝1；【3)若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，则有f 【x 1＋x 2)≥f 【x 1)＋f 【x 2)成立． 则下列判断正确的序号为________． ①f 【x )为“友谊函数”，则f 【0)＝0；②函数g 【x )＝x 在区间[0,1]上是“友谊函数”；③若f 【x )为“友谊函数”，且0≤x 1<x 2≤1，则f 【x 1)≤f 【x 2).答案精析1．C [函数y ＝－3|x |为偶函数，在【－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．]2．C [f 【f 【3))＝f 【lg 10)＝f 【1)＝2，故选C.] 3．A [令x ＝1，得2f 【1)－f 【－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f 【－1)－f 【1)＝－2，② 联立①②得f 【1)＝2.]4．A [由二次方程的解法易得【x －a )【x －b )＝0的两根为a ，b ；根据函数零点与方程的根的关系，可得f 【x )＝【x －a )【x －b )的零点就是a ，b ，即函数图象与x 轴交点的横坐标；观察f 【x )＝【x －a )【x －b )的图象，可得其与x 轴的两个交点分别在区间【－∞，－1)与【0,1)上，又由a >b ，可得b <－1,0<a <1.对函数g 【x )＝a x＋b ，由0<a <1可得其是减函数，又由b <－1可得其与y 轴交点的坐标在x 轴的下方；分析选项可得A 符合这两点，B ，C ，D 均不满足．故选A.]5．B [由函数f 【x )＝21＋2x ＋11＋4x ，得f 【－x )＝21＋2－x ＋11＋4－x ＝2·2x1＋2x ＋4x1＋4x ，所以f 【x )＋f 【－x )＝21＋2＋11＋4＋2·2x1＋2＋4x1＋4＝3，由于log a 【2＋1)＋log a 【2－1)＝0， 所以log a 【2－1)＝－log a 【2＋1)， 所以由f 【log a 【2＋1))＝1得f 【log a 【2－1))＝2，故选B.]6．C [当x ＝1时，log a 1＝0，若f 【x )为R 上的减函数，则【3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g 【x )＝【3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a <13. 此时，log a x 是减函数，符合题意．]7．B [∵f 【x )是定义在【－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间【－∞，0]上是增函数，∴f【x )在【0，＋∞)上单调递减．∵a ＝f 【log 47)＝f 【log 27)，b ＝f 【12log 3)＝f 【－12log 3)＝f 【log 23)．又0<log 27<log 23<2,0.2－0.6＝50.6>50.5>40.5＝2，即0<log 27<log 23<0.2－0.6，∴a >b >c .]8．D [因为f 【x )＝x 2＋bx －1【b ∈R )的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，又Δ＝b 2＋4>0，所以方程x 2＋bx －1＝0有一正一负两个不同的根，f 【x )＝x 2＋bx －1是“含界点函数”；因为f 【x )＝2－|x －1|有两个零点x ＝3和x ＝－1，故f 【x )＝2－|x －1|是“含界点函数”；f 【x )＝2x －x 2的零点即为y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象如图所示，故f 【x )＝2x－x 2为“含界点函数”；因为f 【x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f 【0)＝0，所以f 【x )＝x －sin x 不是“含界点函数”．故选D.]9．8 {1,2}解析 由表可知f 【3,5)＝5＋3＝8. ∵∀x ∈N *，都有2x>x ， ∴f 【2x ，x )＝2x－x ，则f 【2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4【x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4【x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3【x ∈N *)时，2x>x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 10．808.5解析 由题意知日销售额s 【t )＝f 【t )g 【t )， 当0≤t <40时，s 【t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝－t 212＋7t 4＋2 3983，此函数的对称轴为x ＝212，又t ∈N *，所以最大值为s 【10)＝s 【11)＝1 6172＝808.5；当40≤t ≤100时，s 【t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝t 26－213t 6＋5 6683，此时函数的对称轴为x ＝2132>100，最大值为s 【40)＝736.综上，这种商品日销售额s 【t )的最大值为808.5 11．①②④解析 由f 【x ＋1)＝－f 【x )⇒f 【x ＋2)＝－f 【x ＋1)＝f 【x )，故函数f 【x )是周期函数，命题①正确；由于函数是偶函数，故f 【x ＋2)＝f 【－x )，函数图象关于直线x ＝x ＋2－x2＝1对称，故命题②正确；由于函数是偶函数，故函数在区间[0,1]上递减，根据对称性，函数在[1,2]上应该是增函数【也可根据周期性判断)，故命题③不正确；根据周期性，f 【2)＝f 【0)，命题④正确． 12．①②③解析 ①∵f 【x )为“友谊函数”，则取x 1＝x 2＝0，得f 【0)≥f 【0)＋f 【0)，即f 【0)≤0，又由f 【0)≥0，得f 【0)＝0，故①正确；②g 【x )＝x 在[0,1]上满足：【1)g 【x )≥0；【2)g 【1)＝1；若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1， 则有g 【x 1＋x 2)－[g 【x 1)＋g 【x 2)]＝【x 1＋x 2)－【x 1＋x 2)＝0，即g 【x 1＋x 2)≥g 【x 1)＋g 【x 2)，满足【3)．故g 【x )＝x 满足条件【1)【2)【3)，∴g 【x )＝x 为友谊函数，故②正确； ③∵0≤x 1<x 2≤1，∴0<x 2－x 1<1，∴f 【x 2)＝f 【x 2－x 1＋x 1)≥f 【x 2－x 1)＋f 【x 1)≥f 【x 1)，故有f 【x 1)≤f 【x 2)，故③正确． 故答案为①②③.。
2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测(四) Word版含答案
一、选择题阶段滚动检测(四)1.已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a 等于( ) A ．0 B.14 C ．0，14D ．－14，02．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3D.3＋23．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x4．(2016·原创预测卷)给出下列命题，正确命题的个数是( )①若a >b ，则2a>2b； ②若a >b >0，则1a <1b；③若a >0，b >0，c >0，则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ≥3； ④若a >0，b >0，则不等式a ＋2b ab ≥92a ＋b恒成立． A ．1 B ．2 C ．3D ．45．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－536．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＝8，且S n ＋1＝p S n ＋1，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.34D ．47．(2017·广州调研)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( ) A ．[12，2]B ．[0，32]C ．[12，32]D ．[0,1]8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC的面积为( ) A.1574B.1572 C.574D.5729．(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定11．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( ) A ．[－32，3]B ．[32，6]C ．[3,12]D ．[－32，12]12．(2016·北京朝阳区模拟)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3 (－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32二、填空题13．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx，x ≥0，e x，x <0，若对任意的x ∈[1－2a ，2a －1]，不等式f [a (x ＋1)－x ]≥[f (x )]a恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．设n 是正整数，由数列1,2,3，…，n 分别求相邻两项的和，得到一个有n －1项的新数列：1＋2,2＋3,3＋4，…，(n －1)＋n ，即3,5,7，…，2n －1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围是________________． 三、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋a －1x. (1)若a ＝4，求f (x )的极值；(2)若f (x )在定义域内无极值，求实数a 的取值范围．19．已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{a n}满足：a1＝2，a n≠1，且(a n－a n＋1)g(a n)＝f(a n)(n∈N*)．(1)证明：数列{a n－1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b n＝2n－14n－1(a n－1)，求数列{b n}的前n项和T n.20．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c (b，c∈R)．(1)若f(－1)＝f(2)，且不等式x≤f(x)≤2|x－1|＋1对x∈[0,2]恒成立，求函数f(x)的解析式；(2)若c<0，且函数f(x)在[－1,1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．21.已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋5n ，且满足a 4＝b 14，a 6＝b 126，令c n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{b n }及{c n }的通项公式；(2)设P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n ，Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ，试比较P n 与Q n 的大小，并说明理由．22．已知函数f (x )＝ln(e x＋a ＋3)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数． (1)若关于x 的方程ln x f (x )＝x 2－2e x ＋m 有且只有一个实数根，求m 的值；(2)若函数g (x )＝λf (x )＋sin x 在区间[－1,1]上是减函数，且g (x )≤λt －1在x ∈[－1,1]上恒成立，求实数t 的最大值．答案精析1．C [由A ∩B ＝A ∪B 知A ＝B ，又根据集合元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，a ≠b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，a ≠b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，故a ＝0或14.]2．D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.]3．D [y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得T＝π.] 4．D5．C [当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点A (－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.]6．B [因为数列{a n }是等比数列，由S n ＋1＝p S n ＋1，得S n ＋2＝p S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2a n ＋1＝p ，所以公比q ＝p ，由S n ＋1＝pS n ＋1，得a 1＋a 2＝pa 1＋1， 所以a 1＋pa 1＝pa 1＋1，即a 1＝1，由a 4＝8＝a 1p 3，得p 3＝8，所以p ＝2.故选B.]7．C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是[12，32]．]8．A [cos A ＝34，cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x＝37，解得BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.]9．A [设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有两个， 故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解， 则方程f (x )＝a 的解必有三个，此时0<a <1. 所以a 的取值范围是(0,1)．]10．A [f (x )的对称轴为直线x ＝－1，又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0<a <3.∴1－a 2>－1.∵x 1<x 2，∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离． 又∵a >0，∴f (x 1)<f (x 2)．]11．C [方法一 由于f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，令g (x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 结合二次函数图象可得只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝12－8b ＋c ≥0，g (－1)＝3－4b ＋c ≤0，g (1)＝3＋4b ＋c ≤0，g (2)＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点(b ，c )的线性约束条件，作出其对应的平面区域，f (－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易知 3≤f (－1)≤12，故选C.方法二 方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]的条件也可以通过二分法处理，即只需g (－2)g (－1)≤0，g (2)g (1)≤0即可，利用同样的方法也可解答．]12．D [由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3＝0可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝6k －2，k ∈Z . ∵－2<x <10，∴k ＝1，x ＝4， 即A (4,0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于A 对称，即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.故选D.] 13．2n解析 ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ， 即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5， ∴a 5＝q 5＝25＝32. ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n.14．(12，1]解析 由题设知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx，x ≥0，e x，x <0，因为1－2a <2a －1，所以a >12，当x ≥0时，ax ≥0，当x <0时，ax <0，可得[f (x )]a＝f (ax )，因此，原不等式等价于f [a (x ＋1)－x ]≥f (ax )，因为f (x )在R 上是增函数，所以a (x ＋1)－x ≥ax ，即x ≤a 恒成立，又x ∈[1－2a,2a －1]，所以2a －1≤a ，解得a ≤1，又a >12，故a ∈(12，1]．15．2n －2(n ＋1)解析 设数列{a n }为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得a n ＝2a n －1＋ 2n －2(n ≥2)⇒a n 2n －a n －12n －1＝14⇒即数列{a n 2n }是首项为12，公差为14的等差数列⇒a n 2n ＝12＋14(n －1)＝n ＋14⇒a n ＝2n －2(n ＋1)，即最后一个数列的项是a n ＝2n －2(n ＋1)．16．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析 如图，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到直线n 移动，或者从直线a 到直线b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k ?x ＋1?表示的平面区域才是三角形．故实数k 的取值范围是0<k ≤23或者k <－2.17．解 (1)根据二倍角公式得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C，又a ＝1， 得b ＝23 sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3， 所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]． 18．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝4ln x －x ＋3x(x >0)， f ′(x )＝4x －1－3x 2＝－x 2＋4x －3x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝3.当0<x <1或x >3时，f ′(x )<0，当1<x <3时，f ′(x )>0，f (1)＝2，f (3)＝4ln 3－2，所以f (x )的极小值为2，极大值为4ln 3－2.(2)f (x )＝a ln x －x ＋a －1x(x >0)， f ′(x )＝a x －1－a －1x 2＝－x 2＋ax －(a －1)x 2， f (x )在定义域内无极值，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域上恒成立．即方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上无变号零点．设g (x )＝－x 2＋ax －(a －1)，则Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2≤0，g ?0?≤0，解得a ＝2， 所以实数a 的取值范围为{2}． 19．(1)证明 由(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)得，4(a n －a n ＋1)(a n －1)＝(a n －1)2(n ∈N *)． 由题意知a n ≠1， 所以4(a n －a n ＋1)＝a n －1(n ∈N *)，即3(a n －1)＝4(a n ＋1－1)(n ∈N *)，所以a n ＋1－1a n －1＝34. 又a 1＝2，所以a 1－1＝1，所以数列{a n －1}是以1为首项，34为公比的等比数列． (2)解 由(1)得a n －1＝(34)n －1， b n ＝2n －14n －1(a n －1)＝2n －13n －1. 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ① －②得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23×1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n . 所以T n ＝3－n ＋13n －1.20．解 (1)因为f (－1)＝f (2)，所以b ＝－1，因为当x ∈[0,2]时，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以有f (1)＝1，即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为f (x )在[－1,1]上有两个零点，且c <0， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0，c <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划知识可得－2<2b ＋c <2.21．解 (1)b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)=⎩⎪⎨⎪⎧ 6(n ＝1)，2n ＋4(n ≥2)＝2n ＋4 (n ∈N *)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝b 14＝32，a 6＝b 126＝256，得q 2＝a 6a 4＝8，即q ＝22(负值舍去)．所以a n ＝a 4·q n －4＝32·(2)3n －12＝(2)3n －2，所以c n ＝log 2a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)知，cb n ＝3(2n ＋4)－2＝6n ＋10，所以{cb n }是以16为首项，6为公差的等差数列． 同理，cc n ＝3(3n －2)－2＝9n －8，所以{cc n }是以1为首项，9为公差的等差数列． 所以P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n＝n (16＋6n ＋10)2＝3n 2＋13n ， Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ＝n (1＋9n －8)2＝92n 2－72n . 所以P n －Q n ＝－32n (n －11)． 故当1≤n ≤10时，P n >Q n ；当n ＝11时，P n ＝Q n ；当n ≥12时，P n <Q n .22．解 (1)∵f (x )＝ln(e x ＋a ＋3)是实数集R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即ln(e 0＋a ＋3)＝0，∴4＋a ＝1，a ＝－3.将a ＝－3代入f (x )得f (x )＝ln e x ＝x ，显然为奇函数．方程ln x f ?x ?＝x 2－2e x ＋m ， 即为ln x x＝x 2－2e x ＋m ， 令f 1(x )＝ln x x，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m . ∵f ′1(x )＝1－ln x x 2， 故当x ∈(0，e]时，f ′1(x )≥0，∴f 1(x )在(0，e]上为增函数；当x ∈[e ，＋∞)时，f ′1(x )≤0，∴f 1(x )在[e ，＋∞)上为减函数；当x ＝e 时，f 1(x )max ＝1e. 而f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2，则当x ∈(0，e]时，f 2(x )是减函数，当x ∈[e ，＋∞)时，f 2(x )是增函数， ∴当x ＝e 时，f 2(x )min ＝m －e 2，只有当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1e时，方程有且只有一个实数根． (2)由(1)知f (x )＝x ，∵g (x )＝λf (x )＋sin x ＝λx ＋sin x ，∴g ′(x )＝λ＋cos x ，x ∈[－1,1]，∴要使g (x )是区间[－1,1]上的减函数，则有g ′(x )≤0在[－1,1]上恒成立， ∴λ≤(－cos x )min ，则λ≤－1.要使g (x )≤λt －1在[－1,1]上恒成立，只需g (x )max ＝g (－1)＝－λ－sin 1≤λt －1在λ≤－1时恒成立即可，即(t ＋1)λ＋sin 1－1≥0(其中λ≤－1)恒成立即可．令h (λ)＝(t ＋1)λ＋sin 1－1(λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋1<0，h (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋1<0，－t －2＋sin 1≥0，∴t ≤sin 1－2，∴实数t 的最大值为sin 1－2.。
2018届高三数学每天一练半小时：第58练 直线的斜率与倾斜角 Word版含答案
1．与直线x ＋3y －1＝0垂直的直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.π2 2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( ) A ．－π7B.π7C.5π7D.6π73．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是( )A ．0B.33C. 3 D ．－ 34．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 5．(2016·济南一模)曲线y ＝|x |与y ＝kx －1有且只有一个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．－1≤k ≤1B ．－1≤k ≤0C ．0≤k ≤1D ．k <－1或k >16．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，y ＋1x ＋1的取值范围是( )A ．[－16，2] B ．[0，53] C ．[－16，53] D ．[2,4] 7．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α<πB ．0≤α≤π4或π2<α<πC ．0≤α≤π4 D.π4≤α<π2或π2<α<π 8．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．－23B.23 C ．－32D.32二、填空题9．(2016·广州模拟)已知直线l 的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，则直线l 的斜率的取值范围是________．10．已知A (－1,2)，B (2，m )，且直线AB 的倾斜角α是钝角，则m 的取值范围是________．11．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．12．(2016·黄山一模)已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，且满足y 0>x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为________.答案精析1．B [直线的方程化为y ＝－33x ＋33，与该直线垂直的直线的斜率为3，又因为倾斜角范围为[0，π)，所以所求倾斜角为π3.] 2．D [∵tan α＝－sin π7cos π7＝－tan π7＝tan 6π7，∵α∈[0，π)，∴α＝6π7.] 3．C [斜率为－3，倾斜角为120°，P 顺时针旋转60°，倾斜角为60°，斜率为 3.]4．B [设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α， ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故选B.] 5．D [y ＝|x |的图象如图所示，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，由图可知，当－1≤k ≤1时，没有交点；当k <－1或k >1时，仅有一个交点．]6．C [y ＋1x ＋1的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]，设该线段为AB ，且A (2,4)，B (5，－2)．因为k NA ＝53，k NB ＝－16⇒－16≤y ＋1x ＋1≤53，故选C.] 7．B [直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4，故选B.] 8．A [由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)， 所以由中点坐标公式得k ＝－23.] 9．(－1,1]解析 由直线l 的倾斜角α∈[0°，45°]∪(135°，180°)，可得0≤k ≤1或－1<k <0，即－1<k ≤1.10．(－∞，2)解析 k ＝2－m －1－2＝m －23<0，m <2. 11．[0,1]解析 y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是[0,1]．12．(－12，－15) 解析 因为直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋2y ＋3＝0平行， 所以|x 0＋2y 0－1|5＝|x 0＋2y 0＋3|5， 可得x 0＋2y 0＋1＝0. 因为y 0>x 0＋2，所以－12(1＋x 0)>x 0＋2， 解得x 0<－53. 设y 0x 0＝k ，所以k ＝－12(x 0＋1)x 0＝－12－12x 0， 因为x 0<－53，所以0<－12x 0<310， 所以－12<y 0x 0<－15.。
2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测六 含答案 精品
一、选择题阶段滚动检测(六)1.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2．(2016·重庆第一次诊断)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．53．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x1＋x 是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2) C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，3x －y ＋2≥0，目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－3,2]C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)5．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2对称，则φ的最小值是( )A.π4B.π3C.3π4D.3π86．(2016·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024B ．2 012C ．2 026D ．2 0367．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( ) A.π180 B.π150 C.π120D.π908．设随机变量X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.389．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β10.如图，设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A.25 B ．－25C.55D ．－5511．设a ＝ʃπ0(sin x ＋cos x )d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中的常数项是( )A ．160B ．－160C ．26D ．－2612．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63二、填空题13．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为________．14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00～8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________．15．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________． 16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题17．(2016·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12 (a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．19．(2016·内江期末)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1.(1)证明：EM ⊥BF ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20.(2016·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)，若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列．(1)求实数λ；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑ni ＝11a i ，求证：S n <32.21．(2016·郑州二检)已知函数f (x )＝ax ＋ln(x －1)，其中a 为常数． (1)试讨论f (x )的单调区间；(2)当a ＝11－e 时，存在x 使得不等式|f (x )|－e e －1≤2ln x ＋bx 2x 成立，求b 的取值范围．22．(2016·滕州第三中学期末)如图，直线l ：y ＝x ＋b (b >0)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，已知点P (2，2)在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小值为324.(1)求直线l 及抛物线C 的方程；(2)过点Q (2,1)的任一直线(不经过点P )与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案精析1． A [A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }＝{x |0≤x ≤2}，2． 所以∁U B ＝{x |x <0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－2≤x <0}，故选A.] 2．C3．D [函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]的定义域是(－1,1)且是偶函数，命题p 1为真命题；函数y ＝ln1－x1＋x的定义域是(－1,1)且是奇函数，命题p 2是真命题．故命题p 1∧p 2、p 1∨(綈p 2)、p 1∨p 2均为真命题，只有命题p 1∧(綈p 2)为假命题．]4．C [画出满足约束条约的平面区域，如图所示：由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，显然直线y ＝－2x ＋z 过(0,2)时，z 最小，最小值为2，无最大值．故选C.]5．D [将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，再向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象，此图象关于直线x ＝π2对称，故2×π2－2φ＋π4＝π2＋k π (k ∈Z )，解得φ＝3π8－k π2(k ∈Z )，又φ>0，故φmin＝3π8，故选D.] 6．C [因为a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，则0<n ＝2k －2≤2 016，即2<2k ≤2 018，解得1<k ≤10，故所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22(1－29)1－2－18＝211－22＝2 026，故选C.]7．C [屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.]8．A [∵X ～B (6，12)，∴P (X ＝3)＝C 36(12)3·(1－12)3＝516.]9．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．] 10．D [等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的两条渐近线方程为y ＝±x ，所以M (－a ，－a )，N (a ，a )，则|AN |2＝(a ＋a )2＋a 2＝5a 2，|AM |2＝a 2，|MN |2＝8a 2，则 cos ∠MAN ＝5a 2＋a 2－8a 225a2＝－55.] 11．B [a ＝ʃπ0(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2，则⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 6＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x3－r，令3－r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项是－C 36·26－3＝－160，选B.]12．B [由程序框图可知；①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5.第⑤步后输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.] 13．4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ， 所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为12×2×4＝4.14.78解析 设牛奶送达的时间为x ，我离开家的时间为y ，则样本空间Ω＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，在离开家前能得到牛奶的事件A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，y ≥x ，作图如下，可得所求概率P ＝1－12×12×121×1＝78.15.12解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4?m 2＋n 2?＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 16．②解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ， 又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数．又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－12ln 2>0，所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6，∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π2，a >0，∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＋π6＝0，则4x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π24(k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此x 0＝5π24或x 0＝11π24. 当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π24，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，17π24；当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，5π6. 18．解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P ＝3！·P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，13，且ξ＝3－η.所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 故ξ的分布列是ξ的均值E (ξ)＝0×127＋1×9＋2×9＋3×27＝2. 19．(1)证明 ∵EA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴EA ⊥BM .又∵BM ⊥AC ，EA ∩AC ＝A ，∴BM ⊥平面ACFE ，而EM ⊂平面ACFE ，∴BM ⊥EM .∵AC 是圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°.又∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴AB ＝23，BC ＝2，AM ＝3，CM ＝1.∵EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，FC EA ＝13， ∴FC ⊥平面ABC ，∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形，∴∠EMA ＝∠FMC ＝45°，∴∠EMF ＝90°，即EM ⊥MF .∵MF ∩BM ＝M ，∴EM ⊥平面MBF .而BF ⊂平面MBF ，∴EM ⊥BF .(2)解 如图，延长EF 交AC 的延长线于G ，连接BG ，过C 作CH ⊥BG ，连接FH .由(1)知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴FC ⊥BG .而FC ∩CH ＝C ，∴BG ⊥平面FCH .∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG ，∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BM ＝AB ·sin 30°＝3，由FC EA ＝GC GA ＝13，得GC ＝2.∴BG ＝BM 2＋MG 2＝2 3.又∵△GCH ∽△GBM ，∴GC BG ＝CH BM ，则CH ＝GC ·BM BG ＝2×323＝1. ∴△FCH 是等腰直角三角形，∠FHC ＝45°， ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∵a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝－103，λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3. (2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时， a n －13a n －1＝3n －1，①n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝13n －1.② 由①②可得a n ＝38⎝⎛⎭⎪⎫3n －13n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合． ∴a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *. (3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13n －1，∴a n >3a n －1， ∴1a n <13·1a n －1(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＝1a 1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n －13a n <1a 1＋13S n . ∴S n <32.21．解 (1)由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1}，f ′(x )＝a ＋1x －1＝ax －a ＋1x －1. 当a ≥0时，f ′(x )>0在定义域内恒成立，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝1－1a>1， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1－1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－1a ， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ，＋∞. 综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1,1－1a )，单调递减区间为(1－1a，＋∞)． (2)由(1)知当a ＝11－e时，f (x )的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． 所以f (x )max ＝f (e)＝e 1－e＋ln(e －1)<0， 所以|f (x )|≥－f (e)＝e e －1－ln(e －1)恒成立，当且仅当x ＝e 时取等号． 令g (x )＝2ln x ＋bx 2x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2， 当1<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0，从而g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋b 2， 所以存在x 使得不等式|f (x )|－e e －1≤2ln x ＋bx 2x成立， 只需e e －1－ln(e －1)－e e －1≤1e ＋b 2， 即b ≥－2e－2ln(e －1)． 22．解 (1)∵点P (2,2)在抛物线C 上，∴p ＝1.设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，y 2＝2x ， 得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －2)2－4m 2＝4－8m ，由Δ＝0，得m ＝12， 则直线l ′的方程为y ＝x ＋12. 两直线l ，l ′间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离， 有⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －122＝324，解得b ＝2或b ＝－1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线C 的方程为y 2＝2x .(2)∵直线AB 的斜率存在，且k ≠0，∴设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)(k ≠0)，即y ＝kx －2k ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2k ＋1，y 2＝2x ， 得ky 2－2y －4k ＋2＝0(k ≠0)，设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k (k ≠0)，y 1y 2＝2－4k k(k ≠0)． ∵k 1＝y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，k 2＝2y 2＋2， ∴k 1＋k 2＝2y 1＋2＋2y 2＋2 ＝2(y 1＋y 2)＋8y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝2·2k ＋82－4k k ＋2·2k＋4＝4k ＋23(k ≠0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2k ＋1，y ＝x ＋2，得x M ＝2k ＋1k －1，y M ＝4k －1k －1，∴k 3＝4k －1k －1－22k ＋1k －1－2＝2k ＋13， ∴k 1＋k 2＝2k 3.∴存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，且λ＝2.。
2018届高三数学每天一练半小时：第17练 导数的概念及其运算含答案
训练目标(1)导数的概念；(2)导数的运算．训练题型(1)导数的四则运算；(2)曲线的切线问题；(3)复合函数求导．解题策略(1)求导数技巧：乘积可展开化为多项式，根式化为分数指数幂，绝对值化为分段函数；(2)求切线方程首先要确定切点坐标；(3)复合函数求导的关键是确定复合的结构，然后由外向内，逐层求导.一、选择题1．若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为A，则li mΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx为( ) A．A B．2AC.A2D．02．(2016·云南统一检测)函数f(x)＝ln x－2xx在点(1，－2)处的切线方程为( ) A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝03．曲线y＝ax cos x＋16在x＝π2处的切线与直线y＝x＋1平行，则实数a的值为( ) A．－2πB.2πC.π2D．－π24．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13B．－23C.73D．－13或535．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π66．(2016·昆明模拟)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 015(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x7．(2017·长沙调研)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.29 B.19 C.13D.238．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定二、填空题9．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是____________． 10．已知函数f (x )＝－f ′(0)e x＋2x ，点P 为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线l 上的一点，点Q 在曲线y ＝e x上，则|PQ |的最小值为________．11．(2016·黄冈模拟)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 12．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝________.答案精析1．B [由于Δy ＝f (a ＋Δx )－f (a －Δx )， 其改变量对应2Δx ， 所以0()()lim x f a x f a x x∆→+∆--∆∆＝0()()2lim2x f a x f a x x∆→+∆--∆∆＝2f ′(a )＝2A ，故选B.]2．C [f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1，故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.]3．A [设y ＝f (x )＝ax cos x ＋16，则f ′(x )＝a cos x －ax sin x ，又因为曲线y ＝ax cos x ＋16在x ＝π2处的切线与直线y ＝x ＋1平行，所以f ′(π2)＝－a π2＝1⇒a ＝－2π，故选A.]4．D [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0， ∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.]5．C [因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.]6．D [∵f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，…，∴f n (x )＝f n ＋4(x )，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ， ∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.]7．B [y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2，所以切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19，故选B.]8．C [依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 又－π2<－π3<π3<π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.] 9．y ＝2e x －e解析 ∵f (x )＝x e x ，∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. 10. 2解析 由f ′(x )＝－f ′(0)e x＋2，令x ＝0可得f ′(0)＝－f ′(0)e 0＋2，即f ′(0)＝1，所以f (x )＝－e x＋2x ，所以切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，又f (0)＝－1，故切线方程为y ＋1＝x －0，即x －y －1＝0.由题意可知与直线x －y －1＝0平行且与曲线y ＝e x相切的切点到直线x －y －1＝0的距离即为所求．设切点为Q (t ，e t)，则k 1＝e t＝1，故t ＝0，即Q (0,1)，该点到直线x －y －1＝0的距离为d ＝22＝2，故答案为 2.11．－120解析 f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)]′，∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 12.12 016解析 y ′＝(n ＋1)x n，y ′|x ＝1＝n ＋1， 切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0152 016＝12 016.。
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一、选择题
1．函数f (x )＝ln x －x 2的单调减区间是( )
A ．(－∞，22]
B ．(0，
22] C ．[1，＋∞) D ．[22
，＋∞) 2．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )
3．“a >1”是“函数f (x )＝ax ＋cos x 在R 上单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范
围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
5．(2016·临沂月考)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )
A ．af (b )≤bf (a )
B ．bf (a )≤af (b )
C ．af (a )≤f (b )
D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题
6．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)，
(1)若函数f (x )的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为____________；
(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是____________．
7．已知函数y ＝－13
x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________________．
8．(2016·兰州一模)若函数f (x )＝x 2－e x
－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是______________________．
9．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ，若g (x )＝1e x ，对任意x 1∈[12，2]，存在x 2∈[12，2]，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知函数f (x )＝ln x －a x
，g (x )＝f (x )＋ax －6ln x ，其中a ∈R .
(1)当a ＝1时，判断函数f (x )的单调性；
(2)若g (x )在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围．
答案精析
1．D [由题意知，函数f (x )＝ln x －x 2的定义域为(0，＋∞)，求导可得f ′(x )＝1x
－2x ＝1－2x 2x ，令f ′(x )＝1－2x 2x ≤0，可得x ≥22.故选D.] 2．B [在(－1,0)上，f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f ′(x )单调递减，所以f (x )图象的切线斜率呈递减趋势，故选B.]
3．A [若函数f (x )＝ax ＋cos x 在R 上单调递增，则f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立， ∴a ≥sin x ，∵－1≤sin x ≤1，∴a ≥1，则“a >1”是“函数f (x )＝ax ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件，故选A.]
4．C [f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．
令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，
解得a ≥34
.] 5．A [因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以⎣⎢
⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0， 则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b
，即af (b )≤bf (a )．] 6．(1)13 (2)⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，13 解析 (1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13
. (2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)≤0，解得k ≤13.又k >0，故0<k ≤13
. 7．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 y ′＝－x 2
＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，所以Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，所以－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.
8．(－∞，2ln 2－2]
解析 因为f (x )＝x 2－e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －e x －a ，
因为函数f (x )＝x 2－e x
－ax 在R 上存在单调递增区间，
所以f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，
即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，
解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，
当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，
所以当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，
所以a ≤2ln 2－2.
9．(－∞，e e －8] 解析 求导可得f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1⇒f ′(x )在[12
，2]上是增函数⇒f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a ，由g (x )＝1e x 在[12，2]上是减函数⇒g (x )max ＝g (12)＝1e
，又原命题等价于f ′(x )max ≤g (x )max ⇒8＋a ≤1
e ⇒a ∈(－∞，e e
－8]． 10．解 (1)由f (x )＝ln x －a x 得定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋a x 2， 当a ＝1时，f ′(x )＝x ＋1x 2
>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由已知得，g ′(x )＝ax 2－5x ＋a x 2
， 因为g (x )在其定义域内为增函数，
所以∀x ∈(0，＋∞)，g ′(x )≥0，
即ax 2－5x ＋a ≥0，即a ≥
5x x 2＋1， 而
5x x 2＋1≤5x 2x ＝52，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a ≥52.。