11 探索勾股定理二学案.docx
探索勾股定理导学案
【温故互查，巩固提升】温故提问：直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?复习巩固:说出图中未知边的长度y 满足的条件． 【独立自学，提出疑难】 勾股定理的验证： (1)提出问题师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流. 生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c 的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c 的直角三角形和一个小正方形. 师总结:图1-5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法。
在割补法的基础上分别说出图中正方形ABCD 的面积的两种表示方法。
(2)分组讨论面积的不同表示方法. 生：图1 - 5正方形ABCD 面积是中间正方形加四个三角形，图1 - 6正方形ABCD 面积是外面大正方形减四个直角三角形请同学们将三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来. 表示出面积的关系。
动笔操作,独立完成.生:左图得出(a+b)2,4×12ab+c 2两种方法.右图得出(a-b)2,c 2-4×12ab 两种方法。
(3)板书学生计算化简结果：a 2+b 2=c2得出结论：化简后得到a 2+b 2=c 2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.方法总结：割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用. 【互帮互助，解惑释疑】探究验证勾股定理的其他方法：学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来教师点拨：利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.1、曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a+b)(a+b),又可以表示为12(2ab+c 2),所以可得12(a+b)(a+b)=12(2ab+c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.2、操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S 2,S 3与图(3)中小正方形的面积S 1有什么关系?你能得到a,b,c 之间有什么关系?【展示交流，质疑点评】（如有错误，红笔改至旁边）自学展示1．在△ABC 中，∠C ＝90°.若a ＝6，c ＝10，则b ＝____．2、在△ABC 中，若a ＝6，c ＝10，则b 2＝___________．3．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m ，宽为 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，木板的长为. 问题解决例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m ，10 s 后，汽车与他相距500 m ，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【当堂训练，反思归纳】(聪明的你一定能通关！)当堂训练：1．等腰三角形的腰长为13 cm ，底边长为10 cm ，则它的面积为( )A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm22．直角三角形两直角边长分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为____cm. 3．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b,斜边为c ： （1）如果a=8，b=15,则c=_____，面积为________； （2）如果a=5，c=13，则三角形的周长为________，面积为__________；4．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B200 m ，结果他在水中实际游了520 m ，该河流的宽度为多少？5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a 4+b 4的值为 ( )。
1.1-探索勾股定理-(第二课时)立峰
总统证法
c a
b
cb
面积法
a
S梯形
1 (a b)(a b) 2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
1 (a b)(a b) 1 (ab ab c2)
2
2
化简得 a2 b2 c2.
环节三：合作探究—拼图验证 c
a
右图有四个全等的直角三
b
角形，
c a
用这四个三角形拼一 拼、摆一摆, 看看是否得到 a
b c
一个含有以斜边c为边长的 正方形, 你能利用它说明勾
b c
股定理吗? 小组合作交流. a
b
环节三：层层设问，完成验证一
b
利
用a c 面
积
法
c
b
a
c
b
(a+b)2
= C2+4×
1
2 ab
a2+b2+2ab=c2+2ab
c
a 可得:a2+b2=c2
a
b
这四个直角三角形还能怎样拼？
环节三：自主探究—完成验证二
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
复习旧知
上节课学习了勾股定理,它的内容是什么? 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方.
c
a
b
a2+b2=c2
环节一：目标定位
1、在上节课对具体的直角三角形探索发 现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的 验证过程，体会数形结合的思想和从特殊 到一般的思想. 2、掌握勾股定理及其验证，并能应用勾 股定理解决一些实际问题. 3、在勾股定理的验证活动中，培养探究 能力和合作精神；通过对勾股定理历史的 了解，感受数学文化，增强爱国情感，并 通过应用勾股定理解决实际问题，培养应 用数学的意识.
1.2《探索勾股定理》导学案
ABCDDCBA1.2《探索勾股定理》导学案 【学习目标】用面积法验证勾股定理； 【重点】用面积法验证勾股定理。
【难点】用面积法数形结合的思想验证勾股定理。
【课前小测】1、_____________________)(2=+b a ；_____________________)(2=-b a2、一个直角三角形的两直角边的长分别是cm 3，4则这个三角形的周长是________3、字母M 所代表的正方形的面积为________ 【新课学习和探究】验证勾股定理：上节课我们仅仅是通过测量和数格子的方法发现了勾股定理，对于一般的直角三角形，勾股定理是否都成立呢？事实上，现在已经有400多种勾股定理的验证方法，你想用自己的方法验证勾股定理吗？利用四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形（如图1，2）。
如图1，正方形ABCD 的面积， 如图2，正方形ABCD 的面积，可以表示为：__________________ 可以表示为：______________又可以表示为：________________ 又可以表示为：________________ 则得到等式: ______________ 则得到等式: ______________ 化简得： 化简得：【例题精讲】我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。
他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距离400米，10秒后，汽车与他相距离500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？【巩固练习】1、课本6P ：随堂练习 2、知识技能：1【课堂小结】本节课有哪些收获？ 【课后作业】1、如图，在Rt ABC ∆中，AB=1,则222AC BC AB ++的值为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、82、如图，在ABC ∆中，B ∠=90，ＡC ＝17，ＢＣ＝15，求ＡB 的长。
3、1876年，美国总统伽菲尔德利用如图梯形的面积验证了勾股定理。
勾股定理的证明学案.docx
勾股定理的证明学案学习目标知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，了解勾股定理地证明思想会用面积法证明勾股定理。
能力：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力，提高学生举一反三、数形结合的能力。
情感：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明方法。
学习难点:掌握勾股定理的证明思想，会用至少一种的方法证明勾股定理。
教学准备：每个小组准备四个全等的三角形教学流程【一' 复习引入】勾股定理：a【二、推进新课】b 勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
【三、勾股定理的证明】【小组活动】同学们，请用下面四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.证法一：赵爽证法以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. .把这四个直角三角形拼成如图所示形状.大正方形的面积可以表示为.也可以表示为c1证法二：邹元治证法证法三：总统证法（温馨提示：以上三种方法都可以通过面积去找等量关系）证法四：拼图证法从上图可得等式________________________________ 证法五：青出朱入证法（割补法）证法六：水守恒提升学习：.欧几里得的证法：做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B二点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CLXDE, 交AB于点M,交DE于点L.AF = AC, AB = AD, ZFAB= ZGAD,A FAB £ A GAD, i 。
FA FAB的面积等于3妒，A GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2...矩形ADLM的面积=a .同理可证，矩形MLEB的面积=b\正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积c2 ^=a2 +b2 ,即a2 +b2 = c2【四、学以致用】1.求出如图中字母所代表的正方形的面积:2.如上图1,所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,cm2.则正方形A, B, C, D的面积之和为.3.如图2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si、S2、S3表示，则Si、S2、S3的关系是___________________【五、收获总结】。
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1. 1探索勾股定理（二）
学习目标
1、 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
2、 在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证 过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
学习重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
学习难点：验证勾股定理.
学习过程
—、问题导入
（1）勾股定理的内容是什么？
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理, 对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事 实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.
二、明确目标
三、释疑巩固
【问题探究】小组活动，拼图验证.
1、学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形:
勾股定
理
第
一章
b
(1)如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？
(2)你能由此得到勾股定理吗？为什么？
(3)你还能利用图2验证勾股定理吗？
【初步应用】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米?
C B公路
五、达标检测
1.若AABC 中，ZC=90°, (1)若a=5, b=12,则c=；(2)若0=6, c=10,
则力=；(3)若 a ：3=3 ：4, c=10,则a-, b=.
2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m,宽为1.5m,现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为■
3.直角三角形两直角边长分别为5cm, 12cm,则斜边上的高为.
4.等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,则面积为( ).
A. 30 cm2
B. 130 cm2
C. 120 cm2
D. 60 cm2
六、自我反思。