《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第11课指数与指数运算
2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3.4 指数与指数函数(试题部分)
§3.4 指数与指数函数基础篇固本夯基【基础集训】考点 指数与指数函数1.设a>0,将a 2a ·√a 2表示成分数指数幂的形式,其结果是( )A.a 12B.a 56C.a 76D.a 32答案 C 2.函数y=(12)x 2-2x 的值域为()A.[12,+∞) B.(-∞,12] C.(0,12] D.(0,2] 答案 D3.设函数f(x)=x 2-a 与g(x)=a x (a>1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=(1a)0.1的大小关系是( )A.M=NB.M ≤NC.M<ND.M>N 答案 D4.[(0.06415)-2.5]23-√3383-π0= . 答案 05.若“m>a ”是“函数f(x)=(13)x +m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 能取的最大整数为 . 答案 -1综合篇知能转换【综合集训】考法一 指数式的大小比较1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 答案 A2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0<a<b<1,则( ) A.(1-a )1b >(1-a)b B.(1-a)b >(1-a )b2 C.(1+a)a >(1+b)b D.(1-a)a >(1-b)b 答案 D3.(2018福建厦门一模,5)已知a=(12)0.3,b=lo g 120.3,c=a b ,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a 答案 B考法二 指数(型)函数的图象和性质4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y=sin x B.y=x 3 C.y=(12)x D.y=log 2x 答案 B5.(2019山东潍坊模拟,7)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x ∈(0,4),当x=a 时, f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a |x+b|的图象为( )答案 A6.已知函数f(x)=|2x -1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b ≥0,c>0 C.2-a <2c D.2a +2c <2 答案 D7.(2019届黑龙江哈尔滨三中第一次调研,6)函数f(x)=2√4x -x 2的单调增区间是( ) A.(-∞,2] B.[0,2] C.[2,4] D.[2,+∞)8.已知函数f(x)=2x-12|x|.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)当x≤0时,f(x)=0,当x>0时,f(x)=2x-12x,由题意可得,2x-12x=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±√2,∵2x>0,∴2x=1+√2,∴x=log2(1+√2).(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-122t )+m(2t-12t)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).【五年高考】考点指数与指数函数1.(2019课标Ⅰ,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a答案B2.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D3.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A4.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案C5.(2019课标Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln2)=8,则a= .6.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=2x2x +ax的图象经过点P (p,65)、Q (q,-15).若2p+q =36pq,则a= .答案 67.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x +b(a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案 -32教师专用题组考点 指数与指数函数(2015江苏,7,5分)不等式2x 2-x<4的解集为 .答案 {x|-1<x<2}【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2020届河南南阳一中第一次月考,1)已知集合A={x ∈N |-2<x<4},B={x |12≤2x ≤4},则A ∩B=( ) A.{x|-1≤x ≤2} B.{-1,0,1,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 答案 D2.(2019届四川绵阳高中高三第一次诊断性考试,10)若a=43e 35,b=32e 23,c=5e -2,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 答案 D3.(2020届广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=(13)x 2-6x+5的单调递减区间为()A.(-∞,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,3]D.[3,+∞) 答案 D4.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,10)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,且[x]表示不超过x 的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如: [-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=2x+11+2x -13,则函数y=[f(x)]的值域是( )A.{0,1}B.{-1,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}答案D5.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是( )A.[2,4]B.(-∞,0]C.(0,1]∪[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2]答案D6.(2020届黑龙江大庆第一中学第一次月考,11)设函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案B7.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=a-2xa+2x是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-13B.3 C.-13或3 D.13或3答案C8.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,8)函数y=a x-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a b的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.无法确定答案C9.(2019届安徽定远重点中学上学期第一次月考,10)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )A.(0,2]B.[12,+∞)C.[12,2] D.[12,2]∪[4,+∞)答案C二、多项选择题(共5分)10.(改编题)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论不正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0 答案 ABC三、填空题(共5分)11.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=2x 1+a ·2x (a ∈R )的图象关于点(0,12)对称,则a= .答案 1四、解答题(共25分)12.(2020届河南南阳一中第一次月考,20)函数f(x)=3x ,x ∈[-1,1],g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3. (1)当a=0时,求函数g(x)的值域;(2)若函数g(x)的最小值为h(a),求h(a)的表达式;(3)是否存在实数m,n 同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]?若存在,求出m,n 的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)因为f(x)=3x ,x ∈[-1,1],所以g(x)=32x -2a ·3x +3, f(x)∈[13,3].设t=3x ,t ∈[13,3],则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2,其图象的对称轴为直线x=a.当a=0时,φ(t)=t 2+3,t ∈[13,3],所以φ(t)∈[289,12]. (2)因为函数φ(t)的图象的对称轴为直线x=a, 当a<13时,h(a)=φ(13)=289-2a 3; 当13≤a ≤3时,h(a)=φ(a)=3-a 2; 当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a. 故h(a)={ 289-2a 3(a <13),3-a 2(13≤a ≤3),12-6a(a >3).(3)假设存在满足题意的m,n.因为m>n>3,所以h(a)=12-6a,所以函数h(a)在(3,+∞)上是减函数, 又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2], 所以{12-6m =n 2,12-6n =m 2,两式相减得6(m-n)=(m-n)·(m+n),又因为m>n>3,所以m-n ≠0,所以m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n 不存在. 13.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x (1a x +1-12),其中a>0,且a ≠1.(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若关于x 的不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a 的取值范围.解析 (1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R ,关于原点对称.f(-x)=-x (1a -x +1-12)=x (12-a xa x +1),∴f(x)-f(-x)=x (1a x +1-12)-x (12-a xa x +1) =x (1+a xa x +1-1)=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)是R 上的偶函数,则不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤16x 在[0,1]上恒成立, 显然,当x=0时,上述不等式恒成立; 当x ≠0时,上述不等式可转化为1a x +1-12≤16, ∴a x ≥12在[0,1]上恒成立,∴12≤a<1或a>1, ∴实数a 的取值范围是[12,1)∪(1,+∞).。
高考数学一轮复习课件指数函数
2.结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分 数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能 既有分母又有负指数幂.
化简下列各式(其中各字母均为正数).
(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂， 先化为分数指数幂以便用法则运算； (2)、(3)题目中给出的是分数指数幂，先看其是 否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下 去，如不符合应再创设条件去求.
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性， 可确定y＝af(x)的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； ( 4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
()
3.设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则 ( )
A.f(－2)＞f(－1)
B.f(－1)＞f(－2)
C.f(1)＞f(2)
D.f(－2)＞f(2)
解析：由a－2＝4，a＞0，得a＝ ， ∴f(x)＝( )－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1). 答案：A
4.已知
(a>0)，则log a＝
.
解析：
答案：3
5.函数y＝
的值域是
.
解析：∵3－2x－x2＝－(x2＋2x＋1－1)＋3
＝－(x＋1)2＋4≤4，
∴0<y＝
≤24＝16.
指数与指数函数-2021年新高考数学自主复习ppt完美课件(49页)
第4节 指数与指数运算
真题自测 考向速览
考点1 指数幂的运算
1．[贵州遵义航天高级中学2019期中]下列命题中正确的个数为( )
① n an ＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③3
x4
y3
4
＝x 3
y；④3
-5
＝6 - 52
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】①当n为偶数时，n an ＝|a|，①错误； ②当a∈R时，a2－a＋1≠0，则(a2－a＋1)0＝1，②正确；
4
③x3 y＝3 x4·y＝3 x4 y3，③错误；
④ 6 - 52 ＝6 52 ＝3 5 ，④错误．
【答案】B
第2章第4节指数与指数函数-2021年新 高考数 学自主 复习课 件(共4 9张PPT )
第4节 指数与指数运算
2．[湖北黄冈2020届月考]已知2a＝5b＝m，现有下面四个命题：
p1：若a＝b，则m＝1；p2：若m＝10，则
第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
目录
第1节 函数的概念 第2节 函数的基本性质 第3节 二次函数与幂函数 第4节 指数与指数函数 第5节 对数与对数函数 第6节 函数的图像 第7节 函数与方程 第8节 函数模型及其应用
第4节 指数与指数函数
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
【答案】B
第2章第4节指数与指数函数-2021年新 高考数 学自主 复习课 件(共4 9张PPT )
第4节 指数与指数运算
6．[课标全国Ⅰ2017·11]设x，y，z为正数，且
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
高考数学重难点第11讲 指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷版)(全国通用)(新高考)
重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。
考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。
2.1.1指数与指数运算(分式)
回顾：运算性质
am an amn(m,n Z) (a m )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn(n Z )
推广：正数指数幂推广到有理数指数幂。原有整 数指数幂的运算性质对有理数指数幂仍然适用。
2 1 11 1 5
2 (6) (3)(a3 a2 a6 )(b2 b3 b6 )
2
(m
1 4
3
n8
)8
(m
1 4
)8
3
(n 8
)8
211 115
2 (6) (3) a3 2 6b2 3 6
4ab0 方法：将系数和同底
4a
(23)3 2 3
22 4
1
25 2
(52
1
)2Βιβλιοθήκη 2*(1 )5 2 51
1
5
( 1 )5 (21)5 25 32
2
3
3
4
(16) (2)
4( )
4 ( 2)3 ( 3)3 27
81 3
3
2
8
P82A1
例3、用分数指数幂的形式表示下列根式：
例： 当a 0, n N*, n 1时，n an a，
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
(1)3 a12 _3_(a_4_)3 __a_4 _ _a__3_
被开方数的 指数/ 根指数
2 3
a2
3
2
(a 3 )3
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证明与间接证明课后作业文(2021年
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4 直接证明与间接证明课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4 直接证明与间接证明课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4 直接证明与间接证明课后作业文的全部内容。
11．4 直接证明与间接证明［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·无锡质检)已知m〉1，a＝错误!－错误!,b＝错误!－错误!，则以下结论正确的是（)A．a〉b B．a〈bC．a＝b D．a,b大小不定答案B解析∵a＝错误!－错误!＝错误!，b＝错误!－错误!＝错误!.而错误!＋错误!〉错误!＋错误!〉0（m〉1）,∴错误!<错误!,即a〈b。
故选B。
2．设x，y，z〉0，则三个数错误!＋错误!，错误!＋错误!，错误!＋错误!（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2答案C解析由于错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥2＋2＋2＝6，∴错误!＋错误!,错误!＋错误!，错误!＋错误!中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a〉b〉c,且a＋b＋c＝0，求证：错误!<错误!a"索的“因”应是( )A．a－b〉0 B．a－c>0C．(a－b)（a－c)〉0 D．（a－b)(a－c)〈0答案C解析错误!<错误!a⇔b2－ac〈3a2⇔(a＋c）2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2〈0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2〉0⇔(a－c）（2a＋c)>0⇔（a－c)(a－b)〉0。
第9讲、指数与指数函数(学生版)2025高考数学一轮复习讲义
第9讲指数与指数函数知识梳理1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn a a a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2、指数函数xy a =01a <<1a >图象性质①定义域R ，值域(0)+∞，②01a =，即时0x =，1y =，图象都经过(01)，点③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x <时，1x a >；0x >时，01x a <<0x <时，01x a <<；0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1(xy a=的图象关于y 轴对称．必考题型全归纳题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例1】（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）3327⎛=⎪ ⎪⎝⎭（）A ．9B ．19C ．3D ．39【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）A ．设0,a >则4334a a a⋅=B ．若82m =，则m =C ．若13a a -+=，则1122a a -+=D 2π=-【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）()130.52443392221633-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．πB ．2π+C ．4π-D ．6π-【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．=1x -或2x =【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【对点训练5】（2024·上海青浦·统考一模）不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）不等式10631x x x --≥的解集为___________.【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20x x a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例2】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数()()22x xa f x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）已知()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【对点训练8】（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数()2421x x f x +=--，[]0,3x ∈，则其值域为_______．【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()0,1x f x a a a =>≠在[]1,2内的最大值是最小值的两倍，且()()31,1log 1,01f x xg x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，则()123g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2e axf x b =-的大致图像如图，则实数a ，b 的取值只可能是（）A ．0,1a b >>B ．0,01a b ><<C ．0,1a b <>D ．0,01a b <<<【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，则12m n+的最小值为（）A ．8B ．24C ．4D ．6【对点训练13】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中n P为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（）A ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈下降趋势B ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈摆动变化C ．当01,23n k P P =≥时，n 的最小值为3D ．当011,32n k P P =-≤时，n 的最小值为3【对点训练14】（多选题）（2024·山东聊城·统考二模）已知函数()221xx f x =+，则（）A ．函数()f x 是增函数B ．曲线()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的值域为0,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =有且仅有两条斜率为15的切线【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2,R x f x x =∈，若不等式2()()0f x f x m +->在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是________.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）设()222x x f x --=，当R x ∈时，()()210f x mx f ++>恒成立，则实数m 的取值范围是____________.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知不等式4220x x a -⋅+>，对于(,3]a ∈-∞恒成立，则实数x 的取值范围是_________．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【对点训练18】（2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数()331x x b f x +=+是定义域为R 的奇函数.(1)求实数b 的值，并证明()f x 在R 上单调递增；(2)已知0a >且1a ≠，若对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例4】（2024·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数()121122441x x f x x =++++--，则不等式()()223f x f x +>的解集为（）A ．()()2,11,-⋃+∞B ．()()1,13,-+∞ C ．()1,13,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()()3,13,-+∞ 【对点训练19】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设()1122xx f x a ⎛⎫+ -⎝=⎪⎭.若函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞ ，则关于x 的不等式()xa f a ≥的解集为__________.【对点训练20】（2024·河南安阳·统考三模）已知函数()21(0)2x a f x b a a-=+>-的图象关于坐标原点对称，则a b +=__________.【对点训练21】（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e x f x =，则满足()()21f x f x +≥的x 的取值范围是______________．【对点训练22】（2024·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b +=，则32a b +=__________．【对点训练23】（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈，则1111y x +-可能等于（）A ．-1B ．2-C ．3-D ．0。
2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《2.5指数与指数函数》
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂 的运算．
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的 特殊点，会画底数为 2,3,10，1，1的指数函数的图象．
23 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的 图象与性质；以指数函 数为载体，考查函数与 方程、不等式等交汇问 题，题型一般为选择、 填空题，中档难度.
1．分数指数幂
m
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．于是，在条
件 a>0，m，n∈N*，且 n>1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂
解析
原式＝
－3 2
1
－2＋ 5002 －
10 5＋2
＋1
5－2 5＋2
＝4＋10 5－10 5－20＋1＝－167.
9
9
3．化简：
1 4
－1 2
·
1 2
4ab－13
(a>0，b>0)＝
.
0.1－1·a3·b－3
答案 8 5
解析
23
a
3 2
b
3 2
原式＝2×
3 3
10 a 2 b 2
＝21＋3×10－1＝8. 5
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
(1)R (2)(0，＋∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时，y>1；当 x<0 时， (5)当 x>0 时，0<y<1；当 x<0
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第11课 指数与指数运算
一、教学目标
1．会进行根式与分数指数幂的互化
2. 能利用分数指数幂的运算性质进行幂的运算 二、基础学问回顾与梳理 1.推断下列问题的正误
(1)（1-20
)60cos o =1 （ ） (2)3625)5(-=- ( ) (3)
8)8(6
6-=- ( )
（4）9254)5()4(332-=-+-=-+-πππππ （ ） 【教学建议】本题主要挂念同学生疏根式的性质.思考:a a n
n
=肯定成立吗?
当n 为偶数时，应先写a a n n
=，然后再去确定值，当n 为奇数时,a a n n =，
负数无偶次方根,0的任何次方根都为0 三、诊断练习 题1：=46
3
9436
9)()(
a a
【分析与点评】利用分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其挨次是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质进行运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，对于计算结果不能既有分数指数幂又有根式.也不能既有分母又有负指数幂 题2：化简162
[(-2)]－(－1)0
的值为________
【分析与点评】本题的目的是还是要让同学留意把握根式运算的符号，可让同学自己分析计算。
题3：48373271021.09
7203
2
-2-5.0+
-++π）（）（ 【分析与点评】要留意底数的变形，能够与指数进行运算。
题4
)0,0a b <
<
n 的奇、偶分类争辩。
四、范例导析
例1.计算或化简下列各式
(1)23
278-⎛⎫- ⎪
⎝⎭
＋1
-2
(0.002)－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45；
4
3
3
4
2a b a b
-()(a >0，b >0)．
【教学处理】由同学观看上式的特征,分析四则运算的挨次是先乘方,再乘除,最终加减,有括号先算括号.分数指数幂仍旧符合四则运算法则.
【引导分析与精讲建议】(1)式进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的. （2）b a 2±形式的化简:设⎩
⎨
⎧==+b xy a
y x 可解得y x ,,则y x xy y x b a ±=±+=±22,一般状况下
只需简洁凑成完全平方公式即可.
(3)式仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并留意符号.
例2. 依据已知条件求下列值．
（1） 已知,αβ为方程2
2310x x ++=的两个根，求14αβ
+⎛⎫ ⎪
⎝⎭
的值；
（2） 若112
2
3x x
-+= ，求
332
2
12
3
x x x x -
-++++
【教学处理】同学争辩,老师结合同学的结论对“条件求值”问题进行点评总结.
【引导分析与精讲建议】对“条件求值”问题,要弄清已知与未知的联系，,然后实行“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。
本题留意整体的运算。
（3） 【变式】：已知,αβ为方程2
2310x x ++=的两个根，求1142αβ
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值；
例3.解下列方程
(1)33131=++-x
x (2)082)4
1(1=--+-x x
【教学处理】1.让同学观看能否看出式中只含有以x
a 为未知数的方程 2.化简时必需留意同解变形，才能不消灭增（失）根．
【引导分析与精讲建议】解形如0)(=x
a f 的指数方程的基本思想方法是通过变换，令x
a t =把它转化为一
个可用初等方法解的简洁代数方程0)(=t f ，然后再解一个最简洁的指数方程)0(>=t t a x
．
变式训练：（1）01232
12=-⋅+-x x
；（2）x x x 659243⨯=⨯+⨯ ；
（3）4)32()32(=-++x x
【引导分析与精讲建议】
题（1）留意将式中x 22化为2
)2(x ，1
2-x 化为
x
221⋅的形式. 则有02322=-+t t 题（2）将两边同除以)09(,9≠x x ，得x x )3
2(52)32(32⨯=+⨯，令x t )32(=，则方程变为02532
=+-t t ，
题（3）由于3
2132+=- ，故原方程化为4)32()32(=+++-x x ，令t x
=+)32，则方
程变为0142
=+-t t
五、解题反思
1.在进行根式的运算中，一般是把根式化为分数指数幂后再进行运算，对于运算结果，不统一要求什么形式，没有特殊要求的，可以用分数指数幂的形式，但结果不能同时含有根式和分数指数。
2.进行指数幂的运算，一般是化负数指数幂为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数。
3.整体思想，换元思想在运算中的应用，同时留意换元后新元的范围。