北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结(史上最全的)
(完整版)北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大版九年级数学圆
北师大版九年级数学教材中的圆包括以下内容：
1. 圆的定义：圆是由平面上到一个点的距离都相等的点的集合。
其中，这个点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的性质：
- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于其所对的弧的度数。
- 弧长和扇形面积：圆的弧长是圆周上任意两点间的弧长。
扇形是由圆心、圆周上的两个点和与之相连的弧组成的图形。
计算弧长和扇形面积需要使用圆周率π。
- 切线与切点：切线是与圆只有一个交点的直线，这个交点叫做切点。
切线与半径垂直。
- 弦和弦长：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的中垂线经过圆心，并且将弦分成两等分，弦长等于两等分部分长度之和的一半。
- 相交弧的性质：如果两个圆相交，那么它们相交弧的度数和为360°。
3. 圆的相关公式：
- 圆的周长：圆的周长等于圆周上一整个弧长，即2πr（其中r为半径）。
- 圆的面积：圆的面积等于πr^2。
以上是北师大版九年级数学教材中关于圆的主要内容。
通过学习这些知识，学生可以理解圆的定义、性质和相关公式，进而应用到解决与圆相关的问题中。
1。
北师大九年级下圆知识点
北师大九年级下圆知识点北师大九年级下学期的数学课程中，圆的知识点是一个非常重要的部分。
圆是几何学中的一个基本概念，也是数学领域中的重要研究对象之一。
本文将对北师大九年级下圆的知识点进行一些深入的讨论和解析，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这一知识。
一、圆的定义和性质圆可以用多种方式进行定义，其中最常见的是“一个平面上的所有点到一个固定点的距离相等”，这个固定点被称为圆心，到圆心的距离被称为半径。
圆的性质包括：圆上任意两点与圆心的距离相等、半径相等的圆互相重合、圆的任意一点到圆心的距离等于半径等。
同学们在学习这些性质时，可以通过练习题来加深对圆的理解。
二、圆的元素圆除了圆心和半径外，还有一些相关的元素需要了解。
其中包括直径、弦、弧、切线等。
直径是圆上任意两点间的最长距离，同时也是通过圆心的一条线段。
弦是圆上连接两点的线段，与直径相似但长度不一定等于直径。
弧是圆上的一段弯曲的线段，可以通过角度来度量。
切线是与圆相切的一条直线，切点是圆上的一个点。
三、圆周角和弧度制圆周角是以圆心为顶点的角，其所夹的弧长等于半径的长度。
圆周角的度量单位是度。
在学习圆周角时，也会遇到弧度制。
弧度是一种角度的度量单位，其定义是：半径长的弧所对应的圆周角的角度是1弧度。
我们可以通过角度和弧度之间的换算来互相转换这两种单位。
四、弦切角和切线定理弦切角是指一个弦所对应的圆内角，切线定理是指一个切线与弦所夹的角等于其所对应的弧。
在解题时，可以利用这些关系来求解相应的角度。
五、圆的相交和切线当两个圆相交时，形成的交点有多种情况，包括外切、内切、相交和不相交。
同学们可以通过画图和运用相应的定理来判断和证明相交的情况。
对于切线，我们需要了解切线定理和切线与半径的垂直关系，这些知识对于解题非常有帮助。
结语：圆是数学中的一个重要概念，掌握圆的定义、性质以及相关的元素和定理是十分必要的。
通过学习圆的知识，我们可以更好地了解几何学的相关概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
九年级数学圆的知识点总结
第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
图2图4图5推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
北师大九年级圆知识点归纳
北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。
圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。
1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。
周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。
面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。
切线的长度与切点到圆心的距离相等。
圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。
4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。
弦的长度称为弦长。
圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。
5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。
两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。
6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。
当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。
当两个圆没有公共点时，它们是外离的。
当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。
7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。
通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。
九年级数学知识点总结圆
九年级数学知识点总结圆数学中的圆是我们学习的重要几何形状之一，也是九年级数学中的一个重要知识点。
学习圆的相关知识，不仅可以提高我们的几何直观能力，还有助于我们解决实际问题。
接下来，我们就一起来总结九年级数学中关于圆的知识点。
一、圆的概念及性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
在圆上，我们常见的有圆心、半径、直径、弦、弧等概念。
1. 圆心：圆心是圆上离任何一点距离相等的点，通常用字母O 表示。
2. 半径：从圆心到圆上任一点的线段称为半径，通常用字母r 表示。
3. 直径：通过圆心的任意两点构成的线段称为直径，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
4. 弦：在圆上任意选取的两点之间的线段称为弦。
5. 弧：在圆上两个点之间的曲线部分称为弧。
圆的性质有很多，比如圆心角是指圆上两条半径之间的夹角，它的度数等于它所对应的弧所对的圆心角的一半。
此外，对于一个圆，任意一条直径将圆分为两个相等的半圆，而一个圆只有一个圆心和一个半径。
圆的任意两条弦的长度相等，且直径是一个弦的最长长度。
二、圆的计算在九年级数学中，我们还需要学习如何计算与圆相关的一些特性，包括圆的周长和面积的计算。
1. 周长：圆的周长也被称为圆周长，通常用公式2πr表示，其中π是一个约等于3.14的常数，r是圆的半径。
2. 面积：圆的面积可以用公式πr²来计算，其中π是一个约等于3.14的常数，r是圆的半径。
三、圆的相交关系及定理在几何学中，圆与直线或其他圆的相交关系是我们需要掌握的重要知识。
1. 圆与直线的相交：若直线和圆有两个交点，则该直线被称为圆的切线，若直线与圆相交于两个不同的交点，则直线被称为圆的弦。
2. 圆与圆的相交：两个圆可以有三种相交关系，即相离、相切和相交。
当两个圆内部没有公共点时为相离，当两个圆的外切线只有一个公共点时为相切，当两个圆内外各有一个公共点时为相交。
在圆的相交关系中，我们还有一些重要的相关定理，比如切线定理和割线定理等，它们有助于我们计算圆内外的线段长度。
2020版九年级数学下册 第三章 圆 3.1 圆课件 (新版)北师大版
【尝试解答】在Rt△ACO中，∠C=90°，AC=4，OC=3，
∴OA=__A_C_2__O_C__2 __=5.……………………勾股定理
又∵点E是AO的中点， ∴OE=__12_O_A___=__52_____. ………………中点的定义 ∵OE= 5 <3 =OC，
2
∴点E在☉O 内 . …………………………得出结论
(2)到点P的距离等于2 cm，且到点Q的距离等于3 cm 的点有___2___个，如图中___C_，__D___.
【题组训练】
1.以已知点O为圆心作圆，可以作 ( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
★2.下列说法正确的是 ( C ) A.直径是弦，弦是直径 B.过圆心的直线是直径 C.圆中最长的弦是直径 D.直径只有二条
(3)等圆和等弧：___半__径____相等的圆叫等圆，在 ___同__圆__或__等__圆____中，能够互相___重__合____的弧叫 做等弧.
3.点与圆的位置关系 设圆O的半径为r，点P到圆心的距离为d
r
d
与圆的位置关系
3
1
___在__圆__内_____
3
3
___在__圆__上_____
学号( B )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点E
★4.已知☉A的直径是8，点A的坐标是(3，4)，那么 坐标原点O在☉A___外____.(填“内”“上”或“外”)
★★5.(分类讨论题)如图，线段AB=8 cm，点D从A点出 发沿AB向B点匀速运动，速度为1 cm/s，同时点C 从 B点出发沿BA向A点以相同速度运动，以点C为圆心， 2 cm长为半径作☉C，点D到达B点时☉C也停止运动， 设运动时间为t s，则点D在☉C内部时t的取值范围是 ___3_<_t_<_5___. 世纪金榜导学号
新北师版九下《圆》知识点归纳总结
新北师版九下《圆》知识点归纳总结(圆的三大定理：垂径定理；圆心角定理和圆周角定理)3.1圆（1）圆的有关概念：弦、直径、圆弧（简称“弧”可分为优弧和劣弧）、半圆、等圆、等弧. （2）点和圆的位置关系：点在圆外，即d————r；点在圆上，即d————r；点在圆内，即d————r.（共三种）反之也成立.3.2圆的对称性（1）轴对称性；（2）中心对称性；（3）圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的—————相等；所对的—————相等. （圆心角定理）推论：在同圆或等圆中，如果两个—————、两条—————、两条—————、两条—————中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等.3.3垂径定理（1）内容：垂直于弦的直径平分—————————，并且平分—————————————.推论：平分弦（不是———————）的直径———————，并且平分—————————————.3.4圆周角和圆心角的关系（1）圆周角的概念：顶点在——————，且两边都与圆——————，（2）圆周角定理：圆周角的度数等于——————————的圆心角度数的一半.推论1：同弧或等弧所对的———————————————。
推论2：直径所对的—————————是直角；90°的圆周角所对的弦是——————————。
（3）圆内接四边形的概念：四边形的四个顶点都在——————————————；这个圆叫做四边形的——————————————。
推论：圆内接四边形的—————————互补。
3.5确定圆的条件（1）——————————————————————的三个点确定一个圆；（2）外接圆：外心是指——————————————————，它是三角形———————的交点。
3.6直线和圆的位置关系（1）圆的切线：直线和圆有——————————的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做——————————————，这个公共点叫做————————。
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图1
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图2
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图3
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图4
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图5
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【文库独家】
圆的总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条
直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的
一条直线
点与圆的位置关系:
点在圆内 d
点在此圆外 d>r 点A在圆外
直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点
直线与圆相交 d
圆与圆的位置关系:
外离（图1） 无交点 d>R+r
外切（图2） 有一个交点 d=R+r
相交（图3） 有两个交点 R-r
内含（图5） 无交点 d
C
D
A
B
O
E
D
C
B
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F
E
D
C
B
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C
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C
BA
O
C
BA
O
:
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即
可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD
圆心角定理
圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧是等弧
即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，
所对的弦是直径
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°
∴∠C=90° ∴AB是直径
推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角
形
即：在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
BCBDACAD
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只
要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个
结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE
③OC=OF ④ BAED
O
C
B
N
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E
D
C
B
A
P
B
A
O
O
E
D
C
B
A
NM
A
O
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相
等。
即：∵MN是切线，AB是弦
∴∠BAM=∠BCA
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于
它的内对角。
即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C
切线的性质与判定定理
（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
圆内相交弦定理及其推论：
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积
相等
即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P
∴PA·PB=PC·PA
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD
∴
22
CEDEEAEB
D
C
B
A
O
E
C
B
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O
B
A
O
P
O
D
C
B
A
D
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C
B
P
A
O
B
A
O1
O2
S
l
B
A
O
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积相等（如上图）
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线
∴
圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：在Rt△O1O2C中，
（2）外公切线长：CO2是半径之差；
内公切线长：CO2是半径之和
圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB=
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA=
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=
弧长、扇形面积公式
（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
2
PAPCPB
PCPBPDPE
2222
1122
ABCOOOCO
1:3:2
1:1:2
1:3:2
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13602nR
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