专题二：平行四边形常用辅助线地作法

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 •四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° .2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2) 任意多边形的外角和等于 360° .3. 平行四边形的性质:4、平行四边形判定方法的选择已知条件选择的判定方法 边一组对边相等 方法⑵,方法⑶ 一组对边平行 定义(方法D.方法⑶角经对角相等对角线方法⑷5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形•E求证：OE 与AD 互相平分./ 飞说明：当已知条件中涉及到平行，且要求BC性质四边形ABCD 是平行四边形判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等; (3)两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补.证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形—:(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点, AE=BF ED//AC，FG//AC交BC分别为D, G.求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问(3)利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知ADS^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE二CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC =12, BD =10，AB=m，那么m的取值范围是（）A、 1 ：： m ：： 11 B 、2 m :: 22C、10 ： m ： 12 D 、5 ： m ： 6图2（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2BD2=AB2BC2CD2DA2(7) 延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，E,F 分别是CD 、 于P 点，求证：AP 二AB、课堂练习:1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，AC 与DE 相交于点F ,若平行四边形ABCD的面积为S ，则图中面积为I S 的三角形有(2A. 1个 B . 2个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 _______________ 四边形.3、如图，AD ，BC 垂直相交于点 O , AB // CD ，贝U AB+CD 的长= __________ 。

4、已知等边三角形 ABC 的边长为a ，P 是厶ABC 内一点，PD// AB PE// BC PF // AC,点D E 、F 分别在BC 、AC AB 上，猜想：PM PE+PF= __________ 并证明你的猜想.5、平行四边形ABCD 中, E,G,F,H 分别是四条边上的点，且 AE=CF,BC=DH ,BC=8，B D CK试说明：EF与GH相互平分.6如图，平行四边形ABCD勺对角线AC和BD交于O, E、F分别为OB 0D的中点，过0 任作一直线分别交AB CD于G、H.试说明：GF// EH7、如图，已知AB "C , B是AD的中点，E是AB的中点.试说明：CD =2CE8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.试说明: S . A BE S梯形ABCD29、已知六边形ABCDEF勺6 个内角均为120°, CD= 2cm, BC= 8cm, AB= 8cm, AF=5cm 试求此六边形的周长.10、已知ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE _ AB ,DF _AC,CH _ AB，垂足分别为E、F、H,求证：DE DF =CH11、已知：在Rt ABC中，AB =BC ;在Rt ADE中，AD二DE ；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM .(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM =DM 且BM _ DM ;(2)如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么(1) 中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.答案：例4、⑴连结BF⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC 交于点0v 在 ACE 中，AC =12, CE 二 BD =10 , AE 二 2AB 二 2m••• 12 -10 ::: 2m ::: 12 10，即 2 ::: 2m ：：： 22 解得 1 ：：： m <11 故选 A例6、证明：过A,D 分别作AE _ BC 于点E , DF _ BC 的延长线于点F••• AC 2=AE 2CE 2=AB 2- BE 2(BC - BE)2=AB 2BC 2- 2BE BC⑵ BF =DE•••四边形ABC 助平行四边形v AE 二 FC• ••四边形EBF 场平行四边形例5、解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得 四边形，••• AO =OC,DO =0B••• AO - AE = 0C - FC 即 OE 二 OF • •• BF 二 DEDB =CE , DC = BE ，贝U 有四边形CDBE 为平行图①图-BD2=DF2BF^ (CD2-CF2) (BC CF)2二CD2BC22BC CF贝U AC2BD2二AB2BC2CD 2DA22BC CF _ 2BC BE•••四边形ABCD为平行四边形二AB // CD且AB =CD , AD = BC ••• . ABC =/DCF ••：£AEB ZDFC =90°.lABE 三 DCF .• BE = CF•AC2BD2=AB2BC2CD2DA2例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K•••四边形ABCD为正方形•AB // CD 且 AB 二 CD , CD 二 AD , . BAD 二/ BCD =/D =90°•••乙 1 Z K 又••： D = ■ DAK =90°, DF = AF1 1•AK =CD =AB •/ CE =^CD DF =丄 AD2 ， 2Z BCD =90°• ：B C E^ C D F• AP =AB•：C D F^ K A F • CE =DF•. 1 "2• . 2• 3 =90。

• ■ CPB =900,贝U KPB =900二、课堂练习1、C 2 、平行 3 、10 45、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到6、分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得GF // EH .7、分析：延长CE 至F ,使EF = CE ,连结AF 、BF ，得四边形AFBC 是平行四边形，利用平行四边形8、分析：过点E 作MN // AB ,交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平行四边形，△ ABE 与四边形ABNM 等底等高，所以S MBE =丄S2S 梯形ABCD = S 平行四边形ABNM 即可。

延长BA. EF,交点记ftG ；延KBC. ED,交点记作H同理._4一7巳46讥Hi AFGA 与ACDH 都是正 三帝形.-GWCD=DH-CH=2T H=60°.B+ H=18ft &r 二 EH/g 汁 一AGE7/BH. 因优*四劝形GBHEg 平行四讷形. GB^；A+AB=5+S=i3f BH=B<"-K <H=«+2 = i i \ 四边形GBHE 的周區T 13+10)X2=46 六边形的周长的周长二四边形GEHE 的周长10、 证明：过D 点作DG 丄CH 于G又DE 丄AB 于E ，CH 丄AB 于H••• DF = CG的性质证明△ DBCFBC 即可9、 •••四边形DGHE 为矩形•••/ B=Z GDC又 AB = AC•••/ GDC = / ACB又/ DGC = / DFC = 90°•••△ CDGDCF (AAS ) ••• DE = GH EH // DG•••/ B=Z ACBCD = DC (公共边)平行四边形ABNM，接下来说明又CH = CG + GH•••CH = DF + DG （等量代换）解：⑴和都是R：A-且 AB=EC,A D=DE.Z3DC = ZZBC=9C T,11、1 1又M屋EC 的中点，儿BM=-EZ； DM=-EC^ /^：BM=DM t f\.Zl©C=ZMCBZ ' 2■/ ZBME 是AEMC 的昴角* ZB1E= ZMBC+ ZMCB=2 ZMCB t同理ZDME^ZMDC+ ZMCD=2ZMCD我捧）缽廊魚CZMCB+ ZMCE^ =2：X4^' '■我巧”热協®惑耳ri •難口璇j⑵如图』延晨DM到N, U MN=m连结邸电酿蜜'.'El^CM * ZEMD=ZC IN , DM=W/.A EMD^S A CMK+\ ,ZDEM= ZNCK= ZBOH- ZBCJf , CN=CE=AD ,在 AAEC'中■> ■；ZDAEtZDEA^O0/. ZACE+ ZCAD+ ZCED^O0/2CAD=45S -ZBAD ZDEM= ZNCMi ZBCM+ ZBCN= ZCED「. Z ACE+45 ° 一ZBMH ZBCM+ ZBCN=9O,丈必銃斟区反給护T-A輕11施丄/家+：ZB®W^B/. ZBAD=ZBGN y X AB=CB f AD=CN /. AABD^&GBR /.BP=BB ZABD^ZCBN■ p 4■ > ■ ■ ' f I, I 111b"| « ■丄广"1 ,. , •4 * 4 J- ' I, * * • ■ ' III-* •■ • •- ■ '* ■S'>J ' I ■ *、 1 I ** 'Lp/ 丈「卧酗 D1=MN+\ ZDBC+ZCBN=ZDBC+ZABD f=90/. EM匸DM 且 EM丄Did；平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同 性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三 角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常 用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线：（2 ）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3） 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或 中位线（4） 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。