构造平行四边形解题方略2

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如何证明平行四边形法则

如何证明平行四边形法则一、什么是平行四边形法则平行四边形法则是几何学中的一个基本定理，用于证明平行四边形的性质。

根据平行四边形法则，如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线上的对应角相等。

这个定理在解决平行四边形的问题时非常有用，可以帮助我们推导出平行四边形的性质和关系。

二、平行四边形法则的证明思路要证明平行四边形法则，我们可以通过几何推理和数学运算来展开证明。

证明的思路主要包括以下几个步骤：1. 画出平行四边形首先，我们需要画出一个平行四边形。

可以使用尺子和直尺来辅助作图，确保四边形的边是平行的。

2. 证明对应角相等我们需要证明的是，对应角相等。

也就是说，如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线上的对应角相等。

为了证明这一点，我们可以使用反证法。

3. 假设对应角不相等假设我们的平行四边形中存在一条直线与两条平行线相交，但是对应角却不相等。

根据这个假设，我们可以得出一个矛盾的结论。

4. 推导出矛盾通过对假设的推导和运算，我们可以得出一些与已知事实矛盾的结论。

这些矛盾将帮助我们证明对应角相等的结论是正确的。

5. 得出结论最后，根据前面的推导和运算，我们可以得出结论：对应角相等的定理成立，也就是平行四边形法则成立。

三、证明平行四边形法则的详细步骤下面将详细介绍如何通过具体的几何推理和数学运算来证明平行四边形法则。

1. 画出平行四边形首先，使用尺子和直尺画出一个平行四边形ABCD。

确保AB和CD是平行的，同时确保AD和BC是平行的。

2. 证明对应角相等我们需要证明的是∠A = ∠C和∠B = ∠D。

为了证明这一点，我们可以使用反证法。

3. 假设对应角不相等假设我们的平行四边形中存在一条直线EF与两条平行线AB和CD相交，但是对应角∠A和∠C却不相等。

即假设∠A ≠ ∠C。

4. 推导出矛盾根据对假设的推导和运算，我们可以得出一些与已知事实矛盾的结论。

具体推导如下：步骤4.1：延长线段AD和BC由于EF与AB和CD相交，我们可以延长线段AD和BC，将平行四边形ABCD分成两个三角形，即三角形ADE和三角形CBF。

证明平行四边形的方法

证明平行四边形的方法平行四边形是几何学中常见的一种图形，它具有一些特殊的性质和特点。

在数学学习中，我们经常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍一些证明平行四边形的方法。

首先，我们来看平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

根据这个定义，我们可以通过以下几种方法来证明一个四边形是平行四边形。

方法一，利用对应角相等的性质。

对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明∠A = ∠C 且∠B = ∠D，那么根据对应角相等的性质，我们可以得出AB∥CD。

同理，如果我们能够证明∠A = ∠B 且∠C = ∠D，那么我们也可以得出AB∥CD。

这就是利用对应角相等的性质来证明平行四边形的方法。

方法二，利用同位角相等的性质。

对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明∠A = ∠D 且∠B = ∠C，那么根据同位角相等的性质，我们可以得出AB∥CD。

同理，如果我们能够证明∠A = ∠B 且∠C = ∠D，那么我们也可以得出AB∥CD。

这就是利用同位角相等的性质来证明平行四边形的方法。

方法三，利用对角线分割的性质。

对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明对角线AC和BD互相平分，即AC和BD的交点O是对角线的中点，那么根据对角线分割的性质，我们可以得出AB∥CD。

这就是利用对角线分割的性质来证明平行四边形的方法。

方法四，利用对边平行的性质。

对于一个四边形ABCD，如果我们能够证明AB∥CD 且AD∥BC，那么根据对边平行的性质，我们可以得出这个四边形是平行四边形。

综上所述，我们可以通过对应角相等、同位角相等、对角线分割、对边平行等性质来证明一个四边形是平行四边形。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。

总之，证明平行四边形的方法有很多种，我们需要根据具体情况选择合适的方法来进行证明。

希望以上方法能够帮助大家更好地理解和运用平行四边形的性质。

构造平行四边形解题举例

构造平行四边形解题举例浙江江山市长台初中徐生根 324106平行四边形是初中数学重点，中考中经常出现需要构造平行四边形、利用平行四边形性质证明角相等、线段相等或线段平行等题型.现举例归类分析，供参考.一、构造平行四边形证明线段平行例1 如图1，AB,CD 交于点O,A C ∥DB,AO=BO,E,F 分别为OC ，OD 的中点，连结AF 、BE,求证：AF ∥BE.分析：从已知条件可证⊿AOC ≌⊿BOD,得到OC=OD,又E 、F 为OC 、OD 的中点，则OE=OF,判断四边形AFBE 为平行四边形，AF ∥BE.证明：连结BF 、AE,因AC ∥DB,故∠C=∠D.在⊿AOC 和⊿BOD 中，由AO=BO,∠AOC=∠BOD,得⊿AOC ≌⊿BOD(ASA),又∵E 、F 为OC 、OD 的中点，则OE=OF,∴四边形AFBE 是平行四边形，∴AF ∥BE.二、构造平行四边形证明两线段相等例2如图2，在R t ⊿ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=12AB ，点E 、F 分别为BC 、AC 的中点，求证：DF=B E ．分析：要证DF=BE,可以证四边形EBDF 是等腰梯形，但这样比较麻烦，如果连结AE,证明四边形AEFD 是平行四边形，⊿EBA 是等腰三角形，可顺利得DF=BE.证明：连结AE,∵EF 是⊿ABC 的中位线，∴EF ∥AB 且EF=2ABAD ,∴ 四边形AEFD 为平行四边形，DF=AE,又AE 为Rt ⊿ABC 斜边上的中线，则AE=BE,故BE=DF.三、构造平行四边形证明角相等例3．如图3，已知E 为BC 的中点，A 在DE 上，且AB=CD,求证：∠CDE=∠BAE.分析：由于∠CDE 与∠BAE 在两个不同的三角形中，，且这两个三角形不全等或相似，所以，不能直接比较着两个角的大小，注意到E 为BC 的中点，线段ED 是⊿ABC 的中线，从从而向把中线加倍，构造平行四边形得以解决. 证明：延长DE 到F,使EF=DE,连结FB 、FC 、BD,，易知四边形BFCD 为平行四边形，则BF ∥CD, ∠BFA=∠CDF,BF=CD.∵CD=BA, ∴BF=BA, ⊿BFA 是等腰三角形，∠BFA=∠BAF,即∠BAE=∠CDE.四、构造平行四边形线段的倍分关系例4. 如图4，已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，E为DC边延长线上的一点，且CE=CD,连结AE交BC于F点，连OF，求证：AB=2OF.分析：若证AB=2OF,这需证F为BC的中点，连结BE，若四边形ABEC为平行四边形，则F为平行四边形ABCE的对角线交点.证明：连结BE,∵四边形ABCD为平行四边形，∴ AB CD,又∵E为DC延长线上的点，且EC=DC,∴AB EC,∴四边形ABEC为平行四边形，F为BC的中点，∵O为AC的中点，∴OF是⊿CAB的中位线，AB=2OF.五、构造平行四边形证明线段互相平分例5. 如图5，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF,BG=DH,试说明：EF与GH互相平分.分析：EF与GH为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分.证明：连结HE、EG、GF、FH.∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=∠C,AD=CB 又∵BG=HD,∴AH=CG,又∵AE=CF,∴△HAE∽△GCF.∴HE=FG同理可得HF=EG,∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分.六、构造平行四边形证明线段的和差关系例6 如图6，四边形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC=2∠ABC，试说明:AB=AD+CD.分析：延长DC到E，使DE=AB，连接BE，则四边形ABED为平行四边形，得BE=AD，下面只需说明CE=BE即可.证明：延长DC到E，使DE=AB，连接BE，∵AB∥CD，∴四边形ABED是平行四边形，所以EB=AD，∠ADC=∠ABE.又因为∠ADC=2∠ABC，所以∠ABE==2∠ABC，所以∠ABC=∠EBC.因为∠ECB=∠ABC所以∠EBC=∠ECB，所以EB=EC,因为ED=EC+CD=EB+CD,所以AB=AD+CD.七、构造平行四边形证明两条线段不等例7．如图7，已知AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=EC,求证：DE＞BC.分析：由于DE和BC不在同一个三角形中，那么要将DE、BC搬到同一个三角形中解决问题.证明：过D、C分别作BC、BD的平行线DF、CF相交于F点，则四边形BCFD是平行四边形，连结FE,∴BC=DF,BD=CF,∴∠B=∠4,∴CE=BD=CF, ∴∠1=∠2.∵⊿ABC中，AB=AC,∠B=∠3,∴∠3=∠4.∵∠3＞∠5,∴∠4＞∠5,∴∠4+∠1＞∠5+∠2即∠DFE＞∠DEF,∴DE＞DF,即DF＞BC.。

九年级暑假班拓展-第10讲-构造平行四边形巧解几何问题II

第十讲.构造平行四边形巧解几何问题II【教学目标】1.巩固平行四边形的相关知识；2.学会添恰当的辅助线构造出平行四边形；3.掌握平行四边形中常见的辅助线作法；4.掌握平行四边形的综合应用。

【知识、方法梳理】1.平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用。

2.由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等； (2)平行四边形对边相等； (3)平行四边形对角线互相平分．3.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【典例精讲】例1 .如图示。

在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，DN BM =。

求证：EF 与MN 互相平分。

FA C M NFACM N【分析】只要证明ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．【证明】因为ABCD 是平行四边形，所以AD BC ，AB CD ，∠B=∠D ．又AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，所以AECF 是矩形，从而AE=CF所以Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL ，或AAS)，BE=DF 。

又由已知BM=DN ，所以△BEM ≌△DFN(SAS)， ME=NF ． ①又因为AF=CE ，AM=CN ，∠MAF=∠NCE ，所以△MAF ≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF ． ②由①，②，四边形ENFM 是平行四边形，从而对角线EF 与MN 互相平分．例2 .如图所示。

Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于D ，BG 平分ABC ∠，EF BC ∥且交AC 于F 。

平行四边形存在性问题的解题策略

平行四边形存在性问题的解题策略
平行四边形存在性问题是一个常见的几何问题，即给定4条线段，判断它们是否可以构成一个平行四边形。

虽然这个问题看起来很简单，但是解决起来却并不容易。

解决平行四边形存在性问题的第一步是要判断这四条线段是否为平行线段。

根据对称性，可以把这四条线段分成两组，分别是AB和CD，那么AB两条线段是否平行，与CD两条线段是否平行，就可以用一般平行线段的性质来判断，即两条平行线段之间的角度是180°。

若AB和CD两组线段都是平行线段，则说明这四条线段可能构成平行四边形，接下来就要判断对角线的关系。

可以用向量的性质来判断，即对角线的夹角是90°，判断时要将AB和CD两组线段的终点向量相加，若其夹角为90°，则说明这四条线段可以构成平行四边形。

另外，若AB两条线段不是平行线段，则这四条线段一定不能构成平行四边形。

因为平行四边形的4条边都是平行线段，而AB两条线段不是平行线段，则说明这四条线段不可能构成平行四边形。

总之，解决平行四边形存在性问题的关键是要判断四条线段之间的关系，即AB两条线段是否平行，以及AB两条线段的终点向量之和的夹角是否为90°。

只有当这两个条件都满足时，这四条线段才能构成平行四边形。

数平行四边形的方法和技巧

数平行四边形的方法和技巧如何求解平行四边形的方法和技巧平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的，而且对边长度相等。

在解决平行四边形问题时，我们可以运用一些方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将一步一步回答如何求解平行四边形的方法和技巧。

第一步：了解平行四边形的基本属性在求解平行四边形时，首先需要了解它的基本属性。

平行四边形的对边是平行的，而且对边长度相等，这意味着我们可以利用这些属性来解决问题。

第二步：利用平行四边形的性质推导出其他结论平行四边形具有一些重要的性质，可以帮助我们推导出其他结论，从而解决问题。

以下是一些常用的性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。

这意味着我们可以利用对边平行的性质来推导出其他结论。

2. 对边等长性质：平行四边形的对边长度相等。

这意味着我们可以利用对边等长的性质来推导出其他结论。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

这意味着我们可以利用内角和的性质来推导出其他结论。

通过运用这些性质，我们可以推导出一些重要的结论，如同位角相等、内错角相等等。

这些结论可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形的问题。

第三步：利用平行四边形的特殊性质解决问题在解决平行四边形问题时，我们还可以利用其特殊性质，采用一些特定方法和技巧。

1. 平行线截取等腰三角形：当我们需要求解平行四边形的边长或角度时，可以利用平行线截取等腰三角形的方法。

我们可以通过画一条辅助线，构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来求解平行四边形问题。

2. 平行线截取相似三角形：当我们需要求解平行四边形的边长比或者面积比时，可以利用平行线截取相似三角形的方法。

我们可以通过画一条辅助线，构造一个相似三角形，从而利用相似三角形的性质来求解平行四边形问题。

3. 使用向量法：当给定平行四边形的顶点坐标时，我们可以使用向量法来求解平行四边形的边长、面积等问题。

我们可以将平行四边形的向量表示进行计算，从而得到所求解的结果。

依据判定学会构造平行四边形解决问题

依据判定学会构造平行四边形解决问题平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，解决某些几何题时，若能根据平行四边形的判定，巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易、化繁为简，证明过程简捷．现举例说明。

一、说明两线段相等例1、已知：如图1，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O．试说明：O是BD的中点．分析：观察图形，EF与BD为四边形FBED的对角线，若能说明四边形FBED是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD的中点。

二、说两线段互相平分例2、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：EF与GH相互平分．分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分。

三、说明两线段平行例3、如图3，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H．试说明：GF∥EH．分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得GF∥EH．四、说明线段的和差关系例4、如图4，四边形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC=2∠ABC，试说明AB=AD+CD分析：延长DC到E，使DE=AB，连接BE，则四边形ABED为平行四边形，得BE=AD，下面只需说明CE=BE即可。

五、说明线段的倍分关系例5、如图5，已知AB＝AC，B是AD的中点，E是AB的中点．试说明：CD＝2CE．分析：延长CE至F，使EF＝CE，连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明△DBC ≌△FBC 即可。

六、解决面积问题例6、如图6，E 是梯形ABCD 腰DC 的中点．试说明：S △ABE ＝21S 梯形ABCD ．分析：过点E 作MN ∥AB ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平行四边形，△ABE 与四边形ABNM 等底等高，所以S △ABE ＝21S 平行四边形ABNM ，接下来说明S 梯形ABCD ＝S 平行四边形ABNM 即可。

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D B F
H
C E
G
二、构造平行四边形证
2、如图，AD是 ∆ABC 的边上的中线，、如图，是的边BC上的中线上的中线，求证：求证：AB+AC﹥2AD ﹥
A
B
○
D
○
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
三、构造平行四边形证
3、如图，分别以 ∆ABC 中的、AC为边、如图，中的AB、为边向外作正方形ABEF和正方形和正方形ACGH，M是向外作正方形和正方形，是 BC的中点，的中点，的中点 F 求证：求证：FH=2AM
构造平行四边形解题方略
2011年3月年月
一、构造平行四边形证
∆ 1、如图， ABC 中，D在AB上，E在AC的、如图，在上在的延长线上，连结DE，延长线上，BD=CE连结，交BC于F，连结于，外角的平分线交BC的延长线于 ∠BAC外角的平分线交的延长线于，外角的平分线交的延长线于G，且AG//DE。。 A 求证：BF=CF 求证：
课堂检测
平面上三个等边三角形 ∆ACE、∆ABD、∆BCF 两两共有一个顶点，如图所示，两两共有一个顶点，如图所示， B 求证：与互相平分求证：CD与EF互相平分
C F
E D A
E A C H G
B
M
D
中考链接
西城二模）（2010西城二模）在△ABC中，点P为BC的中西城二模中为的中点．＜（AB+AC）；（1）如图，求证：AP＜（）如图1，求证：＜（）；（2）延长到D，使得）延长AB到，使得BD=AC，延长到E，，延长AC到，使得CE=AB，连结．使得，连结DE．如图2，连结BE， BAC=60° ①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段之间的数量关系．与线段AP之间的数量关系线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结并加以证明；论，并加以证明；请在图3中证明中证明： ②请在图中证明：BC≥DE．．