初中数学构造平行四边形解题例举学法指导
八年级初二数学华师大版下册同步辅导:构造平行四边形解题

专题讲座巧构平行四边形解题□ 江苏 孙业民通过添加辅助线,构造平行四边形,能使问题化繁为简,化难为易.1. 求长度 例1 如图1,在等边三角形ABC 中,P 为边AB 上的点,Q 为边AC 上的点,且AP =CQ .测得点A 与线段PQ 的中点M 之间的距离是19 cm ,则点P 与点C 之间的距离是 cm . 解析:过点Q 作QD //AB ,交BC 于点D ,连接PD ,MD . 因为△ABC 是等边三角形,所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°.因为QD //AB ,所以∠C QD=∠BAC=60°,∠C DQ=∠B=60°. 所以△DQC 是等边三角形.所以DQ =CQ =AP . 所以四边形APDQ 是平行四边形.所以PD //AC ,AM=DM.所以∠B PD=∠BAC=60°,∠B DP=∠BCA =60°,AD =2AM =2×19=38(cm ). 所以△PBD 是等边三角形.所以BP=BD.在△ABD 和△CBP 中,AB=CB ,∠B=∠B ,BD=BP ,所以△ABD ≌△CBP . 所以AD =CP .所以CP =38 cm .故填38. 2. 求角度例2 如图2,分别以△ABC 的边AB ,AC 为边在三角形外作正方形ABEF 和ACGH ,M 为FH 的中点,MA 的延长线交BC 于点D ,则∠ADB 的度数是 .解析:延长AM 至点N ,使MN =AM ,连接FN ,HN .因为M 为FH 的中点,所以四边形AHNF 为平行四边形.所以FN =AH =AC ,∠AFN +∠F AH =180°.因为∠BAC +∠F AH =180°,所以∠AFN =∠BAC .因为F A =AB ,所以△AFN ≌△BAC .所以∠1=∠2.因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°.所以∠ADB =90°.故填90°.B C PA M Q 图1 N H G F E 2B DC 1 M A 3 图2。
构造平行四边形解题

构造平行四边形解题作者:王竞进来源:《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第04期平行四边形是基本的几何图形之一,它的应用十分广泛.在解题时,如能根据图形特征,添加辅助线,构造平行四边形,常可化难为易,使问题快速获解.例1如图1,▱ABCD中,E、F为对角线AC上的两点,且AE=CF.M、N分别为边AD、BC上的点,且MD=NB.MN与EF相交于O.求证:EF和MN互相平分.分析1:据图形特征,要证明EF和MN互相平分,易于联想到平行四边形对角线的性质,于是可连接EM、MF、FN、NE,证明四边形MENF为平行四边形即可.证明1:如图2,连接EM、MF、FN、NE.因四边形ABCD为平行四边形,由∠MAE=∠NCF,AM=CN,AE=CF,可得△AEM≌△CFN.∴EM=NF,∠MEA=∠NFC.所以∠MEF=∠NFE.∴EM∥NF,四边形MENF是平行四边形.∴EF和MN互相平分.分析2:结合已知条件,若连接AN、CM,易证四边形ANCM亦为平行四边形(一组对边平行且相等),从而可得AC、MN互相平分.再由AE=CF可知OE=OF,进而结论获证.证明2:如图3,略.例2如图4,已知AC= AB=BD,AE=BE,求证:CD=2CE.分析:由结论,可延长中线CE至点F,使EF=CE,连接AF、BF,则构造了▱AFBC(因对角线互相平分),再证明△DBC≌△FBC,进而推得结论.证明:如图5,延长CE到F,使EF=CE,连接AF、BF.又因AE=BE,∴四边形AFBC是平行四边形.∴AC∥BF,AC=BF.∵AC=BD,∴BD=BF.∵AC= AB,∴∠ACB =∠ABC.又∠DBC=∠ACB+∠BAC=∠ABC+∠ABF=∠FBC,BC= BC,∴△DBC≌△FBC.故CD=CF=2CE.点评:本题也可证CD的一半等于CE.设CD中点为F,连接BF.易知BF=AC=BE.因BF∥AC,故∠FBC=∠ACB=∠ABC.故△CBE≌△CBF.例3如图6,李家庄有一个四边形的池塘ABCD,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵树.李家庄准备开挖池塘养鱼,想使池塘面积扩大一倍,又想保持四棵树不动,并且扩建后仍为四边形.请问:能否实现这一想法?试说明理由.分析:先把这个不规则的四边形通过连对角线,分割成四个三角形,然后再分别构造平行四边形把其面积扩大一倍,使问题得以解决.解:如图7所示,连接AC、BD,分别过点A、C作BD的平行线,分别过点B、D作AC 的平行线,得▱EFGH,即为扩建后符合要求的池塘.点评:利用平行四边形面积是一条对角线所分割出的三角形的面积的2倍,可帮助解决这类构造性问题,如前文中的例4.不能看书一群年轻人在一家旅馆的客房内豪饮狂欢.旅馆的招待员走过来对他们说道:“你们不要这样大喊大叫了!隔壁那位先生说他不能看书了.”“你去告诉他,”一个毛头小伙子说,“他应该感到惭愧,我五岁就能看书了.”。
(文章)构造平行四边形解题

构造平行四边形解题平行四边形是一种特殊的四边形,它的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助线,构造平行四边形加以解决.一、求线段的长例1如图1,在正△ABC 中,P 为边AB 上一点,Q 为边AC 上一点,且AP =CQ .今量得A 点与线段PQ 的中点M 之间的距离是19cm ,则P 点到C 点的距离等于 cm . 分析:作QD //AB ,交BC 于点D ,连接PD ,MD .由△ABC 为正三角形,易知BP =BD ,AP =DQ ,所以四边形APDQ 为平行四边形.所以AMD 是平行四边形APDQ 的对角线.所以AD =2AM =2×可得PC =AD .所以PC =38cm .二、证明线段相等问题例2 如图2,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB =CD ,延长CB 到E ,使EB =AD ,连接AE .求证:AE =AC .分析:连接BD .由AD 与BE 平行且相等,易知四边形AEBD 是平行四边形,所以BD =AE .因为AC =BD ,所以AE =AC .三、证明线段和差问题例3 如图3,△ABC 中,D ,F是AB 边上两点,且AD =BF ,作DE //BC ,FG //BC ,分别交AC 于点E ,G .求证:DE +FG =BC .分析:作GH //AB 交BC 于点H .则四边形BHGF 是平行四边形.所以GH =BF =AD ,FG =BH .因为DE //BC,GH //AB ,所以∠1=∠C ,∠A =∠2.所以△ADE ≌△GHC .所以DE =HC .因为BH +四、证明线段倍分问题例4 如图4,已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点,且CE =DC ,连接AE ,分别交BC ,BD 于点F ,G ,连接AC 交BD 于O ,连接OF .试说明:AB =2OF . 图3分析:连接BE .易知四边形ABEC 为平行四边形.由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF =CF ,AO =OC ,所以OF 为△CAB 的中位线,从而得出AB =2OF .五、证明两直线平行问题例5 如图5,△ABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 边的中点,M ,N 是AC 的三等分点,EM ,FN 的延长线交于点D .求证:AB //CD .分析:连接BD 交AC 于点O ,连接BM ,BN .由AE =BE ,AM =MN 可得ED //BN ;由BF =CF ,MN =NC 可得BM //FD .所以四边形BMDN 是平行四边形.所以OB =OD ,OM =ON .所以OA =OC .由此可得出四边形ABCD 是平行四边形.所以AB //CD .六、证明两直线垂直问题例6如图6,分别以△ABC 的边AB ,AC 为一边在三角形外作正方形ABEF 和ACGH ,M 为FH 的中点.求证:MA ⊥BC .分析:设MA 的延长线交BC 于点D ,延长AM 至点N ,使MN =AM ,连接FN ,HN .则四边形AHNF 为平行四边形.所以FN =AH =AC ,∠AFN +∠F AH =180°.因为∠BAC +∠F AH =180°,所以∠AFN =∠BAC .因为AF =AB ,所以△AFN ≌△BAC .所以∠1=∠2.因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,所以∠ADB =90°.从而得出MA ⊥BC .。
构造平行四边形解题方略2

D B F
H
C E
G
二、构造平行四边形证
2、如图,AD是 ∆ABC 的边 上的中线, 、如图, 是 的边BC上的中线 上的中线, 求证: 求证:AB+AC﹥2AD ﹥
A
B
○
D
○
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
三、构造平行四边形证
3、如图,分别以 ∆ABC 中的 、AC为边 、如图, 中的AB、 为边 向外作正方形ABEF和正方形 和正方形ACGH,M是 向外作正方形 和正方形 , 是 BC的中点, 的中点, 的中点 F 求证: 求证:FH=2AM
构造平行四边形解题方略
2011年3月 年 月
一、构造平行四边形证
∆ 1、如图, ABC 中,D在AB上,E在AC的 、如图, 在 上 在 的 延长线上, 连结DE, 延长线上,BD=CE连结 ,交BC于F, 连结 于 , 外角的平分线交BC的延长线于 ∠BAC外角的平分线交 的延长线于 , 外角的平分线交 的延长线于G, 且AG//DE。 。 A 求证:BF=CF 求证:
课堂检测
平面上三个等边三角形 ∆ACE、∆ABD、∆BCF 两两共有一个顶点,如图所示, 两两共有一个顶点,如图所示, B 求证: 与 互相平分 求证:CD与EF互相平分
C F
E D A
E A C H G
B
M
D
中考链接
西城二模) (2010西城二模)在△ABC中,点P为BC的中 西城二模 中 为 的中 点. <(AB+AC); (1)如图 ,求证:AP<( )如图1,求证: <( ); (2)延长 到D,使得 )延长AB到 ,使得BD=AC,延长 到E, ,延长AC到 , 使得CE=AB,连结 . 使得 ,连结DE. 如图2,连结BE, BAC=60° ①如图2,连结BE,若∠BAC=60°,请你探究 线段BE与线段 之间的数量关系. 与线段AP之间的数量关系 线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结 并加以证明; 论,并加以证明; 请在图3中证明 中证明: ②请在图 中证明:BC≥DE. .
构造平行四边形证题的技巧

构造平行四边形证题的技巧构造平行四边形证题的技巧一. 构造平行四边形证两线段平行例1. 已知如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O,E、F分别为OB、OD的中点,过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。
求证:GF//EH。
证明:连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形又四边形EHFG是平行四边形二. 构造平行四边形证两线段相等例2. 如图,中,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=CE连结DE,交BC 于F,∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G,且AG//DE。
求证:BF=CF分析:过点C作CM//AB交DE于点M,可以证明BD=CM,然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF证明:过点C作CM//AB交BE于点M,连接BM、CD,则∠CME=∠ADE四边形BMCD为平行四边形故BF=CF三. 构造平行四边形证线段的不等关系例3. 如图,AD是的边BC上的中线,求证:分析:欲证,即要证,设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中,利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。
注意到AD为的中线,故可考虑延长AD到E,使DE=AD,则四边形ABEC为平行四边形。
从而问题得证。
证明:延长AD到E,使DE=AD,连结BE、EC四边形ABEC是平行四边形在中,AE 即2AD<ab+ac< p="">点评:此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定,通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系,转化为三角形三边之间的关系,从而使问题迎刃而解。
四. 构造平行四边形证线段的倍分关系例4. 如图,分别以中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH,M是BC 的中点,求证:FH=2AM证明:延长AM到D,使MD=AM,连结BD、CD,是BC的中点四边形ABDC为平行四边形又AF=BA,AH=AC=BD故FH=2AM五. 构造平行四边形证两线段互相平分例5. 平面上三个等边三角形两两共有一个顶点,如图所示,求证:CD与EF互相平分分析:要证CD与EF互相平分,须证四边形DFCE是平行四边形证明:连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD又AE=AC,AD=AB∠DAE=60°-∠EAB=∠BAC四边形DECF是平行四边形故CD与EF互相平分六. 构造平行四边形证角的`不等关系例6. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC>BD求证:∠DBC>∠ACB证明:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,则四边形ACED 是平行四边形又在中,∠DBE>∠E七. 构造平行四边形证线段的和差关系例7. 如图,中,点E、F在边AB上,AE=BF,ED//AC//FG,求证:ED+FG=AC证明:过E作EH//BC交AC于H四边形CHED为平行四边形又AE=BF,同步练习:1. 如图1,在梯形BCED中,DE//BC延长BD、CE交于A,在BD上截取BF=AD。
初中数学初二数学下册《平行四边形》优秀教学案例

一、案例背景
在我国初中数学教育中,平行四边形作为八年级下册数学课程的重要内容,既是培养学生空间观念与几何直观的关键章节,也是提高学生推理能力与解决问题能力的重要载体。本教学案例以初二学生为对象,针对《平行四边形》这一章节,通过创设生活情境,激发学生的学习兴趣,引导学生主动探究平行四边形的性质与判定方法。本案例注重将抽象的数学概念与学生实际生活相结合,采用启发式教学方法,充分调动学生的主体作用,培养他们观察、分析、归纳和解决问题的能力。在教学过程中,关注学生的个体差异,提供不同层次的思考与练习,使每位学生都能在原有基础上得到提高,从而真正实现因材施教、全面发展。
二、教学目标
(一)知识与技能
1.让学生掌握平行四边形的定义,理解其对边平行且相等的性质,并能运用这一性质解决相关问题。
2.使学生掌握平行四边形的判定方法,如对角线互相平分、一组对边平行且相等、两组对边分别相等等,并能运用这些方法判断生活中的平行四边形。
3.培养学生运用平行四边形的性质与判定方法解决实际问题的能力,如计算平行四边形的面积、周长等。
(五)作业小结
1.布置适量的课后作业,包括基础题和提高题,巩固所学知识。
2.设计开放性问题,让学生运用所学知识解决生活中的实际问题,提高他们的创新意识。
3.要求学生在课后进行反思,总结自己在课堂上的收获和不足,为下一节课的学习做好准备。
4.教师及时批改作业,了解学生的学习情况,为下一步的教学提供依据。
4.引导学生将所学知识应用于生活实际,培养他们学以致用、理论联系实际的价值观。
5.培养学生的批判性思维,使他们敢于质疑、勇于探索,形成独立思考的习惯。
三、教学策略
(一)情景创设
人教版数学八年级下册18.1.2平行四边形判定的优秀教学案例

1.布置作业:针对本节课的内容,布置一些具有代表性的练习题,让学生巩固所学知识。
a.画出几个平行四边形,并标出它们的性质。
b.判断以下四边形是否为平行四边形,并说明理由。
c.运用平行四边形的性质解决实际问题。
2.作业评价:对学生的作业进行评价,关注学生的解题思路和方法,及时给予反馈,帮助学生提高。
3.实践探究:组织学生进行动手操作,通过画图、测量等实践活动,让学生在实践中发现平行四边形的性质和判定方法。
4.反思与总结:引导学生对所学知识进行反思和总结,形成自己的知识体系。
(三)情感态度与价值观
1.增强学生对数学学科的兴趣,激发学生的学习热情,培养他们的探究精神。
2.培养学生严谨的学习态度,使学生认识到几何图形在生活中的重要性,提高学生的应用意识。
3.培养学生克服困难的勇气和信心,使学生体验成功解决问题的喜悦,形成积极向上的心态。
4.培养学生的集体荣誉感,使学生学会尊重他人,形成良好的人际关系。
三、教学策略
(一)情景创设
在本章节的教学中,我将创设贴近学生生活的情景,以引发学生的兴趣和思考。例如,可以引用校园建筑中的平行四边形结构,如操场上的跑道、篮球场上的边界线等,让学生感受到数学知识在实际生活中的应用。通过这些情景的引入,让学生认识到平行四边形与我们的生活息息相关,从而激发他们的学习热情。
(二)问题导向
以问题为导向,引导学生主动探究平行四边形的性质和判定方法。在教学过程中,我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题,如:
1.如何判断一个四边形是平行四边形?
2.平行四边形具有哪些独特的性质?
3.如何运用这些性质解决实际问题?
(三)小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。我将学生分成若干小组,每组4-6人,让他们在合作交流中共同探讨平行四边形的性质和判定方法。在小组合作中,学生可以互相启发、互相补充,形成集体的智慧。同时,小组合作有助于培养学生的团队精神和沟通能力。
构造平行四边形解题举例

构造平行四边形解题举例浙江江山市长台初中 徐生根 324106平行四边形是初中数学重点,中考中经常出现需要构造平行四边形、利用平行四边形性质证明角相等、线段相等或线段平行等题型.现举例归类分析,供参考.一、 构造平行四边形证明线段平行例1 如图1,AB,CD 交于点O,A C ∥DB,AO=BO,E,F 分别为OC ,OD 的中点,连结AF 、BE,求证:AF ∥BE.分析:从已知条件可证⊿AOC ≌⊿BOD,得到OC=OD,又E 、F 为OC 、OD 的中点,则OE=OF,判断四边形AFBE 为平行四边形,AF ∥BE.证明:连结BF 、AE,因AC ∥DB,故∠C=∠D.在⊿AOC 和⊿BOD 中,由AO=BO,∠AOC=∠BOD,得⊿AOC ≌⊿BOD(ASA),又∵E 、F 为OC 、OD 的中点,则OE=OF,∴四边形AFBE 是平行四边形,∴AF ∥BE.二、构造平行四边形证明两线段相等例2如图2,在R t ⊿ABC 中,∠BAC=90°,延长BA 到D ,使AD=12AB ,点E 、F 分别为BC 、AC 的中点,求证:DF=B E .分析:要证DF=BE,可以证四边形EBDF 是等腰梯形,但这样比较麻烦,如果连结AE,证明四边形AEFD 是平行四边形,⊿EBA 是等腰三角形,可顺利得DF=BE.证明:连结AE,∵EF 是⊿ABC 的中位线,∴EF ∥AB 且EF=2ABAD ,∴ 四边形AEFD 为平行四边形,DF=AE,又AE 为Rt ⊿ABC 斜边上的中线,则AE=BE,故BE=DF.三、 构造平行四边形证明角相等例3.如图3,已知E 为BC 的中点,A 在DE 上,且AB=CD,求证:∠CDE=∠BAE.分析:由于∠CDE 与∠BAE 在两个不同的三角形中,,且这两个三角形不全等或相似,所以,不能直接比较着两个角的大小,注意到E 为BC 的中点,线段ED 是⊿ABC 的中线,从从而向把中线加倍,构造平行四边形得以解决. 证明:延长DE 到F,使EF=DE,连结FB 、FC 、BD,,易知四边形BFCD 为平行四边形,则BF ∥CD, ∠BFA=∠CDF,BF=CD.∵CD=BA, ∴BF=BA, ⊿BFA 是等腰三角形,∠BFA=∠BAF,即∠BAE=∠CDE.四、构造平行四边形线段的倍分关系例4. 如图4,已知O为平行四边形ABCD对角线的交点,E为DC边延长线上的一点,且CE=CD,连结AE交BC于F点,连OF,求证:AB=2OF.分析:若证AB=2OF,这需证F为BC的中点,连结BE,若四边形ABEC为平行四边形,则F为平行四边形ABCE的对角线交点.证明:连结BE,∵四边形ABCD为平行四边形,∴ AB CD,又∵E为DC延长线上的点,且EC=DC,∴AB EC,∴四边形ABEC为平行四边形,F为BC的中点,∵O为AC的中点,∴OF是⊿CAB的中位线,AB=2OF.五、构造平行四边形证明线段互相平分例5. 如图5,平行四边形ABCD中,E、G、F、H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH,试说明:EF与GH互相平分.分析:EF与GH为四边形HEGF的对角线,若能说明四边形HEGF是平行四边形,由平行四边形对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分.证明:连结HE、EG、GF、FH.∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=∠C,AD=CB 又∵BG=HD,∴AH=CG,又∵AE=CF,∴△HAE∽△GCF.∴HE=FG同理可得HF=EG,∴四边形EGFH是平行四边形,∴EF与GH互相平分.六、构造平行四边形证明线段的和差关系例6 如图6,四边形ABCD中,AB∥CD,且∠ADC=2∠ABC,试说明:AB=AD+CD.分析:延长DC到E,使DE=AB,连接BE,则四边形ABED为平行四边形,得BE=AD,下面只需说明CE=BE即可.证明:延长DC到E,使DE=AB,连接BE,∵AB∥CD,∴四边形ABED是平行四边形,所以EB=AD,∠ADC=∠ABE.又因为∠ADC=2∠ABC,所以∠ABE==2∠ABC,所以∠ABC=∠EBC.因为∠ECB=∠ABC所以∠EBC=∠ECB,所以EB=EC,因为ED=EC+CD=EB+CD,所以AB=AD+CD.七、构造平行四边形证明两条线段不等例7.如图7,已知AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,且BD=EC,求证:DE>BC.分析:由于DE和BC不在同一个三角形中,那么要将DE、BC搬到同一个三角形中解决问题.证明:过D、C分别作BC、BD的平行线DF、CF相交于F点,则四边形BCFD是平行四边形,连结FE,∴BC=DF,BD=CF,∴∠B=∠4,∴CE=BD=CF, ∴∠1=∠2.∵⊿ABC中,AB=AC,∠B=∠3,∴∠3=∠4.∵∠3>∠5,∴∠4>∠5,∴∠4+∠1>∠5+∠2即∠DFE>∠DEF,∴DE>DF,即DF>BC.。
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初中数学构造平行四边形解题例举学法指导
雷祥红
平行四边形是初中几何中非常重要的内容,它的性质在几何计算和证明中应用十分广泛,在解题中若能根据题目的特征,巧妙添加辅助线,构造平行四边形,能使问题得到快速解答,同时有利于培养同学们良好的思维品质和习惯。
一、证明线段相等
例1. 如图1,在平行四边形ABCD中,E是CD中点,F是AE中点,FC与BE交于点G。
求证:GF=GC
证明:连结DF,并延长交AB于H,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∵∠DFE=∠HFA,AF=FE,∠DEF=∠FAH,∴△AFH≌△EFD(ASA)∴DE=AH,∵HB∥DE,∴四边形DHBE为平行四边形,即EG∥DF,又E为CD中点,∴FG=GC。
例2. 如图2,在△ABC中,AE、BD、CF为中线,FM∥BD,DM∥AB。
求证:MC∥AE
证明:连结AM、FD。
∵FM∥BD,DM∥AB,∴四边形FBDM为平行四边形
∴BF∥DM ∵AF=BF ∴AF∥DM
∴四边形AFDM为平行四边形
∴AM∥FD
又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点
∴FD∥EC
∴AM∥EC,
∴四边形AECM为平行四边形
∴MC∥AE。
三、证明线段的和差关系
例3. 如图3,梯形ABCD中,AB∥DC,∠A+∠B=90°,M、N分别为AB、DC的中点。
求证:).DC AB (2
1MN -= 证明:过N 分别作NE ∥AD ,NF ∥BC 交AB 于E 、F ,得平行四边形ADNE 和平行四边形NFBC ,∴DN =AE ,=BF ,∠NFE =∠B ,∵DN =,∠A +∠B =90°,∴AE =BF ,∠NEF +∠NFE =90°∵AM =BM ,∴EM =FM ,∴在Rt △NEF 中,
21EF 21MN ==)DC AB (2
1)CN DN AB (21)BF AE AB (-=--=-- 想一想:本题还有别的证法吗?请与同伴交流。
四、求证面积
例4. 如图4,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,对角线AC ⊥BD ,DC =3cm ,AB =8cm 。
求梯形ABCD 的面积。
解:过C 作CF ⊥AB 于F ,作CE ∥BD 交AB 延长线于E ,得平行四边形DBEC ,∴BE =DC ,BD ∥CE 。
∵AC ⊥BD ,∴∠ACE =Rt ∠,AC =CE ,
∴△ACE 为等腰直角三角形。
AE =AB +BE =3+8=11cm 。
cm 211AE 21CF ==
, ∴2ABCD cm 4
1212111121CF )AB DC (21S =⨯⨯=⨯+=梯形
五、求线段比
例5. 如图5-1是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形,这个图形中等腰梯形上底长与下底长之比是______________。
解:过点A 作AE ∥CD 交BC 于E 。
如图5-2,则AE =DC ,AD =EC ,∵AB =CD ,∴AB =AE ,易知∠B =60°。
∴△ABE 为等边三角形 ∴AB =BE ,再由图案可知:AD =
AB,则AD=AB=BE=EC,∴AD:BC=1:2。