曲线类题目专题复习
《生物图类题型及解法》专题复习学案 一、几何型这是一种将数据信息进行转换，以几何模型的直观化方式呈现出来的题型。该题型能考查运用数学知识解决生物学问题的迁移能力，以及分析和转换信息的能力。常见的有柱形图和扇形图两种。
解题时不仅要弄清横纵坐标的含义，关键是理解直方图所代表的量的大小和含义。
注意：
例2 细胞分裂中DNA相对含量变化分析（柱形图）例3 构建食物链和食物网（柱形图）
例4 构建食物链和食物网（扇形图）例5 细胞周期的不同图示分析（扇形图）
二、模式型该题型是对生物体局部形态结构的典型展示。着重考查观察能力和理解能力等。
注意：模式图体现的只是一种模式，是相关形态结构的模范、典型，解题时要善于把统一性和特殊性相结合，灵活地解决实际问题。
例1 动植物细胞比较
细胞液光合作用养料制造车间能量转换站线粒体有氧呼吸
动力车间
蛋白质脂质
高尔基体内质网细胞壁生产蛋白质
细胞有丝分裂多种水解酶
例3 细胞器的识别及功能
三、示意型该题型是对生命现象、生理过程等的简要图示。主要考查理解、分析和综合能力。
注意：示意图只能体现出生命运动过程中的主要特征和核心规律。是命题时常采用的生物学图形。
例2 糖类的种类及相互关系
例3 核酸对生物性状的控制四、表格型由行和列组成，列是表格所反映的内容，行是表格的主体内容。该题型重在考查分析比较、逻辑推理和计算能力等。
注意：解题时主要是理顺行、列间的相关性，用比较大小、数据转变成图形等对表格中的数据进行分析处理。
m·b－2×(m-1)H原子数m+1+yO原子数m+xN原子数至少n个至少一个（R基上还可能含有羧基）羧基数目至少n个至少一个（R基上还可能含有氨基）氨基数目ma-18×(m-n)ma-18×(m-1)肽链(或蛋白质)的相对分子质量
m-nm-1脱去水分子数目m-nm-1肽键数目mm氨基酸(平均含H数目为b)数目aa氨基酸平均相对分子质量n条肽链一条肽链（R基中N、O原子数分别为x、y）
例2 有关蛋白质的计算
五、曲线型该题型是将生物学具体问题进行抽象思维，分析自变量和因变量，建构起函数模型，以数学模型的方法探寻生命活动的本质规律，解决生物学实际问题。这类题能充分考查分析综合、信息处理、判断推理、观察理解和计算能力等。
解题注意：先从坐标轴入手，理解横、纵轴所表示的生物学含义，再分析横、纵轴间的相关性。解决坐标曲线题的方法，可概括为“一识标”、“二看维”、“三明点”、“四析线”四个基本步骤。一识标坐标曲线，实际上是“横坐标”对“纵坐标”的影响结果，“标”不同，曲线的含义就不同，形状也不相同。所以，认真识别坐标图中纵、横坐标的含义，找出纵、横坐标之间的联系，是解题的前提。
二识维（二维和三维）
曲线是满足一定条件的点的集合，在这些点中，有些点特殊，如：曲线的起点、转折点、终点，曲线与纵横坐标以及其他曲线的交叉点等，往往隐含着某些限制条件或某些特殊的生物学含义，明确这些特殊点的含义是解题的基础。例如，上图曲线中，特殊点就有A、B、C、D四个，而这些点的含义往往就是试题考查的内容。
三明点
正确分析曲线形状，如：何时开始上升、何时趋向平缓、何时出现转折、其原因分别是什么等等，这是解题的关键。如右图，我们就要在“一识标”、“二明点”的基础上，进一步分析得出：A点为光合作用面积的饱和点；OA段表明叶面积指数从0→6时，光合作用实际量随叶面积的不断增大而增大；当叶面积指数大于6时，光合作用实际量不再随叶面积的增大而增大，因为有很多叶子被遮挡在光补偿点以下；OB段表明干物质量随光合作用的增加而增加；由于A点以后光合作用量不再增加，而叶片随叶面积的不断增加其呼吸量也不断增加（直线OC）,所以干物质积累量不断降低，如BC段。
四析线
六、流程型该题型是用箭头、字母、文字和数字等表示复杂生命运动过程或新陈代谢中有序的变化关系。主要考查观察能力和理解能力等。
解题时：要结合题干中的文字叙述，把握流程图中流程的核心或重要过程，以此为主线完成图文的转换。
工业固氮高能固氮生物
固氮有机氮
合成
氨化作用硝化作用反硝化作用O
2
不足
硝化细菌
反硝化细菌亚硝酸盐
例1 氮循环
七、综合型 6.图1表示A、B两种植物光合作用效率随光照强度改变的变化曲线；图2表示将A植物放在不同浓度CO2环境条件下，真正光合速率受光照强度影响的变化曲线；图3代表阳生植物的一个叶肉细胞及其相关生理过程示意图。请据图回答：
（1）图1中，在c点时，叶绿体中ADP的移动方向是。（2）图2中，de段的限制因子是；e点与d点相比较，e点时叶肉细胞中C3的含量（填“高”、“低”、“基本一致”）；e点与f点相比较，e点时叶肉细胞中C3的含量（填“高”、“低”、“基本一致”）。（3）图3中，在光照强度较强时，叶绿体产生的氧气的去路有（填字母）。光合作用的反应式是。
四类坐标曲线生物题的解答 生物试题中坐标曲线类试题，不但常见且形式多样，从形式上看，坐标曲线题可分四类，从思维分析上看，它们存在着很多共性和联系。下面谈谈各类题在思维分析上的一般方法，供同学们学习参考。
一、单坐标单曲线类 这类题是坐标曲线类试题的最基本形式，“读轴－看线－抓点”是其思维分析过程的三步曲。“读轴”即明确横轴（自变量）和纵轴（因变量）各是什么，弄清它们的含义，做到“读轴而能识变量”；“看线”即看曲线的走势，弄清自变量是如何影响因变量的，影响的前提条件是什么，题中是否还隐藏其它会影响因变量的因素（无关变量），应如何控制，从而领会曲线表示了什么、说明了什么，做到“看线而能理关系”；“抓点”即抓住曲线上的特殊点，如最值、交点、折点、起止点等，这些特殊点通常是解题的突破口，因此要充分领会其含义，做到“抓点而能求突破”。 例1．环保工作者对某地区最大型野生动物——野兔种群数量进行连年监视，以此作为对该地区环境稳定与否的评价指标之一。在某时间段内，得到数据如图1曲线所示。[λ=t年种群数量/（t-1）年种群数量]请据图分析回答： （1）ab段时间内，该地区环境作如何评价， 依据是什么？ （2）影响ab时间段内波动λ的生态因素主 要有哪些？（至少写出4种） （3）分析λ同b点上升至c点的最可能原因。 （4）分析在一年时间内野兔的λ由c点下降 到d点的原因，说明该地区生态环境具 有什么特点。 图1 解析：首先“读轴”，该题要侧重弄清纵轴λ值的含义，根据题意，λ值表示的是种群数量的变化，分三种情况：①λ=1（种群数量与上一年持平），②λ＞1（种群数量比上一年增多），③λ＜1（种群数量比上一年减少）；然后“看线”，图中曲线在第１～４年λ值在1附近波动，第４～５年快速上升，第５～６年急剧下降，表面上看，种群数量是随时间的变化而变化，但实质上影响种群数量的不是时间，而是各种生态因素，此时就应联想课内的相关知识进行分析；第三“抓点”，b、c是曲线上的二个特殊点，b点之前各生态因素基本稳定，种群数量基本不变，之后，由于生态因素的变得更适合种群的发展，种群数量快速增加，c点之后，生态因素恶劣，种群数量大幅度下降。最后根据具体的问题进行解答。 答案：（1）相对稳定 野兔种群相对稳定。（2）植被（野兔的食物），天敌（捕食者），竞争者（其他草食动物），气候条件（温度、湿度等）。（3）野兔天敌大量死亡。因为野兔是该地区的主要草食动物，所以，控制其种群上升的主要原因是捕食者而不是竞争者（4）①野兔对该地区植被产生主要影响，其种群数量上升将严重破坏植被。②野兔依赖该地区植被生存，植被一旦被破坏，种群立刻下降。③该地营养结构较简单，属脆弱生态系统。 二、单坐标多曲线类 这是单坐标单曲线题的一种延伸，解这类题的常用方法是“先分后合”法，即先讨论分析图中各条曲线（方法同上）；然后综合分析各曲线间的关系，是如何相互依赖，或相互制约的，另外也要从特殊点上寻找突破，最后依据课内的相关知识，结合具体问题进行解答。 例２．下图表示男性在45℃的室内安静状态下的体内温度、皮肤温度和出汗速率的变化，25min时（图中T），此人大量饮用大量冰水，请据图2回答下列问题： λ 2.0- 1.5- 1.0- 0.5- 0- ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹
1 2 3 4 5 6 7 8 t年
° ° ° ° ° ° °
a b c d
(1) 0~25min，体内温度与皮肤不同的原 因是 。 (2)如图2所示，饮用大量冰水，能导致皮肤温 度的变化，此变化是如何引起的？ (3)据图可以得出结论：控制出汗的温度探 测器不位于皮肤。说明理由： 。 解析：根据题意和坐标曲线，在理解 坐标轴含义的基础上，首先对各曲线逐条进行分析，以体内温度曲线为例，在首末二时段，为什么人体的体内温度在高温环境中（气温达45℃）仍能恒定在37.6℃上，而在大量饮用冰水后（Ｔ～50min）曲线为什么会先降后升；其次是理解三条曲线间的关系，根据人体体内温度、皮肤温度和泌汗等相关知识，结合坐标曲线，深入分析三者间的关系，弄清下面若干问题：在Ｔ～50min，三条曲线都出现明显波动说明了什么，为什么体内温度和出汗速率的变化是同相的，而与皮肤温度的变化却与它们是反相的，为什么体内温度在首末二时段中都高于皮肤温度，而在Ｔ～50min时却低于皮肤温度，体内温度与皮肤温度间是什么样的关系，它们与泌汗又是什么样的关系。至此，问题即可解答。 答案：（1）由于汗腺分泌汗液散热，皮肤温度低于体内温度（2）冰水吸收体内热量引起体内温度下降，这刺激了体温调节中枢反射性地引起皮肤血管收缩，汗腺分泌减少，同时皮肤还吸收环境热量，因此皮肤温度上升（3）汗液分泌速率曲线与体内温度曲线图形一致，而与皮肤温度曲线图形不一致。 三、多坐标单曲线类 这是单坐标单曲线题的另一种延伸，也同样可用“先分后合”法进行分析解答，即先单独分析各个坐标系及曲线，弄清各坐标曲线所呈现的信息；再进一步分析各坐标曲线间的关系，各坐标曲线间可能是独立的，也可能是相关的，如果是独立的，则各个寻找相关信息即可，如果是相关的，则要弄清它们间的关系，一般地说，如果不同坐标系的纵轴相同，则横轴就不同，反之则纵轴不同，也就是说，各坐标曲线实质上是从不同角度呈现相同问题的有关信息；最后综合题意和坐标曲线给出的信息，结合具体问题即可解答。 例３．某糖厂用淀粉作原料进行工业制糖,制糖的基本技术要求是通过调整温度来影响淀粉酶的活性，如图3所示，图甲表示温度对淀粉酶活性的影响，图乙是将一定量的淀粉酶和足量的淀粉加入制糖装置后，逐步提高温度，图中曲线表示这一过程中麦芽糖积累量的变化。 （1）图甲中，T0表示淀粉酶催化该反应的 。 （2）图甲中，淀粉酶在Ta和Tb时催化效率都很低，但是这两种温度对酶的影响却有本质的区别，在Ta温度下酶的活性 ，在Tb温度下酶的活性 。 （3）依据图甲，在乙图中标出T0的位置。 （4）图乙中，Tb至Tc的曲线表明 。 解析：首先逐个分析二个坐标系，甲 图表示了淀粉酶的活性与温度间的关系，曲 线反映的关系虽然常见，但还是要注意曲线 上Ta、Tb、To三个特殊点的含义，即温度从 Ta起，淀粉酶才具活性，To是酶的最适温度，Tb点起，酶的活性丧失。乙图表示从Ta开始才有麦芽糖的产生，开始时曲线较平缓，然后急速上升，最后又平缓，到Tb时积累量达最大，以后维持不变。Ta、Tb是乙图曲线上的二个关键点。然后观察二个坐标系，它们的横轴都是温度，但甲图的纵轴为淀粉酶的活性，乙图纵轴为麦芽糖的积累量，即因变量不同，自变量相同，因此，二个坐标系中的曲线所呈现的信息实质上是关于催化剂活性强弱与产物生成量间的关系。由于麦芽糖是淀粉在淀粉酶的作用下水解产生的，而酶的活性受温度的影响，故0 Ta To Tb 温度 甲 淀粉酶的活性 0 Ta Tb Tc 温度 乙 图3 麦芽糖的积累量 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 10 20 T 30 40 50 60 70 80 时间（min） 图2
双曲线专题复习
双曲线单元复习测试一、选择题1.（09年高考全国卷二）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 A ．65B ．75C ．58D ．95【答案解析】A解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+. 又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= 故选A2.（09年高考江西卷）设F 1和F 2为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点, 若F 1,F 2，P(0,2b )是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A ．23B ．2C ．25 D ．3【答案解析】B【解析】由tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,故选B. 3.（2008年高考数学试题全国卷2（理）全解全析）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(2【答案解析】【答案】B【解析】222222)11(1)1()(a aa a a c e ++=++==，因为a 1是减函数，所以当1a >时 110<<a，所以522<<e ，即52<<e 【高考考点】解析几何与函数的交汇点4.（2008年高考数学试题全国卷2（文）全解全析）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+【答案解析】【答案】B【解析】由题意BC c =2,所以c c AC 3260sin 220=⨯⨯=，由双曲线的定义，有c a c c BC AC a )13(2322-=⇒-=-=，∴231131+=-==a c e 【高考考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用5.（08年高考陕西卷）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A BC D ．3【答案解析】B6.（2008年高考数学海南、宁夏文数全解全析）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案解析】【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【全品备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高7.（08年高考四川卷）已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于A ．24B ．36C ．48D ．96【答案解析】C∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F - ∵212PF F F = ∴12261016PF a PF =+=+=作1PF 边上的高2AF ，则18AF = ∴26AF == ∴12PF F ∆的面积为12111664822PF PF ⋅=⨯⨯= 故选C 【解2】：∵双曲线22:1916x y C -=中3,4,5a b c === ∴()()125,0,5,0F F - 设()()000,0P x y x >，， 则由212PF F F =得()22200510x y -+=又∵P 为C 的右支上一点 ∴22001916x y -= ∴22001619x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()22051611009x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即20025908190x x +-=解得0215x =或03905x =-<（舍去）∴0485y ===∴12PF F ∆的面积为12011481048225F F y ⋅=⨯⨯= 故选B【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系数法求P 点坐标，有较大的运算量；8.（08年高考浙江卷）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是 A ．3B ．5C ．3D ．5【答案解析】D9.（09年高考山东卷）设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y =x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A ．45B ． 5C ．25 D ．5【答案解析】D【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x ay x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=,所以2b a =,2c e a a ====故选D.答案:D.10.（2008年高考数学福建文数全解全析）若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于A ． 2B ．C.32D ． 1【答案解析】解析解析由222123x y a -===c可知虚轴e=a，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.11.（09年高考湖北卷）已知双曲线12222=-y x 的准线过椭圆14222=+b y x 的焦点，则直线y=kx +2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A ．K ]21,21[-∈B ．K ),21[]21,(+∞⋃--∞∈C.K ]22,22[-∈D ．),22[]22,(+∞⋃-∞∈K 【答案解析】A【解析】易得准线方程是2212a xb =±=±=±所以222241c a b b =-=-= 即23b =所以方程是22143x y +=联立 2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0∆≤可解得A12.（08年高考重庆卷）已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为A ．22x a－224y a =1B ．222215x y a a -= C.222214x y b b -=D ．222215x y b b-=【答案解析】C二、填空题13.（2010年高考试题（江西卷）解析版（文））点00(,)A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ；【答案解析】【答案】2【解析】考查双曲线的比值定义，利用点A 到右焦点比上到右准线的距离等 于离心率得出0x =214.（09年高考湖南卷）过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作圆x 2+y 2=2a 的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB=120°（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 【答案解析】12060302AOB AOF AFO c a ∠=⇒∠=⇒∠=⇒=, 2.ce a∴== 15.（2010年高考试题（北京卷）解析版（理））已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
第65讲、双曲线及其性质(学生版)2025高考数学一轮复习讲义
第65讲双曲线及其性质知识梳理知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为{}12122(02)MMF MF a a F F -=<<．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当122a F F =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线．（3）122a F F >时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122F F a >”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222a b c +=的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b a b -=>>图形焦点坐标1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 对称性关于x ，y 轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标1(,0)A a -，2(,0)A a 1(0,)A a ，2(0,)A a -范围x a ≥y a≥A 222121sin sin 21cos tan F r r b θθθ==⋅=-【解题方法总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)x y a b a b -=>>，点00()P x y ，在双曲线内部，等价于2200221x y a b ->．点00()P x y ，在双曲线外部，等价于2200221x y a b-<结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c；性质2：双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；（4）双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点00()M x y ，在双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y ya b-=必考题型全归纳题型一：双曲线的定义与标准方程例1．（2024·全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别是离心率为2的双曲线()2222:10,0x y E a b a b +=>>的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线的左､右两支分别交于点C ，D ，且1CF CD =，14DF =，则E 的标准方程为.例2．（2024·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且236AB BC ==，则双曲线E 的标准方程是．例3．（2024·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．变式1．（2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为12y x=±且经过点()4,1的双曲线标准方程为．变式2．（2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线221 1612x y-=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C的标准方程是．变式3．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线Γ经过两点(A，B⎝，则双曲线Γ的标准方程是．变式4．（2024·全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，M 是双曲线C 的右支上一点，双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3，1F M 与2MF的夹角为π3，()()121233MF MF MF MF -⊥+ ，则双曲线C 的标准方程为.变式5．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b -=>>，四点(A、5B ⎛ ⎝⎭、()5,2C 、()5,2D --中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为．变式6．（2024·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率e =程为．（2）若双曲线过点(2,1)P -，渐近线方程是3y x =±，则其标准方程为．（3）若双曲线与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点(3,2)M -，则其标准方程为．【解题方法总结】求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程．（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．题型二：双曲线方程的充要条件例4．（2024·全国·高三对口高考）若曲线22132x y k k+=+-表示双曲线，那么实数k 的取值范围是（）A ．()3,2-B ．()(),32,-∞-⋃+∞C ．()2,3-D ．()(),23,-∞-⋃+∞例5．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知R k ∈，则“23k -<<”是“方程22122x y k k-=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例6．（2024·全国·高三专题练习）若方程22126x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．2m <或6m >B ．26m <<C ．6m <-或2m >-D ．62m -<<-变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线形状是（）A ．若13m <<，则E 表示椭圆B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m >C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 的离心率为2，则53m =变式8．（2024·四川南充·统考三模）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（）A ．()0,πθ∈B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解题方法总结】221x y m n +=表示椭圆的充要条件为：0,0,m n m n >>≠；221x y m n +=表示双曲线方程的充要条件为：0mn <；221x y m n+=表示圆方程的充要条件为：0m n =>．题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题例7．（2024·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线2222:1(0,0),y x C a b O a b-=>>为坐标原点，12,F F 为双曲线C 的两个焦点，点P 为双曲线上一点，若123,PF PF OP b ==，则双曲线C 的方程可以为（）A ．2214y x -=B ．22124y x -=C ．22134y x -=D ．221164y x -=例8．（2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线y kx =与双曲线C 交于A ，B 两点，若12AB F F =，则1ABF 的面积等于（）A ．18B ．10C ．9D ．6例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A4B ．4C ．D 变式9．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222104x yb b-=>的左右焦点，且1F 到渐近线的距离为1，过2F 的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于,A B 两点，且1l AF ⊥，则下列说法正确的为（）A ．12AF F △的面积为2B ．双曲线CC．1110AF BF ⋅=+D．22112AF BF +=变式10．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，且焦距为，P 是C 上一点，满足1252PF PF ⋅= ，122PF PF =，则12PF F △的周长为．变式11．（2024·全国·高三专题练习）双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别是1F ､2F ，过2F 的弦AB 与其右支交于A ､B 两点，AB m =，则1ABF 的周长为（）A ．4aB ．4a m-C ．42a m+D ．4a m+变式12．（2024·云南保山·统考模拟预测）已知12,F F22:14x y C m -=的左右焦点，过焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点，若1ABF 的周长20，则||AB 等于（）A ．10B ．8C ．6D ．4变式13．（2024·全国·高三专题练习）设1F ，2F 分别是双曲线221445x y -=的左､右焦点，P是该双曲线上的一点，且1235PF PF =，则12PF F △的面积等于（）A ．B ．C ．D ．变式14．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，下列说法正确的是（）A ．若12F PF △为直角三角形，则12F PF △的周长是4B ．若12F PF △为直角三角形，则12F PF △的面积是6C ．若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()D ．若12F PF △为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是(8,)+∞变式15．（2024·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别1F 、2F ，点(),P x y 为双曲线右支上一点，12PF F △的内切圆圆心为()2,2M ，则1PMF 的面积与2PMF V 的面积之差为（）A ．1B ．2C ．4D ．6变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线22197x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线上一点P 使得1260F PF ∠=，求12F PF △的面积（）AB C ．D ．变式17．（2024·上海浦东新·统考三模）设P 为双曲线2221x y a-=（0a >）的上一点，1223F PF π∠=，（12F F 、为左、右焦点），则12F PF ∆的面积等于（）A 2B ．23a C D 【解题方法总结】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆．题型四：双曲线上两点距离的最值问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线22:12x C y -=的左右焦点为1F ，2F ，点M为双曲线C 上任意一点，则12MF MF ⋅的最小值为（）A ．1B C ．2D ．3例11．（2024·全国·高三专题练习）已知A (是双曲线2213x y -=上一点，1F 是左焦点，B 是右支上一点，1AF 与1ABF 的内切圆切于点P ，则1F P 的最小值为AB ．C ．D ．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知点()5,0M -，点P 在曲线()2210916x y x -=>上运动，点Q 在曲线()2251x y -+=上运动，则2PMPQ的最小值是．变式18．（2024·河北衡水·统考模拟预测）已知双曲线221916x y -=，其右焦点为F ，P 为其上一点，点M 满足||MF =1，0MF MP ⋅= ，则||M P的最小值为()A ．3BC ．2D变式19．（2024·高二课时练习）已知直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，且AB OB λ=（O 为坐标原点），若M 是直线30x -=上的一个动点，则22||MA MB + 的最小值为（）A ．12B ．6C ．16D ．8变式20．（2024·广东韶关·高二统考期末）已知点1F ，2F 是双曲线22:13yC x -=的左、右焦点，点P 是双曲线C 右支上一点，过点2F 向12F PF ∠的角平分线作垂线，垂足为点Q ，则点(A 和点Q 距离的最大值为（）A ．2B C ．3D ．4【解题方法总结】利用几何意义进行转化．题型五：双曲线上两线段的和差最值问题例13．（2024·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点12,F F 在x 轴上，中心在坐标原点，点A 的坐标为，P 为双曲线右支上一动点，则1PF PA -的最大值为（）A ．2B ．2+C ．4+D ．4例14．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，其一条渐近线方程为0x =，右顶点为A ，左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在其右支上，点()3,1B ，三角形1F AB 的面积为12+，则当1PF PB -取得最大值时点P 的坐标为（）A ．3,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,122⎛++ ⎝⎭C ．3,1210⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭D ．610,2222⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭例15．（2024·全国·高二专题练习）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(A ，则PA PF +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8变式21．（2024·宁夏银川·校联考二模）已知拋物线216y x =上一点(),A m n 到准线的距离为5,F 是双曲线221412x y-=的左焦点，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PA +的最小值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9变式22．（2024·全国·高二专题练习）已知点(A ，双曲线22:127x y E -=的左焦点为F ，点P 在双曲线E 的右支上运动.当APF 的周长最小时，AP PF +=（）A ．B ．C ．D ．变式23．（2024·福建宁德·高三统考阶段练习）已知双曲线22:1124x y C -=，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．10变式24．（2024·全国·高二专题练习）设1F ，2F 为双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）A BC 2D 2变式25．（2024·全国·高二专题练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．14变式26．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知点P 是右焦点为F 的双曲线(2211010x y x -=>上一点，点Q 是圆()2281x y -+=上一点，则PF PQ +的最小值是.变式27．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线22144x y C :-=的左焦点为F ，点P 是双曲线C 右支上的一点，点M 是圆22:(1E x y +-=上的一点，则PF PM +的最小值为（）A ．5B ．5+C ．7D ．8变式28．（2024·全国·高一专题练习）已知双曲线2212:1,,97x y C F F -=是其左右焦点.圆22:430E x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1||PQ PF +的最小值是（）A ．5+B ．5+C ．7D ．8变式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中）已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（）A ．9B ．8C ．D ．变式30．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：22(4)4x y ++=和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22PM PN -的最小值为A ．16B ．15C ．14D ．13【解题方法总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点P 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用双曲线定义去转换例16．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知1F ，2F 分别为双曲线Ε：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过原点O 的直线l 与E 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），延长2AF 交E 于点C ，若2BF AC =，12π3F BF ∠=，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2C D例17．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过原点O 的直线l 与E 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），延长2AF 交E 于点C ，若2BF AC =，12π3F BF ∠=，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2CD ．1例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点(P 不是顶点)，使得2113PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率的取值范围为（）A ．)2B ．)+∞C ．D ．(变式31．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，122||F F AO =，四边形12AF BF 的面积等于2c ，则C 的离心率等于（）ABC ．2D 变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线，线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为4，则C 的离心率为（）A B ．53C ．2D ．3方向2：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式变式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若()1212121120,F F F A F A F F F A F F +⋅=+=，则双曲线C 的离心率是（）AB 1C 1+D 变式34．（2024·湖南·校联考模拟预测）如图，12F F 、是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线交双曲线的左、右两支于A B 、两点，且114,BF AF OB ==则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．3D ．4变式35．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点，A 为C 的虚轴的一个端点，2OB OA =（O 为坐标原点），直线FB 垂直于C 的一条渐近线，则C 的离心率为（）A 1BC ．14D ．2变式36．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，一条渐近线与圆()222:A x a y b -+=在第一象限交于点M ，MF 交y 轴于点N ，且90FNA ∠=︒，则C 的离心率为（）AB ．2C ．1D ．2+变式37．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b Fa b-=>>为左焦点，12,A A 分别为左､左顶点，P 为C 右支上的点，且OP OF =（O 为坐标原点）.若直线PF 与以线段12A A 为直径的圆相交，则C 的离心率的取值范围为（）A ．(B ．)+∞C ．)+∞D ．(变式38．（2024·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上下焦点分别为12,F F ，点M 在C 的下支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若121MD F F MF >-恒成立，则C 的离心率的取值范围为（）A ．51,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭方向3：利用22ce a=，其中2c 为焦距长，122a PF PF =-变式39．（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，斜率为12的直线l 过1F ，交C 的右支于点B ，交y 轴于点A ，且22BAF ABF ∠∠=，则C 的离心率为（）AB C D变式40．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 斜率为34的直线与C 的右支交于点P ，若线段1PF 恰被y 轴平分，则C 的离心率为（）A ．12B C ．2D ．3变式41．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右支上一点，()()12,0,,0F c F c -分别是C 的左、右焦点，若12F PF ∠的角平分线与直线x a =交于点I ，且11222IPF IF F IPF S S S =+ ，则C 的离心率为（）A ．2B C ．3D变式42．（2024·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知()1,0F c -，()2,0F c 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的两个焦点，P 为双曲线C 上一点，12PF PF ⊥且21π3PF F ∠=，那么双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D 1方向4：坐标法变式43．（2024·上海嘉定·校考三模）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，点B 的坐标为()0,b ，若Γ上的任意一点P 都满足PB b ≥，则（）A ．1e <≤B ．e ≥C ．112e +<≤D ．12e ≥变式44．（2024·江西·江西师大附中校考三模）已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，()P ，直线PF 与双曲线C 有且只有一个公共点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D变式45．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆O （O 为原点）是半径为a的圆分别与x 轴负半轴､双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于,P Q 两点（P 在第一象限），若C 的另一条渐近线与直线PQ 垂直，则C 的离心率为（）A ．3B ．2CD 变式46．（2024·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知A ，B 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点，F 是C 的焦点，点P 为C 的右支上位于第一象限的点，且PF x ⊥轴.若直线PB 与直线PA 的斜率之比为3，则C 的离心率为（）A BC ．2D ．3变式47．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点,P Q 分别在C 的两条渐近线上，且P 在第一象限，O 为坐标原点，若OF QP = ，QF OP ⊥，则双曲线C 的离心率为（）A ．3BC D ．2变式48．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为60︒的直线与双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右支分别交于A 、B 两点，F 是C 的焦点，若三角形ABF ，则C 的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．(2,7)D ．方向5：找几何关系，利用余弦定理变式49．（2024·河南郑州·三模）已知1F ，2F 分别是双曲线Γ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，25CB F A =uu r uuu r，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A B C D ．83变式50．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若114F B F A =，2ABF △的周长为8a ，则C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．3D ．2变式51．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知12,F F 分别为双曲线E ：22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 的左、右两支分别交于,A B 两点．若ABF ₂是等边三角形，则双曲线E 的离心率为（）A ．B ．3C D变式52．（2024·江苏·校联考模拟预测）已知圆O ：2222x y a b +=+与双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右支交于点A ，B ，若7cos 25AOB ∠=-，则C 的离心率为（）A ．2B CD变式53．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线0l y m -+=与双曲线E 的右支交于点,M O 为坐标原点，过点O 作1ON MF ⊥，垂足为N ，若15MN NF =，则双曲线E 的离心率是（）A ．3B ．C ．3D ．变式54．（2024·重庆·统考模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，点()11,A x y 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C的切线交x 轴于点B ，若121cos 2F AF ∠=，且122F B BF = ，则双曲线C 的离心率为（）A ．BC ．2D变式55．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作直线12AB F F ⊥交C 于,A B 两点.现将C 所在平面沿直线12F F 折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后,A B 两点的对应点分别为,A B ''，且1A F B β''∠=⋅若1cos 251cos 16αβ-=-，则C 的离心率为（）AB ．C ．3D ．变式56．（2024·河南·校联考二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线C 上的一点，且15PF =，23PF =，12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是（）A ．75B ．74C ．73D ．72方向6：找几何关系，利用正弦定理变式57．（多选题）（2024·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为（）A ．2B C ．2D ．2变式58．（2024·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦变式59．（2024·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（）AB．2C ．2D方向7：利用基本不等式变式60．（2024·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．变式61．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．变式62．（2024·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P ，使得直线PA ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．方向8：利用渐近线的斜率求离心率变式63．（2024·广西·校联考模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，过C 的右焦点F 作C 的一条渐近线的平行线交C 的另一条渐近线于点Q ，若3tan 4OQF ∠=-，则C 的离心率为（）A B ．3C D ．3变式64．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知直线:4270l x y --=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B （不重合），AB 的垂直平分线过点()3,0，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．12C D ．2变式65．（2024·山东聊城·统考三模）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为（）A2B2+C 1D 1变式66．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝3|OP |，则C 的离心率为（）A B ．2CD变式67．（2024·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知P 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>上的动点，O 为坐标原点，以OP 为直径的圆与双曲线C 的两条渐近线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点（A ，B 异于点O ），若120y y >恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．)+∞D ．变式68．（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为F ，过焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，并与另一条渐近线交于点B ，若||4||FB AF =，则C 的离心率为（）A ．3B ．3或3C ．3D ．3或5变式69．（2024·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为第一象限内一点，且点P 在双曲线C 的一条渐近线上，12PF PF ⊥，且123PF PF =，则双曲线C 的离心率为（）A ．54B ．52C D变式70．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>l 与圆2220(0)x y mx m +-=>相切于M ，与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B ，且M 为AB 中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BCD变式71．（2024·江苏无锡·校联考三模）已知点P 在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上，P 到两渐近线的距离为1d ，2d ，若21212d d OP ≤恒成立，则C 的离心率的最大值为（）ABC ．2D 方向9：利用双曲线第三定义变式72．（多选题）（2024·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过点F 作C 的一条渐近线的平行线交C 于点A ，交另一条渐近线于点B .若2=FA AB ，则下列说法正确的是（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的渐近线方程为y =C ．点A 到两渐近线的距离的乘积为24bD ．O 为坐标原点，则tan 4AOB ∠=变式73．（2024·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右顶点为,A B ，过原点的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若,AM AN 的斜率满足2AM AN k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________．变式74．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于,A B 两点，P 为C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若C 12k k ⋅=（）A ．3B ．1C ．2D变式75．（2024·江西南昌·统考三模）不与x 轴重合的直线l 经过点()(),00N N N x x ≠，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点,A B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为M x ，若4N M x x =，则C 的离心率为（）A ．52B C ．2D方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围[)c a ，+-∞变式76．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,2F F F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为___________.变式77．（2024·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是()A ．5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭变式78．（2024·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 的右支上，且21c PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是（）A．(B．)+∞C．(1,1D．)1⎡++∞⎣变式79．（2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(1,2]B ．5(1,]3C ．[2,)+∞D ．4[,)3+∞变式80．（2024·湖南·衡阳市八中一模（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．54B ．65C ．53D ．85变式81．（2024·全国·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(1,3]D ．(1,2]【解题方法总结】求离心率的本质就是探究,a c 之间的数量关系，知道,,a b c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e 的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．题型七：双曲线的简单几何性质问题例19．（2024·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为.例20．（2024·四川自贡·统考三模）已知双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B 点，则OAB 的内切圆的半径为．例21．（2024·四川·校联考模拟预测）已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，过双曲线上一点00(,)P x y （00y ≠）的直线00240x x y y --=与直线x =A ，与直线3x =相交于点B ，则AFBF=.变式82．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，存在过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1ABF 为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C 的方程：．变式83．（2024·陕西渭南·统考一模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为变式84．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若C 的虚轴长为4，则C 的实轴长为.变式85．（2024·河北唐山·统考二模）已知直线l 0y --=过双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点，且与C 的一条渐近线平行，则C 的实轴长为．变式86．（2024·北京房山·高三统考开学考试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率22(2)(2)1x y -+-=交于,A B 两点，则||AB =.【解题方法总结】处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双。
高考物理全国卷专题04 曲线运动常考模型(原卷版)
2020年高考物理二轮复习热点题型与提分秘籍专题04 曲线运动常考模型题型一曲线运动和运动的合成与分解【题型解码】1．曲线运动的理解(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向；(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．2．曲线运动的分析(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成．(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．【典例分析1】(多选)如图所示，质量为m的物块A和质量为M的重物B由跨过定滑轮O的轻绳连接，A 可在竖直杆上自由滑动。
当A从与定滑轮O等高的位置无初速释放，下落至最低点时，轻绳与杆夹角为37°。
已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计一切摩擦，下列说法正确的是()A．物块A下落过程中，A与B速率始终相同B．物块A释放时的加速度为gC．M＝2m D．A下落过程中，轻绳上的拉力大小始终等于Mg【典例分析2】(2019·江西宜春市第一学期期末)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t 图象．以下判断正确的是()A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动【提分秘籍】1.解决运动的合成和分解的一般思路(1)明确合运动和分运动的运动性质。
(2)明确是在哪两个方向上的合成或分解。
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度)。
(4)运用力与速度的方向关系或矢量的运算法则进行分析求解。
2．关联速度问题的解题方法把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解59---双曲线
高考数学复习考点知识与题型专题讲解双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称对称轴：坐标轴；对称中心：原点性 顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段A 1A 2，长：2a ；虚轴：线段B 1B 2，长：2b ，实半轴长：a ，虚半轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b xa ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. (5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(√) 教材改编题1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方程________．答案y2－x22＝1(答案不唯一，符合要求就可以)解析取c＝3，则e＝ca＝3，可得a＝1，∴b＝c2－a2＝2，因此，符合条件的双曲线方程为y2－x22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案2 3解析不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1—→·PF 2—→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________． 答案2解析不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴PF 1—→⊥PF 2—→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为() A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3， 则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为() A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 答案B解析由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3， 故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)双曲线x 24－y 2b 2＝1(0<b ≤42)上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离为() A ．12或6B ．2或4 C ．6或4D ．12或4 答案D解析设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知|PF 2|＝8， 所以||PF 1|－|PF 2||＝4， 解得|PF 1|＝12或|PF 1|＝4， 故点P 到左焦点的距离为4或12.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 答案9解析设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|， 所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小． 由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时， 满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值． 又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二 双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案A解析∵e ＝ca ＝2， 则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y23＝1.(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)， 所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为() A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 答案A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________． 答案y 225－x 275＝1解析设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是() A.7x 216－y 212＝1B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 答案C解析因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 28＝1D ．x 2－y 22＝1答案D解析由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c 3，2b ＝22， 由双曲线的定义可得43c 3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1. 题型三 双曲线的几何性质命题点1渐近线例3由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为()A.y 212－x 24＝1B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1D.y 216－x 24＝1答案B解析由题意知，b ＝2，又因为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2， 解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos60°＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2| ＝7m 2m ＝72.高考改编已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为() A.3B. 5C.7D．7答案C解析点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝27a，又|F1F2|＝2c，∴27a＝2c，e＝ca＝7.(2)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，则双曲线离心率的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫213，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，213 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫1，72 答案D解析因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，所以a b >233，即3a >23b ，也即3a 2>4b 2，所以3a 2>4(c 2－a 2)，所以7a 2>4c 2，所以e <72，又因为双曲线的离心率e >1，所以1<e <72，双曲线离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，72. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于() A.12B.3－1 C.3＋12D ．2答案A解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，所以b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B. 3C ．2D. 5答案A解析令双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径， 且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， ∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A ．2B.3C.2D.32答案C解析由题意可知直线y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a ＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以e ＝ 2.(2)已知F 为双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左焦点，圆Q ：(x －3)2＋y 2＝6与双曲线M 的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是()A．点F到渐近线的距离为 6B．双曲线M的渐近线方程为x±2y＝0C．双曲线M的虚轴长为2D．双曲线M的离心率为 3答案D解析因为圆Q与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，所以圆Q与渐近线bx±y＝0相切，则有|3b|b2＋1＝6，解得b＝2，则双曲线M的方程为x2－y22＝1，所以a＝1，b＝2，c＝3，其渐近线方程为2x±y＝0，故B选项错误；左焦点F(－3，0)到渐近线的距离为|2×(－3)|2＋1＝2，故A选项错误；双曲线M的虚轴长为2b＝22，故C选项错误；双曲线M的离心率为e＝ca ＝31＝3，故D选项正确．课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案A解析将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以两焦点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为() A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 答案D解析由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1.3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于()A ．11B ．9C ．5D ．3答案B解析方法一依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为()A ．2B.3C.43D.233答案A解析双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)， 渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，∴b 9＋b 2b 2＋9＝33， 解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2.5．已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法不正确的是() A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34xC ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案D解析因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确；因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以两焦点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误．6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x －c ＝0与双曲线C 的一个交点为点P ，与双曲线C 的一条渐近线交于点Q ，O 为坐标原点，若OP→＝13OF 2—→＋23OQ →，则双曲线C 的离心率为() A.2B.355 C.5D. 3答案B解析因为OP →＝13OF 2—→＋23OQ →， 所以OP →－OF 2—→＝23(OQ →－OF 2—→)， 所以F 2P —→＝23F 2Q —→，所以b 2a ＝23×bc a ，得2c ＝3b ，故e ＝c a ＝3b2⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 22－b 2＝355. 7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案3215解析因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215.9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1—→·MF 2—→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解(1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1—→·MF 2—→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ，∴h ＝255.即M 点到x 轴的距离为255.(2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的其中一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．解(1)由焦点坐标可知c ＝5，又一条渐近线方程为2x －y ＝0，所以b a ＝2，由c 2＝a 2＋b 2可得5＝a 2＋4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，故双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0,4)，直线AB 的斜率为k ， 则x 21－y 214＝1，① x 22－y 224＝1，② ②－①得x 22－x 21＝y 224－y 214， 即k ＝4x 04＝x 0，又k ＝tan 3π4＝－1，所以x 0＝－1，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.11．已知P 是双曲线C ：x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，O 为坐标原点，|OP →＋OF 1—→|＝94，则下列结论中错误的是() A ．双曲线C 的离心率为54B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．点P 到双曲线C 的左焦点距离是234D ．△PF 1F 2的面积为454答案C解析在双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，该双曲线的左焦点为F 1(－5,0)．设P (x ，y )，则OP →＋OF 1—→＝(x －5，y )， 由|OP →＋OF 1—→|＝94，可得(x －5)2＋y 2＝8116，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －5)2＋y 2＝8116，x 216－y 29＝1，x ≥4，解得⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝±94，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，±94. 对于A 选项，双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝54，A 对；对于B 选项，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x ，B 对；对于C 选项，点P 到双曲线C 的左焦点距离是|PF 1|＝102＋8116＝414，C 错；对于D 选项，△PF 1F 2的面积为S ＝12×2×5×94＝454，D 对．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，132 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32，132D ．(1，13) 答案B解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0，又该圆的圆心为(c ,0)， 故圆心到渐近线的距离为bcb 2＋4， 则由题意可得bcb 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)， 又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2， 解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1，故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，132. 13．已知A ，B 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个端点，M ，N 是双曲线上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若双曲线的离心率为2，则|k 1|2＋|k 2|的最小值为()A.12B ．1C.2D. 6答案D解析由题意可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，A (－a ,0)，B (a ,0)，则k 1＝y 1x 1＋a ，k 2＝－y 1x 1－a， 故k 1k 2＝y 1x 1＋a ·－y 1x 1－a ＝y 21a 2－x 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－1a 2－x 21＝－b 2a 2， 因为双曲线的离心率为2，故e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝4，故k 1k 2＝－3， 由基本不等式可得|k 1|2＋|k 2|≥232＝6，当且仅当|k 1|＝6，|k 2|＝62时等号成立，故|k 1|2＋|k 2|的最小值为 6.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________．答案y ＝±3x解析根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c ＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3， 则渐近线方程为y ＝±3x .15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上一点M 关于原点的对称点为点N ，F为双曲线的右焦点，若MF →·NF →＝0，设∠FMN ＝θ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，则双曲线C 的离心率e 的最大值为()A.2B. 3C.2＋1D.3＋1 答案D解析设双曲线的左焦点为F 1，由已知得点N 在双曲线的左支上，连接MF 1，NF 1(图略)，根据双曲线的定义，|NF |－|NF 1|＝2a ，由已知得四边形MFNF 1为平行四边形，所以|NF 1|＝|MF |，所以|NF |－|MF |＝2a ，又MF →·NF→＝0， 所以四边形MFNF 1是矩形，得|F 1F |＝|MN |＝2c ，所以|NF |＝2c sin θ，|MF |＝2c cos θ，所以2c sin θ－2c cos θ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝1sin θ－cos θ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12， 得θ－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6， 所以当θ－π4＝π12，即θ＝π3时，e 取得最大值为12sin π12，又sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝6－24， 所以e 的最大值为3＋1.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解设双曲线的半焦距为c ，则F (c ,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ， 因为|AF |＝|BF |，所以b 2a ＝a ＋c ， 所以c 2－a 2a ＝a ＋c ，所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0.因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∠BF A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时，由题意易得∠BAF ＝π4，此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时，因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a ， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a， 所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a )＝－y 0x 0－2a ＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
曲线运动专题
曲线运动专题教学目标：1．深入理解物体做曲线运动的条件，理解运动的合成与分解2．掌握平抛运动、圆周运动的运动规律及解题方法本讲重点：运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力本讲难点：1．运动的合成与分解2．抛体运动3．匀速圆周运动的向心力一、考纲解读本专题涉及的考点有：运动的合成与分解；抛体运动；匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度；匀速圆周运动的向心力。
《大纲》对匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度等考点为Ⅰ类要求，对运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力等考点均为Ⅱ类要求。
抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。
平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，同学们复习时要在扎实掌握在部分内容的基础上注章与其他部分的渗透以及与实际生活相结合，与电场和磁场相联系的综合问题（如电场中带电粒子的类平抛运动、匀强磁场中带电粒子的匀速圆周运动）更要引起重视。
本部分还可以与匀变速直线运动、牛顿定律相结合构成多过程分析题，甚至涉及到公路、铁路、航海、航空等交通方面的知识。
二、命题趋势从历年的高考情况来看，单纯考查这部分知识的题目不是很多，较多的是结合万有引力、电场磁场、机械能守恒等问题来考查。
三、例题精析【例1】关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（）A．合运动的轨迹一定是抛物线B．合运动的性质一定是匀变速运动C．合运动的轨迹可能是直线，也可能是曲线D．合运动的性质无法确定解析：合力是恒定的，合运动的性质一定是匀变速运动；当合速度与合力在一条直线上时，合运动是直线运动，当合速度与合力不在一条直线上时，合运动是曲线运动。
所以，BC正确。
答案：BC【例2】如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L=20m处同时以速度v2沿斜面向下匀加速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s 2）A ．v 1=15m/s ，v 2=4 m/s ，t=4sB ．v 1=15 m/s ，v 2=6 m/s ，t=3sC ．v 1=18 m/s ，v 2=4 m/s ，t=4sD ．v 1=18m/s ，v 2=6 m/s ，t=3s 解析：由平抛运动知识得tv gt12253tan =︒，得4v 1＝15t ，把各选项中的时间t 和速度v 1代入上式，只有A 项能使关系式有解。
圆锥曲线大题题型归纳
圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等；2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +264y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1 PF 2=60°，则△F 1 PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1,2，离心率为2，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
2023年新高考数学大一轮复习专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版)
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式 题型二：圆锥曲线第一定义 题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 题型五：利用数形结合求解 题型六：利用正弦定理 题型七：利用余弦定理 题型八：内切圆问题 题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ 题型十一：基本不等式 题型十二：已知12PF PF ⋅范围 题型十三：12=PF PF λ 题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角 题型十六：利用渐近线的斜率 题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围 题型十九：四心问题 【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．例2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（ ）AB ．1CD ．1例3．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 与C 的左、右两支分别交于,M N 两点，且2MNF 是以2MNF ∠为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则2e =（ ）A．533B ．5+C ．5+D ．5+例4．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D例5．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D题型二：圆锥曲线第一定义例6．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为（ ） A ．[12,1)B ．[13,12]C ．[12,23]D ．[15,14]例7．（2022·浙江·高三开学考试）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF FQ ==，则C 的离心率是（ ）A B C D例8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线222:1y C x b-=的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F △的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D例9．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左焦点为(,0)F c -， 点P 在双曲线C 的右支上， (0,4)A ．若 ||||PA PF +的最小值是 9 ， 则双曲线C 的离心率是_____．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 B C D ．题型三：圆锥曲线第二定义例11．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.则15=表示的圆锥曲线的离心率e 等于（ ） A ．15B ．45C ．54D ．5例12．（2022·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12F F ，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、1||PF 、2||PF 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．(1C ．[1)+∞D ．(1，1例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95例14．（2022·四川遂宁·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若10MN =，则HF =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20例15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则C 的离心率为( )A ．43B ．53C ．2D ．85题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使1,03AP BP k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．2⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭例18．（2022·全国·高三专题练习（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．13例19．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右顶点为,A B ，过原点的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若,AM AN 的斜率满足2AM AN k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________．例20．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率为1k ，2k ，若128k k ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．3例21．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D题型五：利用数形结合求解例22．（2022·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的,A B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且12tan 5CAB ∠=-，2||?BD AD BD =，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．65B C D ．3例23．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）ABCD例24．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例25．（2022·全国·二模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例26．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AFAQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例27．（2022·山东潍坊·三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+题型六：利用正弦定理例29．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ，则椭圆E 的离心率为（ ）A B CD例30．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D例31．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．例32．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D题型七：利用余弦定理例33．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C D ．13例34．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.例35．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．13例36．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+例37．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ）A ．3BCD ．2题型八：内切圆问题例38．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上一点，且22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），若12PF F △内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（ ）A 1BCD 1例39．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF 的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12例40．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △ ）A 1B ．12C D 1例41．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C ：()222104x y a a -=>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设1PF 与双曲线的左支交于点Q ，2PQF 的内切圆与2QF 相切于点M .若4QM =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D例42．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（ ） A．54B ．43C D例43．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，12F F P 是y 轴正半轴上一点，线段1PF 交双曲线左支于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF 的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A B C D例44．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一点（点P 在第一象限），点12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若123,4F O F I I π∠== ）AB C D例45．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D题型九：椭圆与双曲线共焦点例46．（2022·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦例47．（2022·重庆·模拟预测）如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．6+2B ．C D例48．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e =，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（ ）AB C ．2 D例49．（2022·河南郑州·一模（文））已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．65B C D例50．（2022·河南郑州·一模（理））已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8例51．（2022·江西·模拟预测（理））已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的公共点，且1212,,3F PF e e π∠=的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例52．（2022·云南·一模（理））已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ） A ．32BCD ．1例53．（2022·甘肃白银·模拟预测（理））已知1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是1C ，2C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则2C 的离心率为 A ．45BCD例54．（2022·山东日照·二模）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221213e e +的值为（ ） A ．1 B ．2512C ．4D ．16例55．（2022·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=题型十：利用最大顶角θ例56．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦例57．（2022·全国·高二专题练习）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．1)C ．D ．例58．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例59．（2022·全国·高三专题练习）设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆外存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围______．例60．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P 使得122F PF θ∠=（02πθ<<，θ是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.例61．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．题型十一：基本不等式例62．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1⎤⎥⎣⎦C ．)1,1D ．⎣⎦例63．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，M是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A 2B C 2D例64．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________.例65．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．例66．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．题型十二：已知12PF PF ⋅范围例67．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在线段AB 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得2123i i c PF PF ⋅=-，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭例68．（2022·全国·高二专题练习）已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C．1D．1)例69．（2022·全国·高三开学考试（理））设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P 满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A．12⎛ ⎝⎭B．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦例70．（2022·四川·高二期末（文））设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得2122c PF PF ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）A．2⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦例71．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知()1,0F c -、()2,0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得2123PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______．题型十三：12=PF PF λ例72．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎭B．()1C．)1,1D．⎫⎪⎪⎝⎭例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是（ ） A．)1,1 B．⎫⎪⎪⎣⎭C．(1⎤⎦D．⎛ ⎝⎦例74．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型十四：中点弦例75．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ） ABCD例76．（2022·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN为矩形，且面积为 ） A ．13B ．23CD例77．（2022·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l 交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B．C ．2± D．±例78．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．2例79．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F F的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ） A ．14-B ．34-C ．12-D ．1例80．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若12AB OD k k ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B ．2 CD例81．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD例82．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若22F A F B =，1212285AF F BF F S S c +=△△（12AF F S表示12AF F △的面积），则双曲线C 的离心率的值为（ ）AB C D例83．（2022·全国·高三专题练习）设直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，直线l 与直线OM （O 是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD题型十五：已知焦点三角形两底角例84．（2022·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 分别是椭圆D ：()222210x y a b a b +=>>的左右两个焦点，若在D 上存在点P 使1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率为（ ） AB1CD例85．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） ABCD ．2例86．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦例87．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（ ） AB2C ．2 D例88．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01) B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D ．1,1)题型十六：利用渐近线的斜率例89．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（ ）AB CD例90．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线22221x y a b-=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点2-⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ）A B 2C ．12D ．3例91．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线经过1C 的焦点且与1C 交,A B 两点，8AB =，若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则双曲线1C 的离心率是（ ）A BCD例92．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆()222104x y b b +=>与双曲线()22210x y a a-=>有公共的焦点，F 为右焦点，O 为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于P 点，且点P 在第一象限，若OP FP ⊥，则椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D例93．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知点1F 和2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过点1F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足为H ，且213F H F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D例94．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线22122:1y x C a b-=及双曲线()22222:10,0x y C a b b a-=>>，且1C ()0y kx k =>与双曲线1C 、2C 都无交点，则k 的值是（ ）A ．2B ．12C D ．1例95．（2022·江西·二模（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，点P 在圆F '：2220x y cx +-=上，若C 的一条渐近线恰为线段FP 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D例96．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上顶点为P ，3OQ OP=（O 为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M ，使得90PMQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎣⎭例97．（2022·新疆·二模（理））如图．已知椭圆221:110x C y +=，双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若以椭圆1C 的长轴为直径的圆与双曲线2C 的一条渐近线交于A ，B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2 D题型十七：坐标法例98．（2022·全国·高三专题练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF AF ⊥时，AF BF =.求双曲线C 的离心率.例99．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 是其左顶点.若双曲线上存在点P 满足1232PA PF PF =+，则该双曲线的离心率为___________.例100．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P 与x 轴切于点F ，与y 轴交于A ，B 两点，若APB △为直角三角形，则C 的离心率为______.例101．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，若线段()4028x y x -+=-≤≤上存在点M ，使得线段2MF 与E 的一条渐近线的交点N 满足：2214F N F M =，则E 的离心率的取值范围是___________.例102．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD例103．（2022·河南洛阳·三模（文））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF2，则椭圆的离心率e =___________.题型十八：利用焦半径的取值范围例104．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,2F F F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为___________.例105．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．5,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例106．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 的右支上，且21c PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．(1,1D ．)1⎡+∞⎣例107．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．例108．（2022·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在一点P ，使得128PF PF =，其中12,F F 分别C 是的左、右焦点，则C 的离心率的取值范围为______.例109．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十九：四心问题例110．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>）的左､右焦点分别为()1,0F c -和()212,0,,b F c M x c ⎛⎫⎪⎝⎭为C 上一点，且12MF F △的内心为()2,1I x ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．35例111．（2022·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5例112．（2022·江苏·高二单元测试）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2 D例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例114．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线222:1(0)2x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 右支上一点，若12PF F △的重心为11,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．3例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为( )A ．12B C D例116．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在第一象限内，2PF a =，G 为12PF F △重心，且满足11112GF F P GF F F ⋅=⋅，线段2PF 交椭圆C 于点M ，若24F M MP =，则椭圆C 的离心率为（ ）。