图论中的树与树的性质
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
第2章 树
推论2.4.1 每一连通图 都包含一生成树。 每一连通图G都包含一生成树 都包含一生成树。 推论
证明：令 T 为G的极小 minimal)连通生成子图 极小( 极小 连通生成子图 （即 T 的任一真子图都不是G的连通生成子图） （由定义知，T 可在保持连通性 保持连通性的前提下，用逐步 保持连通性 从G中去边的办法求出（ ∴所去的边一定在一圈中 边 （即非割边 非割边）（∴每步至少破坏一圈））。 由T的 非割边 定义知，ω(T) = 1 ， ω(T - e) = 2 ∀ e ∈ E(T) 。 即 T 的每边为割边，故由定理2.4知T为树。
2.1.4 G为 林 ⇔ ε = ν - ω。 2.1.5 若林G 恰有2k个奇点 奇点，则G 中存在k条边不重 奇点 的路 1 ,P2 ,..,Pk ,使得E(G) = E(P1 )∪E(P2 )∪ ... ∪E(Pk )。 2.1.6 正整数序列 (d 1 ,d 2 ,...,d ν )是一 棵树的度序 ν 列，当且仅当
定理2.5 设 T 为G的一生成树，e为G中不属于 定理 T的边，则T+e 含唯一的圈。 证明： 若e为环（即1-圈），结论显然成立。 不然，由于T 无圈，T + e 中的每个圈（若存 在的话）都包含e 。又，C为 T + e 的一圈 ⇔ C - e 为T 中连接e的两个端点的路。但， 由定理2.1知，T中恰只有一条这样的路，因 此 T + e中包含唯一的圈。
⇔ 不含圈的图。 树（tree） ⇔ 连通无圈图。 叶 (leave) ⇔ 树中度为1的顶点。 例：六个顶点的树
称边e为图G的割边( cut edge) ⇔ ω(G-e) > ω(G) 。 （或即 ω(G-e) = ω(G) + 1 ） （称边e为图G的非割边 ⇔ ω(G-e) = ω(G) 。）
树的名词解释数学
树的名词解释数学在数学中，树是一种非常重要且广泛应用的数据结构，它以分支的方式将信息有序地组织起来。
树的结构特点使得它在计算机科学、图论和优化问题等领域中扮演着重要角色。
本文将探讨树的定义、性质和一些常见的应用。
1. 树的定义与组成在数学中，树是由若干个节点（node）和连接节点的边（edge）组成的一个有限集合。
它满足以下几个条件：1. 每个节点至多与其他一个节点相连接，即不存在环路（loop）；2. 有且仅有一个节点没有入边，称为根节点（root）；3. 除根节点外，每个节点都有且仅有一个父节点，可以有多个子节点。
树的定义可以用数学符号形式化地表示为T=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示连接节点的边的集合。
2. 树的性质树的定义中给出的几个条件决定了树的一些特性。
首先，树的节点之间是以层次结构存在的。
根节点位于最高层，而其他节点的层次由其与根节点的距离决定。
这样的结构方便了对树的访问和操作。
其次，树的节点数量和边的数量之间存在着特定的关系。
设树的节点数为N，边数为E，则有N = E + 1。
这个等式可以通过树的定义和无环路的性质得到。
另外，树的节点个数也可以表示为树的度数（degree）之和。
树的度数是指一个节点所连接的边的数量。
对于有N个节点的树，其度数之和为2N-2。
这个性质在树的遍历和构造中非常有用。
3. 树的应用由于树的特性和丰富的结构，它在现实生活和科学领域中有许多应用。
首先，树在计算机科学中扮演着至关重要的角色。
树结构可以用于存储和表示数据，例如在搜索树、堆和文件系统等应用中。
树的层次性质和递归结构也使得树成为编程中常用的数据结构。
其次，树在图论中也得到了广泛的应用。
树可以用于表示图的一部分或整体，许多图论问题可以转化为树的问题来解决。
例如，最小生成树问题和最短路径问题都是图论中的经典问题，它们的解法往往基于树的算法。
此外，树还在优化问题中起到了重要作用。
例如，决策树是一种常见的优化模型，它可以帮助我们在给定条件下做出最优的决策。
克鲁斯卡尔树定理
克鲁斯卡尔树定理《克鲁斯卡尔树定理》是著名的图论定理，其中研究的主题是图的连通性。
在 1841由威廉克鲁斯卡尔发表的论文《研究图的表示》中，提出了该定理。
之后，克鲁斯卡尔树定理由许多著名的图论学家开始重点研究，其中包括丹尼斯彼得（Dennis Peters）、阿兰布莱曼（Alan Breman）和弗兰克梅迪（Frank Meyd）。
克鲁斯卡尔树定理的精确定义是：给定的无向图 G，若 G连通的，则 G一棵极小的“克鲁斯卡尔树”，即 G有一个最小权重且构成G边的最小集合。
更一般地说，“克鲁斯卡尔树”是连接 G 中所有顶点的树，且权重最小。
如果 G非连通图，那么 G有多个连通子图，每个连通子图都将有自己的克鲁斯卡尔树。
克鲁斯卡尔树定理可以用来解决许多最优化问题，通过找到最小权重，可以使旅行者以最小费用实现他们的旅行规划。
例如，假设有一个城市有五个相邻的村庄，每个村庄之间有不同的连接权重。
此时，可以通过构建一棵树来连接这五个村庄，这棵树以最小的权重为基础。
克鲁斯卡尔树定理也用于网络路由，为不同来源或不同目的地之间提供最短路径。
克鲁斯卡尔树定理可以为网络路由算法提供帮助，使其找到数据网络中最佳路径，以便以最短时间将数据包从一个网络节点发送到另一个网络节点。
另一个应用是最小生成树。
最小生成树是通过给定一组点，找到具有最小权重的子集，包含每一对点的最短路径，而使得这个集合的权重和最小的图的一种。
由此可见，克鲁斯卡尔树定理是应用于最小生成树算法最为常用的基本定理。
克鲁斯卡尔树定理最近也被用于多机调度算法中。
该算法用于处理多台计算机之间的任务，例如调度一组作业或者任务，在此情况下，克鲁斯卡尔树定理可以提供解决方案，使计算机系统的性能最大化，使任务处理以最快的速度完成。
克鲁斯卡尔树定理有着广泛的应用，并且在图论中仍然是一个非常重要的定理，仍在不断被深入研究和扩展。
克鲁斯卡尔树定理通过引入求解图最优解的新思路，深刻影响了最优化算法的发展，也为图论和计算机科学贡献了极大的贡献。
10.2_最小树问题
+50+60 = 290（米）
所以，排污管道最小建设
3
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成本 = 290×500 = 145000 元 60
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7 处理中心A
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6
8
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OR:SM
本章小结
树是图论中应用比较活跃的领域，在各个学科中都有广 泛的应用。
例如在一些地区之间架设电话线路或铺设铁路线，修公 路等施工方案的确定，都可以采用最小树的方法求得最 佳施工方案。
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表中空格表示由于特殊原因无法铺设管道。
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OR:SM
三、最小树问题应用案例
树图：无圈的连通图称为树。
4
OR:SM
二、树及性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两个悬挂点。
性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一个树的 充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
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第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
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图论中的树与树的性质
图论是数学中的一个重要分支，研究的对象是图，即由若干个顶点和边连接的结构。
在图论中，树是一种特殊的图，它具有许多独特的性质和特点。
一、树的定义及性质
在图论中，树被定义为一个无环连通图，也就是说，树是一个连通的无向图，并且不存在环。
树有许多重要的性质，包括：
1. 任意两个顶点之间有唯一的简单路径。
2. 一个有n个顶点的树有n-1条边。
3. 一个图是树的充分必要条件是该图连通且有n-1条边。
二、树的类型
在图论中，树可以分为多种类型，常见的包括：
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
2. 森林：由若干棵不相交的树组成的集合。
3. 二叉查找树：一种特殊的二叉树，具有快速查找和插入性能。
4. 最小生成树：一个无向图的最小生成树是一棵包含图中所有顶点的树，且边的权值之和最小。
三、树的应用
树在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，其中最常见的包括：
1. 数据结构：树是计算机中常用的数据结构之一，例如二叉搜索树、堆、红黑树等。
2. 网络拓扑：树结构常被用于描述网络拓扑结构，如局域网、广域
网等。
3. 编程算法：许多算法问题可以通过树的结构来描述和解决，例如
深度优先搜索、广度优先搜索等。
四、树的特殊性质
除了上述基本性质外，树还有许多特殊性质，如：
1. 叶子节点：树的叶子节点是指度为1的节点，即没有子节点的节点。
2. 高度：树的高度是指从根节点到最深叶子节点的最长简单路径的
长度。
3. 平衡树：一种特殊的树结构，具有良好的平衡性能和查找效率。
总之，树是图论中的重要概念，具有许多独特的性质和应用。
通过
深入研究树的结构和特点，可以更好地理解和应用图论的知识，为解
决实际问题提供有力的工具和方法。