离散数学等值演算的例题
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
离散数学作业
-离散数学 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念一、单项选择题1．下列语句中不是命题的有（ ）.A 9+5≤12 B. 1+3=5 C. 我用的电脑CPU 主频是1G 吗？D.我要努力学习。
2. 下列语句是真命题为( )．A. 1+2=5当且仅当2是偶数B. 如果1+2=3，则2是奇数C. 如果1+2=5，则2是奇数D. 你上网了吗？3. 设命题公式)(r q p∧→⌝,则使公式取真值为1的p ，q ，r 赋值分别是( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 4. 命题公式q q p →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式5. 设p:我将去市里,q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为为( )q p q p q p p q ⌝∨⌝↔→→)D ()C ()B ()A (6．设P ：我听课,Q ：我看小说. “我不能一边听课，一边看小说”的符号为（ ）A. Q P ⌝→ ；B. Q P →⌝；C. P Q ⌝∧⌝ ；D. )(Q P ∧⌝二、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化（1）中国有四大发明。
（2）2是有理数。
（3）“请进！”（4）刘红和魏新是同学。
（5）a+b（6）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：《韩非子∙显学》）（9）火星上有生命。
（10）这朵玫瑰花多美丽啊！二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2（1）只要2<1，就有3<2。
（2）如果2<1，则3≥2。
（3）只有2<1，才有3≥2。
（4）除非2<1，才有3≥2。
（5）除非2<1，否则3≥2。
（6）2<1仅当3<2。
离散数学专业班级学号姓名三、将下列命题符号化(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。
离 散 数 学
第一节等值式例6、求命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：先求主析取范式故主合取范式为例6、求命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：成真赋值为极小项角码对应的二进制数，即00，10，11。
成假赋值为极大项角码对应的二进制数，即01。
例7、设 (1) 求的真值表。
(2) 求的主析取范式、主合取范式。
解：例7、设 (2) 求的主析取范式、主合取范式。
解：例7、设 (2) 求的主析取范式、主合取范式。
解：例8、判断下列推理是否正确。
解：可用多种方法(如真值表法，等值演算法，主范式法)验证，并非重言式，故推理不正确。
(1) 前提：结论：，例8、判断下列推理是否正确。
(2) 如果今天是星期二，则<a name=baidusnap0></a>明天</B>是星期四。
今天是星期二，所以明天</B>是星期四。
以上推理即假言推理，所以是正确的。
解：：明天</B>是星期四，：今天是星期二，前提：结论：，例9、写出对应下面推理的证明。
有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。
如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白队不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。
因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
证明：设：红队第三，：黄队第二，：蓝队第四，：白队第一。
前提：结论：前提：结论：前提引入附加前提引入①②析取三段论前提引入④①③②⑤③④假言推理前提：结论：③④假言推理前提引入⑤⑥假言推理⑤⑦⑥由附加前提证明法知推理正确。
例10、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： (1) 甲或乙盗窃了录音机； (2) 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前； (3) 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； (4) 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； (5) 午夜时屋里灯光灭了。
问是谁盗窃了录音机。
：乙盗窃了录音机，：作案时间发生在午夜前，：乙的证词正确，：午夜灯光未灭。
离散数学之等值演算
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应用举例——证明两个公式不等值
例2 证明: p(qr) (pq) r 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两
个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 真,另一个成假.
方法一 真值表法（自己证） 方法二 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的 的成真赋值，是右边的成假赋值. 方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
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例 (续)
解此类问题的步骤为： ① 将简单命题符号化 ② 写出各复合命题 ③ 写出由②中复合命题组成的合取式 ④ 求③中所得公式的主析取范式
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例 (续)
解 ① 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去， s：派李去，u：派周去.
② (1) (pq) (2) (su) (3) ((qr)(qr)) (4) ((rs)(rs)) (5) (u(pq))
按角标从小到大顺序排序.
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求公式的主范式
例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合
取范式.
(1) 求主析取范式
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
(pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
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求公式的主范式(续)
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
(pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 由最后一步可知，该式为重言式. 问：最后一步为什么等值于1？
10
例3 (续)
(3) ((pq)(pq))r)
解 ((pq)(pq))r)
离散数学复习
极小项的记号（n＝3）
极小项
¬p∧¬q∧¬r ¬p∧¬q∧r ¬p∧q∧¬r ¬p∧q∧r
成真赋值
000 001 010 011
名称
m0 m1 m2 m3
p∧¬q∧¬r
p∧¬q∧r p∧q∧¬r p∧q∧r
100
101 110 111
m4
m5 m6 m7
极大项的记号 （n＝2，3）
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r 成假赋值 000 001 名称 M0 M1
关系的定义。 什么是“自反性”？ 设A、B是任意两个命题公式，若等价式 什么是“对称性”？ A ↔ B为重言式，则称 A与B是等值的， 什么是“传递性”？ 记作：A B 等价关系、等价类，等价类的个数？
自反性，即对任意命题公式A， AA 对称性，即对任意命题公式A和B， 若AB，则BA 传递性，即对任意命题公式A，B和C， 若AB，BC，则AC
定义2.10 设 S 是一个合取范式，C否证也是“证明” 1，C2， …，Cn 是 一个如下生成的子句序列：
对每一个i（1≤i≤n），Ci是S中的一个子句 （简单析取式）； 或者 Ci 是它之前的某两个子句（简单析取式） Cj，Ck（1≤j＜k＜i）的消解结果。
则称此序列是由 S 导出的消解序列。 当 Cn＝λ （空子句）时， 称此序列是 S 的一个否证。 “消解规则”
范式存在定理
任一命题公式都存在着与之等值的 析取范式 任一命题公式都存在着与之等值的 合取范式
求范式的步骤如下： ⑴ 消去联结词“→”和“↔” ⑵ 利用双重否定律消去否定联结词“¬”或 利用德摩根律将否定联结词“¬”移到各命题变 元前(¬内移)。 ⑶ 利用分配律，结合律将公式归约为合取 范式和析取范式。
离散数学一阶逻辑等值演算
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一