复合函数的概念及复合函数的单调性
复合函数单调性
复合函数单调性
复合函数的单调性法则是“同增异减”。
具体内涵为，假设一个复合函数的解析式为y=f(u(x))，则其外层函数为y=f(u)，内层函数为u=u(x)。
（1）如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相同（同增或同减），则y=f(u(x))为这个区间上的增函数。
（2）如果在一个区间上以u为变量的外层函数y=f(u)和以x为变量的内层函数的单调性相反（“内增外减”或“内减外增”），则y=f(u(x))为这个区间上的减函数。
上面复合函数的增减，可以用数学式子和符号简化为下图所示四种情况：
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。
这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
复合函数的单调性及单调性的应用 课件
【讲评】 求复合函数的单调区间要充分利用基本函数的 单调性，分式函数、偶次方根函数一定要先求函数的定义域．
探究1 复合函数的单调性的判定见下表：
t＝g(x) y＝f(t) y＝f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增减减源自减增注意 (1)判断复合函数的单调性时，首先求出复合函数的 定义域．
(2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”．
【解析】 由题意可知，f(x)的对称轴为x＝2. 故f(1)＝f(3)． ∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数(开口向上)， ∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
【讲评】 若函数f(x)满足等式f(m＋x)＝f(m－x)，则f(x)关 于x＝m对称．
探究2 比较大小：比较两个函数值的大小，一定要把两个 自变量的值置于同一个单调区间内！
(2)求函数y＝ 1－2x的单调区间． 【思路点拨】 首先，求函数定义域，其次要清楚是由哪 几个函数复合而成．
【解析】
由1－2x≥0，得x≤
1 2
，而函数y＝
1－2x 是由y
＝ t及t＝1－2x复合而成的．
在(－∞，12]上，t＝1－2x是减函数，y＝ t是增函数，∴y＝
1－2x在(－∞，12]上是减函数．
探究3 本题没有解析式，但已知函数的单调性，为解抽象 函数的不等式，其解法主要是利用函数的单调性及存在性而得 出相应的解集，这也是高考中常用来考查函数的一种方法．此 题一定要注意函数的定义域．
思考题3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1，求 不等式f(2x－1)－1＞0的解集．
【答案】 (12，＋∞)
思考题1 写出函数y＝ 3x＋2的单调区间． 【答案】 单调增区间[－23，＋∞)
高考数学知识点之复合函数
高考数学知识点之复合函数在学习过程中，专门多同学在遇到如此的问题时容易犯错误：例f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域答案怎么说是[1,2]依旧[3,4]呢?专门多同学会在那个问题上犹豫。
有些时候一些小问题弄不明白事实上反映的是知识体系上的一个大缺漏。
在那个问题上犹豫说明同学对复合函数的定义还并没有明白得透彻，因此顺着如此一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的知识要点。
一、复合函数的概念从映射的角度来说，复合函数f(g(x))确实是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B上。
其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。
从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行运算得到的结果。
实际显现的比较容易让人混淆的复合函数，其特点要紧是f()括号内部类似x，却不是x。
例如f(-x)、f(x+1)等，事实上差不多上复合函数。
请注意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。
二、复合函数的定义域第一我们必须明确定义域那个概念指的是什么。
在那个地点，专门多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范畴这两个概念。
定义域指的是自变量能够取值的范畴。
而使对应关系f有意义的范畴则代表f()那个括号里头能够代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。
例如f(x)=1/ x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范畴与之相同。
然而关于函数f(x+1)，其定义域应该是自变量能够取值的范畴，而自变量x =-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f有意义的范畴依旧是(-∞,0)∪(0,+∞)。
区分清晰这两点之后，我们便能够解决本文开头的问题。
题目所给对应关系f有意义的范畴是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，因此解得x∈[1,2]。
函数单调性与复合函数讲义
函数单调性
增增减减
增减增减
增减减增
例题：
例1、已知 ，求 的单调性。
例2、已知 ，求函数 的单调性。
2、已知 ，如果 ，那么 （）
A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数
C.在区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数
①二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是 ．
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时， ．
③二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点 ．
（4）一元二次方程 根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是函数 的最大值，记作 ．
②一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有 ；（2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是函数 的最小值，记作 ．
例题：
1.证明函数 在（1，+∞）上为减函数．
2.定义在（－1，1）上的函数 是减函数，且满足： ，求实数 的取值范围。
函数奇偶性、单调性的综合应用
[例4]（普宁市城东中学09）已知奇函数 是定义在 上的减函数，若 ，求实数 的取值范围。
专题：复合函数的单调性
2
1 函数y log2 6 x x 2 的单调递增区间为 3 ， 。 2
七.小结：
（1）求复合函数的单调区间；
注意：求函数的单调性首先要求函数的定义域。
y
k (k 0) x
y
y
k k 0 x
O
x
图象的函数解析式是： y
k k 0。此函数是反比例函数 。 x 0,上也是减函数； 当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在
0,上也是增函数。 当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在
y
y ax2 bx c(a 0)
复合函数的单调性
知识回顾: a 1
图 y
0a1
ya
x
ya
x
y
象
定义域： 性
(0,1) O R 值域： (0, )
x
(0,1) O
x
定义域：
R
奇偶性： 非奇非偶函数 单调性： 在R上是增函数 质 x>0时，y>1;x<0时,0<y<1
值域： (0, ) 奇偶性：非奇非偶函数 单调性： 在R上是减函数 x>0时，0<y<1;x<0时,y>1
个自变量的值 x1 , x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就 说在这个区间上是增函 数。
2减函数：如果对于属于 定义域I内某个区间的任意两
个自变量的值 x1 , x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么 就说在这个区间上是减 函数。
解： x2 4x 5 0
复合函数
复合函数【学习要求】理解复合函数的内外层概念，能求复合函数定义域、值域，分析复合函数单调性。
【知识归纳】1、复合函数的构成及其定义域、值域取决于内层函数的值域与外层函数的定义域关系。
2、通常用图象法分析复合函数。
3、复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数，单调性不同；则函数是减函数。
增增、减减为增；增减、减增才减。
【例题解析】例1、求函数223222+++++=x x x x y 的定义域和值域。
解：()1222222++++++=x x x x y ，设12++=u u y ， 则v u =，222++=x x v 。
由函数定义域要求0222≥++x x ，即()0112≥++x ，显然，R x ∈，∴222++=x x v 的值域),1[∞+∈v 。
作v u =，),1[∞+∈v 图象，可知),1[∞+∈u 。
又作函数12++=u u y ，),1[∞+∈u 图象，可知函数值域),3[∞+∈y 。
例2、求函数3224+-=x x y 的单调区间。
解析：设322+-=u u y ，2x u =。
函数2x u =的值域为∈u [0，+∞），作322+-=u u y ，∈u [0，+∞）图象。
由于2x u =在（–∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴分类讨论。
①当∈u [0，1]，322+-=u u y 单调递减，而2x u =的定义域为[–1，1]。
又分两类：∵2x u =当∈x [–1，0]时单调递减，∴复合函数单调递增；∵2x u =当∈x [0，1]时单调递增，∴复合函数单调递减。
②当∈u [1，+∞]，322+-=u u y 单调递增，而2x u =的定义域为[–∞，–1]∪[1，+∞）。
当2x u =在∈x [–∞，–1]时单调递减，∴复合函数单调递减；∵2x u =当∈x [1，+∞]时单调递增，∴复合函数单调递增。
综上所述：在∈x [–∞，–1]时3224+-=x x y 单调递减；当∈x [–1，0]时3224+-=x x y 单调递增；当∈x [0，1]时3224+-=x x y 单调递减；当∈x [1，+∞]时3224+-=x x y 单调递增。
复合函数的单调性
单调性的一般步骤： 二、判断复合函数y=f[g(x)] 单调性的一般步骤： 判断复合函数
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。 其中y=f(u)又称为外层函数 u=g(x)称为内层函数 又称为外层函数 称为内层函数 其中 又称为外层函数, 称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) ①若两个函数在对应的区间上的单调性相同， 若两个函数在对应的区间上的单调性相同， 则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数； 为增函数； 则复合后的函数 为增函数 ②若两个函数在对应的区间上的单调性相异， 若两个函数在对应的区间上的单调性相异， 则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。 为减函数。 则复合后的函数 为减函数
复合函数的单调性可概括为一句话： 同增异减” 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
三.复合函数的单调性 复合函数的单调性
外层函数 y = f (u )
合 数 内层函数 u = g (x ) 复 函 y = f [g(x)]
增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
y = ax 2 + bx + c(a > 0)
O
x=−
b 2a
x
y = ax 2 + bx + c(a < 0)
图象的函数解析式是：y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)。此函数是二次函数。 b b 当a > 0时，函数在 −∞, − 上是减函数，在 − , +∞ 上是增函数； 2a 2a b b 当a < 0时，函数在 −∞, − 上是增函数，在 − , +∞ 上是减函数。 2a 2a
复合函数的单调性与赋值法证明函数的单调性
一、复合函数 y f 的单调性 g x 将复合函数分解成 y f u , u g x
u g x
增 增 减 减
y f u 增 减 增 减
y f g x
增 减 减 增
复合函数单调性归纳为“同增异减”
（1）求 f
1
（2）证明： f x 在定义域内是增函数
练习2.函数f x 对任意实数a，b都 有 f a b f a f b 明： f x 是R上的增函数
例.求函数 y x 2 x 1 的单调 区间
2
练习：求 y x 2 x 8 的 单调区间
2
二、抽象函数单调性
例1.已知 y f x 在定义域 1,1 2 上是减函数，且f 1 a f a 1 求a的取值范围
练习：已知 y f x 在定义 域 0, 是增函数，且 2 f a f 2a 3 ，求a的取值 范围
例2: 已知定义在R上的函数 f ( x) 满足：对任 意 a, b R，都有 f (a b) f (a) f (b)，且当 x 0 时，f ( x) 0 ，试确定函数的单调性.
练习1：已知函数 f x 的定义域是 0, ， 当x>1时， f x 0，且 f xy f x f y
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复合函数的概念及复合函数的单调性
1．复合函数的概念
如果y 是ω的函数，ω又是x 的函数，即)(ωf y =，)(x g =ω，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数)(ωf y =和)(x g =ω的复合函数，其中ω是中间变量，自变量为x ，函数值y 。
例如：函数x x y 22)31
(-=是由μ)3
1
(=y ，x x 22-=μ复合而成立。
函数)43lg(2
x x y -+=是由ωlg =y ，243x x -+=ω复合而成立，μ、ω是中间变量。
2．复合函数单调性
一般地，
定理：设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω 有以下四种情况：
（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；
（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；
（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；
（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。
即：同增异减
注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。
例1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）
（1）x x y 22)3
1(-= （2）)43lg(2x x y -+= 解：
练习1：
1．求下列函数的单调区间。
（1）2522+-=x x y （2）)32(log 2
2
1-+=x x y
（3）12--=x x y （4）21
2)3(--=x x y
例2、已知)(x f y =，且)3lg(3lg lg lg x x y -+=。
（1）求)(x f y =的表达式及定义域；
（2）讨论)(x f y =的单调性。
练习2
1．已知228)(x x x f -+=，)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间。
2．讨论函数)34(log 2
+-=x x y a 的单调性。
练习题
1．若函数)(x f y =的图象过点)1,0(，则)4(+=x f y 的图象必过点（ ） A ．)1,4(- B ．)4,1(- C ．)1,4(- D ．)1,1(
2．函数2
2log x y =在区间()()+∞⋃∞-,00,上（ ）
A.是奇函数，且在()+∞,0上是增函数
B.是偶函数，且在()+∞,0上是增函数
C.是奇函数，且在()+∞,0上是减函数
D.是偶函数，且在()+∞,0上是减函数 3．函数2616x x y -+=)40(≤≤x 的最大值与最小值分别是（ ）
A ．25，16
B ．5，0
C ．5，4 D
．4，0
4．函数1
1
2
31+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 值域为（ ）
A ．)1,(-∞
B ．)1,31(
C ．)1,31[
D ．),31
[+∞
5．函数)6(log )(23
1x x x f --=的单调递增区间是( )
A ．),21[+∞-
B ．)2,21[-
C ．)21
,(--∞ D ．)21
,3(--
6．函数1)1(222)(+--=x a x x f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A. [6,+)∞
B. ),6(+∞
C. ]6,(-∞
D. )6,(-∞
7．已知)2(log ax y a -=在[]1,0上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A.()1,0
B.()2,1
C.()2,0
D.[)+∞,2。