应用数理统计试题库总结

应用数理统计复习题（2010）

一 填空题 1

设

6

21,,,X X X 是总体

)

1,0(~N X 的一个样本，

26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。

2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ，

~1

2X

F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2

σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时，

∑-=+-=1

1

212

)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。

4 设)),0(~(2σεε

βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x ，

则0x βα+~ ()

2

0201,x x N x n Lxx αβσ⎛⎫

⎡

⎤- ⎪⎢⎥++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭

。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ

＝ 2.1 。

6．设总体2

12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的

置信区间为 ()()()()22

2212211,11n S n S n n ααχχ-

⎡⎤--⎢⎥

⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=8221,

10μ

令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛202121，则Y 的分布为 ()12,02T

N A A A A μ⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑ 。 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：

表1 因素水平表

表2 极差分析数据表

则（1）较好工艺条件应为22121A B C D E 。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 7 。

（3）上表中的第三列表示 A B ⨯交互作用 。

9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据

则y 关于x 的线性回归模型为 ()ˆ 2.356 1.813~0,1.611y

x N εε=++ 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 1

2

x - ，极大似然估计量为 max{X 1,X 2,…,X n } 。

12设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θ

ˆ 12

x - ；=)ˆ(θ

D 1/12n 。

13设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2

,σμ均未知，05.0=α.

则μ的置信度为α-1的置信区间为

(

)()221,1x n x n αα⎡⎤---⎢⎥⎣⎦

；若

μ为已知常数，则检验假设,::20212020σσσσ<↔≥H H （20σ已知）

，的拒绝域为 221(n-1)X αχ-≤ 。

14设X 服从p 维正态),(∑μp N 分布，是来自n X X X ,,,21 X 的样本，则∑的最小方差

无偏估计量=∑ˆ ()2

n

i i 1

1x n μ=-∑ ；μ-X 服从 ()p 0,/N n ∑ 分布。 15设（X 1，…，X n ）为来自正态总体),(~∑μp N X 的一个样本,∑已知。对给定的检

验水平为α，检验假设0100::μμμμ≠↔=H H ，（0μ已知）

，

拒绝域为2u u α⎧⎫⎪

≥⎨⎬⎪⎭⎩

。

二 计算及证明题

1 设21,X X 是来自总体),(~2

σu N X 的一个样本。 （1）证明21X X +，21X X - 相互独立

（2）假设0=u ，求2

212

21)()(X X X X -+的分布 ()()()()

()()()()()

21212

12122

12212

121,,0,10,120,20,22,20,20,2x x x

N x x N N x x x x N N x x N x x N x x N μσμμσσ

μμμσσσμσσσ

----+-⎛⎫

+

⎪⎝⎭

+--证明：因为：均服从所以：，，即：，

()()()1212200,0,x x N x x N μσσ=+-，，

即()2212~1X X X σ+⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()2

212~2X X X σ-⎛⎫ ⎪⎝⎭

()()2

1221121222

12122/~(,)(1,1)~(1,1)/X X n X X F F n n F F X X X X n σσ+⎛⎫

⎪+⎝⎭∴===--⎛⎫

⎪⎝⎭

2 设

n X X X ,,,21 是总体)1,0(~N X 的一个样本，求统计量

21

2

1)(1)(1∑∑+==-+=n m i i m i i X m n X m Y 的抽样分布。

()2222

__111122

__

2

2

__

1111~(0,1)

111/1/i m n i i i i m X N Y X X m X n m Y m n m X Y m X n m Y m n m ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-=+

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑

()()()()()

_

_

11

2

2

__22112~0,1~0,11/1/~1~11/1/~2X Y N N m n m

X Y X X m n m Y X -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪∴ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∴ 3 设总体)(~λE X （指数分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，证明

)2(~221

n X n

i i χλ∑=

4 设总体)(~λP X （泊淞分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，2

S X 和为样本均值