拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析

基本要求

通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。

知识要点

1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义

单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st

f t F s f t dt e ζ∞

--

==⎰

逆变换 1

[()]()()2j st

j F s f t F s ds j e σσζπ+∞

-∞

==⎰

双边拉普拉斯变换： 正变换

()()st

B s f t dt e F ∞

--∞

=⎰

逆变换1

()()2j st

B j f t s ds j e F σσπ+∞

-∞

=

⎰

（2） 定义域

若0σσ>时，lim ()

0t

t f t e

σ-→∞

=则()t

f t e

σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分

0()st

f t dt e +∞

--

⎰

存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换

的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若

11[()]()

f t F S ζ=,

22[()]()

f t F S ζ=,

1

κ,

2

κ为常数时，则

11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+

（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()

[

]()(0)df t sF s f dt

ζ-=- 1

1()0

()[]()(0)n n n n r r n

r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()

(0)r f

-是r 阶导数()

r r

d f t dt 在0-时刻的取值。

（3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t

f F s f t dt s s

ζ---∞

=+⎰

式中0(1)

(0)()f

f t dt ---∞=⎰ （4） 延时性

若[()]()f t F s ζ=，则0

00[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=

（5） s 域平移

若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at

f t e F s a ζ-=+

（6） 尺度变换

若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s

f at F a a

ζ=

（a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s +

+→→∞

==

（8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞

→∞

=

（9） 卷积定理

若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*=

12121[()()][()()]2f t f t F s F s j

ζπ=

*=

121

()()2j j F p F s p dp j σσ

π+∞-∞

-⎰

3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法

首先应用海维赛展开定理将()F s 展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数()f t 。 （2）留数法

留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数()st

F s e 在围线中所有极点的留数运算，即(1)

1

1[()]()()[()]22j st st st j c

F s F s e ds F s e ds F s e j j

σσζ

ππ+∞

--∞

=

=

=∑⎰⎰

极点

的留数

若i p 为一阶级点，则在极点i s p =处的留数2

1

[()()]

i

n

st

i i i s p i r s p F s e X

===-∑

若i p 为k 阶级点，则1

11[()()](1)!i

k k st i i s p k d r s p F s e k ds

-=-=

--

4. 系统函数（网络函数）H （s ） （1） 定义

系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即

()

()()

zs R s H s E s =

冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成变换对，即()[()]H s h t ζ=系统的频率响应特性()()()()j w s jw

H jw H s H jw e ϕ===式中，()H jw 是幅频响应特性，()w ϕ是相

频响应特性。

（2） 零极点分布图

1212()()()

()()()()()()

m n K s z s z s z N s H s D s s p s p s p ---=

=--- 式中，K 是系数；1z ，2z ，m z 为()H s 的

零点；1p ，2p ，

，n p 为()H s 的极点。在s 平面上，用“

”表示零点，“X ”表示极

点。将()H s 的全部零点和极点画在s 平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。

（3） 全通函数

如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于jw 轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。 （4） 最小相移函数

如果系统函数的全部极点和零点均位于s 平面的左半平面或jw 轴，则称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。 （5） 系统函数()H s 的求解方法

错误!未找到引用源。由冲激响应()h t 求得，即()[()]H s h t ζ=。

错误!未找到引用源。对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由

()

()()

zs R s H s E s =

获得。 错误!未找到引用源。根据s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s 。

5. 系统的稳定性

若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则此系统为稳定系统。 （1）稳定系统的时域判决条件()h t dt M +∞

-∞

≤⎰

（充要条件） 错误!未找到

引用源。

若系统是因果的，则错误!未找到引用源。式可改写为0

()h t dt M +∞

≤⎰

（2） 对于因果系统，其稳定性的s 域判决条件

错误!未找到引用源。若系统函数()H s 的全部极点落于s 左半平面，则该系统稳定； 错误!未找到引用源。若系统函数()H s 有极点落于s 右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的