1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)

1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）

教学目标：

知识与技能目标：

通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

过程与方法目标：

探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

情感、态度与价值观目标：

探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 教学过程：

一、复习回顾：

复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算

dx x ⎰

--2

2

2

4 （２）．计算 sin x dx π

π

-⎰

解：（1）

222

2

22

1

4⨯=-⎰

-πdx x （2）

0sin =⎰-

π

πdx x

问题2：用定积分表示阴影部分面积

解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为

图

2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为

问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路

例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与

x y =2

所围图形的面积．

分析：找到图形----画图得到曲边形.

1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.

3、计算定积分.

解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组⎪⎩

⎪⎨⎧==22

x y x

y 得到交点横坐标为 0=x 及1=x

dx

x f dx x f s b a

b

a

⎰⎰-=)()(21dy y g b

a

⎰

)(1=s dy

y g b

a ⎰)(2－ y

A

B C

D 2x y =

x y =2

1

∴

s

s =曲边梯形OABC

s

-曲边梯形OABD

dx x ⎰

=10

dx x ⎰-1

2

1031

2

3313

2x x -=3

13132=-= 变式训练1：计算由

4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.

分析：讨论探究解法的过程

1．找到图形----画图得到曲边形.

2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.

探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.

【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为

图中阴影部分的面积

解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x

y x

y 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量

∴182

16)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S

解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤

解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：

1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．

3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）

y =x

4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．

分析：

A: 442

1

28021⨯⨯-=-=⎰dx x s s s

B: ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰

4421228440

21dx x dx x s s s

C: dx y s s s ⎰+⨯+=-=402

2124)84(2

1

此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.

问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法.

问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X 做积分变量的类型；

做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线

x y sin =与x y cos =及0=x 、2

π

=

x

所围平面图形的面积．

【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位

同学把自己的成果展示给大家

21S S S +=

dx

x

dx

x

S⎰

⎰-

=4

4

1

sin

cos

π

π

dx

x

dx

x

S⎰

⎰-

=2

4

2

4

2

cos

sin

π

π

π

π

例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．

变式训练3：

（1）、求抛物线y=x

2

-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

（2）求抛物线y=x

2

+2与直线y=3x和x=0所围成的图形的面积。

y

x

21

22

11

(1)(1)

S x dx x dx

-

=---

⎰⎰21

33

11

8

()()

333

x x

x x

-

=---=