随机利率下的人寿保险精算模型

积累函数就是金额函数取k=1。
第n年的年利率为in，当n≥1时定义如下:
(2-3)
变形得， 递推，得，
(2-4)
170 现代商业 MODERN BUSINESS
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(2-5)
若假设in不变，即每年的年利率都相同，则令 i1=i2=...=in 将(2-6)带入(2-5)中，得 a(n)=(1+i)n
一、引言 (一)研究背景及意义
中国特色社会主义进入新时代，社会主要矛盾发生了变化， 人民的经济水平显著提高，需求变得更加多样化。比起2000—2010 年，近几年来保险行业发展显著，范围也更加广泛涉及各个领域如 寿险、养老、车险、航空意外险等。人们自身的投保意识也显著加 强。保监会数据显示，2017年原保险收入为36581.01亿元，同比增 长18.16%，而寿险业务原保险保费收入21455.57亿元，同比增长 23.01。
算的基础就是利息理论。
(一)利息的度量
1.积累函数。设t为从投资之日算起的时间，时间可以用不同
的单位来度量，把用来度量时间的单位称作“度量时期”或“时
期”。通常我们以一年作为度量单位。
投资1单位的本金，积累函数a(t)定义为在任意时刻t的积累值，
我们可以得到积累函数a(t)的三个特征：
(1)a(0)=1
二、人寿保险精算基础
通常可以把保险分为人寿保险和非人寿保险。与非人寿保险相
比，前者是以人的寿命、身体或健康为保险标的保险，因此可以直
接利用被保险人的生存规律和保险人的投资状况来研究。非寿险如
意外伤害保险为例，需要考虑意外事故是否发生，具有很大的的不
确定性。因此相比非寿险，人寿保险的可测性更强，而人寿保险精
加入了泊松过程。2009年，高井贵在Wiener模型的基础上，建立了 不同的参数模型2012年，张连增、段白鸽、卜林利用Markov链的随 机性模拟了寿险精算的分布函数。2017年，李瑶推广Wiener模型的 时候考虑了非齐次泊松过程。 (三)研究目标及思路
1.综述人寿保险精算基本原理。 2.把Markov运用到精算中，得到随机利率下概率分布的模拟。
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随机利率下的人寿保险精算模型
单晨璐 浙江师范大学 321004
摘要:保险，作为市场经济条件下的风险管理基本手段，从20世纪开始兴起，如今在多个领域都有广泛应用。保 险是一种长期的经济行为，由于受政策法规、自然和社会因素等因素的影响，具有不确定性，这就导致了固定利 率和实际之间的偏差。如何有效的规避风险，利用概率论、运筹学、控制论等原理，建立合理的随机利率下的保 险精算模型，减少保险公司的损失，是保险精算业一个深刻的课题。
而复利则是要把利息也计算进去。
在单利计算的情况下，假设第一年年初的本金为A(0)，第n年
的实质利率为in，则一年末的累积额为：
(2-10)

第二年年末为：
(2-11)
第n年年末为：
(2-12)
由于每年的年利率相同，即
，
(2-13)
积累函数为：
(2-14) 有函数可知，单利的计算方式下，每年所得到的利息都为A(0) i，n年所得的利息总和为A(0)in。由于每年所得的利息额相同，而 年初本金逐年增大，实质利率
世界各地的学者都对随机利率进行了研究。1971年 J.H.Polland第一次打破传统传统精算把利率看出固定的变量的计 算模式，把利率设为随机的变量。1976年Boyel在研究寿险精算的过 程中提出了“双随机性”。Panjer和Bellhouse在20世纪80年代初建 立了“双随机性”的随机利息理论。出现了ARIMA模型、Wiener 模型、Poisson模型等随机利率模型。1997年吴岚、杨静平研究了寿 险模型。1998年何文炯、蒋庆荣采用了Gauss过程建立了随机利率下 的增额寿险模型。2001年，郎艳怀给出了随机利率下的综合人寿保 险模型，给出了保费二阶矩的计算公式，同时，应用了二人零和对 策讨论模型中保险费的最优值问题。2004年，王丽燕写了Brown运 动和泊松过程。2006年，徐俊把随机利率Wiener模型进行了推广，
在传统的精算理论中，通常采用的是固定利率，用于简化计 算。然而我们知道，在实际当中，利率具有随机性。 (二)国内外研究现状
人寿保险，是人身保险的一种，以人的生命为保险标。在人的 一生中，面临着各种各样的风险，需要通过保险产品来规避风险所 导致的经济损失。通常，寿险为长期合同。
在传统的精算理论中，为了简化计算，通常采用的是固定利 率，然而我们知道，在实际中利率是随机的，这就导致了通过固定 利率计算出来的结果与实际具有差异性。且这个偏差，是巨大的。 最好的方法是改变固定利率的传统计算模式，采取随机利率模型。 在随机利率模型中，利率成了随机变量。
(2)在通常情况下，a(t)为增函数。若为减函数，通常意味着利
息为负值，投资资金在经过一定时期后亏本。
(3)通常利息连续增加，则a(t)为连续函数。若两个利息支付日
之间不连续增加，则a(t)为间断函数。
若投资金额为k>0，在时刻t>0时的积累值为A(t)，定义为金额
函数。可得，
(2-1)
且
(2-2)
在这样的社会大环境下，保险的精算显得更加重要，这与保险 公司的利润有着直接的联系。保险公司的利润和保险产品的定价及 购买保险的数量有关，如保险产品的定价过高，相应的购买力度就 会降低，而若定价很低，则有可能造成亏损。由于保险产品的价格 与保险公司的利率挂钩，需要保险公司采取恰当的利率模型来计算 保费，从而达到利润的最优化。
本文以人寿保险的精算为研究对象，首先对保险精算原理进行综述。然而传统的精算学利率都是固定的，从而 增大了风险。因此，本文利用了Markov链的随机过程模型，通过随机模拟，得到确定性年金期末现时值、期初现 时值、期末积累值和期初积累值这四种随机变量的概率分布，降低了风险程度，保障了公平性。 关键词:保险精算；随机利率；风险控制；Markov链
(2-6) (2-7)
若将整个投资期划分为若干个相等的记息时期，则记自投资日
起第n期内所得利息为in,则可得
(2-8)
实质利率是指某一时期开始投资1单位本金时，在此时期内获得
的利息。实质利率也可以用积累函数和金额函数表示如下
(2-9)
2.单利和复利
利息的计算方式有单利和复利两种，单利在本金上计算利息，