有限元法边界条件的处理
hyperworks有限元仿真-第10章_边界条件和载荷
X 边界条件和载荷本章部分内容来自《Practical Finite Element Analysis》。
Matthias Goelke检查并添加了部分内容。
10.1边界条件施加的力和/或者约束叫做边界条件。
在HyperMesh中，边界条件存放在叫做load collectors的载荷集中。
Load collectors可以通过在模型浏览器中点击右键来创建(Create > Load Collector)。
经常（尤其是刚开始）需要一个load collector来存放约束（也叫做spc-单点约束），另外一个用来存放力或者压力。
记住，你可以把任何约束（比如节点约束自由度1和自由度123）放在一个load collector中。
这个规则同样适用于力和压力，它们可以放在同一个load collector中而不管方向和大小。
下面是将力施加到结构的一些基本规则。
1.集中载荷（作用在一个点或节点上）将力施加到单个节点上往往会出现不如人意的结果，特别是在查看此区域的应力时。
通常集中载荷（比如施加到节点的点力）容易产生高的应力梯度。
即使高应力是正确的（比如力施加在无限小的区域），你应该检查下这种载荷是不是合乎常理？换句话说，模型中的载荷代表了哪种真实加载的情形？因此，力常常使用分布载荷施加，也就是说线载荷，面载荷更贴近于真实情况。
2.在线或边上的力上图中，平板受到10N的力。
力被平均分配到边的11个节点上。
注意角上的力只作用在半个单元的边上。
上图是位移的云图。
注意位于板的角上的红色“热点”。
局部最大位移是由边界效应引起的（例如角上的力只作用在半个单元的边上），我们应该在板的边线上添加均匀载荷。
上述例子中，平板依然承受10N的力。
但这次角上节点的受力减少为其他节点受力的一半大小。
上图显示了由plate_distributed.hm文件计算得到的平板位移的云图分布。
位移分布更加均匀。
3.牵引力（或斜压力）牵引力是作用在一块区域上任意方向而不仅仅是垂直于此区域的力。
有限元方法基本思路
式（1.21）和（1.22）带入（1.20），由于单元长度 Δx(e)=1/5，
得到：
1/ 2 1/ 2
1/ 1/
2 2
uu12ee
1 5
11//
2 2
（1.23）
写成简化矩阵形式：
KeuIe=be
（1.24）
（1/8） 有限元方法基本思路
● 1.1 一维一次常微分方程的有限元数值求解
（1/8） 有限元方法基本思路
● 1.1 一维一次常微分方程的有限元数值求解
1.1.2 有限元方法求解
（4）单元有限元方程的建立
由式（1.4）求导，可得：
Φ1 =1- ξ
Φ1,ξ = -1
Φ2 = ξ
Φ2,ξ = 1
式（1.19）带入（1.18）得到：
1 1 1
xe 0 2
1 2
d
uu12ee
式中 ξ为局部坐标，取值范围 ξ ∈[0,1]
（1/8） 有限元方法基本思路
● 1.1 一维一次常微分方程的有限元数值求解
1.1.2 有限元方法求解
（2）插值函数和权函数
以第二个单元为例（图1-2），分析局部坐标 ζ 与笛卡尔坐标 x 的对应 关系：
图1-2 一维线性单元的坐标映射
x x1e x2e x1e
取单元数E=5、结点数N=6。
12
23
34
表1-1 JM数据表
45 56
（1/8） 有限元方法基本思路
● 1.1 一维一次常微分方程的有限元数值求解
1.1.2 有限元方法求解
（1）计算区域的离散
③离散数据的存储
● 结点坐标数据JX
存储结点的坐标。其行数等于总结点数，列数与所研究问题的维数一致。
有限元法的分析过程
有限元法的分析过程有限元法是一种数值分析方法，用于求解实际问题的物理场或结构的数学模型。
它将连续的实体分割成离散的小单元，通过建立节点和单元之间的关系，对物理问题进行逼近和求解。
以下是一般的有限元法分析过程。
1.问题建模和离散化在有限元分析中，首先需要对实际问题进行建模，确定物理场或结构的几何形状和边界条件。
然后，将几何形状分割成一系列小单元，例如三角形、四边形或四面体等。
2.网格生成根据问题的几何形状和离散化方式，生成网格。
网格是由一系列节点和单元组成的结构，节点用于描述问题的几何形状，单元用于划分问题域。
通常，节点和单元的位置和数量会直接影响有限元法的精度和计算效率。
3.插值函数和基函数的选择有限元法中的节点通常表示问题域中的几何点，而节点之间的关系由插值函数或基函数来描述。
插值函数用于建立节点和单元之间的关系，基函数用于对物理场进行逼近。
选择适当的插值函数和基函数是有限元法分析的关键。
4.定义系统参数和边界条件确定相关物理参数和材料性质，并将其转化为数值形式。
在有限元分析中，还需要定义边界条件，包括约束条件和加载条件。
5.定义数学模型和方程根据问题的物理场或结构和所选择的基函数，建立数学模型和方程。
有限元方法可以用来建立线性方程、非线性方程、静态问题、动态问题等。
具体建立数学模型和方程的过程需要根据问题的特点进行。
6.组装刚度矩阵和力载荷向量根据离散化的节点和单元，组装刚度矩阵和力载荷向量。
刚度矩阵描述节点之间的刚度关系，力载荷向量描述外部加载的作用力。
7.求解代数方程通过求解代数方程，确定节点的位移或物理场的数值解。
通常，使用迭代方法或直接求解线性方程组的方法来求解。
8.后处理和分析得到数值解后，可以进行后处理和分析。
包括计算节点和单元的应变、应力等物理量，进行矫正和验证计算结果的正确性。
还可以通过有限元法的网格适应性来优化问题的计算效率和精度。
以上是一般的有限元法分析过程，具体的步骤和方法可能会因不同的问题而有所不同。
有限元-结构静力学分析
03
结果优化
如果结果不满足设计要求，需要对有 限元模型进行优化设计，如改变梁的 截面尺寸、增加支撑等。
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结构静力学的求解方法
解析法
解析法是通过数学方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法。它通常 适用于具有简单几何形状和载荷条件的结构，如梁、板、壳等。
数值法
数值法是一种通过数值计算方法求解结构在静载荷作用下的响应的求解方法 。它通常适用于具有复杂几何形状和载荷条件的结构，如飞机、汽车等。
结构静力学的基本假设和简化
问题描述和基本方程
问题描述
弹性地基梁是支撑在弹性地基上的梁，受到垂直荷载的作用。该问题可描述为求 解地基反力和梁的挠度。
基本方程
该问题的基本方程包括梁的平衡方程、几何方程和物理方程。这些方程描述了梁 在受力后的变形和应力分布情况。
利用有限元法进行每个单元之间通过节点相连。每个节点具有三个自由度：沿 x、y、z方向的移动。
系统方程的建 立
将所有单元的平衡方程 和变形协调方程组合起 来，得到整个结构的系 统方程。
求解系统方程
利用数值方法（如高斯 消元法）求解系统方程 ，得到每个节点的位移 和应力。
结果分析和讨论
01
结果输出
输出每个节点的位移、应力、应变和 弯矩等结果。
02
结果评估
根据输出结果，对框架结构的强度、 刚度和稳定性进行评估，判断是否满 足设计要求。
连续性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是连续的， 即结构的内部没有空隙和缺陷。
各向同性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是各向同性 的，即结构的各个方向具有相同的材料性质。
均匀性假设
结构静力学的基本假设是结构的材料是均匀的， 即结构的各个部分具有相同的材料性质。
第10章 热应力问题的有限元法
e
T ( x, y ) = [N ]T {T }
e
T x x e e T = [N ]T {T } = [F ]{T } y y
e
m
其中: [H ] = ([h ]e +[h ]e ) ∑ 1 2
e =1
m
--结构总"刚度"矩阵 --结构总"载荷"
14
{P} = ∑ {P}e
e =1
m
δU = 0
U =0 {T }
即
[H ]{T } = {P}
已知"载荷",求解方程组. 求解方程组时,边界条件的处理: 对于三类边界条件,按上述分析方法处理,而在 上述分析时没有考虑一类边界条件,可在求解方程组 时考虑,即:使该边界处的节点温度取为给定值. 将整个边界按三类边界处理,而对于一类边界位 置,介质温度 T f 取为给定值,并将放热系数 λ 取为 相当大的值.
27
完全耦合热应力分析:应力,应变场和温度场之间 完全耦合热应力分析:应力,应变场和温度场之间 有耦合作用,需要同时求解. 绝热分析:力学变形产生热,而且整个过程的时间 绝热分析:力学变形产生热,而且整个过程的时间 极短,不发生热扩散. 热电耦合分析:求解电流产生的温度场. 热电耦合分析:求解电流产生的温度场. 工程中常见问题为顺序耦合热应力分析.
结构总的泛函是节点温度的二次齐次式.
δU = 0
U =0 {T }
即
[H ]{T } = 0
结合边界条件,求解方程组.
10
三,第三类边界条件问题
2T 2T + 2 =0 2 x y
机械设计中有限元分析的几个关键问题
Internal Combustion Engine &Parts0引言随着科学技术的发展，人们在机械设计中不断地应用更加精密的设备，在设计的过程中，就需要相关的设计人员能够预测出产品的性能、强度、寿命等，并且正确引入相关技术参数来进行精确的计算。
近些年来，随着我国计算机技术的发展以及数据分析相关技术的发展，为相关的计算提供了有效的方法与手段。
将有限元应用力分析应用到机械体结构上，能够充分计算外部的荷载量，以及所引发的应力应变、强度、耐久度的分析，从而能够有效地提高零件的质量，减少零件材料的成本。
有限元分析的结果与软件、建模等有关，在分析过程中，处理方式不当可能造成结果的差异，所以不能过度迷信有限元软件的结果，需要根据具体的情况具体分析。
1有限元分析的概述有限元分析方法作为一种数据处理分析的方法，是近些年来新引进入我国的一种数据分析的方式，其英文名字为FEM 。
它主要是运用数学的计算方法，模拟出物体真实的几何形状，以及负荷量状况，能够将无限的未知量展示出来，这种复杂的计算方法能比其他的代数方法更加准确[1]。
有限元方法是在计算机技术和数值分析方法的基础上发展起来的。
作为一种有效的手段，有限元分析应用在应力分析等领域中，对于机体机构上的外部荷载引起的应力应变以及耐久性、损伤容限、强度等均可以采用试验的方式进行。
有限元分析的过程会发生结果的差异，这与使用的软件和建模过程有关系，在设计中对于软件结果不能迷信，而是要谨慎对待处理方式不通带来的结果差异。
对于具体问题应根据模型试验验证判断结果而来，方能确定有限元结果正确性。
2有限元分析的注意事项工程人员对于有限元分析的精确度和正确性较为关注。
这是因为有限元结果的正确性关系到工程实际的运行。
凭借问题处理经验和有限元理论分析结果，对于有限元分析的注意问题可以归纳如下：①对于有限元分析方法的运用，注意有限元分析方法的流程，加强对有限元结果的认识。
离散网络密度、形函数构造、单元类型、边界条件处理都会产生对结果的影响。
复杂结构有限元分析
1.边界条件和载荷的正确施加是保证有限元分析结果可靠性的关键因素之一。这涉 及到对结构的约束条件和所受外力的准确模拟。 2.对于复杂结构，可能需要考虑多种边界条件和动态载荷，如接触力、温度场、流 固耦合等，这些都增加了分析的复杂性。 3.随着计算力学的发展，出现了一些高级的技术和方法，如子结构法、边界元法等 ，这些方法在处理复杂边界条件和载荷问题时表现出优越的性能。
复杂结构有限元分析
复杂结构建模技术
复杂结构建模技术
几何建模与简化
1.复杂结构的几何建模通常涉及CAD软件，这些软件能够精确 地捕捉和创建复杂的形状和细节。随着计算能力的提升，现在 可以处理更加精细和复杂的几何体。 2.为了减少计算量，提高分析效率，几何简化技术被广泛应用 。这包括使用诸如移除小特征、合并相邻面、平滑表面等方法 来降低模型的复杂性，同时保持其整体性能。 3.当前的趋势是开发更智能的几何简化算法，这些算法可以在 不损失太多设计意图的情况下，自动识别和优化模型中的冗余 或非关键部分。
▪ 有限元方法的基本原理
1.离散化：有限元方法的核心思想是将连续的求解区域离散化 为一系列互不重叠的小单元，这些小单元在数学上称为“有限 元”。通过这种离散化，可以将复杂的连续问题转化为简单的 离散问题。 2.变分原理：有限元方法通常基于变分原理，如最小势能原理 或最小余能原理，来建立问题的弱形式。这使得有限元方法能 够处理各种边界条件和初始条件，具有很高的灵活性。 3.加权残差法：加权残差法是另一种常用的有限元方法，它通 过在求解区域内引入一个权函数，使得残差（即实际值与理论 值之差）与该权函数的乘积在整个区域内积分等于零，从而得 到满足特定条件的近似解。
复杂结构有限元分析
材料属性与模型参数
有限元分析基础教学课件
分法、有限体积法和无网格方法等。
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THANKS
为什么学习有限元分析
有限元分析可以帮助学生和工程师了解如何 使用数值方法解决各种实际问题。
它提供了对复杂系统的深入理解，并能够解 决难以解析的问题。
通过使用有限元分析，学生和工程师可以更 好地理解工程系统的性能，优化设计并提供 更有效的解决方案。
如何学习有限元分析
学习有限元分析需要掌握一定的数学和物理基础知识，例如线性代数、微积分、物 理等。
展望
有限元分析的未来发展
01
介绍了有限元分析未来的发展趋势和应用前景，包括高性能计
算、多物理场耦合和复杂结构分析等。
有限元分析的挑战
02
探讨了有限元分析面临的挑战和难点，包括计算精度、计算效
率、边界条件和多尺度问题等。
有限元分析与其它数值方法的结合
03
讨论了有限元分析与其它数值方法的结合和应用，包括有限差
一种基于最小势能原理的有限元分析 方法，通过将问题离散化为多个子问 题，并求解每个子问题的线性方程组， 得到问题的近似解。
03
有限元方法
有限元方法的基本思想
划分网格
将连续的求解区域离散为有限个小的单元， 单元之间通过节点连接。
近似解法
用每个小单元上的近似函数来逼近原函数， 从而得到整个求解区域的近似解。
设定边界条件和载荷
讲述如何运行分析，包括选择求解器、设置 迭代次数、收敛判据等。
运行分析
说明如何为模型设定边界条件和施加载荷， 包括位移、力、温度等。
结果后处理
介绍如何查看和解析结果，包括位移、应力、 应变等。
有限元分析软件编程接口
软件支持的语言
介绍软件支持的编程语言，如 Fortran、C、Python等。
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有限元法边界条件的处理
边界上的节点通常有两种情况，
1. 一种边界上的节点可自由变形，此时节点上的载荷等于0，或者节点上作用某种外载荷，可
以令该点的节点载荷等于规定的载荷Q。这种情况的处理是比较简单的。
2. 另一种边界上的节点，规定了节点位移的数值。这种情况下，有两种方法可以处理：
* 划0置1法
* 置大数法
划0置1法是精确的方法，置大数法则是近似的方法。下面分别介绍这两种方法
置大数法
假设v自由度的位移已知为b(b可以为0或者其他任意值)。
1. 将v自由度相应对角线上的刚度系数 k(v,v) 换成一个极大的数，例如可以换成 k(v,v)*1E8
k(v,v) ---> k(v,v) * 1E8
2. 将v自由度相应节点载荷 F(v) 换成 F(v) * 1E8 * b
F(v) ---> F(v) * 1E8 * b
3. 其余均保留不变，求出的
v =~ b
此方法的处理只需要修改两个数值即可，简单方便，虽然求得的是近似值，但一般仍然推荐使用。
置大数法来源于约束变分原理，本质和罚函数是一样的，得到的都是一个非精确值，施加起来在
程序实现上相对简单，但是过大的大数可能引起线性方程的病态，造成在某些求解方法下无法求
解，过小的大数有可能引起计算的误差，因此大数的选择也算是一个优化的过程吧，因此如果位
移边界条件为0的话，主1副0的方法通用性更好吧
而位移非零的情况下，还有一种类似主1副0的方法可以采用吧，不过程序处理相对麻烦一点，
我一下也没找到，你不妨找找看
这是在不增加方程个数的情况下的处理方式，拉格朗日乘子法好像也可以处理边界条件，但是会
增加方程的个数，所以大家一般都不太用来着，拉格朗日乘子法和罚函数法的原理可以看一下王
勖成写的那本有限元，如果英文好，不放看看监克维奇的那本英文的《finite element method》
划0置1法
假设v自由度的位移已知为b(b可以为0或者其他任意值)。
位移为0
1. 只保留相应主对角线上的元素k(v,v)，其所在行(v)列(v)上其他元素均改为0。
2. 在载荷向量中，令F(v)=0
此时，求出的v = 0是精确解
位移不为0
1. 只保留相应主对角线上的元素 k(v,v)，其所在行(v)列(v)上其他元素均改为0。
2. 在载荷向量中，令
F(v) = k(v,v)*b
F(i) = F(i) - k(i,v)*b i != v
此时，求出的v = b是精确解
划0置1法处理上比置大数法要麻烦不少，虽然求得的是精确解，但是还是使用比较少吧？
参考：朱伯芳《有限单元法原理与应用》
另外，谢谢小勇提供的有限单元法讲义