有限元 位移约束条件的引入
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
结构静力分析边界条件施加方法与技巧—约束条件
在结构的静力分析中载荷与约束的施加方案对计算结果有较大的影响，甚至导致计算结果不可信，笔者在《结构设计CAE主业务流程》的博文中也提到这一点。
那么到底如何施加载荷与约束呢？归根到底要遵循一个原则——尽量还原结构在实际中的真实约束和受力情况。
本文着重介绍几种约束的施加方法与技巧，并通过具体例子来进一步说明。
1 销轴约束销轴连接在结构中是很常见的一种形式，其约束根据具体的结构形式有所不同，下面以一个走行装置为例具体介绍一下。
走行装置是连接平动轨道与上部结构的，其约束应是轨道通过车轮对走行装置的约束，但是通常对于车轮只要验证其轮压满足要求即可，因此在模型中往往将车轮简化掉，因此对于走行装置的约束就变为销轴约束。
图1 某走行装置图1 中1-10是与车轮相连接的轴孔，车轮行驶于轨道上，约束位置在10对轴孔处，如果把整个轴孔都约束则约束刚度太大，结果会导致圆孔周围应力过大，因此应简化为约束轴孔中心点，将中心点与轴孔边缘通过刚性单元连接，简化为点约束。
首先y方向（竖直向上）是应该约束的（此处假设车轮及轴为刚体），其次由于轨道与轮缘的相互作用，z方向（侧向）也应该是约束的，然后由于走行装置在向下的压力下会产生沿x方向（运行方向）的位移，因此x方向约束应放开，但是如果10对轴孔中心x方向的约束全放开则会导致约束不全无法计算，因此应在1轴孔或10轴孔中心处施加x方向的约束，这样实现全自由度约束。
2 转动轨道约束图2是一个翻车机模型，该结构通过电机驱动，托辊支撑，2个端环在轨道上转动来实现翻卸功能。
图2 翻车机由于翻车机托辊支撑端环，由电机驱动不断地翻转卸车，造成其约束位置方向不断变化，针对一个具体翻转角度，翻车机端环在与托辊接触处（线接触）应约束沿翻车机端环径向，另外，由于翻车机在荷载作用下会产生沿翻车机轴向的位移，所以两端环中要约束一个端环的轴向自由度。
3 对称面约束图3是某钢水罐模型，该模型关于y-z面对称，下面介绍一下该结构的约束处理。
有限元分析第六章
第六章 非第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场）。
满足协调条件的单元，它们的收敛性等问题已在第四章中做了研究。
等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广的一种协调单元。
此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。
对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。
在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。
本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。
这些结论对四阶问题同样适用。
从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在构造方法时思路可以开阔很多。
§6-1Wilson 非协调元Wilson 非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。
１、母体单元 形函数 母体单元ê：边长为２的正方形 自然坐标：ξ、η取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。
形函数２、实际单元 e可看成母体单元ê经变换F 得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成其中（x i , y i ）为实际单元中节点的坐标。
至此，还看不出Wilson 非协调单元与上一章介绍的等参数单元之间的差别。
３、单元内假设位移场图６－１图６－２） （4~1)1)(1(41),(=++=i N i i i ηηξξηξe eF →ˆ： ∑∑====4141i i i i iiy N y x Nx )1()1(),()1()1(),(242341222141ηαξαηξηαξαηξ-+-+=-+-+=∑∑==i i ii i iv Nv u Nu (6-1-1)同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性：（１） 不影响节点处的位移值，故称αl 为非节点自由度或单元的“内自由度”。
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
一维有限元法
x − xi ui + e u j l
(1-5)
Ni =
xj − x l
e
Nj =
(
)
x − xi le
(1-7) (1-6)
将(1-5)、(1-6)和(1-7)式代入杆件轴向拉压的 几何方程可得：
dux u j − ui ⎛ dNi = e =⎜ εx = ⎜ dx dx l ⎝ dN j ⎞⎛ ui ⎞ ⎛ 1 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ − e dx ⎟⎜ u j ⎟ ⎝ l ⎠⎝ ⎠ 1⎞ e e e ⎟δ = Bi Bj δ = B δ (1-8) le ⎠
uj = a + bxj u j = ui − bxi + bx j
xj − x
(1-3)
x − xi ux = ui + uj e e l l u j − ui ui x j − ui xi u j xi − ui xi ui x j − u j xi a = ui − xi = − = x j − xi x j − xi x j − xi x j − xi
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
x u
F
e
⎛U i =⎜ ⎜U j ⎝
δ
e
⎛ ui ⎞ =⎜ ⎟ ⎜u j ⎟ ⎝ ⎠
2
返回
(1)设位移函数(突出特点，在局部设，就没 那么难) E,A
Ui q e ui i le=l/3 j uj Uj x u q ⎛ x2 ⎞ ⎜ lx − ⎟ u ( x) = EA ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝
e
返回
3、整体分析 (1)节点荷载 a.等效节点荷载 指把作用在单元上的集中荷载和分布荷载按 照虚功等效原则移置到节点上的荷载。
①
E,A,l q ② 2 ql/3
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LLLLL LLLLL LLLLL LLLLL MMMMM
k1, 2 n 1 k2, 2 n 1 k3, 2 n 1 k4, 2 n 1
M
MMMMM M
MMMMM M
MMMMM M
L L L L L k2n1,2n1 L L L L L k2n,2n1
k1, 2 n k2,2n
u1
v1
k3, 2 n
还有一点值得注意的是，单 元各边的长度不要相差太大，以 免出现过大的计算误差或出现病 态矩阵。例如，图4-12所示的(a) 、(b)两种单元划分，虽然都是同 样的四个节点，但(a)的划分方式 显然要比(b)的方式好。
(a)
(b)
图4-12
三. 节点的编号
节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号 码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节 省存储、提高计算效率。
平面问题的半带宽为
B =2 (d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最多为 N =2nB = 4n (d+1)
其中 d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。
例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点总数都等 于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a)是按长边进行编 号，d =7，N =488；而(b)是按短边进行编号，d =2，N =168。 显然(b)的编号方式可比(a)的编号方式节省280个存储单元。
模型。
返回
例如，图4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于x、y轴都是几何对 称的，而所受的载荷则是对于x轴对称，对于x轴反对称。可知，梁 的应力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取1/4梁进行计算 即可。取分离体如图4-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的 影响，可以作相应的处理，即对处于y轴对称面内各节点的x方向位 移都设置为零，而对于在x轴反对称面上的各节点的x方向位移也都 设置为零。这些条件就等价于在图4-11(b)中相应节点位置处施加约 束，图中o点y方向施加的约束是为了消除刚体位移。
下面我们来实际考察一个只有四个方程的简单例子。
由表面力引起的等效节点力 由体积力引起的等效节点力
Qe N T qtds
Pe NT ptdxdy
集中力的等效节点力计算
由于
g
g g
x y
Ni
0
Ge
N T
g
Nj 0
N
m
0
Ni Li
0
Ni gx Li gx
Ni
Ni
gy
Li
gy
0 Nj
g g
x y
节点的多少及其分布的疏密程度（即单元的大小），一般 要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑。从计算结果的精 度上讲，当然是单元越小越好，但计算所需要的时间也要大大 增加。另外，在微机上进行有限元分析时，还要考虑计算机的 容量。因此，在保证计算精度的前提下，应力求采用较少的单 元。为了减少单元，在划分单元时，对于应力变化梯度较大的 部位单元可小一些，而在应力变化比较平缓的区域可以划分得 粗一些。
t
Lj Lj
qx qy
ds
Nm
qx
Nmqy
Lm
qx
Lmqy
体积力的等效节点力
由于
p
px py
Ni Li
Ni px
Ni
py
Li px
Li
py
Pe
N T
ptdxdy
t
N N
j j
px py
dxdy
t
Lj Lj
px py
dxdy
N
m
px
Nm py
⒈ 保持方程组为2n×2n系统，仅对[K]和{R}进行修正。 例如，若指定节点i在方向y的位移为vi ，则令[K]中的元素k2i, 2i 为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。{R}中的第2i个元 素则用位移vi 的已知值代入，{R}中的其它各行元素均减去已 知节点位移的指定值和原来[K]中该行的相应列元素的乘积。
但是在编制程序时，为了避免计算机存储作大的变动，应保持方程原 有的数目不变。这时，须引入已知的节点位移。一般有两种方法：划行划 列方法及乘大数方法。
采用划行划列的方法 若结构物划分为n个节点，它的刚度矩阵为2n行2n列
Fx1
Fy1
k11
k21`
Fx 2 Fy 2
k31 k41
M M M M 0 k2n1,2 0 k2n,2
0L L L L L 0
0L L L L L 1L L L L L
k2,2n1 0
0 L L L L L k4,2n1 MM M M M M M
MM M M M M M
MM M M M M M
MM M M M M M
0 L L L L L k2n1,2n1 0 L L L L L k2n,2n1
k31u1 k32v1 k331015u2 k34v2 L L k3,2nvn 3k331015
u2 3
其他方程不变 为此我们就建立了新的方程
K F
§4-6 有限元分析的实施步骤 根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应
用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤。
①力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型， 并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。
y
y
R
R
R
o
o
x
R
R
(b) 返回
(a)
图4-11
二. 节点的选择及单元的划分
节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载荷 的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界的 分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不同 的材料组成时，厚度不同或材料不同的部分，也应该划分为 不同的单元。
q
g
Q f Ne f * N * e
p
f * T * eT N T
j i
代入上式，得
* eT Re * eT N T g N T qtds N T ptdxdy
Re NT g N T qtds N T ptdxdy
由此可知
由集中力引起的等效节点力 Ge NT g
⑦ 求解线性方程组，得到节点位移。 ⑧ 计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要计算主应力和 主方向。 ⑨ 整理计算结果（后处理部分）。
为了提高有限元分析计算的效率、达到一定的精度，应该 注意以下几个方面。
一. 对称性的利用
在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或反
对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计算
移值与原来刚度矩阵该行的相应列元素的乘积。
1
Fy1 1k21 3k23
1 0 0 k22
3 Fy2 1k41 3k43
0 0 0 k42
Fx3 1k51 3k53
Fy3 1k61 3k63
M
M
M M
M
M
Fxn
k1 2n1,1
k3 2n1,3
Fyn 1k2n,1 3k2n,3 2n1
时，对取绝对值，即可得到正确的计算结果。
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过考虑边界约束条件来排
除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。
返回
一般情况下，求解的问题的边界往往已有一点的位移约束 条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就必须适 当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这里介绍两 种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方法都可保持 原[K]矩阵的稀疏、带状和对称等特性。
Fx3
Fy3
M
M
M M
M M
Fxn
k2n
1,1
Fyn 2n1 k2n,1
k12 k22 k32 k42 M M M M k2n1,2 k2n,2
k13 k23 k33 k43 M M M M k2n1,3 k2n,3
LLLLL LLLLL LLLLL LLLLL MMMMM
§4-5 边界条件的处理和整体刚度矩阵的修正， 计算实例
整体刚度矩阵[K]是奇异阵，必须考虑边界约束条件，排除弹性体的刚
体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性之后，才能从方程组 K F
中求解节点位移。 一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的位移约束条件，排除
了刚体运动的可能性。否则，应当适当指定某些节点的位移值，以避免出 现刚体运动。在引用这些边界条件以后，待求节点未知量的数目和方程的 数目便可相应地减少。
第四章 平面问题的有限元分析
§4-4 等效节点力的计算
计算等效节点力
用虚功原理确定等效节点力
若三角形单元上作用有集中力g、分布力q(力/面积)和 体积力p(力/体积)，则根据静力等效原理，节点力所做的虚 功等于三种力所做的虚功。
m
* eT Re f * T g f * T qtds f * T ptdxdy
N N
j j
gx gy
Lj Lj
gx gy
0
N
m
g
x
Lm
g
x
Nm
Nm g y Lm g y
表面分布力的等效节点力
由于
q
qx qy
Ni Li
Niqx
Niqy
Liqx
Li q y
Qe
N T qtds t
N N
j qx jqy
ds
1234567
1 3 5 7 9 11 13
8 9 10 11 12 13 14 (a) 图4-13
2 4 6 8 10 12 14 (b)
四. 单元节点i、j、m的次序