高等数学不定积分讲义
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不定积分的概念与性质
1、复习13个基本导数公式.
2、原函数与不定积分的概念.
(1)定义1 在区间I 上,如果可导函数()F x 的导函数为()f x ,即对任一x I ,都有
()'()F x f x =或()dF x =⎰dx x f )(,
那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数.
(2)原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数
()F x , 使对任一x I 都有F (x )
()f x .
注: 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数.
()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数)
2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x )和()F x 都是()f x 的原函数,则
()()x F x C Φ-=(C 为某个常数).
简单地说就是,连续函数一定有原函数.
定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或⎰dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ⎰dx x f )(, 其中记号⎰称为积分号, ()f x 称为被积函数,
⎰dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量.
3、例题讲解.
例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=⎰sin cos .
因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=⎰21.
例2. 求函数x
x f 1
)(=的不定积分
解:当0x >时,(ln x )x 1=,C x dx x
+=⎰ln 1(0x >).
当0x <时,[ln(x )]
x x 1)1(1=-⋅-=,C x dx x
+-=⎰)ln( 1(0x <).合并上面两式,得到 C x dx x +=⎰||ln 1
(x
0).
例3. 求2.x dx ⎰
解 由于'
323x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,所以33x 是2
x 的一个原函数,因此323x x dx C =
+⎰. 4、变式练习
5、积分曲线 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系
⎰=)
(])([x f dx x f dx
d 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([.
又由于()F x 是()'
F x 的原函数,所以⎰+='C x F dx x F )()(或记作⎰+=C x F x dF )()(.
6、基本积分表(略).
例4. ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131.
例5. ⎰
⎰
=dx
x dx x x
252
C x ++=+12512
51C x +=2772C x x +=372. 7、不定积分的性质.
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.
这是因为, ])([])([])()(['
+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f f (x )g (x ).
性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数,0k ≠)
例6. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21
252
.
⎰
⎰
-
=dx
x dx x 2125
5⎰
⎰-=dx
x dx x 2125
5
C x x +⋅-=23
273
2
572.
例7. dx x x x dx x
x x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx x
dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322.
8.变式练习
(1)
(2)
dx -
⎰ (3)22x x dx +⎰()
(4)
3)x dx - (5)4223311x x dx x +++⎰ (6)2
2
1x dx x
+⎰ (7)x dx x x x ⎰
34134
(
-+-)2
(8)23(1dx x -+⎰
(9) (10)221(1)
dx x x +⎰ (11)211x
x e dx e --⎰ (12)3x x e dx ⎰ (13)
2
cot
xdx ⎰
第 5 次课 2 学时
第一类换元积分法
1、回顾旧知
(1)复习13个常见积分公式
(2)思考:cos 2sin 2xdx x C =+⎰
对吗?
2、第一类换元法.
设()f u 有原函数()F u ()u x ϕ= 且()x ϕ可微 那么
根据复合函数微分法
有
''''[()]()()[()]()[()]()dF x dF u F u du F x d x F x x dx ϕϕϕϕϕ====
即
)
(]
)([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='()
[()C]u x F u ϕ=+
[()]C
F x ϕ+
定理1 设()f u 具有原函数 ()u x ϕ=可导 则有换元公式
⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ
3、讲授例题.
例1 1cos 2cos 2(2)2xdx x x dx
'=
⋅⎰
⎰
1
cos 2(2)2xd x =⎰ 211cos sin 22
u x udu u C ===+⎰令1
sin 22x C + 例2 dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d x
32111ln ||22
u x
du u C
u =+=
=+⎰令C x ++=|23|ln 21
例3 ⎰⎰
⎰-==x
d x dx x
x xdx cos cos 1cos sin tan = ln |cos |x C -+
例4求6
sec d .x x ⎰
解 6
222
sec d (tan 1)sec x x x xdx =+⋅⎰
⎰
42
(tan 2tan 1)dtan x x x =++⎰
5312
tan tan tan 53
x x x C =
+++ 4、变式练习.